角度计算中的动态问题
七年级动点问题三角形
七年级动点问题三角形摘要：一、动点问题的引入二、七年级动点问题的三角形类型三、解决动点问题的方法与技巧四、动点问题在实际生活中的应用五、总结与反思正文：一、动点问题的引入动点问题，顾名思义，是指问题中涉及到一个动态的点。
在数学中，动点问题常常以图形中的一个点或线段在不断地运动为背景，要求我们求解某个与运动相关的量。
动点问题以其生动的形象和较高的思维难度，一直以来都是数学教学中的热点和难点。
二、七年级动点问题的三角形类型在七年级的数学学习中，动点问题的三角形类型主要包括以下几种：1.求解三角形的周长和面积，给定三角形的三个顶点和一个动点，要求我们求解在一定条件下，三角形的周长或面积的最大值或最小值。
2.求解三角形的角度，给定三角形的三个顶点和一个动点，要求我们求解在一定条件下，某个角度的最大值或最小值。
3.求解三角形的边长，给定三角形的三个顶点和一个动点，要求我们求解在一定条件下，某个边长的最大值或最小值。
三、解决动点问题的方法与技巧解决动点问题的方法与技巧主要包括以下几点：1.观察和分析：首先要对问题进行仔细的观察和分析，找出问题的特点和关键信息。
2.抽象和建模：将问题抽象成数学模型，建立适当的数学关系式。
3.分类和讨论：根据问题的不同情况，进行分类讨论，以便找到问题的解。
4.计算和验证：对求解的结果进行计算和验证，确保结果的正确性。
四、动点问题在实际生活中的应用动点问题在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计中，要考虑建筑物的采光问题，就需要求解在一定条件下，窗户的最大尺寸或最小尺寸；在物流运输中，要考虑货物的运输路线，就需要求解在一定条件下，运输路线的最短距离或最短时间。
五、总结与反思动点问题以其生动的形象和较高的思维难度，一直以来都是数学教学中的热点和难点。
物体的动态平衡问题解题技巧
物体的动态平衡问题解题技巧动态平衡问题解题技巧一、总论1、动态平衡问题的产生——当三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或方向不断变化，但物体仍然平衡时，就会产生动态平衡问题。
典型关键词包括缓慢转动、缓慢移动等。
2、动态平衡问题的解法——解析法和图解法。
解析法：画好受力分析图后，进行正交分解或斜交分解，列出平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后通过角度变化分析判断力的变化规律。
图解法：画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。
3、动态平衡问题的分类——包括动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、等腰三角形等。
二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形。
例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。
设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。
不计摩擦，在此过程中，FN1和FN2的变化规律是？解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出FN1和FN2随夹角变化的函数，然后通过函数讨论。
解析】小球受力如图，由平衡条件，有FN2sinθ-mg=0，FN1cosθ=FN2sinθ，联立可解得FN2=mg/θ，FN1=sinθ/tanθ。
木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知FN1和FN2都一直在减小，因此选B。
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向变化规律转动FN2，即可看出结果。
解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，FN1的方向始终水平向右，而FN2的方向逐渐变得竖直。
几何旋转角度变化问题
几何旋转角度变化问题几何旋转角度变化问题1. 引言几何旋转是数学中一个常见的概念，广泛应用于不同领域，如物理、工程、计算机图形学等。
在几何中，我们经常需要计算物体在旋转过程中的角度变化，以便更好地理解和描述旋转的特性。
本文将探讨几何旋转角度变化问题，并从不同角度对其进行全面评估。
2. 几何旋转的基本概念在几何中，旋转是指将一个物体绕一个中心点按照一定规律旋转的过程。
旋转可以沿不同轴进行，如二维平面的旋转可以沿x轴、y轴或z 轴进行，三维空间的旋转还可以包括绕任意轴旋转。
在旋转过程中，我们关注的一个重要指标是旋转的角度变化。
3. 旋转角度的计算方法为了计算旋转角度的变化，我们需要了解旋转过程中的基本知识和数学公式。
在二维平面中，例如绕z轴旋转的角度变化可以通过两点的坐标差异来计算，根据三角函数的关系，我们可以得到旋转角度的计算公式。
类似地，在三维空间中，我们可以使用向量和矩阵运算来计算旋转角度的变化。
这些计算方法可以帮助我们更好地理解旋转过程，并准确地计算旋转角度的变化。
4. 几何旋转角度变化问题的应用几何旋转角度变化问题在许多领域都有广泛的应用。
在物理中，旋转角度的变化与物体的动力学性质直接相关。
在工程中，旋转角度的变化可以帮助我们设计各种机械装置、车辆操控系统等。
在计算机图形学中，旋转角度的变化是实现三维模型的动画效果的关键。
通过探索和理解几何旋转角度变化问题，我们可以更好地应用到各个领域，推动科学和技术的发展。
5. 个人观点与理解几何旋转角度变化问题是一个富有挑战性和迷人的研究课题。
在我的个人观点中，几何旋转角度的变化不仅仅是一个数学问题，更涉及到物理、空间感知和计算问题。
在解决几何旋转角度变化问题时，我认为从简到繁、由浅入深的方法是非常有效的。
我们可以通过简单的二维旋转问题来理解基本的概念和计算方法，然后逐步扩展到更复杂的三维旋转问题。
