同济高数第十一章11-3
11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
同济高数第十一章
• 函数与极限 • 导数与微分 • 导数的应用 • 不定积分 概念
函数定义
函数是数学上的一个概念，它是 一种特殊的映射关系，将一个集 合的元素按照某种规则映射到另 一个集合的元素。
函数的表示方法
函数的表示方法有多种，包括解 析法、表格法和图象法等，其中 解析法是用数学表达式来表示函 数关系。
函数的单调性与极值
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调递 增，则该函数在该区间内的导数大于等 于零；如果函数在某个区间内单调递减 ，则该函数在该区间内的导数小于等于 零。
VS
函数的极值
函数的极值是指函数在某个点的值大于或 小于其邻近点的值。如果函数在某个点的 左侧导数大于零，右侧导数小于零，则该 点为函数的极大值；如果函数在某个点的 左侧导数小于零，右侧导数大于零，则该 点为函数的极小值。
03
导数的应用
中值定理与洛必达法则
中值定理
中值定理是导数应用中的一个重要定理，它指出如果函数在闭区间上连续，开区间上可导，则在开区 间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在区间端点处的函数值之差除以区间的长度。这个定理 在研究函数的性质和解决某些问题时非常有用。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的一种重要方法，特别是处理分式函数的极限问题。如果一个分式函数的极限为 零，并且分子和分母的导数都存在且分母的导数不为零，则可以将分子和分母分别求导后再求极限， 这个法则称为洛必达法则。
导数的计算
总结词
导数的计算是理解导数概念和运用其解决问题的基础。
详细描述
通过求导公式、链式法则、乘积法则和商的求导法则等，可以计算给定函数的导数。掌握导数的计算方法对于理 解函数的性质、研究函数的极值和优化问题等具有重要意义。
高等数学同济六版第十一章11-2
思考题
收敛, 收敛? 设正项级数∑ un 收敛, 能否推得 ∑ un 收敛?
2 n =1 n =1 ∞ ∞
反之是否成立? 反之是否成立?
思考题解答
收敛， 收敛, 由正项级数 ∑ un 收敛，可以推得 ∑ un 收敛
2 ∞ ∞ n =1 n =1
n→ ∞
( 2) lim un = lim = 0,
它是收敛的。 ∴ 它是收敛的。
1 n n→ ∞
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若
∞ ∞
∑u
n=1
n
收 ,则 敛
∑u 收敛.
n=1 n
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 , 显然 v n ≥ 0,
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l un l ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2
且 sn = u1 + u2 + L + un ≤ v1 + v2 + L + vn ≤ σ ,
n =1
n=1
∞
n=1
即部分和数列有界
《高数》下册第十一章练习题
第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。
用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22(x y )nLds +⎰，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤（2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界 （4）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧 （6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x )ds Ly +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。
习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分： （1）22(xy )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx⎰，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧 （6）(x y 1)dz xdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dzΓ-⎰，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线 （2）222(x xy )dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy -+⎰，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dyL-+++-⎰，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dyx x Lx y x xy x y e dx +-+-⎰，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(xy)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。
高数下十一章重点总结+例题
高数下十一章重点总结+例题第十一章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法。
3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
4.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
5.知道散度与旋度的概念，并会计算。
6.会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。
【教学重点】1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式及其应用；3.两类曲面积分的计算方法；4.高斯公式、斯托克斯公式；5.两类曲线积分与两类曲面积分的应用。
【教学难点】1.两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分；4.应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；5.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
6.两类曲线积分的计算方法，两类曲线积分的关系；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；8.两类曲面积分的计算方法及两类曲面积分的关系；9.高斯公式、斯托克斯公式，应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；10.两类曲线积分与两类曲面积分的应用；11.应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
【教学课时分配】(14学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长); 任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ?≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为 i i i ni s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界.，将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ?=∑),(1ηξ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n }, 如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(?, 即i i i ni L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性: 当f (x , y )在光滑曲线弧L 上连续时, 对弧长的曲线积分ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x , y )在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x , y )为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2, 则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121+=+.闭曲线积分: 如果L 是闭曲线, 那么函数f (x , y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(?.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21+=;性质3设在L 上f (x , y )≤g (x , y ), 则??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(. 特别地, 有≤L L ds y x f ds y x f |),(||),(|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x , y ), 则曲线形构件L 的质量为L ds y x f ),(.另一方面, 若曲线L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β),则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,曲线的质量为?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22.即'+'=βαψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22.定理设f (x , y )在曲线弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) (α≤t ≤β), 其中?(t )、ψ(t )在[α, β]上具有一阶连续导数, 且?'2(t )+ψ'2(t )≠0, 则曲线积分dsy x f L ),(?存在, 且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?