《三角函数模型的简单应用》练习
1.6三角函数模型的简单应用
y 2 sin(2 x / 3)
例5. 如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近 y y A sin( x ) b 似满足函数 (1)求这一天6~14时的最大温差; 30 (2)写出这段曲线的函数解析式. 20
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是200C. (2)从图中可以看出,从6~14时的图象是 6 0 10 14 x 函数 y A sin( x ) b的半个周期 1 1 的图象， 所以，A 30 10 10, b 30 10 20 2 2 3 1 2 14 6 . 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 8 4 2
y 2
A
4
T
又T
2
(3) y 2 sin( x ) 2
A点的坐标为(
2sin(2
2
12
O
6
12
x
, 2)
2
12
) 2
sin( ) 1 6 2k , k Z
6 2
一般取：| |≤π 2k , k Z 3 y 2 sin( 2 x 2k )
1. 由图象求振幅A, b
y 2 sinx
y
5 4 向上平移3个单位长度 3 2 sin x 3 2 1
O
5 1 最大值 最小值 A 2 2 2 b 5 1 最大值 最小值 3 y A sinx b 的A, b
y
最 大 值 最 小 值 A 2 4 ( 2) 3 2
10
一般的，所求出的函数模型只能近似刻画 这天某个时刻的温度变化情况，因此应当特 别注意自变量的变化范围.
1-6三角函数模型的简单应用
1-6三角函数模型的简单应用一、选择题1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150 B ．50 C.1100 D ．100 [答案] A2．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D3．如图表示电流强度I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3 B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3 C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 D ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt －π3[答案] C[解析] 由图象得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，最大值为300，经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1150，0， 则ω＝2πT ＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1150＋φ. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，取φ＝π3.∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.4．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A.g πB.g 2πC.g π2D.g 4π2[答案] D[解析] 因为周期T ＝2πg l ，所以g l ＝2πT ＝2π， 则l ＝g 4π2.6．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] 由于每分钟转4圈，故T ＝14min ＝15 s ， ∴ω＝2πT ＝2π15.又半径为3，故A ＝3.7．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t 为7120(秒)时的电流强度为()A ．0B ．－52C ．102D ．－10 2 [答案] A[解析] 由图知，A ＝10，函数的周期 T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150， 所以ω＝2πT ＝2π150＝100π，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10代入I ＝10sin(100πt ＋φ)得φ＝π6，故函数解析式为I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，再将t ＝7120代入函数解析式得I ＝0.8．设y ＝f (x )是某港口水的深度y (m)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t 与水深y 的关系：ωt ＋φ)＋k 的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24] D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24] [答案] A[解析] 由已知数据，易得y ＝f (t )的周期T ＝12. ∴ω＝2πT ＝π6.由已知易得振幅A ＝3，k ＝12， 又t ＝0时，y ＝12， ∴令π6×0＋φ＝0得φ＝0，故y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]．故选A. 二、填空题9．已知x ∈(0,2π)，cos x ＝－22，则x ＝________. [答案] 3π4或7π410．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s 往返一次．[答案] 0.8[解析] 由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．11．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；(2)这段曲线的函数解析式为________． [答案] (1)50 30(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14] [解析] (1)由图象得最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40， ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6，∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6，∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．12．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.[答案] 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6.又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.三、解答题13．每当你的心脏跳动时，血压就会升高，而在两次跳动之间，血压就会降低，某人的血压与时间的关系可由函数p(t)＝90＋20sin120πt来模拟．(1)求此函数的振幅、周期和频率；(2)画出此函数的图象；(3)如果一个人正在锻炼，他的心脏跳动加快了，这会怎样影响p 的周期和频率？[解析](1)振幅为20，周期T＝2π120π＝160，频率f＝1T＝60(2)(3)周期变小，而频率变大14．如图点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．求点P 的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．[解析] 当质点P 从点P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt .则∠POx ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)．∴所求的函数关系式为y ＝r sin(ωt ＋φ)． 