通过这种渐进的方式，我们可以更好地理解旋转的本质和规律。
部编数学七年级上册培优专题12角中的动点问题解析版含答案
培优专题12 角中的动态问题类型一：运动的三角尺问题1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°．【解决问题】（1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？（2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由．（3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”．①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根据题意画出图形可得结论；（2）分别计算出角的度数可得结论；（3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值．【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB，（2）有，理由如下：射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD．当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135°∴15t ＝180，解得t ＝12．综上，t ＝2，3，4，9，12．【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号）(2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB ）的顶点，与60°角（∠COD ）的顶点互相重合，且边OA ，OC 都在直线EF 上．固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB 第一次落在射线OF 上时停止，是否存在一个时间t （秒）使∠BOC ＝3∠AOD ？若存在，请求出所有符合题意的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①④(2)存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由见解析【分析】（1）根据三角板的特点求解即可；（2）分两种情况当OA 在∠DOE 内时，当OA 在∠DOE 外部时，利用角之间的关系求解即可．（1）解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°，∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能画出25°，35°，65°，故答案为：①④；（2）解：存在当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠，理由如下：由题意得：=5AOE t °∠，=45AOB а，60COD Ð=°，∴=180=1355BOC AOE AOB t °--°-°∠∠∠，=180=120DOE COD °-°∠∠，分两种情况：当OA 在∠DOE 内时，如图2-1所示，∴1205AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135531205t t °-°=°-°，解得22.5t =，∵22.55120´°<°，∴22.5t =符合题意；当OA 在∠DOE 外部时，如图2-2所示∴5120AOD DOE AOE t Ð=Ð-Ð=°-°，∵=3BOC AOD ∠∠，∴()135535120t t °-°=°-°，解得24.75t =，∵24.755120´°>°，∴24.75t =符合题意；∴当22.5t =或24.75t =时，=3BOC AOD ∠∠．【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B ＝∠AOB ＝45°，∠A ＝90°和∠D ＝30°，∠COD ＝60°，∠C ＝90°）按如图所示摆放使得B 、O 、D 三点共线．将三角尺ABO 绕点O 以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO 与OD 重合时停止运动，设三角尺ABO 的运动时间为t 秒．(1)当t＝10时，∠AOD＝°．(2)求出当t为何值时，边AO平分∠COD．(3)若在三角尺ABO开始旋转的同时，三角尺OCD也绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，当三角尺ABO停止旋转时，三角尺OCD也停止旋转．在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠AOD＝2∠BOC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．(3)存在，理由是：在旋转过程中，当OB在OC右侧时，∠BOC+∠AOD=60°-45°=15°∴∠AOD=23×15°=10°，综上：t的值为21秒或27【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键．．（福建三明七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t （秒）（1）当5t=秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;（2）t=秒时，边PB平分CPDÐ;（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1o的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转，①当t为何值时，边PB平分CPDÐ;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得:3:2BPD APC ÐÐ=.