数学建模野兔生长问题
数学建模狐狸野兔问题
狐狸野兔问题摘要：封闭自然环境中的狐狸和野兔存在捕食与被捕食关系，本题旨在通过对自然状态下两物种数量变化规律的分析，推测加入人类活动（即人工捕获）时两物种数量的变化，进而得出人类活动对自然物种的影响，为人类活动提供参考，使其在自然允许的范围内，促进人与自然和谐相处。
对于问题一，首先建立微分方程，描述两物种数量随时间变化的Volterra 模型()0,0,0,021212211>>>>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=r r k k xyr y k dtdy xy r x k dtdx并用解析法求得狐狸与野兔数量的关系 ()()2211k r xk r yxeyec --=为直观反映两物种数量随时间的变化规律，选取三组有代表性的初值，利用Matlab 软件绘图。
在狐狸和野兔随时间的变化图像中，大致得出其数量呈周期变化，为进一步检验周期性，再用Matlab 绘图做出狐狸与野兔数量的关系图，得到封闭曲线，因此分析结果为：狐狸和野兔的数量都呈现周期性的变化，但不在同一时刻达到峰值。
对于问题二，利用数值解法，令模型中两式皆为0，即求得狐狸和野兔数量的平衡状态。
且由问题一中狐狸与野兔数量的关系图知野兔和狐狸的平衡量恰为他们在一个周期内的平均值。
对于问题三，在Volterra 模型基础上引入人工捕获系数。
只捕获野兔时，野兔的自然增长率降低，狐狸自然死亡率增加，改进后模型同问题二处理方式一样，求得平衡状态，得出结论：捕获野兔时，狐狸数量减少，野兔数量反而增加，即Volterra 原理：为了减少强者，只需捕获弱者。
只捕获狐狸时，分析方法与只捕获野兔时相同，并得出野兔狐狸数量皆增加的结论。
问题三为自然界人类捕获生物提供了新的思路，即可以在正常允许范围内，为了达到减少某一种群数量的目的，相应的捕获其食饵，或适度地捕获捕食者使捕食者与被捕食者的数量都有所增加。
关键词：Volterra 模型Matlab 软件解析法周期性一、问题重述在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔。
兔子问题_精品文档
兔子问题简介兔子作为一种常见的小动物，其繁殖能力极强，因此兔子问题也成为了数学领域中的经典问题之一。
该问题涉及到兔子的繁殖规律，以及在特定的时间段内兔子的数量变化情况。
本文将从数学的角度探讨兔子问题，并分析其数学模型与解法。
数学模型假设一对刚出生的兔子在一个月后成熟，并从第二个月开始每个月都可以繁殖一对新兔子。
根据这个规律，我们可以建立以下递推关系式： - 第一个月，兔子的数量为1对； - 第二个月，兔子的数量为1对； - 第三个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和； - 第四个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 第五个月，兔子的数量为前两个月兔子数量之和再加上前一个月兔子的数量； - 依此类推…以此得到兔子数量的递推关系：Fn = Fn-1 + Fn-2解法根据兔子问题中的递推关系，我们可以通过递归或迭代的方式求得兔子在特定时间段内的数量。
递归解法递归解法是一种简单直观的方法，基于递归的思想。
递归函数可以通过调用自身来求解问题。
对于兔子问题，我们可以定义一个函数来递归地计算兔子数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)通过调用fibonacci(n)函数，可以得到第n个月兔子的数量。
迭代解法迭代解法通过循环的方式来依次计算兔子的数量，相较于递归解法，迭代解法更加高效。
我们可以使用一个循环来计算兔子的数量，并利用两个变量来记录前两个月兔子的数量。
def fibonacci(n):if n ==0:return0elif n ==1:return1else:a, b =0, 1for _ in range(2, n+1):a, b = b, a+breturn b通过调用fibonacci(n)函数，同样可以得到第n个月兔子的数量。
数学建模--野兔
数学建模--野兔数学建模2辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期2014-2015学年1学期姓名高显利李浩申李金胜专业工程管理班级14-工中职一班课程名称数学建模论文题目航空机票超订票问题评定标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语:任课教师林清水时间2015年11月15日备注摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
关键词种群繁殖野兔数学建模稳定收获异常现象 Logistic模型生态学 MATLAB程序根据题目：在某地区野兔数量在连续十年统计数量(单位十万)如下：分析该数据，得出野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。
Logistic 模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
实习目的学会用logistic模型来表达,用logistic模型来表达增长性问题。
问题重述1、兔子的自然死亡。
2、兔子天敌的种群变化。
3、各种疾病的蔓延。
4、人类的捕杀与破坏问题剖析野兔生长问题。
野兔在自然条件不变下，野兔的种群应该保持不变。
基于logistic数学模型的种群增长规律
B ：达到最大捕食系数时的时间； N ：环境所能供养的最大野兔数目； N0 ：初始野兔的数量；
e (t ) ：相对捕食系数； Q (t ) ： t 时刻野兔的实际数量； X (t ) ：在不考虑捕食情况下， t 时刻野兔的数目。
5．模型的建立与求解
1.在不考虑被捕食，也不考虑种内竞争（即生存竞争）的情况下对野兔增长模型的分析[1]： 在一段时间内，野兔数目变化的情况可表示为：
（4）
图 5-3 野兔增长曲线 现在对模型的正确性进行分析：
此模型较好的反映了现实中的情况，它不仅对野兔的增长有一定限制，而且达到此限制， 即野兔数量在达到自然所能供养的最大野兔数目（饱和值 N）之后，就会以此为轴在一定范 围内呈现上下波动的波浪形式。此模型很好地解决了第二个模型所不能解决的问题，换言之， 符合了生物学的观点，野兔的增长是循环往复的波浪形式。 4. 对以上模型代入数据求值
由此式可见，当 t
→
+∞
时，
X
(t)
→
r r
。综上所述：不论初值
X0
如何，野兔群体的
