高考数学 极限试题
高考数学数列与极限专项训练
高考数学数列与极限专项训练（02）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列{}n a 中，122a a +=,3450a a +=，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{}n a 中，6385a a a =+=，则9a 的值是（ ）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数,,,,p q a b c ,其中p q ≠,若,,p a q 成等比数列,,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bx ax c -+= （ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是（ ） A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且2447685622004,a a a a a a a ++=则等于 （ ）A ．501B ．±501 CD6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1m >，且211210,38m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ） A ．7(1)a p + B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]a p p p+-+D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦9．已知()1f x bx =+为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()g n =1(0)[(1)],(1)n f g n n =-≥⎧⎨⎩, 设()()()1n a g n g n n N +=--∈，则数列{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．已知log 2log 20a b >>,则lim n nn nn a b a b →∞+-的值为（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．不存在第1个第2个12345768a a a a a a a a11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12．已知323()(3)2,(3)2,lim 3x x f x f f x →-'==--则的值为（ ）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 . 14．设数列{}n a 满足1236,4,3a a a ===,且数列1{}()n n a a n N *+-∈是等差数列，求数列{}n a 的通项公式 . 15．设()442xx f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求121111f f ++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块. （理）已知132n na ⎛⎫⎪⎝⎭=⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状； 记(,)A m n 表示第m 行，第n 列的项，则(10,8)A = .三、解答题（本大题共6小题，共74分。
高三数学函数极限试题
高三数学函数极限试题
1.计算：________．
【解析】本题是“”型极限问题，处理它的方法是转化，分子分母同时除以的幂，化为可求极限型，
．
【考点】“”型极限问题．
2.已知数列满足,,….若,则 ( )
A．B．３C．４D．５
【答案】B
【解析】解：因为数列满足,,….
则
，，
……
故又，故
3.函数在处的极限是（）
A．不存在B．等于C．等于D．等于
【答案】A
【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.
[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
4.=" " ．
【答案】2
【解析】略
5.若,则的值为
A．0B．C．1D．
【答案】B
【解析】略
6._________________
【答案】-1
【解析】略
7.若 =" 2" ，则 = ;
【答案】-1
【解析】略
8. .
【答案】
【解析】略
9.=
A．—1B．—C．D．1
【答案】B
【解析】=
10.已知，则的值为 .
【答案】-8
【解析】略。
高等数学极限题500道
求数列的极限 lim n 2 4n 5 (n 1) ．
n
求数列的极限 lim
n
n 4 3n 3 6 (n 1)(n 1) ． n
求数列的极限 lim
n
an ． (其中 a 1)． 2 an
1 1 1 )(1 2 ) (1 2 )． 2 2 3 n
求 lim nln( 2n 1) ln( 2n 1)之值．
n
求极限 lim (1) n n sin( n 2 2 )．
n
x 2 1 1 lim e 1 x 的值 _____________ 求极限 lim (n ) ln(1 )． n 2 n x0 x 3 sin x
确定a，b之值，使 lim
x
3x 2 4 x 7 (ax b) 0，
x
并在确定好a，b后求极限 lim x
3x 2 4 x 7 (ax b)
求极限 lim( x
x
x 1 x) ． x 1
求极限 lim
2 x cos x ． x 3x sin x
1 1 1 求数列的极限 lim n 1 3 35 (2n 1)(2n 1) 1 1 1 1 求数列的极限 lim n 1 2 2 3 3 4 n ( n 1) ．
求数列的极限 lim
已知f ( x)
已知 lim
x 1
lim
x 0
1 cos(sin x) 的值等于 ___________ 2 ln(1 x 2 )
求极限 lim
x 0
高数极限典型60题详解(一)
1.求数列极限
本题求解极限的关键是用三解函数和差化积公式，将算式进行转化，进而解出极限，过程如下：
由于 =
所以 ＝
＝ ＝0
这是因为，当 时， ，而 是有界函数，有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以可得原式极限为0，即
＝0
2.令Sn= ，求数列极限
解：
＝ ＝1
所以， ＝ = 1 ]
＝1
3.求数列极限 ，其中
解：令Sn＝ ，将等式两边同时乘以q，得到
qSn=
将以上两式相减，可得
（1－q）Sn＝
上面的算式两边同时除以1－q，得到
Sn=
由于当 且 ，
（注：即 ＝
附注：关于
若 且 ，当 时， 。但如何证明 呢？对于这个问题，现解答如下：
首先，对算式进行变形，得到
因此可知
（ 且 ）.