若存在，请求出t 的值;若不存在，请说明理由.综上所述：18t =秒或25.2秒时，:3:2BPD APC ÐÐ=．【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．类型二：角的动线问题5．（2020·河南平顶山·七年级期末）如图①，直线PQ 上依次有A 、O 、B 三点，若射线OA 绕点O 沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB 绕点O 沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图②，设旋转时间为t 秒（045££t ）．（1）POA Ð=__________度，QOB Ð=__________度．（用含t 的代数式表示）（2）在运动过程中，当AOB Ð等于60°时，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð (AOQ Ð，AOP Ð均为小于180°的角)？如果存在，直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2POA t Ð=度，4QOB t Ð=度；（2）当AOB Ð等于60°时，t=20或40；（3）射线OB 平分AOQ Ð或AOP Ð时，t=18或36.【分析】（1）∠POA 的度数等于OA 旋转速度乘以旋转时间，∠QOB 的度数等于OB 旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，和OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，两种情况，列出关于t 的等式，解出即可；（3）分OB 平分∠AOQ 和OB 平分∠AOP 两种情况，列出关于t 的等式，解出即可.【详解】（1）22POA t t Ð=´=度，44QOB t t Ð=´=度；（2）①OA 与OB 相遇前，∠AOB=60°，2604180t t ++=6120t =20t =；②OA 与OB 相遇后，∠AOB=60°，2460180t t +-=6240t =40t=，综上，当AOBÐ等于60°时，t=20或40；（3）①OB平分∠AOQ时，∠AOQ=2∠BOQ，-=´t t180224-=-t10180t=；18②OB平分∠AOP时，∠AOP=2∠BOP，()=´-t t221804t t=-23608t=10360t=，36综上，射线OB平分AOQÐ时，t=18或36.Ð或AOP【点睛】本题是对角度动态问题的考查，熟练掌握角的计算和角平分线性质的运用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键，难度相对较大.6．（2017·福建泉州·七年级阶段练习）如图，点A，B在以点O为圆心的圆上，且∠AOB=30°，如果甲机器人从点A出发沿着圆周按顺时针方向以每秒5°的速度行驶；乙机器人同时从点B出发沿着圆周按逆时针方向行驶，速度是甲机器人的两倍，经过一段时间后，甲、乙分别运动到点C，D，当以机器人到达点B时，甲乙同时停止运动，设运动时间为t，(1)当t=2秒时，则∠COD的度数是________；并请你直接写出用含t的代数式表示∠BOC，则∠BOC=________(2)探究：当时间为多少秒时，点C与点D相遇？(3)在机器人运动的整个过程中，若∠COD是∠AOB的3倍，求甲运动的时间．【答案】(1)60° ；30+5t(2)22秒(3)4秒，16秒，28秒【分析】（1）根据角的和差定义计算即可；（2）根据∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°，构建方程即可解决问题；（3）分三种情形讨论，分别构建方程即可解决问题；（1）当t=2秒时，∠AOC=20°，∠BOD=10°，∴∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=60°，∠BOC=（30+5t）°，故答案为60°，（30+5t）°；（2）甲机器人的运动速度每秒为5°，乙机器人的运动速度为每秒10°，∴∠AOC=5t，则∠BOD=10t，∵∠AOC+∠BOD+∠AOB=360°∴5t+10t+30=360，解得：t=22．所以，当时间为22秒时，点C与点D相遇．（3）分三种情况讨论：①当OC，OD运动到如图1所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t=90，解得：t=4；②当OC，OD运动到如图2所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t+90=360，解得：t=16；③当OC，OD运动到如图3所示的位置时，设甲的运动时间为t秒，则∠AOC=5t°，∠BOD=10t°，∵∠COD=90°，∠AOB=30°，∴5t+30+10t﹣90=360，解得：t=28；综上，甲运动的时间分别为4秒，16秒，28秒符合题意．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．7．（2022·湖北武汉·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝1∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的2伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝12∠AOD，称射线OD是射∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝12线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC 的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA 重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t （秒），使得∠COD 的度数是20°，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．