分类计数原理和分步计数原理练习题(可编辑修改word版)

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(完整word版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一. 选择题1．一件工作能够用 2 种方法达成，有 3 人会用第 1 种方法达成，此外 5 人会用第 2 种方法达成，从中选出 1 人来达成这件工作，不一样选法的种数是（）Ａ． 8Ｂ．15Ｃ．16Ｄ．302．从甲地去乙地有 3 班火车，从乙地去丙地有 2 班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅游方式有（）Ａ． 5 种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种3．如下图为一电路图，从 A 到 B 共有（）条不一样的线路可通电（）Ａ． 1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．由数字 0，1， 2， 3， 4 可构成无重复数字的两位数的个数是（Ａ． 25Ｂ．20Ｃ．16Ｄ．12）5．李芳有 4 件不一样颜色的衬衣， 3 件不一样花式的裙子，还有两套不一样款式的连衣裙．“五一”节需选择一套服饰参加歌舞演出，则李芳有（）种不一样的选择方式Ａ． 24Ｂ． 14Ｃ． 10Ｄ． 96．设A，B是两个非空会合，定义，，，，，Q ，，，，则 P* QA B ( a b)| a A b B ，若 P 0 1 2 1 2 3 4中元素的个数是（）Ａ． 4Ｂ． 7Ｃ． 12Ｄ． 16二、填空题7．商铺里有 15 种上衣， 18 种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不一样的选法；要买上衣，裤子各一件，共有种不一样的选法．8．十字路口来往的车辆，假如不一样意回头，共有种行车路线．9．已知a0，3，4 ， b1，2，7，8，则方程 (x a) 2( y b)225表示不一样的圆的个数是．10．多项式(a1a2a3 )·(b1 b2 )( a4 a5 )·(b3b4 ) 睁开后共有项．11．如图，从 A→ C，有种不一样走法．12．将三封信投入 4 个邮箱，不一样的投法有种．三、解答题13．一个口袋内装有 5 个小球，另一个口袋内装有 4 个小球，全部这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不一样的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不一样的取法？14．某校学生会由高一年级 5 人，高二年级 6 人，高三年级 4 人构成．（1）选此中 1 人为学生会主席，有多少种不一样的选法？（2）若每年级选 1 人为校学生会常委，有多少种不一样的选法？（3）若要选出不一样年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不一样的选法？15．已知会合M3， 2， 1，01，，2 ，P(a，b) 是平面上的点，a，b M ．（1）P(a，b )可表示平面上多少个不一样的点？（2）P(a，b )可表示多少个坐标轴上的点？。

(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题 1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为( ) A．182 B．14 C．48 D．91 [答案] C [解析] 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C. 2．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( ) A．13种 B．16种 C．24种 D．48种 [答案] A [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为8＋3＋2＝13(种)．故选A. 3．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同的映射个数是( ) A．24 B．81 C．6 D．64 [答案] D [解析] 由分步乘法计数原理得43＝64，故选D. 4．5本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法( ) A．720种 B．7776种 C．360种 D．3888种 [答案] B [解析] 每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成．由乘法原理知不同送书方法有65＝7776种． 5．有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 [答案] B [解析] 设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，用分类加法计数原理求解，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法． 6．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A．2 000 B．4096 C．5 904 D．8 320 [答案] C [解析] 可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有8×8×8×8＝4 096个，所以符合题意的共有5 904个． 7．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( ) A．26 B．24 C．20 D．19 [答案] D [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D. 8．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) A．42 B．30 C．20 D．12 [答案] A [解析] 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6×7＝42(种)． 9．定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( ) A．34 B．43 C．12 D．24 [答案] C [解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3×4＝12个元素．故选C. 10．某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有( ) A．16种 B．15种 C．14种 D．13种 [答案] C [解析] 解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题．试验方案有：①消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；②消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；③消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；④消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有4＋3＋3＋4＝14(种)．二、填空题11．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有________个(用数字作答)． [答案] 24 [解析] 可以分三类情况讨论：①若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个． 12．三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个． [答案] 36 [解析] 另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x＋y≥12.当y＝11时，x∈{1,2，…，11}，有11个三角形；当y＝10时，x∈{2,3，…，10}，有9个三角形……当y＝6时，x＝6，有1个三角形．所以满足条件的三角形有11＋9＋7＋5＋3＋1＝36(个)． 13．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答) [答案] 48 [解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有3×2×2＝12(种)排法；两新一老时，有2×3×3×2＝36(种)排法，即共有48种排法． 14．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有______种． [答案] 16 [解析] 五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．三、解答题 15．有不同的红球8个，不同的白球7个． (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ [解析] (1)由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8＋7＝15种； (2)由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8×7＝56种． 16．若x，y∈N*，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数． [分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)由x，y∈N*且x＋y≤6，知x，y的取值均不超过6； (2)(x，y)是有序数对．解答本题可按x(或y)的取值分类解决． [解析] 按x的取值时行分类：x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对； x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对；… x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．根据分类计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对． [点评] 本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决．计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类． 17．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容．交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ [解析] 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26×25×24×10×9×8＝11 232 000(个)．同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．所以，共能给11 232 000＋11 232 000＝22 464 000辆汽车上牌照． 18．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，集合B＝{b1，b2}，其中ai，bj(i＝1,2,3,4，j＝1,2)均为实数． (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？ [解析] (1)因为集合A中的元素ai(i＝1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A→B的映射有N＝24＝16个． (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形．此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个．所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M＝16－2＝14个．。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习(含答案)