点P 的运动周期为T ＝2πω，频率f ＝1T ＝ω2π.15．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较． [解析] (1)T ＝2π|ω|＝2π160π＝180min. (2)f ＝1T ＝80次．(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ， p (t )min ＝115－25＝90 mmHg.即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值高． 16．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)．(1)求这一天最大的温差； (2)求这段曲线的函数解析式．[解析] (1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝－2，－A ＋b ＝－12，解得A ＝5，b ＝－7.由图象得函数的周期T ＝2(14－6)＝16， 则2πω＝16，解得ω＝π8.所以y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ－7. 由图象知点(10，－7)在函数的图象上，则－7＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8×10＋φ－7， 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0， 又|φ|<π2，则φ＝－π4. 则这段曲线的函数解析式是y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4－7(6≤x ≤14)．。
高中数学人教版必修三角函数模型的简单应用作业(系列五)
1.6三角函数模型的简单应用1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题． 2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题． 三角函数模型应用的四个问题是： (1)根据图象建立解析式； (2)根据解析式画图象；(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．一、选择题1．某人的血压满足函数式f (t )＝24sin(160πt )＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 答案：C解析：由于ω＝160π，故函数的周期T ＝2π160π＝180，所以f ＝1T ＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S cm 和时间t s 的函数关系为S ＝8sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π3，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2πs B ．πs C ．0.5 s D ．1 s 答案：D解析：因为ω＝2π，所以T ＝2πω＝1.3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v 0，发射角为θ，重力加速度为g ，则炮弹上升的高度y 与飞行时间t 之间的关系式为( )A ．y ＝v 0tB ．y ＝v 0sin θt －12gt 2C ．y ＝v 0sin θtD ．y ＝v 0cos θt 答案：B解析：竖直方向的分速度v 0sin θ，由竖直上抛运动的位移公式y ＝v 0sin θt －12gt 2，故选B.4．单位圆上有两个动点M 、N ，同时从P (1,0)点出发，沿圆周转动，M 点按逆时针方向转，速度为π6rad/s ，N 点按顺时针方向转，速度为π3rad/s ，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )A ．π，2πB ．π，4πC ．2π，4πD ．4π，8π 答案：C解析：设M 、N 两点走过的弧长分别为l 1和l 2，自出发至第三次相遇，经过t 秒，则l 1＝π6t ，l 2＝π3t . ∴π6t ＋π3t ＝6π，∴t ＝12，∴l 1＝2π，l 2＝4π. 5．如图为2015年某市某天中6 h 至14 h 的温度变化曲线，其近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋bA >0，ω>0，π2<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h 的温度大约为( )A ．16 ℃B ．15 ℃C ．14 ℃D ．13 ℃ 答案：D解析：由题意得A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20，将x ＝6，y ＝10代入得10sin ⎝⎛⎭⎫π8×6＋φ＋20＝10，即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，由于π2<φ<π，可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．当x ＝8时，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8×8＋34π＋20＝20－52≈13，即该天8 h 的温度大约为13 ℃，故选D. 6．一根长l 厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系是：s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3.已知g ＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是( )A.980πcmB.245πcmC.245π2cmD.980π2cm 答案：C解析：由周期T ＝2πω＝2π/gl ＝2πlg ，所以小球的摆动周期T ＝2π l g. 由l ＝g ⎝⎛⎭⎫T 2π2，代入π＝3.14，g ＝980，T ＝1，得l ＝980⎝⎛⎭⎫12π2＝245π2cm. 二、填空题7．电流I (mA)随时间t (s)变化的函数关系是I ＝3sin100πt ＋π3，则电流I 变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.答案：15050 3解析：最小正周期T ＝2π100π＝150；频率f ＝1T＝50；振幅A ＝3.8．据市场调查，某种商品一年内每件出价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛ A >0，ω>0，⎭⎫|φ|<π2的模型波动(x 为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 解析：由题意，可得A ＝9－52＝2，B ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋7. ∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋7＝9. 即sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1. ∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离是h ，则h 与θ间的函数关系式为______________________．答案：h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2 解析：以O 为原点建立坐标系，如右图， 则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. 三、解答题10．交流电的电压E (单位：V)随时间t (单位：s)变化的关系式是E ＝ 03sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，t ∈[0，＋∞)． (1)求开始时(t ＝0)的电压；(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间； (3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．