βα'+'=??(α<β).应注意的问题: 定积分的下限α一定要小于上限β. 讨论:(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =x , y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),dx x x x f ds y x f baL ??'+=)(1)](,[),(2ψψ.(2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ), 则ds y x f L ),(?=?提示: L 的参数方程为x =?(y ), y =y (c ≤y ≤d ),dy y y y f ds y x f dcL ??+'=1)(]),([),(2??.(3)若曲Γ的方程为x =?(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.例1 计算ds y L, 其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1), 因此'+=1222)(1dx x x ds y L ?+=10241dx x x )155(121-=.例2 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示, 则?=L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为x =R cos θ, y =R sin θ (-α≤θ<α). 于是 ?=L ds y I 2?-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin-=ααθθd R 23sin =R 3(α-sin α cos α).例3 计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=, 于是ds z y x )(222++?Γ?++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。
高数同济六版课件D11总复习
f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
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（二）、 对坐标的曲线积分
总复习
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
2、性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y
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3、计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y
R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
Q [(t),(t), (t)](t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
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4、两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc od s
PdxQdy R d zP c o Q s c o R s co d s s
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx
(右正左负)
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4、两类曲面积分的联系
2019年同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案11-3.doc
习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nx n + ⋅ ⋅ ⋅;解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为(-1, 1).(2) )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 2221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n, 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].(3) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为(-∞, +∞).(4) 3 3332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n x x x x ; 解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3.因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n , 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3, 3). (5) 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ; 解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R . 因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. (6)∑∞=++-11212)1(n n n n x ; 解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n nn . 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1]. (7)∑∞=--122212n n n x n; 解 这里级数的一般项为22212--=n n n x nu .因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R .因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.(8)∑∞=-1)5(n n n x . 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n , 故收敛半径为R =1, 即当-1<x -5<1时级数收敛, 当|x -5|>1时级数发散.因为当x -5=-1, 即x =4时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 是收敛的; 当x -5=1, 即x =6时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的, 所以收敛域为[4, 6).2. 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:(1)∑∞=-11n n nx ;解 设和函数为S (x ), 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n x n x n n x dx nx dx nx dx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n .(2)∑∞=++11414n n n x ; 解 设和函数为S (x ), 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则 dx x dx n xdx x S S x S x n n x n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x x dx x x dx x02204)112111211()111( )11( a r c t a n 2111ln 41<<--+-+=x x x x x . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.(3)⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解 设和函数为S (x ), 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑ 12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x n n x n n x dx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()( )11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x x x dx xx . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=x dx x S S x S 0)()0()(.。
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
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2
第十一章 线性代数
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π L : 2 x = π y 从A ( 0,0 ) 到B ,1 . 2
2
解： 因 ∂P = 6 xy
∂y
2
2 π2 3π 2 2 I = ∫ + ∫ = ∫ 0dx + ∫ 1 − 2 y + y dy = OA AB 0 0 4 4 ( x + y ) dx − ( x − y ) dy , L : y = −2 x 2 + 1从A -1,-1 到B 1,-1 . * 4 .计算 I= ∫ ( ) ( ) 2 2 L x +y
)
2 cos t dt
= − ∫5π
4
−
π
4
3π dt = 2
( x, y ) (1,0)
又在右半平面内有原函数：
( x + y ) dx − ( x − y ) dy
x2 + y 2
u ( x, y ) = ∫
x
y −x + y 1 y 1 dy = ln x − arctan + [ln ( x 2 + y 2 ) − ln x 2 ] = ∫ dx + ∫ 2 1 x 0 x + y2 x 2 1 y 2 2 = ln ( x + y ) − arctan ( x > 0) 2 x
5.验证 ( 2 x cos y + y 2 cos x ) dx + ( 2 y sin x − x 2 sin y ) dy在整个平面 上是某个函数u ( x, y )的全微分，并求出u ( x, y )的表达式.
