方差分析介绍及案例分析
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过将总方差分解为不同来源的方差，从而判断不同组之间是否存在显著性差异。
方差分析在生物医学、心理学、市场营销等多个领域都得到了广泛的应用。
本文将详细探讨方差分析的基本概念、方法及其实际应用。
一、方差分析的基本概念1.1 什么是方差方差是指数据集中各数据值与其均值之间的离散程度，它衡量了数据分布的变动幅度。
方差越大，数据分布越分散；相反，方差越小，数据分布越集中。
在方差分析中，我们主要关注的是不同样本均值之间的方差。
1.2 方差分析的原理在进行方差分析时，我们首先计算总体样本的总方差。
这一总方差可以分解为组间方差和组内方差。
具体来说：组间方差：代表不同组均值之间的变异程度。
组内方差：代表同一组内部样本之间的变异程度。
根据F检验原理，当组间方差显著大于组内方差时，可以认为至少有一个组的均值与其他组存在显著性差异。
这一过程可以用F统计量来表示，F统计量等于组间平均平方（Mean Square Between）除以组内平均平方（Mean Square Within）。
二、方差分析的类型2.1 单因素方差分析单因素方差分析是最基础的方差分析方法，适用于仅有一个因素对结果变量影响的情况。
例如，研究不同肥料对植物生长高度的影响，我们可以采用单因素方差分析。
在进行单因素分析时，假设我们有n个样本，每个样本在不同处理下进行观察。
通过计算各处理组均值与全局均值的偏离程度，可以判断是否有显著性差异。
2.2 双因素方差分析双因素方差分析则扩展至两个自变量对因变量影响的情况。
例如，研究不同肥料和不同光照条件下植物生长高度的影响。
在这种情况下，不仅要考虑肥料对植物生长高度的影响，还需要考虑光照对植物生长高度以及两者交互作用。
双因素分析可以帮助研究者揭示更复杂的关系，从而提供更加深入的理解。
方差分析几个案例
方差分析方法方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS 组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS 组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS 组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
方差分析的用途两个或多个样本均数的比较。
分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
分析两因素或多因素的交叉作用。
方差齐性检验。
方差分析的适用条件各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
各抽样总体的方差齐。
影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
方差分析案例
方差分析案例方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于检验三个或更多样本均值之间的差异是否具有统计学意义。
它广泛应用于社会科学、生物科学、工程学等领域。
下面是一个方差分析的案例，展示了如何使用ANOVA来分析数据。
假设我们想要研究不同教学方法对学生考试成绩的影响。
我们选择了三种不同的教学方法：传统教学法、项目式学习和翻转课堂。
每种方法分别应用于三组学生，每组有20名学生。
在教学结束后，我们收集了所有学生的考试成绩。
首先，我们需要收集数据。
对于每种教学方法，我们记录下每名学生的考试成绩。
这些数据将被用来进行方差分析。
接下来，我们使用统计软件进行ANOVA测试。
在软件中，我们将考试成绩作为因变量输入，教学方法作为自变量输入。
软件将计算出F值和对应的P值。
F值是方差分析中的关键统计量，它反映了不同组间（这里是教学方法）的方差与组内（学生成绩）的方差之间的比例。
如果F值显著大于1，并且对应的P值小于我们设定的显著性水平（通常是0.05），那么我们就可以拒绝原假设，即不同教学方法之间存在显著差异。
假设我们的ANOVA结果显示F值为5.3，P值为0.003。
这意味着我们有足够的证据拒绝原假设，认为至少有一种教学方法与其他方法相比在提高学生考试成绩方面有显著差异。
为了进一步探究哪些教学方法之间存在显著差异，我们可能需要进行事后多重比较测试。
常用的事后测试方法包括Tukey HSD（Honest Significant Difference）测试、Bonferroni校正等。
这些测试可以帮助我们确定哪些特定的教学方法组合之间存在显著差异。