解：(1)当t ＝0时，E ＝03×sin π6＝1103，即开始时的电压为110 3 V.(2)电压的最大值为0 3 V.当100πt ＋π6＝π2时，t ＝1300，即电压首次达到最大值的时间为1300s.(3)T ＝2π100π＝150，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为150s.11．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝A sin(ωt ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)若I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为了使I ＝A sin(ωt ＋φ)中的t 在任意一个1100 s 的时间段内电流强度I 能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由图，可知A ＝300.设t 0＝－1300，t 1＝1150，t 2＝160.∵T ＝t 2－t 0＝160－⎝⎛⎭⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．将⎝⎛⎭⎫－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. (2)由题意，知2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.12．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AB 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案：C解析：令AP 所对的圆心角为θ，由|OA |＝1，得l ＝θ. 又∵sin θ2＝d 2，∴d ＝2sin θ2＝2sin l2.∴d ＝f (l )＝2sin l2(0≤l ≤2π)，它的图象为C.13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处，AB ＝30 km ，BC ＝15 km ，为了处理三家的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A 、B 等距离的一点O 处，建造一个污水处理，并铺设三条排污管道AO 、BO 、PO .设∠BAO ＝x (弧度)，排污管道的总长度为y km.(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定O 点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km)．分析：(1)直接由已知条件求出AO 、BO 、OP 的长度，即可得到所求函数关系式； (2)记p ＝2－sin xcos x ，则sin x ＋p cos x ＝2，求出p 的范围，即可得出结论．解：(1)由已知得y ＝2×15cos x ＋15－15tan x ，即y ＝15＋15×2－sin x cos x (其中0≤x ≤π4)(2)记p ＝2－sin x cos x ，则sin x ＋p cos x ＝2，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋p 2≤1， 解得p ≥3或p ≤－ 3由于y >0，所以，当x ＝π6，即点O 在CD 中垂线上离点P 距离为⎝⎛⎭⎫15－1533 km 处，y取得最小值15＋153≈40.98 km.。
四中高中数学 三角函数模型的简单应用提高巩固练习 新人教A版必修1
北京四中高中数学 三角函数模型的简单应用提高巩固练习 新人教A 版必修1【巩固练习】1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 ( ) (A) 1 (B) 2425(C) 725(D) -7252．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：6sin 26s t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）A ．2πsB ．πsC ．0.5 sD ．1 s 3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2-+αα； （B ）sin 3+αα（C ）3sin 1+αα； （D ）2sin cos 1-+αα4．电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的关系式是5sin 1003I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则当1200t =s 时，电流强度I 为（ ）A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 5．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始旋转，15 s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y （m ）与时间x （s ）满足函数关系sin()2y A x ωϕ=++，则有（ ）A ．215πω=，A=3 B ．152ωπ=，A=3 C ．215πω=，A=6 D ．152ωπ=，A=66．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y （米）可看作是时间t （0≤t ≤24，单位：时）的函数，记作()y f t =，经长期观测，()y f t =的曲线可近似地看成是函数cos y A t B ω=+，下表是某日各时的浪高数据：A ．1cos 126y t π=+ B ．13cos 262y t π=+C ．32cos62y t π=+D ．13cos 622y t π=+7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为β=1°，若β很小时，可取sin β≈β，试估算该气球的高BC 约为（ ）A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m8．设()y f t =是某港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港口某一天从0至24 h 记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y A t ωϕ=+的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．123sin6y t π=+，t ∈[0，24]B ．123sin 6y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，t ∈[0，24] C ．123sin12y t π=+，t ∈[0，24]D ．123sin 122y t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，t ∈[0，24]9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h （米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危sin()h A t ωϕ=+（ω＞0，ϕ＞0），则水面高度h 与时间t 的函数关系式为________．12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．（1）求出种群数量关于时间t 的函数解析式，t 以月为单位； （2）画出种群数量关于时间t 的简图．13．某港口水深y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数sin y A t b ω=+的图象．（1）试根据数据表和曲线，求出sin y A t b ω=+的表达式；（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【答案与解析】 1. 