4.求数列限
解：将计算表达式变形，得到
＝ ＝
＝ （ ）
所以 ＝3
==
变形后，计算表达式似乎变成了 型未定式。注意，本题中自然数n为非连续变量，无法运用洛必达法则求极限。但我们可以构造出一个辅助函数 ，并且求证 ＝0（ 且 ），从而证明 ＝0。具体过程如下：
对函数 进行恒等变形，得到 ＝
且 ，
。
可知，当 时， .即 为 型未定式。
所以，应用洛必达法则，得到
＝ ＝ ＝0.
大一高数极限计算例题及答案
大一高数极限计算例题及答案一、极限的定义极限是数学上的一个基本概念，它可以用来描述一个数列、函数或者一个数列的极限。
一般情况下，我们可以用以下方式来定义一个函数f(x)在x趋近a的时候的极限：若对于任何的正数ε，都存在正数δ，使得当0＜|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称lim_(x→a) f(x)=L其中，L表示函数f(x)在x趋近a的时候的极限。
二、求极限的方法1. 代数法代数法就是直接将极限中的变量代入函数中去，并进行简化式子。
这种方法适用于这些特别简单的极限例题：lim_(x→0) [(sinx)/x]解答：将x代入函数中得lim_(x→0) [(sinx)/x]=12. 函数法函数法就是将复杂的极限转化成某个反三角函数或者指数函数的函数极限，然后用函数极限的技巧来解决问题。
这种方法适用于一些较难的极限例题：lim_(x→∞) [x/(x^2 + 1)]解答：将分子分母同时除以x^2 ，得：lim_(x→∞) [x/(x^2 + 1)]=[1/ (x +(1/x)]令t=1/x，则t趋向于0，原式变为：lim_(t→0)[1/(t+1/t)]令y=t+1/t，则y>=2，原式变为：lim_(y→∞)[1/y]因为当y趋向于正无穷时，1/y趋向于0，所以原式的极限等于0。
3. 夹逼法夹逼定理也被称为靠近定理，是求解极限的一种非常重要的技巧。
这种方法主要是通过找到两个函数，一个可以逐渐逼近待求极限；一个可以比待求极限更小，并逐渐逼近等于待求极限的极限，然后两边一起夹逼待求极限，找到唯一解。
这种方法适用于一些难以求解的复杂的极限例题：lim_(x→0) [xsin(1/x)]解答：对于 |sin(1/x)|<=1,所以-lim_(x→0) |x|<=lim_(x→0) [xsin(1/x)]<=lim_(x→0) |x|因此，lim_(x→0) [xsin(1/x)]=0以上便是求解极限的三种常用方法，当然还有其他的方法，但是在求解极限的时候应根据实际情况来选择适合的方法。
2022年高考数学函数极限历年真题解析
2022年高考数学函数极限历年真题解析一、函数极限的定义和概念在解析数学中，函数极限是一个非常重要的概念。
函数极限描述了当自变量无限接近某个特定值时，函数的取值趋于何处的情况。
理解和掌握函数极限的定义和性质对于解决数学问题至关重要。
二、历年真题解析2022年高考数学函数极限题目如下：【题目一】已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$\lim\limits_{x \to 2}f(x)$的值。
解析：观察到当$x$无限接近2时，分子$x^2-4$可以因式分解为$(x+2)(x-2)$，分母$x-2$为0，因此我们可以进行因式分解简化。
$\lim\limits_{x \to 2}f(x) = \lim\limits_{x \to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}= \lim\limits_{x \to 2}(x+2) = 2+2 = 4$因此，$\lim\limits_{x \to 2}f(x)$的值为4。
【题目二】已知函数$g(x)=\begin{cases} x^2-1, & \text{当}x>1 \\2x-1, & \text{当}x\leq 1 \end{cases}$，求$\lim\limits_{x \to 1}g(x)$的值。
解析：考虑到函数$g(x)$在$x=1$处的定义分段，我们可以分别求解左极限和右极限。
对于$x>1$的情况，函数$g(x) = x^2-1$，则$\lim\limits_{x \to1^+}g(x) = \lim\limits_{x \to 1^+}(x^2-1) = 1^2-1 = 0$。
对于$x\leq 1$的情况，函数$g(x) = 2x-1$，则$\lim\limits_{x \to 1^-}g(x) = \lim\limits_{x \to 1^-}(2x-1) = 2\times 1-1 = 1$。
高数极限62道经典例题
高数极限62道经典例题高数极限是数学中的重要概念之一，也是学习数学的学生需要掌握的基本技能之一。