最后，我们将分析结果整理成报告，包括数据收集、分析方法、ANOVA 结果、事后测试结果以及结论。
报告中会详细说明不同教学方法对学生考试成绩的具体影响，并提出可能的解释和建议。
通过这个案例，我们可以看到方差分析是一种强大的工具，可以帮助我们理解不同因素如何影响结果，并为决策提供科学依据。
方差分析几个案例
方差分析方法之迟辟智美创作方差分析是统计分析方法中，最重要、最经常使用的方法之一.本文应用多个实例来说明方差分析的应用.在实际把持中，可采纳相应的统计分析软件来进行计算.1. 方差分析的意义、用途及适用条件1.1 方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部份，再作分析.即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部份，其自由度也分为相应的部份，每部份暗示一定的意义，其中至少有一个部份暗示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部份暗示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差.SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）.如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F 值）以上，则暗示各组的均数之间有显著性不同.方差分析在环境科学研究中，经常使用于分析试验数据和监测数据.在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果发生分歧水平的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的水平和性质.1.2 方差分析的用途1.2.1 两个或多个样本均数的比力.1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响.1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用.1.2.4 方差齐性检验.1.3 方差分析的适用条件1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）.1.3.2 各抽样总体的方差齐.1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的.1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析.一般属Poisson分布的计数资料经常使用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不容易校正时，也可用对数变换法.2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比力）根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处置组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数.用方差分析比力多个样本均数的目的是推断各种处置的效果有无显著性不同，如各组方差齐，则用F检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后到达方差齐，再用变换值作F检验.如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有不同，但不能认为任何两总体均数之间都有不同，或某两总体均数之间有不同.需要时应作均数之间的两两比力，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在不同.在环境科学研究中，经常要分析比力分歧季节对江、河、湖水中某种污染物的含量有无显著性影响；各种气象条件如风向、风速、温度对年夜气中某种污染物含量的影响等问题.我们把季节、风向、风速、温度等称为因素.仅按分歧季节，或分歧的风向，或分歧的温度来分组，称为单因素.例1 某年度某湖分歧季节湖水中氯化物含量（mg/L）测定结果如表—6.1所示.试比力分歧季节湖水中氯化物含量有无显著性不同.从表—1的测定结果可见有三种变异：1. 组内变异：每个季节内部的各次测定结果不尽相同，但显然不是季节的影响，而只是由于误差（如个体不同、随机丈量误差等）所致.2. 组间变异：各个季节的均数也不相同，说明季节对湖水中氯化物的含量可能有一定的影响，也包括误差的作用.3.