数学建模论文野兔生长问题
兔子繁殖数学建模斐波那契原型
兔子繁殖数学建模斐波那契原型今天咱们来讲一个特别有趣的关于兔子繁殖的事儿。
在一个美丽的大草地里，住着一对可爱的小兔子。
这对小兔子是刚刚出生的，它们呀，还没有长大呢。
这个草地就像一个大大的家，有好多新鲜的青草可以吃。
过了一个月呀，这对小兔子长大了一些，不过还不能生小兔子呢。
又过了一个月，这对长大了的兔子就变成了大兔子，这个时候它们就有能力生小兔子啦。
然后呢，这对大兔子就生出了一对小兔子。
现在草地上就有原来的那对大兔子和新出生的一对小兔子啦，一共是两对兔子。
再过一个月呢，新出生的小兔子还没长大，可是原来的那对大兔子又生了一对小兔子。
这个时候呀，最早出生的那对小兔子长大了。
现在草地上就有最早的那对大兔子，它们生的两对小兔子，还有新长大的那对兔子，一共是三对兔子啦。
又过了一个月呢，最早的那对大兔子又生了一对小兔子，之前长大的那对兔子也生了一对小兔子，新出生的小兔子还没长大。
这样算下来呀，草地上就有最早的那对大兔子，它们生的三对小兔子，之前长大的兔子生的一对小兔子，还有两对新长大的兔子，一共是五对兔子了。
咱们这样一个月一个月地数下去，就会发现兔子的数量是这样变化的：1、1、2、3、5……这个数列就是按照一种很有趣的规律在增长呢。
就像我们数自己的手指头一样，一个一个很清楚。
这个规律就和一个很有名的数学东西有关，它叫斐波那契数列。
斐波那契发现了这个规律，就像他发现了一个藏在兔子世界里的秘密。
想象一下，如果这个草地超级大，兔子可以一直这样繁殖下去，那兔子的数量就会按照这个规律变得越来越多。
比如说，如果我们再往后算几个月，按照这个规律，下一个月兔子的对数就是前面两个月兔子对数的和。
像前面是3对和5对，那下一个月就会有8对兔子啦。
这个兔子繁殖的故事就像一个魔法一样，让我们看到了数学在生活里的影子。
我们可以把这个当成一个好玩的游戏，每个月去数一数兔子的数量，然后发现这个神奇的规律。
这样我们就会发现数学不是那么枯燥，而是像这个兔子的故事一样，充满了乐趣。
兔子问题_精品文档
兔子问题简介兔子作为一种常见的小动物，其繁殖能力极强，因此兔子问题也成为了数学领域中的经典问题之一。
该问题涉及到兔子的繁殖规律，以及在特定的时间段内兔子的数量变化情况。
本文将从数学的角度探讨兔子问题，并分析其数学模型与解法。
数学模型假设一对刚出生的兔子在一个月后成熟，并从第二个月开始每个月都可以繁殖一对新兔子。
根据这个规律，我们可以建立以下递推关系式： - 第一个月，兔子的数量为1对； - 第二个月，兔子的数量为1对； - 第三个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和； - 第四个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 第五个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 依此类推…以此得到兔子数量的递推关系：Fn = Fn-1 + Fn-2解法根据兔子问题中的递推关系，我们可以通过递归或迭代的方式求得兔子在特定时间段内的数量。
递归解法递归解法是一种简单直观的方法，基于递归的思想。
递归函数可以通过调用自身来求解问题。
对于兔子问题，我们可以定义一个函数来递归地计算兔子数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)通过调用fibonacci(n)函数，可以得到第n个月兔子的数量。
迭代解法迭代解法通过循环的方式来依次计算兔子的数量，相较于递归解法，迭代解法更加高效。
我们可以使用一个循环来计算兔子的数量，并利用两个变量来记录前两个月兔子的数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:a, b =0, 1for _ in range(2, n+1):a, b = b, a+breturn b通过调用fibonacci(n)函数，同样可以得到第n个月兔子的数量。
离散生物模型兔子生长模型模型假设与模型建立假设第n年的生物
