数学建模狐狸野兔问题
电子科技大学数学建模试题
电子科技大学数学建模试题（时量：150分钟）一．（1）在一个密度为ρ的流质表面下深 h 处的压强P=ρgh （g 是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m 的物体在外力F(t)的作用下，在 t 时刻的位置x(t)满足以下方程：)(22t F kx dt dx r dtx d m =++，其中r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数。
试确定r, k 的量纲。
二．一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌数量。
三．许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。
对1000人进行调查得到以下数据结果矩阵：有病 无病T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡48040120360四．某天晚上23:00时，在一个住宅内发现一具受害者尸体，法医于 23:35分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8○c ，一小时以后再次测量体温为29.1○c ，法医还注意到当时室温是28○c ，请建立一个数学模型来推断出受害者的死亡时间。
五．一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系统，需要对现有系统进行分析。
现有系统中有5个服务点，当顾客走进银行，他们可能选择5个服务点中任一个。
在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是3分钟，为一位顾客服务的平均时间为2.5分钟。
请你为建立模拟模型做以下准备工作：（1） 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间； （2） 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式； （3） 你认为应怎样模拟顾客们的来到？ 并且根据你的方法给出相应算法。
六．（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.02.04,9.0001.0xy x dtdx y xy dt dy（1） 建立上微分方程的轨线方程；（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？七．以下是几个一元经验回归模型的标准残差图：说明经验回归方程对数据的拟合优度，并阐述其理由。
数学应用典型案例模型1马尔萨斯人口增长(指数增长)模型
xc e hx
C
其中 C 为任意常数，可由初始条件确定。
捕食----被捕食模型有着广泛的应用。当一个包含两个群体的系统中，只要
两个群体相互依存、相互制约，均可用捕食----被捕食模型来描述。例如，鲨鱼
与食用鱼、寄生虫与其宿主、害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等都可用该模
型来描述。下图表明了狐狸----野兔（数量）随着时间 t 所发生的周而复始的变
化，正是这种变化维持着该系统的生态平衡。
在狐狸----野兔生态系统中，生态系统的平衡点就是使 dx 0, dy 0 的点。 dt dt
即
a byx 0 c hxy 0
(3-2)
只求非零解，可知平衡点为： x c , y a 。也就是说，当野兔数量保持在 c ，
设人类生存空间及可利用资源（食物、水、空气）等环境因素所能容纳的最 大人口容量为 K（称为饱和系数）.人口数量 N（t）的增长速率不仅与现有人口 数量成正比，而且还与人口尚未实现的部分（相对最大容量 K 而言）所占比例 K N 成比例，比例系数为固有增长率 r.于是，修改后的模型为
K
dN
hb
h
狐狸数量保持在 a 时，就能维持狐狸----野兔生态系统的平衡。 b
图 3-2
例 狐狸----野兔模型为
dx dt
0.03x
0.001xy
dy dt
0.9 y 0.002xy
(3-3)
试问：狐狸、野兔的数目各为多少时，该系统才达到平衡？
解：由 dx 0 ，得 y狐狸 0.03 3（0 只）；
模型 3 捕食——被捕食模型 所用知识：微分方程组 内容介绍：
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
狐狸与兔子数学模型的论文
狐狸与野兔(捕食者与被捕食者)问题摘要在生态系统中，捕食与被捕食的关系无处不在，它们相互依存，相互制约，在自然选择的条件下，只要经过足够长的时间，物种的数量关系就会达到动态的平衡，而这种平衡与初始状态下各物种的数量无关。
本文研究的是狐狸与野兔两个物种的关系，题目中已经给出了两个物种的变化率之间的关系，直接解出即可看出狐狸与野兔两个物种的数量关系，但已知的微分方程组不能直接解出解析解，因此，我们用“组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法”求给定微分方程的数值解，在给出初值：狐狸300只，野兔800只的情况下，用MATLAB 软件进行计算，然后通过狐狸和野兔数量的图像确定狐狸和野兔的数量关系：狐狸的数量随着野兔数量的增加而增加，而野兔的数量又随着狐狸的增加而减少，经过自然界的反馈作用，狐狸的数量又随着野兔数量的减少而减少，进一步，野兔的数量又会随着狐狸的减少而增加，它们的关系就这样循环，最后直至平衡，达到稳定状态。