总变异：32次测定结果都不尽相同，既可能受季节的影响，也包括误差的作用.分歧季节湖水中氯化物含量的均数之间的变异究竟是由于误差所致，还是由于分歧季节的影响，可以用方差分析来解决此问题.方差分析可暗示：⑴从总变异中分出组间变异和组内变异，并用数量暗示变异的水平.⑵将组间变异和组内变异进行比力，如二者相差甚微，说明季节影响不年夜；如二者相差较年夜，组间变异比组内变异年夜很多，说明季节影响不容忽视.以下是三种变异的计算方法：3.1 多个方差的齐性检验已知多个样本（理论上均来自正态总体）方差，可以据此推断它们所分别代表的总体方差是否相等，即多个方差的齐性检验.其经常使用于：⑴说明多组变量值的变异度有无不同.⑵方差齐性检验.以例1为例（各组样本含量相等），如表—4所示.3.确定P值：根据υ=4—1=3，查附表—12得P<0.005.4.判断结果：由于P<0.005，因此，四组方差不齐.3.2 近似F值检验（F'检验）以例2为例，如表—6所示.公式26最经常使用，公式27适用于原数据中有小值和零时.K为常数，可以根据需要选用合适的数值.⑵对数变换的用途：①当几个样本均数作比力时，如样本方差不齐，尤其是当标准差与均数之比的比值接近时，必需经对数变换以缩小各方差之间的分歧，到达方差齐后才华进行t检验或方差分析.②适用于呈对数正态分布的资料.③在曲线拟合中，对数变换经常是直线化的重要手段，如指数曲线、双曲线、logistic曲线的直线化等.例3 欲用t检验比力某河丰水期和枯水期的河水BOD5（mg/L）含量均数，资料如表—7所示.此数据能否直接用t 检验方法？如不能，试作变量变换.二者比力接近，可以试用对数变换.⑶将X作“lgX +1”变换后，再作方差齐性检验，得F=1.72，P>0.05，两组方差齐，可以用变换值作两样本均数比力的t检验.以原数据的平方根作为统计分析的变量值，称为平方根变换.⑴平方根变换的形式：⑶百分数的概率单元变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化、正态性检验，尤其适用于剂量反应曲线的直线化.⑷百分数的logit变换：主要用于S形或反S形曲线的直线化.⑸反双曲正切变换：用于两直线相关系数的比力与合并.4. 两因素方差分析（双因素多个样本均数的比力）将试验对象按性质相同或相近者组成配伍组，每个配伍组有三个或三个以上试验对象，然后随机分配到各个处置组.这样，分析数据时将同时考虑两个因素的影响，试验效率较高.例5 某市为了研究一日中分歧时点以及分歧区域年夜气中氮氧化物含量的变动情况，该市环保所于某年1月15～19日，在市区选择了7个采样点，对年夜气中氮氧化物的含量进行测定.表—9为各个采样点每个时点五天的平均含量，试分析分歧时点、分歧区域氮氧化物含量之间有无显著性不同.5. 多因素方差分析（多因素多个样本均数的比力）在环境科学研究中，所研究的事物或现象往往是比力复杂的多因素问题，而各种因素自己尚有水平的分歧，其间往往又存在交互作用.当研究的因素在三个或三个以上时，可以用正交试验法.正交试验是一种高效、快速的多因素试验方法.正交试验的设计与分析见另外章节.“多因素多个样本均数的比力”不单可以用于正交试验，也可以用于拉丁方试验分析与析因试验分析等.6．多个样本均数间的两两比力（多重比力）经方差分析后，如果各总体均数有显著性不同时，常需进一步确定哪两个总体均数间有显著性不同，哪两个之间无显著性不同.因此，可以利用方差分析提供的信息作样本均数间的两两比力.以例5为例：（每组样本含量相等）经方差分析后，认为分歧时点以及分歧区域的氮氧化物含量之间均有高度显著性不同.现在需要进一步检验分歧时点的氮氧化物含量均数两两之间有无显著性不同.检验步伐如下：1.检验假设：各时点的氮氧化物含量均数之间两两相等.⑷q值的计算方法与上例相同.3.确定P值与判断结果如表—13所示.。
方差分析 PPT
假定原假设成立
r
2 i
i1 ＝0
1
E(S A ) =
SS A 2 1
SSA ＝ SSe
1 (r 1)
FA SA / Se 1
说明条件引起的波动与试验 误差引起的波动差不多。
§1.2 单因素方差分析
方差分析的原理
➢ （5）统计量的分布
➢方差齐性 （homoscedascity）：各水平下的总体具有相 同的方差。但实际上，只要最大/最小方差小于3，分析结果
都是稳定的。可用Levene test、Brown- Forsythe‘s Test 。
§1 方差分析
主要内容
§1.1 基本概念 §1.2 单因素方差分析 §1.3 双因素方差分析 §1.4 多因素方差分析 §1.5 多重t-test方法
∼ N (02, )
r
E( i. 2 ) 2 r
E( 2 ) 2
r
[ ] r
SS A E
( )2 r
i
i.