在高数极限的学习过程中，经典例题是帮助学生深入理解和掌握极限概念的重要辅助工具。
以下是62道经典的高数极限例题，通过这些例题的学习和解答，学生可以提高自己的极限运算能力。
1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)2. 求极限lim(x→∞)(1/x)3. 求极限lim(x→∞)(x^2/(1+x^2))4. 求极限lim(x→0)(x^3/(1+2x)^2)5. 求极限lim(x→0)(1-cosx/x)6. 求极限lim(x→0)(sqrt(1+x)-1)/x7. 求极限lim(x→0)(e^x-1)/x8. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/x)9. 求极限lim(x→∞)(ln(x+1)/ln(x))10. 求极限lim(x→0)(1-cosx)/(x^2)11. 求极限lim(x→0)(sin2x/2x)12. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数13. 求极限lim(x→0)(e^x-x-1)/x^214. 求极限lim(x→∞)(e^x/x)15. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(x+a))16. 求极限lim(x→0)(e^x-ax-1)/x^2，其中a为常数17. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x18. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^(kx)，其中k为常数19. 求极限lim(x→0)(sinx+cosx)/x20. 求极限lim(x→0)(sinx-cosx)/x21. 求极限lim(x→0)(e^x+e^-x-2)/x22. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^x)，其中a为常数23. 求极限lim(x→0)(a^x-1)/x，其中a为常数24. 求极限lim(x→0)(ln(1+x)/(1+sinx))25. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(lnx)，其中a为常数26. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n27. 求极限lim(n→∞)(1+1/n)^n^228. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n)29. 求极限lim(n→∞)(1+1/n^n^2)30. 求极限lim(n→∞)(1+1/n!)^n31. 求极限lim(n→∞)(n^a)/(a^n)，其中a为常数32. 求极限lim(x→0)(sin(ax^2)/tanx^2)，其中a为常数33. 求极限lim(x→0)(tan(ax^2)/sinx^2)，其中a为常数34. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^a，其中a为常数35. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)36. 求极限lim(x→∞)(1+1/x)^x^(1/x)^237. 求极限lim(x→0)(sin(ax)/bx)，其中a和b为常数38. 求极限lim(t→0)(sin(at)/bt)，其中a和b为常数39. 求极限lim(x→0)(a^x-b^x)/(x-c)，其中a、b和c为常数40. 求极限lim(x→0)(sin(ax)-sin(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数41. 求极限lim(x→0)(ln(ax)-ln(bx))/(x-c)，其中a、b和c为常数42. 求极限lim(x→∞)(x^a)/(e^bx)，其中a和b为常数43. 求极限lim(x→∞)(e^ax)/(x^b)，其中a和b为常数44. 求极限lim(x→0)(sinx/x^a)，其中a为常数45. 求极限lim(x→0)(cosx/x^a)，其中a为常数46. 求极限lim(x→0)(tanx/x^a)，其中a为常数47. 求极限lim(x→0)(cotx/x^a)，其中a为常数48. 求极限lim(x→0)(secx/x^a)，其中a为常数49. 求极限lim(x→0)(cscx/x^a)，其中a为常数50. 求极限lim(x→0)(ln(1+ax))/(x^b)，其中a和b为常数51. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^2)，其中a为常数52. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^2)，其中a为常数53. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^3)，其中a为常数54. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^4)，其中a为常数55. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^5)，其中a为常数56. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^6)，其中a为常数57. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^7)，其中a为常数58. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^8)，其中a为常数59. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^9)，其中a为常数60. 求极限lim(x→0)(1-(1+ax)^x)/(x^10)，其中a为常数61. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^3)，其中a为常数62. 求极限lim(x→0)(1-(1-ax)^x)/(x^4)，其中a为常数以上是62道经典的高数极限例题，每道题目都能帮助学生巩固和拓展自己的极限运算能力。
高数函数与极限练习题
高数函数与极限练习题一、函数的基本概念1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 3x + 4(2) g(x) = 2x^2 + 5x + 1(3) h(x) = e^x x2. 求下列函数的定义域：(4) f(x) = √(x^2 9)(5) g(x) = 1 / (x 2)(6) h(x) = ln(x^2 4)3. 判断下列函数的奇偶性：(7) f(x) = x^3 3x(8) g(x) = sin(x) + cos(x)(9) h(x) = e^x e^(x)二、极限的计算4. 计算下列极限：(10) lim(x→0) (sin(x) / x)(11) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(12) lim(x→+∞) (1 / x^2 1 / x)5. 讨论下列极限的存在性：(13) lim(x→0) (sin(1/x))(14) lim(x→0) (x^2 / sin(x))(15) lim(x→+∞) (x ln(x))6. 计算下列极限：(16) lim(x→0) (e^x 1) / x(17) lim(x→+∞) (x^2 + x + 1) / (2x^2 + 3x 1)(18) lim(x→∞) (x^3 + 3x^2 + 2x + 1) / (x^4 + 4x^3 + 3x^2)三、无穷小与无穷大7. 判断下列表达式的无穷小性质：(19) sin(x) x(20) 1 cos(x)(21) e^x 1 x8. 判断下列表达式的无穷大性质：(22) 1 / (x 1)(23) ln(1 / x)(24) x^2 e^x (x > 0)四、连续性与间断点9. 讨论下列函数的连续性：(25) f(x) = |x 1|(26) g(x) = { x^2, x < 0; 1, x ≥ 0 }(27) h(x) = { sin(x), x ≠ 0; 1, x = 0 }10. 求下列函数的间断点：(28) f(x) = 1 / (x^2 1)(29) g(x) = √(1 cos(x))(30) h(x) = ln|x^2 4|五、综合题11. 设函数f(x) = x^2 2x + 3，求lim(x→+∞) f(x)。
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2008年高考数学 极限试题
1．(全国Ⅰ) 2．(全国II) 3．（北京卷）
4．（天津卷）设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则2
2
lim n n n
a n S →∞-=__________.
解：根据题意知11(1)222n a a n n a =+-⨯=+-21,(1)n S n n a =+-
代入极限式得22
112134(2)(2)lim 3(1)
n n a n a n n a →∞+-+-=+-.