在平衡状态下，狐狸和野兔的数量保持不变，因而它们的变化率应该为0，所以直接令微分方程等于0，解得平衡状态下：狐狸200只，野兔900只。
在没有人类捕猎的条件下，野兔数量的变化率为xy x dtdx 02.04-=，可见狐狸对野兔的捕捉量与狐狸和野兔的数量乘积成正比，比例系数为0.02。
同理，如果考虑人类对野兔的捕猎，可假设“人类对野兔的捕捉量与人类和野兔的数量乘积成正比，比例系数为a ”，在这种情况下，达到平衡时野兔的数量没有变化，狐狸的数量有所减少。
根据以上思路，如果考虑人类对狐狸进行捕猎，可假设“人类对狐狸的捕捉量与人类和狐狸的数量乘积成正比，比例系数为b ”，在这种情况下，达到平衡时狐狸的数量没有变化，野兔的数量有所增加。
关键词：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法 滞后 反馈作用 MATLAB 自然平衡一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
数学建模实验项目
数学建模实验项⽬数学建模实验指导书数学建模实验项⽬⼀养⽼基⾦问题⼀、实验⽬的与意义：1、练习初等问题的建模过程；2、练习Matlab基本编程命令；⼆、实验要求：3、较能熟练应⽤Matlab基本命令和函数；4、注重问题分析与模型建⽴，了解建模⼩论⽂的写作过程；5、提⾼Matlab的编程应⽤技能。
三、实验学时数：2学时四、实验类别：综合性五、实验内容与步骤：（1.必做，2、3选⼀）1.某⼤学青年教师从31岁开始建⽴⾃⼰的养⽼基⾦，他把已有的积蓄10000元也⼀次性地存⼊，已知⽉利率为0.001（以复利计），每⽉存⼊700元，试问当他60岁退休时，他的退休基⾦有多少？⼜若，他退休后每⽉要从银⾏提取1000元，试问多少年后他的基⾦将⽤完？2.贷款助学问题。
3贷款购房问题。
⾃⼰调查设计具体情况数学建模实验项⽬⼆梯⼦问题⼀、实验⽬的与意义：1、进⼀步熟悉数学建模步骤；2、练习Matlab优化⼯具箱函数；3、进⼀步熟悉最优化模型的求解过程。
⼆、实验要求：1、较能熟练应⽤Matlab⼯具箱去求解常规的最优化模型；2、注重问题分析与模型建⽴，熟悉建模⼩论⽂的写作过程；3、提⾼Matlab的编程应⽤技能。
三、实验学时数：2学时四、实验类别：综合性五、实验内容与步骤：⼀幢楼房的后⾯是⼀个很⼤的花园。
在花园中紧靠着楼房建有⼀个温室，温室⾼10英尺，延伸进花园7英尺。
清洁⼯要打扫温室上⽅的楼房的窗户。
他只有借助于梯⼦，⼀头放在花园中，⼀头靠在楼房的墙上，攀援上去进⾏⼯作。
他只有⼀架20⽶长的梯⼦，你认为他能否成功？能满⾜要求的梯⼦的最⼩长度是多少？步骤：1．先进⾏问题分析，明确问题；2．建⽴模型，并运⽤Matlab函数求解；3．对结果进⾏分析说明；4．设计程序画出图形，对问题进⾏直观的分析和了解（主要⽤画线函数plot，line）5．写⼀篇建模⼩论⽂。
数学建模实验项⽬三确定肥猪的最佳销售时机⼀、实验⽬的与意义：1、认识微分法的建模过程；2、认识微分⽅程的数值解法。
《数学建模》试题解答要点及部分答案
2002年《数学建模》试题解答要点及部分答案阅卷原则：以假设的合理性、建模的创新性、结果的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准.说明：该套题目分为基本题目和分析题，其中分析题应在仔细分析和深入思考的基础上，发挥自己的创造能力，留下独立思考的痕迹.这里给出的答题要点是教师个人的想法，鼓励同学们的其它正确合理的解答.一.（基本题目）（1）在一个密度为ρ的流质表面下深 h 处的压强P=ρgh （g 是重力加速度），试检验此公式的量纲是否正确？（2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为m 的物体在外力F(t)的作用下，在 t 时刻的位置x(t)满足以下方程：)(22t F kx dtdx r dt xd m =++， 其中r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数，试确定r, k 的量纲.解答（1）[p] =L —1MT —2, 公式量纲正确；（2）[ r]= MT —1, [k]= MT —2.二. （分析题）一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器皿中有100个细菌，每隔5分钟细菌个数就会加倍，请仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌数量.解答 关键语句：“仔细分析实际情况”1．讲义p54的 模型 0,)139.0exp(100≥=t t y 是理想化的结果，不合乎实际情况。
2. 结合实际情况可考虑以下因素：细菌的繁殖、死亡、营养、培养器皿的空间大小等.3．做合理的假设，如：*1 器皿中的营养足够细菌的繁殖需要；*2 细菌个数是连续变化的，细菌的增加理解为自然繁殖个数减去自然死亡个数；*3 培养器皿的空间所限，器皿中存活细菌个数有上限Y M （类似于相对于人类生存的地球）。
4. 对理想化模型进行改进：⎩⎨⎧>≤<=.,;0,)139.0exp(100)(MM M t t Y t t t t y 其中，有M M Y t y =)(。