②当t 为多少秒时，射线OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．Q 同理，若∠AOB 的度数是11BON AOB a \Ð=Ð=故答案为：40,6a°OC是OA的伴随线时，则OC是OD的伴随线时，OD是OC的伴随线时，OD 是OA 的伴随线时，则的上方．MON 为直角三角板，O 为直角顶点，30M Ð=°，ON 在射线OC 上．将三角板MON 绕点O 以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转，与此同时，射线OC 绕点O 以每秒11°的速度沿逆时针方向旋转，当射线OC 与射线OA 重合时，所有运动都停止．设运动的时间为t 秒，（1）旋转开始前，∠MOC ＝°，∠BOM ＝ °；（2）运动t 秒时，OM 转动了°，t 为 秒时，OC 与OM 重合；（3）t 为何值时，∠MOC =35°？请说明理由．【答案】（1）90°，60°；（2）108°，18；（3）11秒或25秒.【分析】（1）根据30AOC Ð=°，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上，即可得出答案；（2）根据MON 为直角三角板，得90MON Ð=°，构建方程求出t 即可解决问题；（3）分两种情况分别构建方程解决问题即可.【详解】（1）旋转前，MON 为直角三角板，ON 在射线OC 上\90MOC MON Ð=Ð=°Q 30AOC Ð=°\30AON Ð=°，\18060BOM MON AON Ð=°-Ð-Ð=°；故答案为：90°；60°.（2）Q 90MON Ð=°由题意得：90611t t °+=，18t =，故OM 转动：186108´°=°；故答案为：108°；18.（3）35MOC Ð=°Q ，由题意：()1206301135t t °+-°+=°或()3011120635t t °+-°+=°，解得：11t =或25，\11t s =或25s 时，35MOC Ð=°.【点睛】本题考查旋转变换，角的和差定义，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。
高中物理动态问题分类解析
总结：〔1〕电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。〔2〕在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。
6、理想变压器中的动态问题
理想变压器中各物理量的制约关系为：
电压制约：当变压器原、副线圈的匝数比 一定时，输出电压 由输入电压 决定，即 ，可简述为“原制约副〞。
电流制约：当变压器原、副线圈的匝数比 一定时，且输入电压 确定时，原线圈中的电流 由副线圈中的输出电流 决定，即 ，可简述为“副制约原〞。
负载制约： 变压器副线圈中的功率 由用户负载决定， 变压器副线圈中的电流 由用户负载及电压 决定，即 ； 总功率
恒定功率的加速。由公式 和 知〔其中 为阻力〕，由于 恒定，随着 的增大， 必将减小， 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到 ，这时 到达最大值 。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。因为 为变力，这种加速过程发电机做的功只能用 计算，不能用 计算。
恒定牵引力的加速。由公式 和 知，由于 恒定，所以 恒定，汽车做匀加速运动，而随着 的增大， 也将不断增大，直到P到达额定功率 ，功率不能再增大了。这时匀加速运动完毕，其最大速度为 ，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。因为功率P是变化的，这种加速过程发电机做的功只能 用计算，不能 用计算。
动态问题分析的思路程序可表示为：
例6.图9为一理想变压器，S为单刀双掷开关，P为滑动变阻器的滑动触头， 为加在原线圈两端的电压， 为原线圈中的电流强度，那么保持 及P的位置不变，S由a合到b时， 将增大。保持 及P的位置不变，S由b合到a时，R消耗的功率减小。保持 不变，S合在a处，使P上滑， 将增大。保持P的位置不变，S合在a处，假设 增大， 将增大。
角的动态问题练习题(答案)
①∠AOB=120°，射线OC从OA开始以4°/秒的速度绕O点顺时针旋转；同时射线OD从OB开始以1°/秒的速度绕O点逆时针旋转。
设旋转的时间是t秒，则t= 秒时，OC与OD第一次重合。
OC第一次与OB重合时，∠AOD=°。
答案：24 ，90解析：相遇问题，120÷(4+1)=24(秒)OC第一次与OB重合用的时间是120÷4=30秒，OD旋转的角度：30×1°=30°所以∠AOD=120°-30°=90°②直线AC上，∠AOB=30°，∠AON=15°。
射线ON绕着点O，以5°/秒的速度顺时针旋转，多少秒后ON恰好平分∠BOC。
答案：18解析：根据条件可以先求出ON要走的路程。
易知ON是∠AOB的角平分线，由于∠AOB与∠BOC的角平分线夹角是∠AOC的一半即90°，所以90÷5=18(秒)③求2点25分时，分针与时针的夹角。
答案：77.5°解析：2点时，分针与时针的夹角是60°25分钟，分针走的角度：25×6°=150°25分钟，时针走的角度：25×0.5°=12.5°夹角为150°-60°-12.5°=77.5°④直线AC上，∠AOB=30°，ON始终是∠AOB的角平分线。