【选修2-3】两种计数原理练习班级：姓名：1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（）A ．30个B ．42个C ．36个D ．35个答案：Ｃ3.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）A.24B.34C.43D.4答案：244．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．166．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ4．用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个7. 整数630的正约数（包括1和630）共有个8．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．答案：2(1)n n -9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A→C，有种不同走法．Array答案：612．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．答案：347．某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为___12_____．集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理理带答案

分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础自测：1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有__种．32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．2．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_____种．答案24解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案14解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数.题型一分类加法计数原理的应用例1一班有学生50人，男生30人，女生20人；二班有学生60人，男生30人，女生30人；三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪用分类加法计数原理．解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．思维升华分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？(2)方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 (1)分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；…个位是2的只有1个．由分类加法计数原理，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．(2)以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；第五类：m ＝5时，使n >m ，n 有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(种)方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用例2 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．思维升华利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．题型三两个原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．思维升华用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A24＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法．由分步乘法计数原理可知，有5×12×3＝180(种)不同的涂法；②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知．有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同的涂法．A组专项基础训练一、选择题1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3 B．4 C．6 D．8解析按从小到大顺序有124,139,248,469共4个，同理按从大到小顺序也有4个，故这样的等比数列的个数为8个．2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种解析共有4×3×2×2＝48(种)，故选D.3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14 C．15 D．21解析当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.4．(2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279解析0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)．∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．5．(2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10 C．18 D．20解析由于lg a－lg b＝lg ab(a>0，b>0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为ab有A25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lg b的不同值的个数有A25－2＝20－2＝18，选C.二、填空题6．一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．答案20解析先选男队员，有5种选法，再选女队员有4种选法，由分步乘法计数原理知共有5×4＝20(种)不同的选法．7．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．答案7 200 解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.8．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．答案 6解析分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．共4＋2＝6(个)．三、解答题9．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．10．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101；②若位置一与三相同，则信息为0011；③若位置一与四相同，则信息为0000；④若位置二与三相同，则信息为1111；⑤若位置二与四相同，则信息为1100；⑥若位置三与四相同，则信息为1010.共6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.方法二若0个相同，共有1个；若1个相同，共有C14＝4(个)；若2个相同，共有C24＝6(个)．故共有1＋4＋6＝11(个)．复习与回顾一、立体几何：1.(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A.4B.143 C.163 D.6解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3.2.(2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l解析假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.3、如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小.思维启迪利用P A ⊥平面ABCD 建立空间直角坐标系，利用向量求解.方法一 (1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2，从而PC FC ＝6，ACEC ＝ 6.因为PC FC ＝ACEC ，∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足.因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.方法二 (1)证明以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则C (22，0,0)，P (0,0,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫423，0，23，设D (2，b,0)，其中b >0，则B (2，－b,0).于是PC →＝(22，0，－2)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，b ，23，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－b ，23，从而PC →·BE →＝0，PC →·DE →＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED .(2)解 AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－b,0).设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则m ·AP →＝0，m ·AB→＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·BE→＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2b ，2. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，所以cos 〈n ，DP →〉＝n ·DP →|n ||DP →|＝12，所以〈n ，DP →〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP→〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.二、圆锥曲线：1．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________．答案 x 24－y 232＝1 y ＝±22x解析由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝4，即a ＝2，e ＝c a ＝3，则c ＝6，b ＝42，所以双曲线的标准方程为x 24－y 232＝1，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2、若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2解析设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2. 又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.3、已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A .53 B.23 C.23 D.13∴|PF 2||PF 1| 解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.4、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A .y ＝±3x B.y ＝±33x C.y ＝±2x D.y ＝±22x 解析设点P (x 0，y 0).依题意得，焦点F (2,0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24； ⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ＝±3x .5、.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________.答案 2 3解析由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－?r －1?2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3. 6、在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由．解 (1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)存在△AOB 面积的最大值．因为直线l 过点E (－1,0)，可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)，则⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my －1.整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0.由Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4. 则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4.因为S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设g(t)＝t＋1t，t＝m2＋3，t≥ 3.则g(t)在区间[3，＋∞)上为增函数．所以g(t)≥43 3.所以S△AOB≤32，当且仅当m＝0时取等号，即(S△AOB)max＝3 2.所以存在△AOB面积的最大值，S△AOB的最大值为3 2.。

