数学建模 野兔生长问题
兔子繁殖数学建模斐波那契原型
兔子繁殖数学建模斐波那契原型今天咱们来讲一个特别有趣的关于兔子繁殖的事儿。
在一个美丽的大草地里，住着一对可爱的小兔子。
这对小兔子是刚刚出生的，它们呀，还没有长大呢。
这个草地就像一个大大的家，有好多新鲜的青草可以吃。
过了一个月呀，这对小兔子长大了一些，不过还不能生小兔子呢。
又过了一个月，这对长大了的兔子就变成了大兔子，这个时候它们就有能力生小兔子啦。
然后呢，这对大兔子就生出了一对小兔子。
现在草地上就有原来的那对大兔子和新出生的一对小兔子啦，一共是两对兔子。
再过一个月呢，新出生的小兔子还没长大，可是原来的那对大兔子又生了一对小兔子。
这个时候呀，最早出生的那对小兔子长大了。
现在草地上就有最早的那对大兔子，它们生的两对小兔子，还有新长大的那对兔子，一共是三对兔子啦。
又过了一个月呢，最早的那对大兔子又生了一对小兔子，之前长大的那对兔子也生了一对小兔子，新出生的小兔子还没长大。
这样算下来呀，草地上就有最早的那对大兔子，它们生的三对小兔子，之前长大的兔子生的一对小兔子，还有两对新长大的兔子，一共是五对兔子了。
咱们这样一个月一个月地数下去，就会发现兔子的数量是这样变化的：1、1、2、3、5……这个数列就是按照一种很有趣的规律在增长呢。
就像我们数自己的手指头一样，一个一个很清楚。
这个规律就和一个很有名的数学东西有关，它叫斐波那契数列。
斐波那契发现了这个规律，就像他发现了一个藏在兔子世界里的秘密。
想象一下，如果这个草地超级大，兔子可以一直这样繁殖下去，那兔子的数量就会按照这个规律变得越来越多。
比如说，如果我们再往后算几个月，按照这个规律，下一个月兔子的对数就是前面两个月兔子对数的和。
像前面是3对和5对，那下一个月就会有8对兔子啦。
这个兔子繁殖的故事就像一个魔法一样，让我们看到了数学在生活里的影子。
我们可以把这个当成一个好玩的游戏，每个月去数一数兔子的数量，然后发现这个神奇的规律。
这样我们就会发现数学不是那么枯燥，而是像这个兔子的故事一样，充满了乐趣。
兔子问题_精品文档
兔子问题简介兔子作为一种常见的小动物，其繁殖能力极强，因此兔子问题也成为了数学领域中的经典问题之一。
该问题涉及到兔子的繁殖规律，以及在特定的时间段内兔子的数量变化情况。
本文将从数学的角度探讨兔子问题，并分析其数学模型与解法。
数学模型假设一对刚出生的兔子在一个月后成熟，并从第二个月开始每个月都可以繁殖一对新兔子。
根据这个规律，我们可以建立以下递推关系式： - 第一个月，兔子的数量为1对； - 第二个月，兔子的数量为1对； - 第三个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和； - 第四个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 第五个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 依此类推…以此得到兔子数量的递推关系：Fn = Fn-1 + Fn-2解法根据兔子问题中的递推关系，我们可以通过递归或迭代的方式求得兔子在特定时间段内的数量。
递归解法递归解法是一种简单直观的方法，基于递归的思想。
递归函数可以通过调用自身来求解问题。
对于兔子问题，我们可以定义一个函数来递归地计算兔子数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)通过调用fibonacci(n)函数，可以得到第n个月兔子的数量。
迭代解法迭代解法通过循环的方式来依次计算兔子的数量，相较于递归解法，迭代解法更加高效。
我们可以使用一个循环来计算兔子的数量，并利用两个变量来记录前两个月兔子的数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:a, b =0, 1for _ in range(2, n+1):a, b = b, a+breturn b通过调用fibonacci(n)函数，同样可以得到第n个月兔子的数量。
离散生物模型兔子生长模型模型假设与模型建立假设第n年的生物
离散生物模型：兔子生长模型：模型假设与模型建立：假设第n 年的生物数量为n P ，每过一年生物数量是原来的a 倍，则有：n n aP P =+1，这是最简单的一种一阶差分模型；解为 0P a P n n = . 如果进一步分析，由于受到环境资源的限制, 生物的总数是有限的，故增长倍率应改为：)/1(1K P aP P n n n -=+, 其中 K > 0 是常数.当 Pn ≥K, 时， 生物将灭绝。
