2013年中考数学第四单元三角形
图15－16
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
解：如图，过点C作CP∥AB，则∠BCP＝∠ABC，∠ECP＝∠CED，
∴∠ABC＋∠CED＝∠BCP＋∠ECP＝∠BCE＝140° . 又∵BF，EF分别平分∠ABC，∠CED， 1 1 ∴∠ABF＝ ∠ABC，∠DEF＝ ∠DEC， 2 2 1 ∴∠ABF＋∠DEF＝ (∠ABC＋∠DEC)＝70° . 2 过点F作FM∥DE，则∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF， ∴∠BFE＝∠BFM＋∠MFE＝∠ABF＋∠DEF＝70° .
第16讲┃ 三角形与全等三角形
7．如图16－4，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边 270 形，则∠1＋∠2＝________度．
图16－4
[解析] 如图，根据题意可知∠5＝90° ， ∴∠3＋∠4＝90° ，∴∠1＋∠2＝2∠5＋∠3＋∠4＝2×90° ＋90° ＝270° .
错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
解：如图：
图15－15
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
(1)∠APC＝∠PAB＋∠PCD； 证明：过点P作AB∥PF， ∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF， ∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD(两直线平行，内错角相等)． (2)∠APC＋∠PAB＋∠PCD＝360°； (3)∠APC＝∠PAB－∠PCD； (4)∵AB∥CD，∴∠POB＝∠PCD. ∵∠POB是△AOP的外角， ∴∠APC＋∠PAB＝∠POB， ∴∠APC＝∠POB－∠PAB， ∴∠APC＝∠PCD－∠PAB.
[解析] 设第三边的长为x，则7－3＜x＜7＋3，所以4＜x＜10.又x为 整数，所以x可取5,6,7,8，所以这个三角形的周长的最小值为15.
第16讲┃ 三角形与全等三角形
6．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三 角形是( B ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．将一副常规三角尺拼成如图15－4所示的图形，则∠ABC＝ ________度． 135
图15－4
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
7．如图15－5，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐 角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐 66 角；„照此规律，画10条不同射线，可得锐角________个．
图15－9
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
12．如图15－10所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四 个条件：①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2＝∠6；④∠4＋∠7＝ 180°，其中能说明a∥b的条件有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图15－10
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
图15－7
解：∵O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35° ， ∴∠BOC＝2∠AOC＝70° ， ∴∠BOD＝180° －∠BOC＝110° .
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
考点4
平行线的性质及其判定
相交 平面内两直线的位置关系有_______和 平行 _______两种 ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么 这两条直线____；②同位角相等，两直线 平行 平行 ______；③内错角相等，两直线______；④ 平行 互补 同旁内角______，两直线平行；⑤垂直于同 平行 一直线的两直线_______
图15－12
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
15．如图15－13，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，求∠4的度数．
图15－13
解：如图，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1(对顶角相等)， ∴∠2＝∠5.∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． ∴∠3＝∠6＝55° (两直线平行，内错角相等)． 故∠4＝180° －55° ＝125° .