离散生物模型：兔子生长模型：模型假设与模型建立：假设第n 年的生物数量为n P ，每过一年生物数量是原来的a 倍，则有：n n aP P =+1，这是最简单的一种一阶差分模型；解为 0P a P n n = . 如果进一步分析，由于受到环境资源的限制, 生物的总数是有限的，故增长倍率应改为：)/1(1K P aP P n n n -=+, 其中 K > 0 是常数.当 Pn ≥K, 时， 生物将灭绝。
令 K P x n n /=， 可化成如下典型的logistic 模型：)(:)1(1n n n n x f x ax x =-=+, 当 ]4,0(∈a 时 ]1,0[∈n x 时, ]1,0[1∈+n x这是一个非线性差分方程. a 称为控制参数. 方程没有解析的解 . 我们来看它的不动点(即)(x f x =的点)的稳定性.容易算出它有两个不动点: x ' = 0和x '' =1－1/a . 我们将看到，随着a 的值的不同，它们有着完全不同的稳定性质.兹分几种情况加以讨论.对于任何 a>0, x '=0 是不动点 , 当0 < a ≤1 时 , 对于任何]1,0(0∈x , 都有 n n x x <≤+10, 所以 0lim =∞→n n x , 即 0 是个稳定的不动点. 这说明这生物最终将绝灭. 当 a >1 时, 因为1|)0(|>='a f , 所以x '= 0是不稳定不动点. 而且只要开始时 x 0 在区间 (0,1) 中, 以后的点也在区间 (0,1) 中，即生物永远不会绝灭.再考虑另一个不动点x ''=1－1/a ，.（1） 因为 |2||)(|a x f -=''', 所以当 1<a <3时 x '' 是稳定不动点. a >3 时x '' 是不稳定不动点.而且从 )1)((1n n n ax x x x x -''-=''-+可看出, 当 1< a ≤ 2时 , x x n ''→是单调的; 而 2 < a ≤3 时 x x n ''→在x ''左右两边振荡地趋向x ''. 所以 a = 3时, x '' 也是稳定不动点.(3) 设3 < a <16+≈3.449898743….这时已知x' , x'' 都是不稳定不动点，因此从它们近傍出发的数经迭代后都离它们远去，不再回到x ' 或x ''. 但进一步的计算发现，迭代值并未离得很远，而是在x ''两旁交替地趋向两个特殊的数p 与q ! 这两个数分别是函数f (x )的（周期为二的）周期点. 即满足 n n x x =+2, 但 n n x x ≠+1的点. 解方程x x ax x x a =---)]1(1)[1(2.已知它有根0, 及1－1/a (即不动点), 可将它化为一个二次方程, 实际上， 利用MATLAB 可以很快求出， 命令如下syms a x pp=a^2*x*(1-x)*(1-a*x*(1-x))-x ;factor(p)就得出 因子-x(a*x+1-a)* (a^2*x^2-a*(1+a)*x+(1+a))从而得出不动点以外的两个正根p 与q = aa a a 2)3)(1()1(-+±+且p < x'' < q. 当a从3开始增大时, 考察2周期点的表达式，可以看出这两个2周期点是从不动点x''分离出来的. (不动点可以看成1周期点)换句话说，在现在的a的范围下，不但有两个不动点x' 及x''，而且还有两个稳定的2周期点p, q. 这种情形称之为周期倍化现象. 周期点的稳定性可以从))f在f((x周期点的导数a2(1-2x)[1-2ax(1-x)] 的绝对值小于 1 得知.（4）1+6< a < 3.544090359….有人仔细算出了这种情形的迭代过程，我们只写出结论如下.这时从二个2周期点各分出1对周期点，得出四个周期点 (周期为4).(5) 当a再变大时，函数f(x)的周期点的个数（和周期）也不断地增加，例如当3.564407266…> a >3.544090359时将有八个周期点（周期为8），当3.568759420…>a >3.564407266时，将出现十六个周期点（周期为16），等等. 随着a的继续增大, 不断产生周期倍化现象. 最后，当a趋向一个特殊的数3.569945672… 时，将不断地产生倍周期点，而且周期趋向无穷大！而当a大于这个特殊的数3.569945672… 时, 时间序列像是分布在区间[0,1]上的随机数, 这种现象称为混沌现象.模型2 兔子繁殖问题已知一对兔子每个月生一对兔子，而每1对兔子出生后第二个月开始生兔子，问一对兔子一年后共有几对兔子？解：记开始时兔子数是F0=1，第1个月初的兔子数是F1=1，第二个月初的兔子数是F2=1，设第n个月初的兔子数是F n, 则F n - F n-1 = F n-2, , 是一个差分方程. 表示新出生的兔子数是二个月前的兔子数. 其中F0=1， F1=1称为初始条件，用来确定差分方程的解. {F n}就是以著名的意大利数学家Fibonacci提出并解决的数列. 1，1，2，3，5，8，13.,…称为Fibonacci数列。