2 i
(
1)
2
i1 j
i1
1
SA
SS A
1
r
2 i
i1
1
2
Se =
SSe
(r 1)
2
误差方差是总体方差的无偏估计
§1.2 单因素方差分析
单因素方差分析的数学模型
（4）构造原假设和统计量
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4
§1 方差分析
主要内容
基本概念 单因素方差分析 两因素方差分析 多因素方差分析
§1.2 单因素方差分析
概述
➢单因素方差是仅仅讨论一种试验条件对试验结果有无显 著影响的分析。 ➢单因素方差分析对因素的水平数没有限制，可任意选择 ，但一般多见的是选3至6个水平。
第十七章方差分析(F检验)课件
方差分析的用途
比较不同组别之间的总体均值是否存在显著差异
例如，比较不同品种的农作物在不同地区的产量是否存在显著差异。
检验多个总体均数是否相等
例如，检验不同治疗方法对同一疾病的疗效是否相同。
评估单因素对多分类结果的影响
例如，评估不同学历对工资水平的影响。
方差分析的基本思想
方差分析的基本思想是将数据的总变异分为两部分：组间变异和组内变异。组间变异是由实验条件、处理等因素引起的，组 内变异则是由随机误差引起的。
通过比较组间变异和组内变异的比重，可以判断各组之间的差异是否由随机误差引起，从而判断各组均值是否存在显著差异。 如果组间变异远大于组内变异，说明各组之间的差异是显著的；反之，如果组内变异远大于组间变异，说明各组之间的差异 不显著。
详细描述
正态性假设是方差分析的重要前提，只有当数据分布符合正态分布时，方差分析 的结论才是可靠的。如果数据分布偏离正态分布，分析结果可能会出现偏差。
齐性
总结词
齐性假设要求各组数据的方差一致。
详细描述
方差分析要求各组数据的方差必须相等，即各组数据的离散程度一致。如果各组数据的方差不一致， 将会影响方差分析的准确性。因此，在进行方差分析之前，需要进行方差齐性检验，以确保各组数据 的方差一致。
与卡方检验的比较
相同点
两者都是用来检验分类变量之间 的关系。
不同点
卡方检验主要关注分类变量之间 的独立性，而方差分析则关注不
同组别之间的均值差异。
应用场景
卡方检验常用于检验两个分类变 量是否独立，例如性别与职业的 关系；方差分析则常用于比较不 同组别之间的分类数据，例如不
anova方差分析
anova方差分析方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用于比较多个样本均值差异的统计方法。
它通过分析样本之间的方差差异来推断总体均值是否存在显著差异。
在实际应用中，ANOVA有多种不同的形式，其中之一就是ANOVA方差分析。
本文将详细介绍ANOVA方差分析的原理、步骤以及应用。
一、ANOVA方差分析的原理ANOVA方差分析是一种通过将总体方差进行分解，来比较多个样本均值差异的统计方法。
其基本原理是将总体方差分解为两部分：组内方差和组间方差。
组内方差是指同一组内个体之间的方差，反映了个体之间的差异程度。
组间方差是指不同组之间个体均值的差异，反映了组间的差异程度。
ANOVA方差分析的核心思想就是通过比较组间方差与组内方差的大小，来判断各组均值是否存在显著差异。
二、ANOVA方差分析的步骤1. 确定假设在进行ANOVA方差分析前，首先需要明确研究的目的，并相应地提出原假设（H0）和备择假设（H1）。
通常情况下，原假设是各组均值相等，备择假设是各组均值存在显著差异。
2. 收集数据收集与研究问题相关的数据，包括各组的观测值。
3. 计算统计量利用收集到的数据，计算ANOVA方差分析所需的统计量。
主要包括组间均方（mean square between groups）、组内均方（mean square within groups）、F值等。
4. 假设检验利用计算得到的统计量，进行假设检验。
通常情况下，采用F检验进行判断，根据F值与临界值的比较结果，判断各组均值是否存在显著差异。
5. 结果解释根据假设检验的结果，给出对各组均值差异的解释。
如果拒绝原假设，则可以认为各组均值存在显著差异。
三、ANOVA方差分析的应用ANOVA方差分析在实际应用中有广泛的应用场景。
以下列举几个常见的实际应用案例：1. 教育领域研究研究不同学习方法对学生考试成绩的影响。