256注：针对对不同情况的考虑，可做出不同的假设，建立不同的模型.但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件“有100个细菌，每隔5分钟细菌个数加倍”.三．(基本题目) （见概率论教材p41）许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题
数学建模实验项目八狐狸与野兔问题数学建模实验项目八狐狸与野兔问题一、实验目的：1、认识微分方程的建模过程；2、认识微分方程的数值解法。
二、实验要求：1、熟练应用Matlab 的符号求解工具箱求解常微分方程；2、掌握机理分析建立微分方程的方法和步骤；3、提高Matlab 的编程应用技能。
三、实验内容及要求（狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔，设t 时刻它们的数量分别为y(t)和x(t)，已知满足以下微分方程组 0.0010.940.02dy xy y dt dx x xy dt =-=- （1）建立上述微分方程的轨线方程；（2）在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3）建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？四、实验步骤及过程1.建立一个名为“0*级计算第08次作业*******”（********表示自己的学号）的文件夹。
2. 打开Matlab 软件，练习实验指定的内容。
3. 将所得结果保存到文件夹中，并上存到天空教室。
莆田学院期末考试试卷2011 ——2012 学年第 2学期课程名称：数学建模适用年级/专业： 09数学试卷类别开卷（√ ）闭卷（）学历层次本科考试用时《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题正文要求：（1）写清建模分析过程、建立的模型、模型求解及其结果、并对结果给予简单的分析；（2）要求每人独立完成一份；（3）试卷打印格式参照教务处有关规定执行；（4）在下列二题中选做一题。
一、借贷问题某地银行对个人住房25年贷款期限的贷款条件通常为：年利率为0.12，而且是月均等额还款。
小叶夫妇要买房还缺6万元，正在考虑到银行去错6万元。
正在这时，小叶夫妇看到一个借贷公司的针对银行贷款条件的广告，说他们可以在年利率0.12的前提下，帮你提前三年还清借款，但是，（1）每半个月还一次款（2）由于每半个月就要开一张收据，文书工作多了，要求顾客预付三个月的还款。
兔子的数量 建模
数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题姓名1：李坤鹏学号：1020560132姓名2：方扬学号：1020560113姓名3：谭小丁学号：1020560114专业：材料化学班级：10205601指导教师：樊健秋2012年06年08 日摘要本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。
题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量。
假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响），该种群的成长曲线应该为对数型增长。
但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。
由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。
根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10.8156十万只。
关键字：logistic生物模型预测生长规律预测数量一、问题的重述在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。
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狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
在大自然的和谐的坏境中，野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝。
因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己。
设t 时刻它们的数量分别为()y t 和()x t ,已知满足以下微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=xy x dtdx y xy dt dy02.049.0001.0 （1） 分析这两个物种的数量变化关系。
（2） 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？（3） 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？二、模型假设（1） 题目所给数据真实有效，野兔有充分的食物，狐狸只以野兔为食物； （2） 自然状态下，野兔独立生存时的相对增长率为正常数； （3） 自然状态下，狐狸独立生存时的相对增长率为负常数；（4） 野兔由于狐狸的存在使增长率降低，降低的程度与狐狸数量成正比； （5） 狐狸由于野兔为其提供食物使死亡率降低或使之增长，增长的程度与野兔的数量成正比；（6） 人工捕获不会影响野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。