射线OB绕着点O，以5°/秒的速度顺时针旋转10秒后，求此时∠NOC的度数。
答案：140°解析：10秒后∠AON的度数是(30°+10×5°)÷2=40°所以∠NOC=180°-40°=140°⑤现在时刻是3点05分，那么多少分钟后分针与时针第一次成直角。
七年级上册数学第四单元动点问题如何计算
七年级上册数学第四单元动点问题如何计算所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.方法从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P 立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A 运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n 处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
《角和角的度量》 学历案
《角和角的度量》学历案一、学习目标1、理解角的概念，掌握角的表示方法。
2、认识角的度量单位，掌握度、分、秒之间的换算。
3、会用量角器测量角的度数，能进行简单的角度计算。
二、学习重难点1、重点（1）角的概念及表示方法。
（2）角的度量单位及换算。
2、难点（1）理解角的动态定义。
（2）角度的计算。
三、学习过程（一）引入观察生活中的图片，如钟表的指针、打开的扇子、墙角等，思考这些物体中都存在什么样的几何图形？（二）角的概念1、静态定义有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
2、动态定义一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。
（三）角的表示方法1、用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠AOB。
2、用一个大写字母表示，顶点处只有一个角时才能用这种方法，如∠O。
3、用一个数字表示，在靠近顶点处画上弧线，写上数字，如∠1。
4、用希腊字母表示，在靠近顶点处画上弧线，写上希腊字母，如∠α。
（四）角的度量单位1、度将圆平均分成 360 份，每一份所对的圆心角的大小叫做 1 度，记作1°。
2、分1 度的 1/60 为 1 分，记作1′。
3、秒1 分的 1/60 为 1 秒，记作1″。
（五）度、分、秒的换算1°＝60′ 1′ ＝60″ 1° ＝3600″（六）量角器的使用1、认识量角器量角器是把半圆平均分成 180 等份，每一份所对的角的大小是 1 度。
2、测量角的步骤（1）把量角器的中心与角的顶点重合。
（2）零刻度线与角的一边重合。
（3）角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
（七）角度的计算例 1：计算48°39′ ＋67°41′解：48°＋ 67°＝ 115°39′ ＋41′ ＝80′ ＝1°20′所以48°39′ ＋67°41′ ＝116°20′例 2：计算180° 79°19′解：180°＝179°60′179° 79°＝ 100°60′ 19′ ＝41′所以180° 79°19′ ＝100°41′（八）课堂练习1、下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O 三种方法表示同一个角的图形是（）A B C D2、计算：（1）56°18′ ＋72°48′（2）90° 35°27′3、如图，已知∠AOB ＝ 70°，∠BOC ＝ 20°，OD 平分∠AOC，求∠COD 的度数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角度计算中的动态问题1——射线的旋转
【导学提示】1.结合线段中的动点和动线段问题进行思考，类比的方法学习角的动态问题。
2.注意角的内部外部变化所带来的分类讨论问题。
例1. 如图1，∠AOB ＝120°，射线OP 以1°/秒的速度从OA 出发，射线OQ 以2°秒的速度从OB 出发，两条射线同时开始逆时针转动t 秒．
(1)当t ＝10秒时，求∠POQ 的度数．
(2)如图2，在射线OQ 、OP 转动过程中，射线OE 始终在∠BOQ 内部，且OF 平分∠AOP ，若∠EOF ＝120°不变，求EOQ BOE
∠∠的值．
练习1．（本题12分）(1) 已知：在∠AOB 内作射线OD 、OC 、OE ，如图1，∠AOB 是一个直角，任作射线OC ，再分别作∠AOC 和∠BOC 的平分线OD 、OE ，求∠DOE 的度数
(2) 已知：在∠AOB 内作射线OD 、OC 、OE 、OF ，如图2，∠AOB ＝140°，∠COD ＝16°，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠AOC ．当∠COD 绕点O 在∠AOB 内旋转时，求∠EOF 的大小
(3) 已知：∠AOB 是一个直角（如图3），作射线OC ，再分别作∠AOC 和∠BOC 的平分线OD 、OE ．当射线OC 在∠AOB 外绕点O 旋转时，请直接写出∠DOE 的大小
图2
图1
Q
P
O
F
E
B
A A B
O P
Q
练习3.(本题12分)已知∠AOB=150°,OC 为∠AOB 内部的一条射线,∠BOC=60°。
(1)如图1,若OE 平分∠AOB,OD 为∠BOC 内部的一条射线,∠COD=
2
1
∠BOD,求∠DOE 的度数； (2)如图2,若射线OE 绕着O 点从OA 开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB 结束、OF 绕着 O 点从OB 开始以5度秒的速度逆时针旋转至OA 结束,运动时间为t 秒,当∠EOC=∠FOC 时， 求t 的值:
(3)若射线OM 绕着O 点从OA 开始以15度秒的速度逆时针旋转至OB 结束,在装转过程中,ON 平分∠AOM,试问2∠BON 一∠BOM 在某时间段内是否为定值,若不是,请说明理由；若是