将学生分为几组，分别采用不同的学习方法进行学习，然后通过ANOVA方差分析比较各组学生的考试成绩是否存在显著差异。
统计7：方差分析
三. 检验Ho的统计量 检验H
可以证明，当H 可以证明，当Ho为真时，统计量
∴在给定显著性水平α下，若 F > Fα(a-1, N-a) (a- N就拒绝H 说明各水平 A 的效应间存在显著差异， 就拒绝 Ho ， 说明各水平Ai 的效应间存在显著差异 ， 或称因素A的作用是显著的。 或称因素A的作用是显著的。 由于 SA /(a-1)和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内 /(a/(N数据的样本方差， 数据的样本方差 ， 故称这种基于检验样本方差比 的方法为方差分析 的方法为方差分析。 方差分析。
催化剂 温度 A1(60 A2(70 A3(80 A4(90
O
B1 66 81 97 79
B2 73 96 79 76
B3 70 53 66 88
4
C) O C) O C) O C)
案例2 案例2要研究的问题
1.温度是否对该产品的得率有显著影响?若确有显 温度是否对该产品的得率有显著影响? 著影响， 著影响 ， 应将温度控制在什么范围内可使得率最 高? 2.催化剂是否对该产品的得率有显著影响?若确有 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 有显著影响？如确有显著影响，哪种温度和催 化剂的组合可使得率最高？
促销方式 A 1 (通 常 销 售 ) A 2 (广 告 宣 传 ) A 3 (有 奖 销 售 ) A 4 (特 价 销 售 ) A 5 (买 一 送 一 ) 12.5 13.1 15.6 17.9 18.2 月 销 售 额 (万 元 ) 15.4 11.8 14.7 12.3 16.5 13.4 19.6 21.8 17.1 16.5 13.2 13.6 13.1 20.4 16.2
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? 则F值在理论上应等于1，但由于抽样误 差的影响，F通常接近1，而并不正好等 于1。相反，若三种疗法效果不同，则 组间变异就会增大，F值则明显大于1， 要大到什么程度才有统计学意义呢？可 通过查附表4 方差分析用F界值表得到P
值，将其与事先规定的? 值比较后作出
判断。
单因素多个样本均数的比较 (analysis of one way variance)
? 处理因素只有一个
属于完全随机设计：随机抽样 随机分组 随机试验
C ? ?? X?2 N
SS总 ? ? X 2 ? C
? ? ? SS组间 ?
ni ?
Xi
?
2
X?
?
?
Xi ? 2 ? C ni
SS组内 ? ? si2 ?ni ?1?? SS总 ? SS组间
基本步骤
? 建立检验假设 ? 计算检验统计量(列方差分析表) ? 计算 P 值 ? 下结论
方差分析
? 方差分析(Analysis of Variance, ANOVA) ? 1928年由英国统计学家R.A. Fisher 首先
提出，为纪念Fisher ，以F 命名，故方 差分析又称为F 检验。
方差分析的优点
? 不受比较组数的限制，可比较多组均数 ? 可同时分析多个因素的作用 ? 可分析因素间的交互作用
建立假设
? H0 ： ? A=?B=?C ，三种治疗方案治疗婴幼儿
贫血的疗效相同， ? H1 ：三种治疗方案治疗婴幼儿贫血的疗效
不全相同或全不相同。
? ? =0.05
计算基本数据
? Xi
? Xi2
表6.4 方差分析基础数据
A
B
C
36.80
28.30
18.60
83.56
72.01
28.86
总和 83.70 184.43
计算SS总，SS组间，和SS组内
? C =(83.70) 2 /60=116.7615
? SS总=184.43－116.76=67.6685
SS组间 ?
36.802
?
28.302 20
? 18.602
? 116.7615?
8.2930
? SS组内=0.91332×19＋1.29712×19＋
?
0.7
对比组 A与B
(1)
1与3 1与2 2与3
表 6.6 三个样本均数两两比较的 q 检验
列方差分析表
变异来源
表 6.5 单因素方差分析表
SS
?