令 K P x n n /=， 可化成如下典型的logistic 模型：)(:)1(1n n n n x f x ax x =-=+, 当 ]4,0(∈a 时 ]1,0[∈n x 时, ]1,0[1∈+n x这是一个非线性差分方程. a 称为控制参数. 方程没有解析的解 . 我们来看它的不动点(即)(x f x =的点)的稳定性.容易算出它有两个不动点: x ' = 0和x '' =1－1/a . 我们将看到，随着a 的值的不同，它们有着完全不同的稳定性质.兹分几种情况加以讨论.对于任何 a>0, x '=0 是不动点 , 当0 < a ≤1 时 , 对于任何]1,0(0∈x , 都有 n n x x <≤+10, 所以 0lim =∞→n n x , 即 0 是个稳定的不动点. 这说明这生物最终将绝灭. 当 a >1 时, 因为1|)0(|>='a f , 所以x '= 0是不稳定不动点. 而且只要开始时 x 0 在区间 (0,1) 中, 以后的点也在区间 (0,1) 中，即生物永远不会绝灭.再考虑另一个不动点x ''=1－1/a ，.（1） 因为 |2||)(|a x f -=''', 所以当 1<a <3时 x '' 是稳定不动点. a >3 时x '' 是不稳定不动点.而且从 )1)((1n n n ax x x x x -''-=''-+可看出, 当 1< a ≤ 2时 , x x n ''→是单调的; 而 2 < a ≤3 时 x x n ''→在x ''左右两边振荡地趋向x ''. 所以 a = 3时, x '' 也是稳定不动点.(3) 设3 < a <16+≈3.449898743….这时已知x' , x'' 都是不稳定不动点，因此从它们近傍出发的数经迭代后都离它们远去，不再回到x ' 或x ''. 但进一步的计算发现，迭代值并未离得很远，而是在x ''两旁交替地趋向两个特殊的数p 与q ! 这两个数分别是函数f (x )的（周期为二的）周期点. 即满足 n n x x =+2, 但 n n x x ≠+1的点. 解方程x x ax x x a =---)]1(1)[1(2.已知它有根0, 及1－1/a (即不动点), 可将它化为一个二次方程, 实际上， 利用MATLAB 可以很快求出， 命令如下syms a x pp=a^2*x*(1-x)*(1-a*x*(1-x))-x ;factor(p)就得出 因子-x(a*x+1-a)* (a^2*x^2-a*(1+a)*x+(1+a))从而得出不动点以外的两个正根p 与q = aa a a 2)3)(1()1(-+±+且p < x'' < q. 当a从3开始增大时, 考察2周期点的表达式，可以看出这两个2周期点是从不动点x''分离出来的. (不动点可以看成1周期点)换句话说，在现在的a的范围下，不但有两个不动点x' 及x''，而且还有两个稳定的2周期点p, q. 这种情形称之为周期倍化现象. 周期点的稳定性可以从))f在f((x周期点的导数a2(1-2x)[1-2ax(1-x)] 的绝对值小于 1 得知.（4）1+6< a < 3.544090359….有人仔细算出了这种情形的迭代过程，我们只写出结论如下.这时从二个2周期点各分出1对周期点，得出四个周期点 (周期为4).(5) 当a再变大时，函数f(x)的周期点的个数（和周期）也不断地增加，例如当3.564407266…> a >3.544090359时将有八个周期点（周期为8），当3.568759420…>a >3.564407266时，将出现十六个周期点（周期为16），等等. 随着a的继续增大, 不断产生周期倍化现象. 最后，当a趋向一个特殊的数3.569945672… 时，将不断地产生倍周期点，而且周期趋向无穷大！而当a大于这个特殊的数3.569945672… 时, 时间序列像是分布在区间[0,1]上的随机数, 这种现象称为混沌现象.模型2 兔子繁殖问题已知一对兔子每个月生一对兔子，而每1对兔子出生后第二个月开始生兔子，问一对兔子一年后共有几对兔子？解：记开始时兔子数是F0=1，第1个月初的兔子数是F1=1，第二个月初的兔子数是F2=1，设第n个月初的兔子数是F n, 则F n - F n-1 = F n-2, , 是一个差分方程. 表示新出生的兔子数是二个月前的兔子数. 其中F0=1， F1=1称为初始条件，用来确定差分方程的解. {F n}就是以著名的意大利数学家Fibonacci提出并解决的数列. 1，1，2，3，5，8，13.,…称为Fibonacci数列。
数学建模狐狸野兔问题Word版
狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用 Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型 Matlab 软件 解析法 周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
西农 建模实验六
实验六 机理模型与平衡原理实验目的如果对所研究的问题了解的比较深入，知道产生现象的内在的机理，那么依据机理建模，则模型具有更好的可靠性和广泛性。
不考虑随机因素，假设每一时刻是确定的如果对系统状态的观测和描述只在离散的时间点上，则构成差分方程模型；如果考虑系统随时间连续变化，则是微分方程模型。
本节主要以这两类方程为例，介绍用MATLAB 软件求解机理模型的基本方法。