【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为15，设θ所对的直角边为x 则由勾股定理得：221()15x x ++=，解得35x =，34sin ,cos 55θθ∴==，7sin 5cos θθ∴+=，进一步求得1sin 5cos θθ-=-，所以227sin cos 25θθ-=-，故选D.2．【答案】D 【解析】周期212T ππ==（s ）． 3．【答案】A【解析】八边形的面积144sin 22cos 2S S S αα∆=+=⨯+-正=2sin 2cos 2αα-+ 4．【答案】B【解析】 155sin 1005sin 5cos (A)20032332I πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．【答案】A【解析】 ∵T=15，故2215T ππω==，显然max min y y -的值等于圆O 的直径长，即max min 6y y -=，故max min 6322y y A -===． 6．【答案】B【解析】由周期T=12，得6πω=，max min 122y y A -==，max min 322y y B +==． 7．【答案】B【解析】由已知CD=3 m ，1180πβ=︒=，又sin 180CD AC πββ=≈=， ∴1803172(m)AC π=⨯≈，∴BC=AC ·sin30°≈86（m ）．故选B ．8．【答案】A【解析】在sin()y A t b ωϕ=++中，15932A -==． 159122b +==，2T πω=，而T=12，6πω=，显然0ϕ=． 9．【答案】52sin 24y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴250.82πωπ==， 将点（0.1，2）代入52sin 2y t πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4πϕ=．10．【答案】60米，(60-米 【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt △CDE 中，tan 3060DE CE =⋅︒==∴乙楼的高度为(60BD BE DE =-=-米． 11．【答案】6sin6h t π=-【解析】由题图知A=6，T=12，22126T πππω===，又由6sin 366πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，得cos 1ϕ=-，2k ϕππ=+，k ∈Z ．所以6sin 26sin 6sin 666h t k t t ππππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．【解析】（1）设所求的函数解析式为sin()y A t b ωϕ=++，则7009008002b +==，A=100，且212T πω==，所以2πω=．又12πωϕ⨯+=-．所以23πϕ=-．因此所求的函数解析式为2100sin 80063y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （2）图象（简图）如图．13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数sin y A t b ω=+在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此212πω=，6πω=．又当t=0时，y=10；当t=3时，y max =13，得b=10，A=13―10=3． 于是所求函数解析式为3sin106y t π=+．（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y 应大于等于7+4.5=11.5（米）．令3sin 1011.56y π=+≥，可得1sin62t π≥． ∴522666k t k πππππ+≤≤+（k ∈Z ）． ∴12k+1≤t ≤12k+5（k ∈Z ）．取k=0，则1≤t ≤5；取k=1，则13≤t ≤17； 而取k=2时，则25≤t ≤29（不合题意）．∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．。
人教A版数学高二三角函数模型的简单应用精选试卷练习(含答案)6
人教A 版数学高二三角函数模型的简单应用精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在x ∈[0，2π]上满足cos x 12≤的x 的取值范围是（ ） A ．[0，3π] B ．[3π，53π] C ．[3π，23π]D ．[53π，π]2．函数()2sin cos 2f x x x x =+的对称轴为（ ）A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈D ．()212k x k Z ππ=+∈3．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π4．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在区间72,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最大值为（ ） A ．7B ．9C ．11D ．135．已知函数()sin2f x x x =，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π ②函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 ③函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ④函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到 其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P点坐标为，则12...n PA PA PA +++=u u u v u u u u v u u u u v（ ）A ．0B ．2C ．6D ．107．已知()sin()(0)3f x x πωϕω=++>同时满足下列三个条件：①最小正周期T π=；②()3y f x π=-是奇函数；③(0)()6f f π>.若()f x 在[0,)t 上没有最大值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(0,]12πB ．(0,]3πC ．7(0,]12πD ．511(,]612ππ 8．将函数sin y x =的图像向左平移6π个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()y f x =的图象，若函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．33,115⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．511,33⎛⎤⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．35,53⎛⎫⎪⎝⎭9．已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 奇函数C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在52x π=处取得最大值 10．已知函数()sin cos f x x x ωω=-（0>ω），若()3y f x π=+的图象与()6y f x π=-的图象重合，记ω的最小值为0ω，函数0()cos()3g x x πω=-的单调递增区间为 （ ）A ．2[,]63k k ππππ++（k Z ∈）B ．27[,]36k k ππππ+++（k Z ∈） C ．[,]12232k k ππππ++（k Z ∈） D ．7[,]32122k k ππππ++（k Z ∈） 11．