分类计数原理与分步计数原理例题

分类计数原理与分步计数原理例题一、分类计数原理例题1：有4个不同的苹果和3个不同的橘子，请问由这些水果组成一串长度为7的水果串有多少种情况？解析：根据分类计数原理，我们可以将问题分解为两个步骤来考虑。

首先，我们要确定苹果的数量，假设苹果的数量为0、1、2、3或4，那么橘子的数量就是7减去苹果的数量。

1.当苹果数量为0时，橘子数量为7，这种情况只有1种。

2.当苹果数量为1时，橘子数量为6，这种情况有3种。

3.当苹果数量为2时，橘子数量为5，这种情况有3*2=6种。

4.当苹果数量为3时，橘子数量为4，这种情况有3*2*1=6种。

5.当苹果数量为4时，橘子数量为3，这种情况有3*2*1*1=6种。

所以，组成一串长度为7的水果串的种类总数为1+3+6+6+6=22种。

二、分步计数原理分步计数原理是将大问题分解为若干个小问题，然后将小问题的计数结果相乘得到最终的结果。

例题2：假设John有3个不同的帽子和4个不同的围巾，他每天只能戴一个帽子和一条围巾，请问他有多少种不同的搭配方式？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为两个小问题。

首先，我们可以计算帽子和围巾的搭配方式数量：-帽子的选择有3种，围巾的选择有4种，因此搭配方式数量为3*4=12种。

所以，John有12种不同的搭配方式。

例题3：旅行团计划去三个不同的城市，在每个城市停留的天数分别为4天、5天和6天，且天数的顺序不限，请问旅行团一共有多少种行程方案？解析：根据分步计数原理，我们可以将问题分解为三个小问题。

首先，我们可以计算每个城市的行程天数的选择数量：-第一个城市的停留天数有4天、5天和6天三种选择，第二个城市的停留天数有3种选择，第三个城市的停留天数有2种选择。

所以，旅行团一共有3*3*2=18种行程方案。

综上所述，分类计数原理和分步计数原理是解决组合问题常用的两种计数方法。

通过分解大问题为小问题，我们可以更方便地解决组合计数问题。

这两种方法可以相互结合使用，也可以单独使用，取决于具体的问题。

《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》练习题

1 2 4 5 3《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》基本练习一、选择题1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．122.由0,1,2,3,...,9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（）A.100 B ．10 C ．9 D ．903.教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A ．10种B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种 4.三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．375.4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数（）A ．24B ．4C ．34D ．436.甲、乙、丙三个电台，分别有3、4、4人，新年中彼此祝贺，每两个电台的人都彼此一一通话，那么他们一共要通话( )A ．40次B ．48次C ．36次D ．24次。

7.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示五个盒子中。

要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必须放在与A 相邻的盒子中。

则不同的放法有（）种A.42B.36C.32D.308.一只青蛙在三角形ABC 的三个顶点之间跳动，若此青蛙从A 点起跳，跳4次后仍回到A 点，则此青蛙不同的跳法的种数是( )A ．4B ．5C ．6D ．79.一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种10.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）A.1024种B.1023种C.1536种D. 1535种11.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线12.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________．13.电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生 _________种不同的信息．14.在1,2,3,4,5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各位数字之和为9的三位数共有________个．。