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
数学建模狐狸野兔问题Word版
狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用 Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型 Matlab 软件 解析法 周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
基于logistic数学模型的种群增长规律
B ：达到最大捕食系数时的时间； N ：环境所能供养的最大野兔数目； N0 ：初始野兔的数量；
e (t ) ：相对捕食系数； Q (t ) ： t 时刻野兔的实际数量； X (t ) ：在不考虑捕食情况下， t 时刻野兔的数目。
5．模型的建立与求解
1.在不考虑被捕食，也不考虑种内竞争（即生存竞争）的情况下对野兔增长模型的分析[1]： 在一段时间内，野兔数目变化的情况可表示为：
（4）
图 5-3 野兔增长曲线 现在对模型的正确性进行分析：
此模型较好的反映了现实中的情况，它不仅对野兔的增长有一定限制，而且达到此限制， 即野兔数量在达到自然所能供养的最大野兔数目（饱和值 N）之后，就会以此为轴在一定范 围内呈现上下波动的波浪形式。此模型很好地解决了第二个模型所不能解决的问题，换言之， 符合了生物学的观点，野兔的增长是循环往复的波浪形式。 4. 对以上模型代入数据求值
由此式可见，当 t
→
+∞
时，
X
(t)
→
r r
。综上所述：不论初值
X0
如何，野兔群体的
总数在 t → +∞ 时，恒趋于定值 r ，此值称为饱和值。饱和值可以认为是环境所能供养的最 r
大野兔数目，设之为 N。则有：
N= r r
再对该结果进行分析，当 0
<
X0
<
r r
时（这是有实际意义的情况），r
−
rX 0
2r
dt 2
曲线。上述函数 X = X (t ) 的形状呈 S 型，如图 5-2 所示：
5
图5-2 种群的S型增长曲线
此S型增长曲线与Logistic模型是等同的，是种群在有限环境条件下连续增长的一种最简
数学建模论文野兔生长问题
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
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野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
符号说明X ： 表示一年中野兔的头数（i=0表示0岁野兔的头数，i=1表示1--10岁大象头数，i=2表示1—10岁野兔的头数）；p ： 表示存活率（0p 表示0岁野兔的存活率，1p 表示1—60岁野兔的存活率，p表示61岁—70岁野兔的存活率）；2x k：表示时段k第i年龄组的野兔数量；()b：第i年龄组每个（母兔）个体在1个时段内平均繁殖的数量；s：第i年龄组的存活率；L： Leslie矩阵；：L矩阵的那个唯一正特征根；1n：表示移出野兔的头数；问题分析对于问题一，利用给出的近两年来运出的野兔的数量统计表，可以分析近十年来的野兔群落的变化情况，比如各个年龄段的野兔占总的野兔的头数的比例是多少，还可以根据十年野兔总数的不规则变化来建立方程，用于求解野兔生存规律。
对于问题二，因为考虑的是公园在未来很长一段时间的野兔生长变化问题，所以可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型，根据差分方程的Leslie矩阵的特征根，结合 Leslie矩阵的稳定性理论对当前野兔种群的情况进行分析。