已知函数()sin(2)3f x x π=-，若方程1()3f x =在(0,)π的解为1212,()x x x x <，则12sin()x x -=（ ）A ．3-B ．C ．12-D ．13-12．已知函数2()cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m ＝恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（ ）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 13．若函数f(x)=4cos(3x +φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x =11π12对称，且当x 1,x 2∈(−7π12,−π12)，x 1≠x 2时，f(x 1)=f(x 2)，则f(x 1+x 2)=（ ） A ．2√2B ．−2√2C ．4D ．214．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移724π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间,3πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3πθ>-）上的值域为[]1,2-，则θ等于（ ）A ．6πB ．4π C ．23π D ．712π 15．已知函数()2222sin 42x x x f x x ++=+，则函数()2sin 2g x x π=-与()f x 的图象在区间()1,1-上的交点个数为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．716．位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中OA 与地面垂直，垂足为点D ，某乘客从D 处进入A 处的观景舱，顺时针转动t 分钟后，第1次到达B 点，此时B 点与地面的距离为114米，则t =（ ）A ．16分钟B ．18分钟C ．20分钟D ．22分钟17．若函数()sin 2cos 2f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有()()04f x f x π-+-=C ．函数()f x 在3(,)24ππ上是减函数 D ．函数()f x 的图象关于直线=8x π-对称 18．已知函数f(x)={sin(x +α),(x ≤0)cos(x −β),(x >0)是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）A ．α=π4，β=π8 B ．α=π3，β=π6C ．α=5π6，β=2π3D ．α=2π3，β=π6 19．已知函数f (x )=2cosx (12sinx +√32cosx)，且函数y =f (ωx )在[−π4,π12]上单调递增，则正数ω 的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2320．已知函数()sin cos f x a x b x =-（,a b 为常数，0a ≠，x ∈R ）在4x π=处取得最小值，则函数5()4y f x π=-（ ） A ．是偶函数且它的图象关于点(,0)π对称 B ．是奇函数且它的图象关于点(,0)π对称C ．是偶函数且它的图象关于点3(,0)2π对称D ．是奇函数且它的图象关于点3(,0)2π对称21．在同一坐标系中，将曲线y =2sin3x 变为曲线y =sinx 的伸缩变换是（ ） A ．{x =3x′y =12y′B ．{x′=3xy′=12yC ．{x =3x′y =2y′D ．{x′=3x y ′=2y22．已知函数()sin f x x x =+，把函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x k -=恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．[1,2)C ．(2,0)(0,2)-UD ．二、多选题23．已知函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于任意的[0,1)a ∈，方程()1(0)f x a x m -=剟仅有一个实数根，则m 的一个取值可以为A ．8π B ．2π C ．58π D ．34π三、填空题24．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像过点(0,B ，且在ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图像向左平移π个单位长度后与原来的图像重合，当124π2π,,33x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=__________.25．函数()1sin sin 2f x x x =+，[]0,2x π∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是______.26．如图，某观测站C 在A 城的南偏西20︒的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40︒，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31km 正沿公路向A 城走去，走了20km 后到达D 处，此时C ，D 两点之间的距离为21km ，这人还要走_____km 才能到达A 城.27．已知函数1()(sin cos |sin cos |)(0)2f x x x x x ωωωωω=++->，点P 、Q 分别为函数()f x 图像上的最高点和最低点，若||PQ 的最小值为t ，且2154t =+ω的值为_____．28．一半径为4m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水轮上点P 从水中浮现时开始计时，即从图中点0P 开始计算时间.将点P 距离水面的高度h （单位：m ）表示为时间t （单位：s ）的函数，则此函数表达式为__________．29．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．30．函数arccos y x =在11,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦的值域是______.31．在平面直角坐标系xoy 中，已知任意角θ以坐标原点o 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00y x sos rθ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣； ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线34x π=对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号） 32．已知函数()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，若4f m π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为___.33．关于函数()sin cos f x x x =+的描述：①2π是()f x 的一个周期；②1()f x ≤≤③()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④()f x 是偶函数.其中正确命题的序号为______． 34．给出以下四个结论： ①函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数；②当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是⎡-⎣； ③若扇形的周长为15cm ，圆心角为12rad ，则该扇形的弧长为6 cm ； ④已知定义域为R 的函数()sin cos sin cos 22x xx x f x -+=-，当且仅当()222k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >成立.