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
┃考向互动探究与方法归纳┃
┃典型分析┃
例 如图15－14，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中 ∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个 加以说明．
图15－14
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
[解析]
关键是过转折点作出平行线，根据两直线平行，内
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
性质 线段 中点 公理
直线 射线 线段
无端点，可以向两边无限延伸 1个端点，可以向一边无限延伸 2个端点，不能向两边延长
将一条线段平均分成相等的两条线段
最短 ①两点之间，线段______； 且只有 ②经过两点，有________一条直线
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
平行线
平行线 的判定
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
平行线 的性质 平行线的 判定与性 质的区别
相等 ①两直线平行，同位角______； 相等 ②两直线平行，内错角____； 互补 ③两直线平行，同旁内角______ ①已知直线平行，求角用性质； ②根据角的大小关系去判定直线 是否平行用判定
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
第16讲
三角形与全等三 角形
第16讲┃ 三角形与全等三角形
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 三角形的分类及重要线段
钝角
直角三角形 三角形 内
直角 顶点
外
第16讲┃ 三角形与全等三角形
三角形 三角形的中线平分三角形的面积 的中线 三边 三角形的 三角形的角平分线的交点到三角形的_______距 角平分线 离相等 三角形的 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边 中位线 的_______ 一半
第15讲┃ 几Biblioteka 初步、相交线与平行线考点3
相交线
对顶角的 性质
相等 对顶角________
垂线
两条直线相交所成的角为 定义 直角 ________时，则这两条直线垂直 且只有一 1.过一点有________条直线与已知 性质 直线垂直； 最短 2．垂线段________
垂线段 直线外一点到这条直线的________的长
13．如图15－11，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点 F、E，EG是∠FED的平分线，交AB于点G.若∠QED＝40°，那 么∠EGF等于( C ) A．80° B．100° C．70° D．120°
图15－11
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
14．如图15－12，是我们生活中经常接触的小刀，刀片的 外形是一个直角梯形，刀片上下是平行的，转动刀片时会形成 90 ∠1和∠2，则∠1＋∠2＝________度．
图15－5
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
[解析]
∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1＋2＝3个锐
角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1＋2＋3＝6个锐角；在 锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1＋2＋3＋4＝10个锐角；„以 此类推，从一个锐角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1 1 ＋2＋3＋„＋(n＋1)＝ ×(n＋1)×(n＋2)， 2 1 ∴画10条不同射线，可得锐角的个数为 ×(10＋1)×(10＋2)＝ 2 66.
角的概念 角的表示 角的分类 余角与补 角 角的计算
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
4.[2012· 清远]已知∠α＝35°，则∠α的余角是( B ) A．35° B．55° C．65° D．145° 46 55 5．计算：33°52′＋21°54′＝________°________′.
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
图16－2
第16讲┃ 三角形与全等三角形
3．要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接 到达A、B的点C，连接CA、CB，分别在线段CA、CB上取中点D、 E，连接DE，测得DE＝35 m，则可得A、B之间的距离为( B ) A．30 m B．70 m C．105 m D．140 m
图16－3
第15讲 几何初步、相交线与平行线 第16讲 三角形与全等三角形 第17讲 等腰三角形 第18讲 直角三角形 第19讲 图形的相似 第20讲 锐角三角函数
第15讲 几何初步、相交 线与平行线
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 直线、射线和线段的概念及其性质
点到直线 的距离
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
8.如图15－6，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为 48° O，如果∠EOD＝42°，则∠AOC＝________．
图15－6
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
9．如图15－7，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC， ∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．
1.如图15－1，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线 段条数是( C ) 图15－1 B．2条 D．4条
A．1条 C．3条
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
① 2．如图15－2，从A地到B地走________路线最近，它根据的 两点之间，线段最短 是_________________．
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
[方法技巧]两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直 线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目 的．
第15讲┃ 几何初步、相交线与平行线
如图15－16，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC 与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．