MS
F
总
67.6685
59
组间
8.2930
2
4.1465
3.98
组内(误差) 59.3755
57
1.0417
P 0.0241
界定P值，作结论
? 总自由度为N－1=60－1=59 ? 组间自由度=组数(k)－1=3－1=2 ? 组内自由度=总自由度－组间自由度
? ? q ? X A ? X B
MS误差 2
?
????
1 nA
?
1 nB
????
? H0：? A = ? B ，每次对比时两个总体均数相等； ? H1：? A≠?B ，每次对比时两个总体均数不等。 ? ? =0.05。
? 将三个样本均数按从大到小顺序排列并编上组次：
组次
1
23
均数
1.840 1.415 0.930
方差分析的应用条件
? 独立性：各样本是相互独立随机的样本 ? 正态性：各样本都来自正态总体 ? 方差齐性：各样本的总体方差相等
看一个实例
? 例6.6 某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋 白含量不满 10g 的婴幼儿贫血患者，治疗一 月后，记录下每名受试者血红蛋白的上升克 数，资料见表 6.3，问三种治疗方案对婴幼儿 贫血的疗效是否相同 ？
1.415 1.297 31.9669
C组
2.1 -0.7
1.9 1.3
1.7 1.1
0.2 0.2
2.0 0.7
1.5 0.9
0.9 0.8
1.1 -0.3
-0.2 0.7
1.3 1.4
所有数据
0.930
1.395
0.78
1.071
11.5626 67.6685
59.3755
变异分解
? 总变异
组间变异 组内变异
? 多个样本均数的两两比较不宜用t检验 ? 如用 t 检验，则第一类错误率将增大，
此时易将无差别的两均数错判为有差别
? ? ' =1-(1-? )m ( m=Ck2=k(k-1)/2)
? 如：三个组的比较 1-(1-0.05)3=0.14，比0.05大多了。
多个样本均数间的两两比较
? 用q检验(又称Student-Newman-Keuls 法，即SNK法)，统计量为q：
婴幼儿贫血治疗后血红蛋白的增加量(g)
A组 1.8 1.4 0.5 1.2 2.3 2.3 3.7 0.7 2.4 0.5 2.0 1.4 1.5 1.7 2.7 3.0 1.1 3.2 0.9 2.5
均数 标准差 SS
1.840 0.913 15.8482
B组 5.0 2.0 0.2 0.0 0.5 1.6 0.3 3.0 1.9 1.6 1.0 0.0 2.4 3.0 -0.4 0.7 2.0 1.2 1.6 0.7
? SS总=SS组间+SS组内
? ?总=?组间＋?组内
总变异——SS总（离均差平方和 ）
? ? SS总 ? ? ? Xij ? X 2
?总=N-1
组间变异——SS组间
? ? ? SS组间 ? ni Xi ? X 2
?组间=k-1
MS组间 =SS组间/(k-1)
组内变异——SS组内
? ? SS组内 ? ? ? Xi j? X i 2
? 组内=N -k
MS组内=SS组内/(N-k)
方差分析的基本思想
? 抽样误差 ? 本质上的差别 +
（组间差异）
抽样误差 （组内差异）
? 如果三种治疗方案效果相同，也即三组
样本均数来自同一总体(H0：? 1=? 2=? 3)，
那么从理论上说组间变异应该等于组内 变异，因为两者均只反映随机误差(包 括个体差异)，这时若计算组间均方与 组内均方的比值：
=59－2=57。
? 查方差分析表得F0.05(2，57)=3.15，F＞ F0.05(2,57)，则P＜0.05。
? 故按? =0.05的水准，拒绝H0，接受H1，
故可认为三种治疗方案的治疗效果不一 样。
多个样本均数的两两比较
在方差分析认为多组均数间差异有统计 学意义的基础上，若需了解究竟哪些组 均数之间有差别，还是各组间均有差别， 可用多个样本均数的两两比较(又称多 重比较 multiple comparison)。