总数在 t → +∞ 时，恒趋于定值 r ，此值称为饱和值。饱和值可以认为是环境所能供养的最 r
大野兔数目，设之为 N。则有：
N= r r
再对该结果进行分析，当 0
<
X0
<
r r
时（这是有实际意义的情况），r
−
rX 0
2r
dt 2
曲线。上述函数 X = X (t ) 的形状呈 S 型，如图 5-2 所示：
5
图5-2 种群的S型增长曲线
此S型增长曲线与Logistic模型是等同的，是种群在有限环境条件下连续增长的一种最简
几类不同增长的函数模型兔子
x
……
…0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
从每天的回报量来看： 下面利第每用图15~~象48天 天从整， ，体方 方上案案把一二握最最不多多同：：函数模型的y=增0.4长×2x-1
y 第9天以后，方案三最多；
140
120
有人认为投资1~4天选
100
择方案一；5~8天选择
方案二；9天以后选择
80
方案三？
60
logax<xn<ax
几种常见函数的增长情况：
常数函数 一次函数 没有增长 直线上升 解决实际问题的步骤：
指数函数 对数函数 指数爆炸 “慢速”增长
实际问题
实际问题的解
还原说明
抽象概括 读懂问题
数学问题
演算 推理
数学问题的解
如果等式1告诉我们，积跬步以致千里，积怠惰以致深渊。
那么等式2则告诉我们，只比你努力一点的人，其实已经甩你太远 。
例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供 你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。 请问，你会选择哪种投资方案呢？
分析：1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益 还是累计回报效益？
几种常见函数的增长情况：
增长量为0
没有增长
增长量相同
直线上升
增长量迅速增加
指数爆炸
常数函数 一次函数 指数型函数
例某2 公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激 励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售 利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位： 万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过 利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1， ，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
数学建模野兔生长问题
野兔生长问题摘要根据题II,野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。
可由题口条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic （逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T二10时，野兔数量为9. 84194 （十万）只。
该结果比较符合客观规律（利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等：也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也山此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字:Logistic模型生态学MATLAB程序问题重述野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长,T=3, 6. 90568； T=4, 6. 00512； T=5, 5.56495； T二6, 5.32807。
数学建模论文野兔生长问题
野兔生长问题摘要本文根据已知的野兔连续十年的统计情况，探讨野兔的合理的存活率并推测当前的发展趋势，针对不同情况给出方法推算出野兔数量的走向的目的。
首先，充分利用给出的前两年来野兔的数量变化，分析近两年来的野兔群落的情况，建立一个线性方程组的数学模型，通过求解方程组得出不同年份野兔的数量的数学关系，并且求出了平均增长率为：1.718%；所以通过一些比例之间的关系得到这个野兔群落的T＝10的数量（见表1）。
然后，建立一个种群增长的差分方程模型，求出的野兔生长规律。
求解当前野兔对应的Leslie矩阵的特征根，发现该特征根大于1，根据Leslie矩阵的稳定性理论知道：如果不进行避孕注射该野兔种群将无限增长（如果环境允许）；据此，利用Leslie矩阵稳定的充要条件求出应该保持多大的繁殖率才能使种群保持稳定，求解的主要思路是：特征根取为1、把繁殖率当成未知数，将此时的各年龄段的存活率代入方程⑥即可。
最后，只需将野兔的存活率代入那个以繁殖率为未知数的方程（方程⑥），求出在哪些年内野兔的增长有异常现象，。
考虑到求解的数据比较多，采取计算机模拟的方法来确定移走野兔后所需要进行避孕的母兔头数为了检验计算机模拟的正确性，用理论去验证。
问题重述位于某国的国家公园中栖息着近10000头野兔。
管理者要求有一个健康自由的环境以便观察这个10000头野兔的数量变化情况。
管理者逐年统计了野兔的数量，发现在过去的10年中，野兔的生长变化并不稳定，呈现波浪式起伏，根据这些信息我们需要解决以下问题：1. 探讨年龄在1岁到10岁之间的野兔的合理的存活率的模型，推测这个野兔群落的当前的年龄结构。
2. 知道哪些环境和内部因素对野兔生长数量的影响，并测算出各个影响的程度如何。
3. 探求偶然突发事件对野兔生长数量的巨大影响和它的规律性。
4. 根据野兔的生长变化，对野兔的生长特点进行分析。
问题假设1、假设野兔的性别比近似认为1：1，并且采用措施维持这个性别比；2、假设母兔可以怀孕的年龄为1岁—6岁、最高年龄为10岁，10岁的死亡率为100%，并且6—10岁的野兔的只数呈线性递减；3、假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；4、假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大5、假设0岁野兔能够活到1岁的比例为75%；6、假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
数学建模案例分析2生态系统--差分方程方法建模.