则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．35．据监测，在海滨某城市附近的海面有一台风. 台风中心位于城市A 的东偏南60o 方向、距离城市的海面P 处，并以20/km h 的速度向西偏北30o 方向移动（如图示）.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径120km ，台风移动的方向与速度不变，那么该城市受台风侵袭的时长为_____ .36．已知函数()sin cos f x x x =+，现有如下几个命题： ①函数()f x 为偶函数； ②函数()f x 最小正周期为2π；③函数()f x 值域为⎡⎣；④若定义区间(),a b 的长度为b a -,则函数()f x 单调递增区间长度的最大值为34π.其中正确命题为___________．四、解答题37．已知某海滨浴场海浪的高度y （米）是时间t 的（0≤t ≤24，单位：小时）函数，记作y =f （t ），下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y =f （t ）的曲线可近似地看成是函数y =A cos ωt ＋b 的图象．（1）根据以上数据，求出函数y =A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； （2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？ 38．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的一段图像过点(0,1)，如图所示.（1）求()f x 在区间2[,]32ππ--上的最值； （2）若12(),(0)21234f ππαα-=<<,求22cos sin 2()cos sin ααπαα-+-的值.39．函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示.（1）求f(x)的解析式.（2）若不等式|f(x)−m |<3，对任意x ∈[π12,π3]恒成立，求实数m 的取值范围. 40．已知函数()4sinsin 1(06)223xx f x ωωπω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴为6x π=.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.41．已知函数π()4sin cos()6f x x x =⋅-．（Ⅰ）求π()3f 的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．42．如图，半圆O 的直径长为2，A 为直径的延长线上的一点2OA =，B 为半圆周上的动点，以AB 为边，向半圆外作等边ABC ∆，设AOB θ∠=， 多边形OACB 的面积为()fθ。
1-6 三角函数模型的简单应用
基 础 巩 固一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A[答案] B[解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 得I ＝2.5 A.2．(安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] [答案] D[解析] 由已知可得该函数的周期为T ＝12， ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A (12，32)，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．(新课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[答案] C[解析] P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ＝2，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C.4．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B5．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D6．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D 二、填空题7．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．[答案] 3πx －π[解析] 由题φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π ∴ω＝3π∴y ＝3sin(3πx －π)．相位是3πx －π.8．(山东临沂12－13高一)某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，……12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.[答案] 20.5 三、解答题9．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6.求：(1)单摆开始振动(t ＝0)时离开平衡位置的位移； (2)单摆离开平衡位置的最大位移． [解析] (1)当t ＝0秒时，s ＝6sin π6＝3 cm.(2)当t ＝13秒时，位移最大，s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝6 cm.10．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?[解析] (1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t 分时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3， ∴3k ＋1<t <3k ＋2.令k ＝0得1<t <2.因此，共有1 min距地面超过70 m.。
16三角函数模型简单应用练习及参考答案
1.6 三角函数模型简单应用练习题：1．你能利用函数sin y x =的奇偶性画出图象吗？它与函数sin y x =的图象有什么联系？2．已知：1sin 2α=-，若(1),22ππα∈-⎛⎫⎪⎝⎭； (2)(0,2)απ∈；(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
3．已知[]0,2θπ∈, sin ,cos θθ分别是方程210x kx k -++=的两个根，求角θ．4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?6．把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着．．将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线，试一试动手操作一下.它是正弦曲线吗？7．如图，铁匠师傅在打制烟筒弯脖时，为确保对接成直角，在铁板上的下剪线正好是余弦曲线：cos xy a a=的一个周期的图象，问弯脖的直径为12 cm 时，a 应是多少cm ?8．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2π]上的单调性。
9、（14分）如图，扇形AOB 的半径为2，扇形的圆心角为4π，PQRS 是扇形的内接矩形，设∠AOP=θ， （1） 试用θ表示矩形PQRS 的面积y ；（2）利用正、余弦的和（差）与倍角公式化简矩形面积表达式y.10.某人用绳拉车沿直线方向前进100米,若绳与行进方向的夹角为30°,人的拉力为20牛,则人对车所做的功为多少焦.11．某港口水的深度y （米）是时间t ，单位：时）（24t 0≤≤，记作y=f(x),下面是某日水深的数据：经长期观察，y=f(t)的曲线可以近似地看成函数b t Asin y +=ϖ的图象。
专题06 三角函数模型的简单应用(基础练)-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练