5．(上海卷)
6．（重庆卷）设正数a,b 满足
4)(2
2
lim =-+→b ax x
x , 则=++--+∞
→n
n n n n b
a a
b a 211
1lim
（ ） A ．0 B ．41 C ．2
1
D ．1 解：
2
2
1()44242.2lim x a x ax b a b a b b →+-=⇒+-=⇒=∴= 11
1
11
()()122.11124()2()22
lim lim lim n n n n n n n
n n n n a a a a a ab b b a a
b a b a +--→∞→∞→∞++
+∴
===+++ 选B
7．（辽宁卷）已知函数2
cos (0)()1(0)
a x x f x x x ⎧=⎨
-<⎩≥，在点0x =处连续，则a = ．
解： 因为2cos (0)()1(0)a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩
≥，
在点0x =处连续，
所以1)0()(lim )(lim 00-====-
→+
→a f x f x f x x ，填-1
8．（江苏卷） 9．(广东卷)
10．(福建卷) 把21(1)(1)(1)n x x x +++++
++展开成关于x 的多项式，
其各项系数和为n a ，则21
lim
1n n n
a a ∞-+→等于（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．1
D ．2
解：令x=1得a n =1+2+22
+ (2)
=
122
12111
-=--++n n ， 222322lim 112lim 11=--⋅=--++∞→∞→n n n n
n n a a ，选D.
11．(安徽卷) 如图，抛物线y =-x 2
+1与x 轴的正半轴交于
点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为 P 1,P 2,…,P n -1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与 抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n -1，从而得 到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △ Q n -1P n -1P n -1,当n →∞时，这些三角形的面积 之和的极限为 .
解：如图，抛物线y =－x 2
+1与x 轴的正半轴交于点A (1，0)，将线段OA 的n 等分点从
左至右依次记为P 1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次 为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…,
△ Q n －1P n －2P n －1, ∴ 11(,0)k k P n --，2
121(1)(,1)k k k Q n n
----，211||n n P P n --=， 当
n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为
2
2
222
1
112(1)lim [(1)(1)(1)]2n n n n n n →∞-⋅-+-+-.
整理得221
(1)(1)(2)(23)
16lim []2n n n n n n n n
→∞-----=31。
12．(湖南卷) 下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→
B ．函数2
2
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞
-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→
D
．1
1
2
x =→ 解：lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
→→与必须都存在！选C.
13．（湖北卷）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111
lim 111p
q n n n ∞
⎛⎫+- ⎪⎝⎭
=⎛⎫+- ⎪⎝⎭
→（ ） A ．0
B ．1
C ．
p q
D ．
1
1
p q -- 解：法一 特殊值法，由题意取1,2p q ==，
则11111lim lim lim 12122111p
q n n n n p n n n q n n n ∞∞∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭====+⎛⎫++- ⎪⎝
⎭→→→，可见应选C 法二 ()()()
()
()
2
1
11111111m
m x x x x x --++++++
++=-+ ()()()()
2
1
111111m
m x x x x x -⎡⎤∴+-=+++++
+⎣
⎦
令1
x n
=
，m 分别取p 和q ，则原式化为
2
1
2
11
1111111111
lim lim 11111111111p p
q n n n
n n n n n n n n n --∞∞
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫⎛
⎫++
++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎢⎥⎝⎭
⎣
⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-++++++⎢⎥
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
→→
2
1
111lim 11,lim 11,,lim 11,p n n n n n n -→∞→∞
→∞
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
所以原式=
111111p
q
+++=+++（分子、分母1的个数分别为p 个、q 个）
14．（江西卷）32
1lim 1
x x x x →--（ ）
Ａ．等于0
Ｂ．等于1
Ｃ．等于3
Ｄ．不存在
解：321lim 1
x x x x →--=1lim 2
1=→x x ，选B
15．（山东卷）
16．(陕西卷) =⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→112
1
2lim 21x x x x x . 解：312
1)2)(1(2121121
2lim lim lim
1121
=+=+---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→→→x x x x x x x x x x x x
17．（四川卷）22
11
lim 21
x x x x →-=--（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）
12 （D ）23
解：原式11(1)(1)12
lim lim (1)(21)213
x x x x x x x x →→+-+===-++或原式122lim
413x x x →==-．选D ．
18．（浙江卷）
19．（宁夏、海南卷）。