直线是一根拉直的线，射线是直线上的一点和一 旁的部分，线段是直线上的两点及其中间部分 ①用一个小写的英文字母表示；②用表 直线 示直线上两个点的两个大写字母来表示 ①用一个小写的英文字母表示；②用表 表示 射线 示射线端点和另一点的两个大写字母来 方法 表示，且表示端点的字母要写在前面 ①用一个小写的英文字母表示；②用表 线段 示线段端点的两个大写字母来表示 概念
2013中考真题-三角形
2013中考真题—三角形一：填空题 1、（2013•郴州）如图，点D 、E 分别在线段AB ，AC 上， AE=AD ，不添加新的线段和字母，要使△ABE ≌△ACD ， 需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．2、（2013，娄底）如图，AB AC ，要使ABE ACD △≌△， 应添加的条件是_______________.（添加一个条件即可）.3、（2013•乐山）如图7，在四边形ABCD 中，∠A=45º。
直线l 与边AB 、AD 分别相交于点M 、N ，则 ∠1+∠2= 。
4、（2013凉山州）已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．5、（2013•沈阳）已知等边三角形ABC 的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P ，若点P 到AB 的距离是1，点P 到AC 的距离是2，则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是 _________6、、（2013鞍山）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是 ．7、（2013•漳州）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 是斜边AB 的中点，DE⊥AC,垂足为E ，若DE=2，CD=52,则BE 的长为 _。
8、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知A （4，3），P 是坐标轴上的一点，若以O ，A ，P 三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P 共有 个，写出其中一个点P 的坐标是 ． 9、（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 ．CAFB ED 10、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O 是原点，已知A （4，3）， P 是坐标轴上的一点，若以O ，A ，P 三点组成的三角形为等腰三角形， 则满足条件的点P 共有 个，写出其中一个点P 的坐标是 ．三：选择题1、（2013•宿迁）在等腰ABC ∆中，90ACB ∠=，且1AC =．过点C作直线l ∥AB ，P 为直线l 上一点，且AP AB =．则点P 到BC 所在直线的距离是 A ．1 B ．1．1２、2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，３、（2013•内江）把一块直尺与一块三角板如图放置， 若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）４、（2013•泸州）如图，在等腰直角ABC ∆中，90ACB O∠=， O 是斜边AB 的中点，点D 、E 分别在直角边AC 、BC 上，且90DOE O ∠=，DE 交OC 于点P.则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）ABC ∆的面积等于四边形CDOE 面积的2倍； （3）CD CE +=；（4）222AD BE OP OC +=⋅.其中正确的结论有A.1个B.2个C.3个D.4个５、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB ＝AC ，AD ＝AF ，点D 、E 为BC 边上的两点，且∠DAE ＝45°，连接EF 、BF ， 则下列结论：①△AED ≌△AEF ②△ABE ∽△ACD ③BE ＋DC ＞DE④BE 2＋DC 2=DE 2，其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ６、（2013• 淄博）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC =10，则PQ 的长为（ ）A BDEPQ （第12题）第12题图（A ）32 （B ）52 （C ）3 （D ）4 ７、（2013•绥化）已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的个数是（ ）直线BD 翻折后，点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么△ABE 的面积是（ ） B ．三：解答证明题： 1、（2013•铜仁）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B ，C ，D 在同一条直线上. 求证：BD=CE.2、（2013，永州）如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN （2）求△ABC 的周长.3、（2013凉山州）如图，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．4、（2013•内江）已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．2013内江 2013沈阳5、（2013•沈阳）如图，ABC ∆中，AB=BC ，BE⊥AC 于点E ，AD⊥BC 于点D ，45BAD ∠=︒,AD 与BE 交于点F ，连接CE ， （1）求证：BF=2AE（2）若CD =AD 的长。
中考数学复习第四章图形的初步认识与三角形第17讲等腰三角形与直角三角形
12
【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形 的内角和即可得到结论．
第一部分 教材同步复习
13
1.(2017海南)已知△ABC的三边长分别为4,4,6，在△ABC所在平面
内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样
的直线最多可画__________条． A．3
第一部分 教材同步复习
6
(2)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则 AB 边上的中线长为
A．1
B．2
(A )
C．1.5
D． 3
(3)已知直角三角形中 30°角所对的直角边为 2 cm，则斜边的长为
(B )
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
第一部分 教材同步复习
周长：c＝a＋b＋c；
周长、 面积
面积：SRt△ABC＝12ab＝12ch(其中
a，b
为两个直角边，c
为斜边，h
为斜边上
的高)
第一部分 教材同步复习
知识点四 等腰直角三角形的判定与性质
【回顾】
(1)等腰直角三角形的直角边为 2，则斜边的长为
A． 2
B．2 2
C．1
D．2
1 (2)等腰直角三角形的斜边长 2，则它的面积为___2_______.