(完整版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题(有答案)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合测试题（有答案）选修2-3 1.1第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1 .一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（）A. 182 B . 14 C . 48 D . 91 ［答案］C ［解析］由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6X 8= 48,故选C. 2 .从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为（）A. 13种B . 16种C . 24种D .48种［答案］A ［解析］应用分类加法计数原理，不同走法数为8+ 3 + 2= 13（种）.故选A. 3 .集合A= {a, b, c} , B= （d , e, f, g}, 从集合A到集合B 的不同的映射个数是（）A. 24 B. 81 C. 6 D. 64 ［答案］D ［解析］由分步乘法计数原理得43= 64,故选D. 4 . 5 本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法（）A. 720种B . 7776种C. 360种D . 3888种［答案］B ［解析］每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成.由乘法原理知不同送书方法有65= 7776种.5 .有四位老师在同一年级的4个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是（）A. 8种B . 9种C . 10种D. 11种［答案］B ［解析］设四个班级分别是A, B, C, D,它们的老师分别是a, b, c, d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C, D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法.这样，用分类加法计数原理求解，共有3+ 3 + 3= 9（种）不同的安排方法.另外，本题还可让a先选，可从B, C, D中选一个，即有3种选法.若选的是B,则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3X 3X 1X 1= 9（种）不同的安排方法.6 .某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“ x x x x x xx 0000” 至J “ x x x x x x x 9999” 共10 000 个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“ 4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A. 2 000 B. 4 096 C. 5 904 D . 8 320 ［答案］C ［解析］可从反面考虑，卡号后四位数不带“ 4”或“7”的共有8X 8X 8X 8= 4 096个，所以符合题意的共有5 904个.7 .如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A . 26 B . 24 C. 20 D.19 ［答案］D ［解析］因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12一5— 3,12 — 6—4,12 — 6— 7,12 — 8—6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和： 3 + 4+ 6+ 6= 19,故选D. 8 .某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）A. 42 B. 30 C. 20 D. 12 ［答案］A ［解析］将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6X7 =42（种）.9 .定义集合A与B的运算A*B如下：A*B= （（x , y）|x € A, y € B},若A= （a , b, c} , B=（a , c, d, e},则集合A*B 的元素个数为（）A. 34 B. 43 C. 12 D. 24 ［答案］C ［解析］显然（a, a）、（a, c）等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x, B中取一个元素来确定y,由分步计数原理可知A*B中有3X 4= 12个元素.故选C. 10 .某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4 X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有（）A. 16种B . 15种C . 14种D .13种［答案］C［解析］解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题. 试验方案有：①消炎药为X1、X2,退烧药有4种选法；②消炎药为X& X4,退烧药有3种选法；③消炎药为X& X5,退烧药有3种选法；④消炎药为X4 X5,退烧药有4 种选法，所以符合题意的选法有4 + 3+ 3+ 4 = 14（种）.二、填空题11.用数字0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有 _______ 个（用数字作答）.［答案］24 ［解析］可以分三类情况讨论：①若末位数字为0,则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；②若末位数字为2, 则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；③若末位数字为4,则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个.12 .三边均为整数且最大边长为11的三角形有 .［答案］36 ［解析］另两边长用x, y表示，且不妨设1Vx<y< 11.要构成三角形，需x + y> 12.当y = 11时，x€ （1,2，…，11}，有11 个三角形；当y = 10 时，x €（2,3，…，10}, 有9个三角形……当y= 6时，x = 6,有1个三角形.所以满足条件的三角形有11 + 9+ 7+ 5+ 3+ 1 = 36（个）.13 . 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有中.（用数字作答）［答案］48 ［解析］本题可分为两类完成：两老一新时，有3X 2X 2= 12（种）排法；两新一老时，有2X 3X 3X 2= 36（种）排法，即共有48种排法.14 .已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此 5 个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有中.［答案］16 ［解析］五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1 + 5+ 8+ 2= 16种情况能使电路接通. 三、解答题15.有不同的红球8个，不同的白球7个.（1）从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？（2）从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？［解析］（1）由分类加法计数原理得从中任取一个球共有8+ 7= 15种；（2）由分步乘法计数原理得从中任取两个球共有8X7= 56种.16 .若x, yC N*,且x + y<6,试求有序白然数对（x , y）的个数.［分析］由题目可获取以下主要信息：（1）由x, y € N* 且x + y<6,知x, y的取值均不超过6; （2）（x , y）是有序数对.解答本题可按x（或y）的取值分类解决.［解析］按x的取值时行分类：x= 1时，y= 1,2，…，5,共构成5个有序白然数对；x = 2时，y=1,2，…，4,共构成4个有序白然数对；…x = 5时，y = 1,共构成1个有序白然数对. 根据分类计数原理，共有N= 5+ 4+ 3 + 2 + 1 = 15个有序白然数对.［点评］本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x, y的取值均为正整数，且其和不能超过6,同时注意(x , y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y 的取值进行分类解决.计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类.17 .随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？［解析］将汽车牌照分为2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右. 字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26X25X24x 10X 9X8= 11 232 000(个). 同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个.所以，共能给11 232 000+ 11 232 000= 22 464 000 辆汽车上牌照.18 .已知集合A= {a1 , a2, a3, a4},集合B= {b1 , b2},其中ai , bj(i = 1,2,3,4 , j = 1,2) 均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？［解析］(1)因为集合A中的元素ai(i = 1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成A^B的映射有N= 24= 16 个.(2)在⑴的映射中，a1, a2, a3, a4均对应同一元素b1或b2 的情形.此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个.所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有燮16- 2= 14个.。