三、定义与符号说明四、问题分析自然状态下，野兔和狐狸两物种存在被捕食与捕食关系，通过假设及各种参数的定义，建立微分方程描述两物种数量随时间变化的Volterra模型。
4.1问题（1）的分析为了直观的反映出两物种的数量变化关系，将题中所给数据和任意取定的初值代入模型中的微分方程组，并用matlab绘制图像，由图可大致得出两物种数量呈周期性变化；为了证明野兔与狐狸数量确实是周期函数，需从模型出发，得到相轨线)y图像为封闭曲线即可得野兔与(xy方程，并用matlab绘制图像，)(x狐狸数量呈周期性变化。
为了较全面说明两物种的数量变化关系，分别取三组不同的具有代表性的初值).200(,,（200500）500,200,200(),4.2问题（2）的分析令模型中两式皆为零即可求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
4.3问题（3）的分析在Volterra模型基础上引入人工捕获系数，野兔的增长率降低，狐狸的死亡率增加，对改进后的模型求得平衡状态，通过平衡状态分析人工捕获对两物种数量的影响。
五、模型的建立与求解5.1模型的建立分别以)(,(t y t x ）表示野兔和狐狸在时刻t 的数量。
假定野兔有充分的食物，而狐狸是以野兔为食物的。
野兔独立生存时，数量)(t x 的增长应服从马尔萨斯模型，但是有狐狸的存在，则被狐狸吃掉是野兔死亡的一个重要原因。
两物种相遇（发生被吃现象）是偶然的，相遇机会与两个群体规模乘积成正比，所以在马尔萨斯模型的基础上增加一项:xy r 1-，即xy r x k dtdx11-= 假定狐狸的出生率与群体规模)(t y 成正比，而真正能活下来的只是那些找到食物的（与野兔相遇部分），所以它的有效出生率与两物种规模成正比。
假定它的自然死亡率也与群体规模y 成正比，即xy r y k dtdy22+-= 所以在没有人类捕捞的情况下，给定野兔和狐狸的初始值)(00，，y x ，野兔与狐狸增长规律性可用常微分方程组描述（Volterra 模型）()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx（1）5.2模型的求解首先将式（1）的两式相除，消去dt 得到()()1122x k r dxdy y k r x -=-+ 这是可分离变量方程2211k r k r ydx dy x y-+-= 两边积分得到()y x 的通解()()2211k r xk r yxeyec --= （2）其中常数c 由初始条件确定。
式（2）的解)(),(t y t x 描述了野兔和狐狸的数量随时间的变化过程，但是得不到)(),(t y t x 的解析解，需要用数值算法求解。
5.2.1问题一的求解将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（1）和式（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=xy y dtdy xy x dtdx001.09.002.04（3）()()c e y e x y x =--002.04001.09.0为了分析野兔和狐狸的数量随时间的变化，任取三组数据)500,200(),200,200(),200,500(分别作为野兔和狐狸数量的初值，用Matlab 编程求得模型的数值解并绘制野兔和狐狸数量随时间变化的图像以及狐狸和野兔的数量变化关系图像，由以上两图得出野兔和狐狸数量呈现周期性变化。
Matlab 程序及得到的数值结果见附录，三组不同初值对应的()()t y t x ,及()x y 的图形分别见图1-甲——图3-乙从以上三图可以看出，不论初始时刻野兔和狐狸数量大小关系如何变化，两物种的数量变化都有如下规律：当狐狸数量增加时，野兔数量开始减少；狐狸数量达到峰值时便开始递减，然后野兔数量回升；野兔数量达到峰值后再次减少。
两种动物的数量都呈现出周期性的变化，各自达到一个峰值就会趋于平衡，但是两个峰值不在同一时刻达到，这符合捕食与被捕食的关系，是捕食与被捕食系统的振荡现象。
5.2.2问题二的求解令式（3）中两式为040.0200.90.0010dxx xy dtdy y xy dt⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加 求得平衡点为()900,200，结合两物种数量变化关系图4-甲知野兔和狐狸的 平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
5.2.3问题三的求解考虑人工捕获，引入人工捕获系数1e 和2e 。
5.2.3.1只捕获野兔设只捕获野兔的捕获系数为1e ，此时野兔的自然增长率由1k 降为11e k -，狐狸的自然死亡率由2k 增为12e k +。