差分方程模型一、实验题目由一对兔子开始，一年可以繁殖出多少只兔子？如果一对兔子每个月可以生一对小兔子，兔子在出生两个月后就具有繁殖能力，由一对刚出生一个月的兔子开始，一年内兔子种群数量如何变化。
求这个种群的稳定分布和固有增长率。
二、实验内容解 假设（a ）兔子每经过一个月底就增加一个月龄； （b ）月龄大于等于2的兔子都具有繁殖能力；（c ）具有繁殖能力的兔子每一个月一定生一对兔子； （d ）兔子不离开群体（不考虑死亡）记第n 个月初的幼兔（一月龄兔）数量为a 0(n ）,成兔（月龄大于等于2）数量为a 1(n ），则兔子总数为a(n)= a 0(n ）+a 1(n ）,平衡关系为：⎩⎨⎧+==上月初幼兔数量上月初成兔数量本月初成兔数量上月初成兔数量本月初幼兔数量 建立模型：⎪⎩⎪⎨⎧==-+-=-=0)1(,1)1()1()1()()1()(1010110a a n a n a n a n a n a 这个一阶差分方程的矩阵表达式为)1()(-=n Aa n a其中⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(10n a n a n a ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1110A利用迭代方法求数值解，也就是按时间步长法仿真种群增长的动态过程，模拟幼兔和成兔占整体比例随时间的变化。
>> a=[0 1;1 1];x=[1 0]';for k=2:12y=a*x(:,k-1);x=[x y];endzz=repmat(sum(x),[2 1]);z=x./zz;t=1:12;>> plot(t,x(1,:),'r^',t,x(2,:),'b^'),grid;>> plot(t,z(1,:),'r^',t,z(2,:),'b^'),grid;由数值模拟结果可见，兔子数量递增，但是幼兔和成兔在种群中所占比例很快会趋于一个极限。
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
数学建模野兔生长问题
野兔生长问题摘要根据题II,野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。
可由题口条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic （逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T二10时，野兔数量为9. 84194 （十万）只。
该结果比较符合客观规律（利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等：也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也山此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字:Logistic模型生态学MATLAB程序问题重述野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长,T=3, 6. 90568； T=4, 6. 00512； T=5, 5.56495； T二6, 5.32807。
数学建模论文野兔生长问题
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
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数学建模一周论文野兔生长问题姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：班级：指导教师：2009年1月4日摘要：通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。
分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。
在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。
因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。
模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。
在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。
在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。
于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。
我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。