为了保持野兔种群的稳定，必须使得Leslie矩阵的最大特征根为1，而这样，特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程特征方程，求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到野兔在某一年的繁殖率的取值；根据一条件建立方程来求解野兔在哪些年数量变化有异常情况。
对于问题三，可以建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型结合Leslie矩阵的稳定性理论对当前野兔种群的情况进行分析，然后求解这个以繁殖率为未知数的方程可以得到野兔在T=10年的繁殖率的取值，接着把取值代入线性方程求出野兔在这一年的数量。
探讨野兔的存活率和当前野兔的年龄结构下面将根据给出的近两年来运出的野兔的数量与性别统计表，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组数学模型，通过求解方程组得到年龄在1岁到10岁之间的野兔的存活率，并给出野兔各年龄所占的比例，进而得到这个野兔群落的当前的年龄结构。
1、线性方程组模型的建立（1）首先，计算一年中野兔的只数。
野兔群是由0岁，1—0岁，10岁—12岁组成 ,且稳定在10000头。
设0岁的头数为X 0，1—10岁野兔头数为X 1，10岁—12岁野兔头数为X 2。
所以得到第一个方程：X 0+X 1+X 2=10000 ①（2）其次，考虑到前一年野兔的总数等于前两年存活下来的野兔加上新生的幼儿再减去运出的野兔数。
设0岁野兔的存活率为0p ，1—10岁野兔的存活率为1p ，10岁—12岁野兔的存活率为2p 。
则经过一年后，新生的野兔存活下来的头数为X 0⨯0p ；1到10岁的野兔存活下来的头数为X 11p ⨯；10岁——12岁的野兔能存活下来的头数为X 22p ⨯，因此得到第二个方程：（X 0⨯0p + X 11p ⨯+ X 22p ⨯）+ X 0-622=10000 ②联立①②得到方程组：0120011220X +X +X =11000X + X + X + X -622=11000 p p p ⎧⎨⨯⨯⨯⎩⑴ 2、模型的求解根据近两年来运出的野兔的数量与性别统计表，得到如下分析结果： （1）计算0岁的野兔头数由表中统计，1岁—3岁的野兔占1岁—10岁的野兔比例为：（67/620+169/876）/2=15.05%所以得到：3岁—10岁能生小野兔的母野兔占1岁—10岁的野兔比例为：（1-15.032%）⨯0.5 =42.48%因为能生小野兔的母野兔每3个月生一头小野兔，且十胞胎的机会为1.35%，相当于每年生126头 ，所以0岁的野兔占1岁—10岁的野兔比例为：0.4248⨯0.2896=0.12303这样0岁的野兔共有： 0X=0.12303⨯1 X ③（2）计算10岁—12岁的野兔头数从表中计算运出的9岁的野兔占运出的总野兔比率为：（14/622+22/876）/2=0.0238由于运出的野兔都是1岁—10岁的，所以0.0238也可看为9岁的野兔占1—10岁的野兔的头数比例，得到10岁的野兔占的比例为0.02381p ⨯，由假设可以知道：10岁—12岁的野兔头数为：2X=1/2⨯10⨯0.02381p ⨯⨯X 1 ④10岁——12岁的野兔经过一年能存活下来的头数为：2 211X =(1/2)90.0238X p p ⨯⨯⨯⨯⨯ ⑤ （3）、将③⑤和④两个式子代入上面方程组⑴得：111110111110.12303X +X +(1/2 )100.0238 X =110000.12303X + X + (1/2)90.0238X +0.12303X -622=11000 p p p p ⨯⨯⨯⨯⨯⎧⎨⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎩又由假设知道，0岁野兔的存活率为0p =75%代入上述方程组，然后用Mathematica 解之得：110.9897198864.85p X =⎧⎨=⎩ 再依次将1X 、s 代入③⑤和④求得：201044.07X 1090.66X =⎧⎨=⎩所以， 0岁野兔的总头数为1091（头）；1—10岁的野兔的存活率为98.9719%，总头数为8865（头）；10岁—12岁的野兔头数为1091（头）。