一．选择题1．M ，N 是曲线sin y x π=与曲线cos y x π=的两个不同的交点，则||MN 的最小值为 A ．π B．2πC ．3πD ．2π【答案】C【解析】要求||MN 的最小值在，只要在一个周期内解即可sin cos x x ππ= 解得4x π=或54x π=得到两个点为2(,,)4ππ和52(,)4ππ-得到22522||()()34422MN πππππ=-+--= 故选C ．2．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动(0)θθ>角到OB ，设B 点与地面距离为h ，则h 与θ的关系式为A ． 5.6 4.8sin h θ=+B ． 5.6 4.8cos h θ=+C ． 5.6 4.8cos()2h πθ=++D ． 5.6 4.8sin()2h πθ=+-【答案】D【解析】过点O 作平行于地面的直线l ，再过点B 作l 的垂线，垂足为P ，则2BOP πθ∠=-，根据三角函数的定义得：sin() 4.8sin()22BP OB ππθθ=-=-4.80.85.6 4.8sin()2h BP πθ=++=+-专题06 三角函数模型的简单应用第一章 三角函数故选D ．3．在图中，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x （单位：)cm 和时间t （单位：)s 之间的函数关系式为A ．3sin 2x = ( 232t ππ- )B ．23sin(3x t π= ) C ．3sin 2x = ( 32t π+ )D ．23sin()32x t ππ=+ 【答案】D【解析】设位移x 关于时间t 的函数为()sin()(0)x f t A t ωϕω==+>， 则3A =，周期23T πω==，故23πω=， 由题意可知当0x =时，()f t 取得最大值3，故3sin 3ϕ=，故22k πϕπ=+，故选D ．4．若动直线x a =与函数()3)12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为A 3B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】()3sin(),()cos()1212f x xg x x ππ+=+令h （a ）3sin()cos()1212a a ππ=+-+∴求||MN 的最大值即求函数h （a ）的最大值h （a ）3sin()cos()1212a a ππ+-+2sin()2sin()1266a a πππ=+-=- ∴函数h （a ）的最大值为2故选C ．5．在同一平面直角坐标系中，函数3cos()([0,2])22x y x ππ=+∈的图象和直线12y =的交点个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．4【答案】C【解析】原函数可化为：3cos()([022x y x π=+∈，2])sin 2xπ=，[0x ∈，2]π．当[0x ∈，2]π时，[02x∈，]π，其图象如图，与直线12y =的交点个数是2个． 故选C ．6．设()y f x =是某港口水的深度y （米关于时间t （时的函数，其中024t ，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ωϕ=++的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是([0t ∈，24]) A ．123sin 12y t π=+B ．123sin()6y t ππ=++C ．123sin 6y t π=+D ．123sin()122y t ππ=++【答案】C【解析】由于()y f t =可以近似看成sin()y k A x ωϕ=++的图象，根据港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系，可得函数的周期12T =可排除A 、D ， 将(3,15)代入B ，C ，可排除B ，C 满足． 故选C ． 二．填空题7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数cos[(6)](16y a A x x π=+-=，2，3，⋯，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28C ︒，12月份的月平均气温最低为18C ︒，则10月份的平均气温值为 C ︒．【答案】20.5【解析】据题意得28a A =+，18cos[(126)]6a A a A π=+-=-解得23a =，5A = 所以235cos[(6)]6y x π=+-令10x =得2235cos[(106)]235cos 20.563y ππ=+-=+=故答案为：20.58．哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮，其旋转半径50米，最高点距地地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为 米． 【答案】85【解析】设P 与地面高度与时间t 的关系，()sin()(0f t A t B A ωϕ=++>，0ω>，[0ϕ∈，2))π， 由题意可知：50A =，1105060B =-=，221T πω==，221πω∴=，即2()50sin()6021f t t πϕ=++， 又因为(0)11010010f =-=，即sin 1ϕ=-，故32πϕ=，23()50sin()60212f t t ππ∴=++， 23(14)50sin(14)6085212f ππ∴=⨯++= 故答案为：85．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《三角函数模型的简单应用》练习
一、选择题
1.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
(x)=x+sinx (x)= (x)=xcosx (x)=x··
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k，据此函数可知，
这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
B.6
3.如图，小明利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为5m，
AB为1.5m(即小明的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是( )
4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图
象如图所示，则当t=秒时，电流强度是( )
安安
安安
5.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(-x)sinx的大致图象是( )
二、填空题
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1，2，
3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上
标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0，60].
8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin+60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现
采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150(天) 时达到最低油价，则ω的最小值为__________.
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)=10-cos t-sin t，t∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.
10.如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t=1表示2月1日).