在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用Matlab绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。
在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。
野兔生长模型1、问题重述这是一个关于野兔生长状态的模型。
我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。
通过发现规律，我们可以更有效的了解一个种群发展变化的趋势、种群对自然世界的依赖程度和种群自身的成长结构，对人类了解并掌握自然规律，利用与控制生物资源有较大意义。
人类自身作为地球上的一个物种，也在不断的探求自己的命运。
由于地球上的资源与空间有限，人类自身的种群数量（即通常意义上的人口）就变得很重要了。
事实上，早在 18 世纪末，马尔萨斯(Tho m as M althus,1766—1834)就发表了著作《人口原理》，从此激发了人们研究人口增长趋势的兴趣。
马尔萨斯在他的这本书里提出了人口按指数增长的模型，并断言人口数量最终将超出食物所能提供的容纳能力。
虽然马尔萨斯模型的假设忽略了人口增长中的一些重要因素，但是这个模型作为以后改进模型的基础是很有价值的。
从这个意义上说，我们去探索野生动物的生长规律，正如同探索人类自身的种群数量，即人口增长规律一样，显得很有价值。
我们得到的数据是某地区野兔的数量在连续十年中的统计结果，如下表：时间：年数量：十万我们要做的是通过分析所给数据，得出野兔生长的规律，即想办法用一个关于时间的函数来表达野兔的数量。
并预测 T=10 时野兔的数量。
2、问题的分析增长百分比/ 131.97% 94.36% 53.17%-13.04%-7.33% -4.26%41.91%18.23%7.19%我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为 b，类似的兔子死亡率的百分比为 c。
换句话，新的兔子数 P(t+Δt)是原有兔子数 P(t)加上在Δt 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即P(t+Δt)=P(t)+bP(t)Δt-cP(t)Δt或这样我们把问题化归到如何确定 k。
一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。
我们考虑（式 2-1）中度量增长率的比例因子 k 是兔子数的函数而不是常数。
（否则当 k 是常数时我们知道兔子数将成指数增长，这是令人难以置信、不切实际的。
）考虑到在一定区域内，兔子的生存空间是有限的，食物是有限的，且存在种间竞争与种内竞争，结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值，是有限的。
我们假设这个饱和值是M，则合理的猜测是随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值M 时，比率 k 逐渐减小。
关于 k 的一个简单情形是线性的子模型k=r(M-P), r>0其中r 是常数，代入(式2-1)得到(式2-2)P(t0)=p0求解这个微分方程我们得到：这个模型最早是由丹麦生物数学家 Pierre-Francois Verhulst(1804--1849) 提出的，称为 logistic 增长模型。
在下面的模型求解部分，我们将大量使用该 函数来模拟野兔生长状态。
当然(式 2-3)的得出依赖着假设 k 是一个简单的线性子模型，我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。
3、模型的假设对模型的假设，我们在问题的分析中已经提到，为严谨在此完整列出。
野生兔的生活空间是有限的，食物是有限的，存在着种间竞 争与种内竞争。
因此野生兔的数量将趋于一个稳定的饱和值。
假设除了 T=4、T=5 这两年外，野生兔的生长条件（包括天敌，气侯食物，空间，雌雄比例等）是近似的。
假设统计数据是可靠的。
度量野兔数量增长率的比例因子 k 是线性的子模型。
4、符号说明在问题分析部分已出现并说明了一些符号，为严谨这里完整列出。
M: 野兔种群数量的饱和值 P(t)或 P: 野兔种群数量随时间的函数 k: 增长率比例因子pi ： 时间为 T=i 时所对应的野兔数量统计值C 1,C 2 ,C ： 积分得到的常数 T ，t ： 时间变量 m ： 表示斜率C 1 C 2 C 3 M 1 M 2 M 35、模型的求解对种群饱和值的估计 ：为了求出模型的解函数（式 2-2），我们是需要估计出种群数量的饱和值 M 与另一个参数 r 。