把0—10岁的野兔分为八个年龄段，由假设知道，各个年龄段占总数可以用各个年龄段移出的头数除以移出的总头数来衡量。
下面以1—10年龄段的野兔头数计算为例：前一年总共移出622头，其中1—10岁移出为67头；前两年总共移出876头，其中1—10岁移出169头。
故1—10年龄段的野兔头数可以这样计算：11X =671698865 [()/2]622 876⨯+=1332（头）3、结果分析（1）由结果可以知道，2—10岁野兔的存活率为98.9718%，这与题目给出的大于95%是相一致的，所以可以认为结果是合理的；（2）从图1可以看出，各个年龄段的野兔所占的比例基本上是一样的，2—3岁和4—7岁的野兔比例相对比较大，因为这段大象正处于年龄的黄金时期。
由此，可以认为求出的野兔年龄也是合理的。
估计注射避孕药后野兔数量的变化首先建立一个按年龄分组的种群增长的差分方程模型；然后用Leslie 矩阵稳定的充要条件分析如果不进行避孕注射种群的增长情况；最后仍然利用Leslie 矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，进而利用一个方程求出每年注射避孕药的母野兔头数。
1、按年龄分组的种群增长的差分方程模型的建立记时段k 第i 年龄组的野兔数量为()i x k ，k=0，1，2，…，i=1，2，…n,第i 年龄组的繁殖率为b ，即第i 年龄组每个（母野兔）个体在1个时段内平均繁殖的数量，第i 年龄的存活率为s ，我们这里假设b 和s 不随时段k 变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。
b 和s 可由统计资料获得。
()i x k 的变化规律由以下的基本事实得到：时段k+1第1年龄组种群数量是时段k 各年龄组繁殖数量之和，即11(1)()ni i i x k bx k =+=∑ 时段k+1第i+1年龄组的种群数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，即 1(1)(),1,2,,1i ii x k s x k i n ++==⋯- 记时段k 种群按年龄组的分布向量为12()[(),(),()]Tnx k x k x k x k =⋯ 由繁殖率b 和存活率s 构成的矩阵为010116061697001910110...0.........0...000......00...000...000......00...0000...000......00...0000...00......00...0000...00......00...00.........00......00...00.........000......00...000b b b b b b b s s s s L s =606159...000......00...0000...000......0...0000...000......0...0000...000......00 (000)............0s b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据Leslie 矩阵的性质可以得到如下的定理：定理1：L 矩阵有唯一的正特征根1λ，且它是单重根的，1λ对应正特征向量*12111221111...1,,,...,Tn n s s s s s s x λλλ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L 矩阵的其他n-1个特征根k λ都是满足 1,2,3,...,k k n λλ≤= 该定理表明L 矩阵的特征方程121211122121(.........)0n n n n n n n b b s b s s sb s s s λλλλ-----+++++= 只有一个正根，并且易知，**1Lxx λ=2、如果不进行避孕注射种群的增长情况（1）建立Leslie 矩阵首先，由第一问的求解知道，0岁的野兔的存活率为0.75；1—10岁野兔的存活率为0.989718；根据假设10—12岁野兔头数是线性递减的，而且到70岁所有的野兔都死完了，所以很容易求出存活率为（1-0.1）1s ⨯=0.9⨯0.989718=0.8907；9—10岁野兔的繁殖率为0.1448。