第一部分 教材同步复习
8
(1)有一个角为⑤___9_0_°_____的三角形是直角三角形；
判 (2)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么 定 这个三角形是直角三角形；
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
2013中考数学解直角三角形(答案)
DABCEF新思维教育一对一个性化教案授课日期： 2013 年 1月 日学生姓名 教师姓名 授课时段年 级 初三学 科数学课 型一对一教学内容解直角三角形在实际问题中的运用 教 学 重、难点要点一：锐角三角函数的基本概念1.(·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？2.（綦江中考）如图，在矩形A B C D 中，E 是BC 边上的点，A E B C =，D F AE ⊥，垂足为F ，连接D E ．（1）求证：A B E △D F A ≌△；（2）如果10A D A B =，=6，求sin E D F ∠的值．AOBEC D3、（宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．4、（肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.5、（·芜湖中考）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B D A C =∠，(1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长．要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题1.（·钦州中考）sin30°的值为（ ）A ．32B ．22C ．12D ．332.（长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，3.(定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B ．83米 C ．833米 D ．433米4.宿迁中考）已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（ ）Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 5.（毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（ ）A ．1323⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，B ．3323⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．1323⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 6.（襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos 30+ 等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）3 三、解答题11.（·黄石中考）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°12.（崇左中考）计算：0200912sin 603tan 30(1)3⎛⎫-++- ⎪⎝⎭°°．13.（义乌中考）计算：33sin 602cos 458-+要点三、解直角三角形在实际问题中的运用1.（庆阳中考）如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（3 1.7≈，结果精确到整数）2.（郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角 为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）3、（眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。
中考数学复习讲义课件 第4单元 小专题3 中点问题的六种方法
和 DE 的中点，连接 AG，FG.当 AG＝FG 时，线段 DE 的长为( A )
A． 13
B．52 2
C．
41 2
D．4
方法二 遇到直角三角形斜边的中点，构造斜边中线
直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜 边的一半，即 CD＝AD＝BD＝21AB”来证明线段间的数量关系，且可以得到 两个等腰三角形：△ACD，△BCD，该方法经常会与中位线定理一起综合应用．
7．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 BC，AD 的中点，点 F 在 BE 上，且
EF＝2BF.若 S△BCFBiblioteka 2cm2，则 S△ABC 为( C )
A．4cm2
B．8cm2
C．12cm2
D．16cm2
8．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD，
BE，CF 交于一点 G，BD＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC 的面积 是( D )
A．10
B．5
C．4
D．3
6．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD．若
BD＝1，BC＝3，则 AC 的长为( A )
A．5
B．4
C．3
D．2
方法四 中线等分三角形的面积
AD 是△ABC 的中线，则 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC，即△ABD 与△ACD 是等 底等高的两个三角形．
解：延长 AE 交 BC 于点 F. ∵点 E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. ∵AB⊥BC，AB⊥AD， ∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠BCE.
在△AED 和△FEC 中，∠DEA＝DEC＝E，∠FCE， ∠AED＝∠FEC，
2013年中考数学知识点三角形复习三角形与四边形
∴∠ BOC＝90°－∠ BOD＝45°，由 OB平行于水平面可得，∠ 1＝∠ BOC＝45°．
第 2 讲 三角形 第 1 课时 三角形
图 D31
A 级 基础题 1．如图 X4－ 2－ 1，△ ABC中， ∠ A＝70°， ∠B＝60°， 点 D在 BC的延长线上， 则∠ ACD 等于 ( C )
图 X4－ 2－ 1 A．100° B ．120° C ．130° D ．150° 2．已知如图 X4－ 2－ 2 中的两个三角形全 等，则 α 度数是 ( D )
解析：由题意可得 1<x－5<7，解得 6<x<12.