我们有下面的分析： 由（式 2-2）可以得到：⎪ =r (M - p )PdPdt (t ≤t ≤t )P (t )=p MerM (t -t )M - p + p erM (t -t )（式 2-3）P ,P ,P ,P ,P ,P,P ,P,P ,PP ,P,P ,P,P ,PP(M-P) （式 5-1）通过初等运算（式 5-1）改写为dP/P+dP/(M-pP)=rMdt(式5-2）对上式两边积分，得到：lnP-ln(M -P)=r M t+C （C 为常数）(式5-2）由（式5-3）知那么如果我们事先估计并确定 M ，再在图形中画出若干离散的点其中 t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，就可以利用 Matlab 的直线拟合，求出斜率 m=rM ，从而确定 r 。
M 估计为10（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线时间（年）图 5-1如图 5-1 所示，图形分为两段，第一段（第 0 年到第 3 年）和第二段（第 6 年到第 9 年）确实近似于直线。
并且得到：两条的直线斜率都为 m=1，r=0.1M 估计值为9.9（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线 函数曲线在0-3年的分支，参数为C1ln = rMt+ C -3 2 关于 t 的函数图形是一条直线，斜率为 m =r M 。
（2） M =9.9（十万），ln =rMt+C 图形：时间（年）图 5-2斜率 m =1.007 ，r=0.10172（第 0 年到第 3 年）； 斜率 m =1.0812，r=0.10921（第 6 年到第 9 年） （3） M =10.1（十万），M 估计值为10.1（十万）时，ln(p/(M-p))=Mrt+C 的函数曲线函数曲线在0-3年的分支,参数为C1 函数曲线在6-9年的分支,参数为C2斜率 m =0.99326， r=0.0983 ；斜率 m =0.93706， r=0.09278。
接下来我们让 M 分别取这三个值时，利用式（2-2）估计出的不同年份的野兔数 量和实际统计数据之间的偏差情况。
用（式 2-2）对各年份野兔数量作出计算及比较（1） M=10（十万）时：式（2-2）在从第 0 年到第 3 年就可以变为：t函数曲线在6-9年的分支，参数为C2野兔种群饱和值为10（十万）的对比曲线0-4年logistic函数曲线（第零年为初值）图 5-4（2）M=9.9（十万）时，用类似于（1）的方法，我们得到表格：表 5-2从表格中可以看出：第十年的野兔数量为 978882 只。
同样，作出此时的对比图形：野兔的种群饱和值为9.9（十万）的曲线对比（3） M=10.1（十万），用类似于（1）的方法，得到的表格：5-2 时间 （年） 统计得到的兔子数 量（十万） 通过函数计算得到的兔子数量 （十万） 百分误差 0 1.00000 1.00000 0.00000% 1 2.31969 2.32870 0.38800% 2 4.50853 4.52522 0.37000% 3 6.90568 6.90426 -0.02100% 4 6.00512 8.54547 42.30300% 5 5.56495 9.35811 68.16200% 6 5.32807 5.32807 0.00000% 7 7.56101 7.66817 1.41700% 8 8.93920 9.01047 0.79700% 9 9.58170 9.57924 -0.02600%10 9.78882时间 （年） 统计得到的兔子数 量（十万） 通过函数计算得到的兔子数量（十万） 百分误差0 1.00000 1.00000 0.00000% 1 2.31969 2.31103 -0.37300% 2 4.50853 4.49235 -0.33900% 3 6.90568 6.90685 0.01700% 4 6.00512 8.62344 43.60100% 5 5.56495 9.49769 70.67000% 6 5.32807 5.32807 0.00000% 7 7.56101 7.47658 -1.11700% 8 8.93920 8.87936 -0.67000% 9 9.58170 9.58384 0.02200% 10 9.89129从表格中看出：此时，第十年的野兔数量为 989129 只这个时候的对比图形：图（5-5）模型求解的结论从图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）中可以看出，除了第 4 年和第 5 年之外，函数曲线和原始数据的连线吻合的非常好，因此，我们认为野兔的生长规律可以用函数（式2-2）来模拟。
同时得到，第四年和第五年的野兔增长出现异常现象。
根据图形（图 5-4、图 5-5、图 5-6）的对比和表格（表 5-1、表 5-2、表5-3）中数据的对比，以及最后表格 5-4 的结果，可以得出：取野兔种群的饱和值M 为 10（十万）时，经计算得到的数据与统计数据之间的百分误差最小，因此，我们根据M 为 10（十万）这一情形对第十年野兔的数量作出预测，得到预测值为 984194 只。