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
《三角函数模型的简单应用》巩固练习
一、选择题
1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
尖位置P(x，y)，若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t=0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
=sin =sin
=sin=sin
2.如图，半径为1的圆M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB，旋转过程
中OC交☉M于点P，记∠PMO为x，弓形ONP的面积S=f(x)，那么f(x)的大致图象是( )
二、填空题
3.海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情
况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格：
时刻0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深
选用函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)来模拟港口的水深与时间的关系，如果一条货船的吃水深度是4米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与海洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为________小时.
4.一种波的波形为函数y=-sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整
数t的最小值是________.
三、解答题
5.某城市白昼时间的小时数D(t)的表达式为D(t)=3sin+12，其中t表示某天的序号，0≤t≤364，t∈N，t=0表示1月1日，t=1表示1月2日，以此类推.
(1)该城市哪一天白昼时间最长哪一天白昼时间最短
(2)估计该城市一年中有多少天的白昼时间超过小时
6.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现，但生猪养殖成本逐月
递增，下表是今年前四个月的统计情况：
月份1月2月3月4月
收购价格(元/斤) 6 7 6 5
养殖成本(元/斤) 3 4 5
现打算从以下两个函数模型：①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，-π<φ<π)，
②y=log2(x+a)+b中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系、养殖成本(元/斤)与相应月份之间的函数关系.(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数解析式；(2)按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可能亏损
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)》练习
一、选择题
1.函数f(x)=2sin的周期、振幅、初相分别是( )
A.，2，π，-2，-π，2，π，2，
2.若函数f(x)=2sin，则它的图象的一个对称中心为( )
A. B. C.(0，0) D.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( )
(x)=2sin(x∈R) (x)=2sin(x∈R)
(x)=2sin(x∈R) (x)=2sin(x∈R)
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)=sinωx的图象，
可以将f(x)的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
(x)=Asin(ωx+φ)，的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则( )
(x)的图象过点 (x)在上是减函数
(x)的一个对称中心是 (x)的最大值是A
二、填空题
=sin相邻两条对称轴距离为，则ω为________.
7.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0<A≤2，0<ω<2，-<φ<)的图象，列出的部分数据如
表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 -1 -2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y=Asin(ωx+φ)的解析式应是________.
8.若函数f(x)=2sin(3x-π)，有下列结论：①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)的图象
关于直线x=π对称；③在x∈为单调增函数.
则上述结论正确的是________.(填相应结论对应的序号)
三、解答题
9.函数f(x)=Asin(其中A>0，ω>0)的振幅为2，周期为π.
(1)求f(x)的解析式并写出f(x)的单调增区间；(2)将f(x)的图象先左移个单位，再将每个点的纵坐标
不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式和对称中心(m，0)，m∈[0，π].
10.将函数y=sinx的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，
再将所得图象各点纵坐标伸长为原来的4倍(横坐标不变)，得到函数y=f(x)的图象.
(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)求此函数的对称中心的坐标.
(3)用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象.
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)》巩固练习
一、选择题
1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，且对于任意x1，x2∈
[-1，1]，x1≠x2，都有>0，则( )
A.函数y=f(x+1)一定是周期为4的偶函数
B.函数y=f(x+1)一定是周期为2的奇函数
C.函数y=f(x+1)一定是周期为4的奇函数
D.函数y=f(x+1)一定是周期为2的偶函数
2.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，则f(x)
的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
二、填空题
3.设振幅、相位、初相为y=Asin(ωx+φ)+b(A>0)的基本量，则y=3sin(2x-1)+4的基本量之和为________.
4.关于函数f(x)=4sin(2x-)(x∈R)，有以下命题：①y=f是偶函数；②要得到g(x)=-4sin2x
的图象，只需将f(x)的图象向右平移个单位长度；③y=f(x)的图象关于直线x=-对称；④y=f(x)在[0，π]内的增区间为，，其中正确命题的序号为________.
三、解答题
5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图所示.
(1)求出函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)的图象向右移动个单位长度得到函数y=g(x)的图象，求
出函数y=g(x)的单调增区间及对称中心.
6.已知函数f(x)=asin(2x+)+1(a>0)的定义域为R，若当-≤x≤-时，f(x)的最大值为2.
(1)求a的值；(2)用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象；(3)写出该函数的对称中心的坐标.。