a 9．若△ ABC的周长为 a，点 D、 E、 F 分别是△ ABC三边的中点，则△ DEF的周长为 2.
a
解析：由题意可得△
DEF的三边为△ ABC的中位线，故其周长为
. 2
10．在△ ABC中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝3∶ 4∶ 5，则∠ A＝45°， ∠ B＝60° . 11． (2011 年江西 ) 如图 X4－ 2－ 5，两块完全相同的含 30°的直角三角形叠放在一起， 且∠ DAB＝30°. 有以下四个结论： ① AF⊥ BC ；②△ ADG≌△ ACF; ③ O为 BC的中点； ④ AG∶
图 X4－ 1－14
1
1
1
1
解： (1) ∠ MON＝∠ COM－∠ CON＝ 2∠ AOC－ 2∠ BOC＝ 2×120°－ 2×30°＝ 45°．
1
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1
(2) ∠ MO＝N ∠ COM－∠ CON＝ 2∠ AOC－2∠ BOC＝ 2( α ＋30°) － 2× 30°＝ 2α .
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2013年中考数学特殊三角形
3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°. (1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2＋b2＝ c2 ； (2)角与角的关系：∠A＋∠B＝ 90° ； (3)边与角的关系： 若∠A＝30°，则a＝c，b＝c； 若a＝c，则∠A＝30°； 若∠A＝45°，则a＝b＝c； 若a＝c，则∠A＝45°； 斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径． (4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三 角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形．
探究提高 在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一 线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解， 这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．
(2)(2011·鸡西)已知三角形相邻两边长分别为20 cm和 30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积 为__________cm2.
探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， 也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨 论．
3．(2011·芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°， F是高AD 和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )
A．2
B．4
C．3
D．4
答案 B 解析 在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易证 △BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.
中考复习——特殊三角形
基础知识 自主学习
要点梳理
1．等腰三角形： (1)性质： 两腰 相等，两底角 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形．
中考数学复习讲义课件 第4单元 第20讲 解直角三角形及其应用
3≈277(m)． 277m.
8．(2021·娄底)我国航天事业捷报频传，“天舟二号”于 2021 年 5 月 29 日成 功发射，震撼人心．当“天舟二号”从地面到达点 A 处时，在 P 处测得点 A 的仰角∠DPA 为 30°且 A 与 P 两点的距离为 6km，它沿铅垂线上升 7.5s 后到达 B 处，此时在 P 处测得点 B 的仰角∠DPB 为 45°，求“天舟二号” 从 A 处到 B 处的平均速度．(结果精确到 1m/s，取 3≈1.732， 2≈1.414)
解：由题意，得∠DPA＝30°，∠DPB＝45°，AP＝6km，∠BDP＝90°. ∴在 Rt△APD 中，AD＝12AP＝3km，PD＝AP·cos30°＝6× 23＝3 3(km)． ∴在 Rt△BPD 中，BD＝PD·tan45°＝3 3km. AB＝BD－AD＝3 3－3≈2.196(km)＝2196(m)． 2196÷7.5≈293(m/s)． 答：“天舟二号”从 A 处到 B 处的平均速度约为 293m/s.
答：河宽 EF 的长度约为 53.3m.
10．(2021·怀化)政府将要在某学校大楼前修一座大桥．如图，宋老师测得大楼 (2014·常德)如图，A，B，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB， BC 表示连接缆车站的钢缆．已知 A，B，C 所处位置的海拔 AA1，BB1，CC1 分别为 160 米，400 米，1000 米，钢缆 AB，BC 分别与水平线 AA2，BB2 所成 的夹角为 30°，45°，求钢缆 AB 和 BC 的总长度．(结果精确到 1 米)
解：过点 C 作 CF⊥AE 于点 F. 则 FC＝AD＝20m，AF＝DC． 在 Rt△ACF 中，∠EAC＝22°. ∵tan∠EAC＝FACF＝tan22°≈25， ∴DC＝AF≈52FC＝52×20＝50(m)．
2013中考数学热点考点解析-三角形 课件
证明：在△ABE 和△ACD 中， ∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD，
∴∠B＝∠C.