解：
因
∂P ∂Q = −2 x sin y + 2 y cos x = , ∂y ∂x
3a 2 2π 2 3a 2 = ∫0 sin 2tdt = 16 8 3 2 = πa 8
∫ (1 − cos 4t ) dt
0
2π
2.计算 ∫ x 2 + y 2 dx + 5 x + y ln x + x 2 + y 2 C
2 2
(
)
dy,
C : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, 取顺时针。 解： 1 y dxdy = −5∫∫ dxdy = −5π 原式=- ∫∫ 5 + y − 2 2 2 2 x +y x +y D D
2 2 2 2
(
)
,
故做功与路径无关，
2 2 2 1 1
(1,1)
− kx x + y dx − ky x + y dy = −k ∫ x x + 1dx − k ∫ y 4 + y 2 dy
3 2 2 3 2 2
1 2 1 = − k ( x + 1) − k ( 4 + y 3 1 3
∂Q − 2 y cos x = , 故积分与路径无关 ∂x
π
1
解：
x+ y x − y ∂P x 2 − 2 xy − y 2 ∂Q P= 2 ,Q = − 2 , = = 2 2 2 x +y x + y ∂y ( x 2 + y 2 ) ∂x
所以在去掉负y轴的平面区域内积分与路径无关
取圆弧L1: x 2 + y 2 = 2, 顺时针从A到B,
x y 0 0
u ( x, y ) = ∫ 2 xdx + ∫ ( 2 y sin x − x 2 sin y ) dy = x 2 + y 2 sin x + x 2 ( cos y − 1) = y 2 sin x + x 2 cos y
6.设在半平面x > 0中，有一力场，力的大小与点到原点的距离 平方成正比，方向指向原点，证明在此力场中场力作功与路径 无关，并求质点从点 (1,1) 到点 ( 2,2 ) 时场力所作的功.
则 I= ∫
1 −π = ∫5π4 2 4
L1
( x + y ) dx − ( x − y ) dy = 1
x +y
2 2
∫ ( x + y ) dx − ( x − y ) dy 2
L1
(
2 cos t + 2 sin t − 2 sin t −
)(
) (
2 cos t − 2 sin t
3.计算I = ∫ ( xy 3 − e x ) dx + x 2 y 2 dy, L : y = 1 − x 2从A ( -1,0 ) 到B (1,0 )。
L
解：
I = −∫ −
L + AB
xy 3 − e x ) dx + x 2 y 2 dy + ∫ (
2 2 1 −1
AB
xy 3 − e x ) dx + x 2 y 2 dy (
= − ∫∫ (2 xy − 3 xy )dxdy + ∫
D
2 1 x
−e x ) dx (
1 = ∫∫ xy dxdy − ∫ e dx = − e −1 D e
4.计算I = ∫ ( 2 xy 3 − y 2 cos x ) dx + (1 − 2 y sin x + 3 x 2 y 2 ) dy,
证：
x y F =k ( x + y ) , eF = − ,− x2 + y2 x2 + y2
2 2
F = F eF = −kx x 2 + y 2 , −ky x 2 + y 2
∂P kxy ∂Q 因 =− = , ( x > 0) 2 2 ∂y ∂x x +y
W=∫
( 2,2 )
第十一章
习题11-3
1. 利用曲线积分计算x = a cos3 t , y = a sin 3 t ( 0 ≤ t ≤ 2π ) 所围面积。
解：
1 S= 2
∫ − ydx + xdy =
L
D
1 2π −a sin 3 t ⋅ 3a cos 2 t ( − sin t ) + a cos3 t ⋅ 3a sin 2 t cos t ) dt ∫0 ( 2
( )
1 x −2 x = e −e 3
(
)
1 y = e − e−2 (0 , 0 ) 3
(1,1)
(
)
)
14 2k =− 3 1
2
7.设函数f ( x)具有一阶连续导数，且f ′(0) = 0.已知曲线积分
∫ (e
L
x
+ 2 f ( x) ydx − f ( x)dy与路径无关，若取L从A(0,0 )到B(1，， 1)
)
试求曲线积分. 解： ∂ [(e x + 2 f ( x) )y ] = ∂ (− f ( x) ), 得f ′( x) + 2 f ( x) = −e x ∂y ∂x − ∫ 2 dx x ∫ 2 dx dx + C = e − 2 x − 1 e3 x + C f ( x) = e ∫ − e e 3 1 1 −2 x 由f (0 ) = 0得C = ， (x ) = (e − e x ) f 3 3 (1,1) 1 x 2 − 2 x 1 −2 x 原式 = ∫ e + e ydx − (e − e x )dy (0 , 0 ) 3 3 3