请补全图形,求出这个定值并写出t 所在的时间段。
(本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
角度计算中的动态问题2——角的旋转1（不含确定运动速度）
【方法归纳】
1.结合线段中的动点和动线段问题进行思考，类比的方法学习角的动态问题。
2.注意角的内部外部变化所带来的分类讨论问题。
例1．已知∠AOB 和∠COD 均为锐角，∠AOB ＞∠COD ， OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，将∠COD 绕着点O 逆时
针旋转，使∠BOC ＝α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB ＝60°，∠COD ＝40°，
①当α＝0° 时，如图1，则∠POQ ＝____________． ②当α＝80° 时，如图2，求∠POQ 的度数．
③当α＝130° 时，如图3，请先补全图形，然后求出∠POQ 的度数． （2）若∠AOB ＝m °，∠COD ＝n °，m ＞n ，则∠POQ ＝____________．
练习1. 已知∠AOB=100°，∠COD=40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD 。
（本题中所有角大于0°，小于180°） （1）如图，当OB ，OC 重合时，求∠EOF 的度数。
（2）当∠COD 从如图所示位置绕O 点顺时针旋转n °（0<n<90）时，∠AOE-∠BOF 的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF 的值；若不是，请说明理由。
（3）当∠COD 从如图所示的位置绕点O 顺时针旋转n °（0<n<180）时，满足∠AOD+∠EOF=6∠COD ，则n= 。
图1
图2
练习2. （2017-2018武昌T24）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM
＝1
3
∠AOC，∠BON＝
1
3
∠BOD．
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝°；（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝时，∠MON＝2∠BOC．
角度计算中的动态问题2——角的旋转2（含确定运动速度）
【方法归纳】
1.结合线段中的动点和动线段问题进行思考，类比的方法学习角的动态问题。
2.注意角的内部外部变化所带来的分类讨论问题。
例1. 如图，已知∠AOC ＝∠BOD ＝120°，∠BOC ＝35
∠AO D ．
(1)求∠AOD 的度数；
(2)若射线OB 绕点O 以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC 以每秒旋转15°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t 秒(0＜t ＜6)，试求当∠BOC ＝20°时t 的值；
(3)若∠AOB 绕点O 以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠COD 绕点O 以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t 秒(0＜t ＜18)，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ，在旋转的过程中，∠MON 的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变，说明理由．
练习1．已知∠AOB ＝110°，∠COD ＝40°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD (1) 如图1，当OB 、OC 重合时，求∠AOE －∠BOF 的值
(2) 如图2，当∠COD 从图1所示位置绕点O 以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t ＜10），在旋转过程中∠AOE －∠BOF 的值是否会因t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由 (3) 在(2)的条件下，当∠COF ＝14°时，t ＝__________秒
D
C
B
O
A
练习2．如图，直线CD 与EF 相交于点O ，∠COE ＝60°，将一直角三角尺AOB 的直角顶点与O 重合，OA 平分∠COE (1) 求∠BOD 的度数
(2) 将三角尺AOB 以每秒3°的速度绕点O 顺时针旋转，同时直线EF 也以每秒9°的速度绕点O 顺时针旋转，设运动时间为t 秒（0≤t ≤40）
① 当t 为何值时，直线EF 平分∠AOB ② 若直线EF 平分∠BOD ，直接写出t 的值
练习3. 如图，∠COD ＝20°，∠AOB ＝80°，且边OB 、OC 在一条直线上 (1) 求∠AOD
(2) 若将∠COD 绕顶点O 以10°每秒的速度逆时针方向旋转一周（∠AOB 保持不动），则旋转过程中，经过时间t 秒时，射线OB 刚好平分所得的某个角（小于平角的角），则所有满足这种情况的t 的值有_______________________
(3) 若将∠COD 绕顶点O 以a 度每秒的速度逆时针方向旋转的同时，将∠AOB 绕顶点O 以b 度每秒的速度顺时针方向旋转，若a 与b 满足(a －14)2＋|b －6|＝0
① 直接写出a 与b 的值分别为______________
② 若∠COD 和∠AOB 同时开始旋转t 秒，且4＜t ＜5，射线OP 为∠COD 内部的一条射线，问在旋转过程中POC
AOB AOC
BOP ∠-∠∠-∠是否为定值？若是定值，求出其值；若不是定值，请说明理由。