广东省2020届高三调研考试I理科数学

广东省2020届高三调研考试I
数学（理科）
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}4<=x x A ，{}052≤-=x x x B ，则=B A A.{}40<≤x x B.{}5≤x x C.{}40<<x x D.{}
0≤x x 2. 函数83)(-=x
x f 的零点为 A.
3
8 B.2log 33 C.83 D.3log 8 3. 若复数i
z 21+的虚部为1-，则z 可能为 A.
51 B.4
1 C.31 D.21 4. 为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情
况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示。

对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是
A.他们健身后，体重在区间)100,90[kg kg 内的人增加了2个
B.他们健身后，体重在区间)110,100[kg kg 内的人数没有改变
C.他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kg
D.他们健身后，原来体重在区间)120,110[kg kg 内的肥胖者体重都有减少
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.π115
B.π140
C.π165
D.π215
6. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨
论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理。

现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中4=AB ，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则=⋅AD AB
A.144
25 B.
16925 C.25169 D.25144 7. 已知函数),0(3sin )(R x a b a x a x f ∈>++-=的值域为]3,5[-，函数
ax b x g cos )(-=，则)(x g 的图像的对称中心为 A.))(5,4
(Z k k ∈-π B.))(5,84(
Z k k ∈-+ππ C.))(4,5(Z k k ∈-π D.))(4,105(Z k k ∈-+ππ 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且45=S ，1010=S ，则=15S
A.16
B.19
C.20
D.25
9. 若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤-≥+-020204y x x y x ，且y ax z +=的最大值为62+a ，则a 的取值范
围是
A.),1[+∞-
B.]1,(--∞
C.),1(+∞-
D.)1,(--∞
10. 过双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且+FB =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 11. 已知函数x x x f cos 3)(+=，)5)(1()(2--=x x e e x g ，若]0,(1-∞∈∀x ，R x ∈∀2，
)()(21x g a x f ≤+，则a 的取值范围是
A.]2,(--∞
B.]2740,(-
-∞ C.]3,(--∞ D.]2794,(--∞ 12. 在三棱锥ABC P -中，5==BC AB ，6=AC ，P 在底面ABC 内的射影D 位于直
线AC 上，且CD AD 2=，4=PD ，设三棱锥ABC P -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为
A.8
689 B.6689 C.8265 D.
6265 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若抛物线y x 82
=上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是__________.
14. 某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2
人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为__________.
15. 已知函数)1(log )(22x x x f ++=，则不等式0)2()1(>++x f x f 的解集为_______.
16. 在数列{}n a 中，31=a ，且).22)(1()2(1-++=-+n a n a n n n
（1）{}n a 的通项公式为__________；
（2）在2019321,,,,a a a a 这2019项中，被10除余2的项数为__________.
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）如图四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是直角梯形，AD BC //，AD AB ⊥，22==BC AD ，四边形11A ABB 和11A ADD 均为正方形。

（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角A CD B --1的余弦值。

18. （本小题满分12分）设函数2
3sin cos sin 3)(2-+=x x x x f ，c b a ,,分别为ABC ∆
内角C B A ,,的对边，已知0)(=A f ，.2=b
（1）若32=a ，求B ；
（2）若c a 2=，求ABC ∆的面积。

19. （本小题满分12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从
该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图。

（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率；
（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率。

①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；
②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为p （10<<p ），若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围。

可能用到的参考数据：取0168.036.04=，.0007.016.04
= 20. （本小题满分12分）已知圆0266222=-++x y x 的圆心为1F ，直线l 过点
)0,6(2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于D C ,两点，过2F 作C F 1的平行线，交D F 1于点E ，设E 的轨迹为.Ω
（1）求Ω的方程；
（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，1l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积。

21. （本小题满分12分）已知函数x a bx x f ln )(2
+=的图像在点))1(,1(f 处的切线的斜率
为.2+a
（1）讨论)(x f 的单调性；
（2）当20e a ≤<，证明：.2)(22-+<x e x
x x f 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用B 2铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 23212，（t 为参数），曲线C 的参数方程为⎩
⎨⎧+==ααsin 33cos 3y x （α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）已知点P 的极坐标为),2(π，l 与曲线C 交于B A ,两点，求.)||||(2PB PA +
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.|1||7|)(++-=x x x f
（1）求不等式10)(2<<x f x 的解集；
（2）设][x 表示不大于x 的最大整数，若9)]([≤x f 对]9,[+∈a a x 恒成立，求a 的取值范围。