改进后模型为()()111212dxk e x r xy dtdy k e y r xydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （4） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（4）得()()1140.020.90.001dxe x xy dtdy e y xydt⎧=--⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （5） 令式（5）中两式为0，得()()1140.0200.90.0010dxe x xy dtdy e y xy dt⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩ 求得平衡点11110.990010000.0014200500.02e x e e y e +⎧==+⎪⎪⎨-⎪==-⎪⎩或 00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 因10e >，所以捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加。
即Volterra原理：为了减少强者，只需捕获弱者 5.2.3.2只捕获狐狸设只捕获狐狸的捕获系数为2e ，此时野兔的自然增长率由1k 增为12k e +，狐狸的自然死亡率由2k 增为22k e +。
改进后模型为()()121222dxk e x r xy dtdy k e y r xydt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （6） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（6）得()()2240.020.90.001dxe x xy dtdy e y xydt⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ （7） 令式（7）中两式为0，得()()2240.0200.90.0010dxe x xy dtdy e xy dt⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩ 求得平衡点22220.990010000.001420050.02e x e e y e +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==+⎪⎩或 00x y =⎧⎨=⎩（舍去） 因20e >，所以捕获野兔时，野兔狐狸数量皆增加。
六、模型的评价与推广6.1模型的评价（1）Volterra 模型给出了自然界存在捕食与被捕食关系的两物种数量变化的普遍模型，使其易于推广，有更实用的操作性；（2）利用MATLAB 软件编程绘图，直观清晰地反映狐狸与野兔两物种的数量变化关系；（3）人工捕获时，模型中假设不会影响两物种相遇的机会，没有充分考虑野兔对狐狸的供养能力和狐狸对野兔的捕获能力。
6.2模型的推广6.2.1推广一假设人工捕获使两物种相遇的机会变小，且改变值为ε，即方程中的系数1r ，2r 均变小了ε，此时只捕获野兔的模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-++-=])()[(])()([111212y r e k x dtdx x r e k y dt dyεε（8） 将题目所给数据001.0,9.0,02.0,42211====r k r k 代入式（8）求的平衡状态为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=εε02.04001.09.011e y e x 狐狸的数量与野兔的数量的比例：)02.0)(9.0()001.0)(4(11εεα-+--==e e xy在式（4）中，不同捕获系数1e 对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表1.数量00 000 100 200 300 400 500 600 700 00 900 狐狸的数量200195190185180175170165160155150α.222.195.172.154.138.125.113.103.0940.08610.0791e对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图5由图5知，考虑人工捕获对两物种相遇的影响后，只捕获野兔时，两物种平衡状态时的数量比变小，狐狸数量比野兔增加的快同理，只捕获狐狸的模型改变后求得的平衡状态为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=εε02.04001.09.022eyex狐狸的数量与野兔的数量的比例：)9.0)(02.0()001.0)(4(22eexy+--+==εεα在式（5）中，不同捕获系数2e对应狐狸和野兔平衡状态的数量及狐狸与野兔数量的比例α如表2.1e0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 野兔的数量900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 狐狸的数量200205210215220225230235240245250α0.2220.2050.1900.1790.1690.1600.1530.1460.1410.1360.131不同2e 对应两物种平衡状态时，不考虑与考虑时，狐狸的数量与野兔的数量的比例图6。