★考点误区★
易错题：(2011 年江西)如图 4－2－7，下列条件中，不能证
明△ABD≌△ACD 的是( A．BD＝DC，AB＝AC )
B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC 正解：D 图 4－2－7
解答题
知识点 全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定与性质
分值(分) 2
2010
2011
2
6
解答题
全等三角形的判定与性质
1.三角形的边角关系
(1)边与边的关系： 大于 小于 三角形任意两边之和______第三边，任意两边之差_____° 180° ①三角形的内角和等于______，外角和等于______；
A．3,8,4
C．15,20,8
B. 4,9,6
D. 9,15,8
3．(2011 年浙江义乌)如图 4－2－1，DE 是△ABC 的中位 线，若 BC 的长是 3 cm，则 DE 的长是( B )
图 4－2－1
A．2cm
B．1.5cm
C．1.2cm
D．1cm
小结与反思：三角形任何两边之和大于第三边，任何两边 之差小于第三边；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三
垂线 (3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画_____， 顶点和垂足间的线段． 中点 (4)中位线：连接三角形两边______的线段．三角形的中位 一半 线平行于第三边，并且等于第三边的______．
3．三角形的分类
（1）按角的关系分类：
2013中考数学复习第四单元 三角形(二)(共56张PPT)
)
2．有一块多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积 为300 cm2，其中一条边的长度为5 cm.经测量，这条边的实 际长度为15 m，则这块草坪的实际面积是( C ) A．100 m2 B．270 m2 C．2700 m2 D．90000 m2
第19讲┃ 图形的相似
3．如图19－1，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，求 BD BF 的值．
第18讲┃ 直角三角形
7．园丁住宅小区有一块草坪如图18－6所示．已知AB＝3 米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪 B 的面积是( ) A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
图18－6
第18讲┃ 直角三角形
8．如图18－7，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌 而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若 用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2 ＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法一定正确的 是( B ) A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
第19讲┃ 图形的相似
4. 如 图 19 － 2 ， 要 使 △ACD∽△ABC ， 只 需 添 加 条 件 ： ________．(只要写出一种合适的条件即可)
图 19－2
答案不唯一，如∠ACD＝∠ABC 或∠ADC＝∠ACB 或 AC∶AB＝ AD∶AC
第19讲┃ 图形的相似
5．如图 19－3，点 A、B、C、D、E、F、G、H、K 都是 7×8 方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点 M 应是 F、G、H、K 四点中的( C )
图18－11
第18讲┃ 直角三角形
第19讲
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
1．(2022·湖州)如图，已知在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△
EBC的面积是
（ B）
A．12
B．9
C.6
ห้องสมุดไป่ตู้
D．3 2
重难点2：与直角三角形有关的证明与计算 如图①，图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是BC边上
分别航行12海里和16海里，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20海
里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北北偏东偏5东0 °方向
航行．
50°
重难点 1：与等腰三角形有关的证明与计算 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点．
(1)如图①，若∠BAC＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，则∠B 的度数为
第三节 等腰三角形与直 角三角形
【考情分析】等腰三角形、直角三角形在选择题、填空题中主要考查： ①利用性质求角度；②求线段长度或取值范围；③在坐标系中求点的坐 标；④利用勾股定理及直角三角形的性质进行相关计算．在解答题中大 多结合二次函数或圆，探究等腰三角形的形状或利用等腰三角形的性质 解决存在性探究问题、直角三角形的探究问题．
是
（A ）
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
5．(2022·贺州第6题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56
°，则∠A的度数为
（ A）
A．34°
B.44°
C．124°
D．134°
6．(2022·梧州第16题3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分 别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m，那么CD ＋DE的长是44 m.