§2生态系统一、一阶常系数线性差分方程其通解是对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解。
的算法是待定系数法。
（1）次多项式（2）指数函数二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。
开始时共有野兔只，我们来研究其数目随时间变化的规律。
假设第年野兔的数目用表示。
记第0年的野兔数为。
（1）先作如下的假设：下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比，且比例系数是一个常数，记为。
这种假设是很合理的，因为在野兔的食物——青草非常充足的条件下，一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比，而成年母兔数又和野兔总数成正比，因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。
另一方面，一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。
这样，第年野兔的净增加数（出生数减去死亡数）和上一年野兔的数目成正比，即可以列出方程：移项整理后得到方程（1）这里。
这是一阶常系数齐次线性差分方程。
可以计算出第年的野兔总数为。
这个描述野兔数目的模型是否合理呢？假设，，计算对应的值列表如下：0 1 2 3 4 8 10 15 20 50100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 576 83 668 20(亿这是一个按指数增长的量，由表中数据我们发现，50年后野兔的总数为20亿！也许有人会认为太大，但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说不应该算太大。
问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来？其实，这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。
于是我们要改进模型。
（2）进一步的模型设想小荒岛上的青草最多可以养活只野兔。
是自然资源所能承担的野兔的最大容量。
我们修改关于野兔数目的假设如下：下一年野兔的数目和上一年的数目成正比，比例数，即与上一年的野兔数目有关。
这样我们得到方程（2）我们先来看看假设的合理性。
方程（2）等价于（3）方程左端是前后两年野兔数目的比值。
当与之差是一个较大的数时，说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大，下一年的野兔总数可以有一个较大的增长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
野兔生长问题
摘要
根据题目，野兔生长属自然范畴，若在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的，从著名的斐波纳契数列解决兔子生长问题也可以看出，兔子的生长，呈递增的状态。
可由题目条件可知，野兔生长并不是处于理想的情况下的，中间有递减的情况，考虑到自然的各种原因，诸如，天敌的捕杀，自然灾害，疾病，生存地的减少等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型拟和多项式拟合来模。
Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。
它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
用多项式拟合可以大致模拟预测未来的兔子数量。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。
通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。
描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序
问题重述
野兔生长问题。
首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。
我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。
现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。
第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。
我们探讨了其中的因素：
（1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。
（1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。
（2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。
（3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。
（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟
模型假设
上述，野兔生长问题，我们假设
（1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。
（2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
（3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。
（4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；
那它是可以用Logistic模型来模拟的。
分析与建立模型
对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。
考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。
不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
第一单调增区间
第一单调减区间
第二单调增区间
模型求解
对于logistic连续模型，设微分方程为
)1(d d bx ax t
x -=，0)0(x x =, )0,/1,0(00>≠x b x （1） 其中参数a ，b 需要通过拟合得到。
（1） 的解为
)exp(11)(0at b x b t x -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=. （2） 设已知连续三年的数据)(),(),(321t x t x t x ，其中01223>=-=-T t t t t ，则由（2）得方程组
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+310
210
1101)2exp(11)exp(11)exp(1x aT at b x b x aT at b x b x at b x b (3) 这三个方程中有三个未知量0,,x b a 可以解出a,b 如下: 将（3）中第一式代入第
二、三式消去x 0， 得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b x aT b x b x aT b x 31
211)2exp(11)exp(1 (4) 消去a 后得b 满足的方程
2
231111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b x b x b x (5) 解得
)
2()(31213223122x x x x x x x x x x b -+-=. (6) 代入(4) 的第一式得a 满足的方程
T
x x x x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(ln 231123 (3) 求参数a,b 的MATLAB 程序
function [a,b, q]=hare(p,T)
% 输入单调的连续三年数量p 和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b 和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/(p(1)*(p(3)-p(2))));
b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2); q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T)）;
在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a ，b 值
0.99999629543280 0.09999899065418
1.00000189673056 0.10000006995945
在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a ，b 值
0.49999951470301 0.20000005321601
0.49998396474656 0.20000085565547
在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a ，b 值
1.00000508717411 0.10000005796845 1.00000975640180 0.10000014562299
当取a, b 为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194（十万）.
结论是：
在 T=0 到T=3 之间增长规律为logistic 模型：)1.01(d d x x t
x -=. 在 T=3 到T=6 之间增长规律有异常情况, 但仍为logistic 模型；：)2.01(5.0d d x x t
x -=. 在 T=6 到T=9 之间增长规律恢复为logistic 模型：)1.01(d d x x t
x -=. 在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只.
模型检验。