分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识点与习题(可编辑修改word版)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理理解分类加法汁数原理和分步乘法计数原理，能正确区分"类”和“步S并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.知识聚焦不简单罗列L分类加法计数原理完成一件事有”类不同的方案，在第一类方案中有加I种不同的方法，在第二类方案中有切种不同的方法，……，在第《类方案中有加"种不同的方法，则完成这件事情，共有N= 种不同的方法.2・分步乘法计数原理完成一件事情需要心个不同的步骤，完成第一步有，川种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第《步有加"种不同的方法，那么完成这件事情共有N= 种不同的方法.3・两个讣数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数•它们的区别在于：分类加法讣数原理与分类有关，各■种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数卿与分步有关，各■个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成•正本清源不单纯记忆■链接教材1 •［教材改编］现有高一年级的学生3名，髙二年级的学生5名.从中任选1人参加接待外宾的活动，有 _________ 种不同的选法•2•［教材改编］5位同学站成一排准备照相的时候，有2位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果5位同学顺序一＞ii，那么2位老师与同学们站成一排照相的站法总数为________ -3•［教材改编］如图9・55・1所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有种.■易错问题4・分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情：类与类之间是独立的.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 __________ 种・5・分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成：步与步之间是相关联的.将甲、乙、丙等6人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，■通性通法如果把个位数是U 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数"共有7.分步讣数原理：步骤互相独立，互不丁•扰；步与步确保连续，逐步完成.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母瓦C, D 中选择，其他四个号码可以从0〜9这十个数字中选择（数字可以重复），某车主第一个号码（从左到右）只想在数字3, 5, 6, 8, 9中选择，其他号码只想在1, 3, 6. 9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有种.O 探究点一分类加法计数原理冏h 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）则不同的安排种数为6・分类讣数原理: 分类时标准要明确.且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1, 2, 3, 4去干诵如後新务劇送舟⑵ 为1, 2, 3, 4, 5,而有公共边的两个而不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有. 种-［总结反思］分类标准是运用分类讣数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置.首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保讣数不重复，不遗漏・磨式题（1）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，则不同的发言顺序的种数为（）A. 840B. 720 C ・ 600 D. 30（2）如图9-55-2所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路, 试讣算顺着箭头方向，从A 到H 可走的不同的旅游路线的条数为（）探究点二分步乘法计数原理A- 3种B. 6种C. 9种D. 18种现有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧而涂色.5个侧而分别编号A. 15 B ・ 16C ・17 D. 18图 9-55-2僵2（1）将2名教师，4需学生分成2个小组，分別安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 _____________ 种・（2）将A. B, C, D, E, f 六个字母排成一排，且A, B 均在C 的同侧，则不同的排法种.（用数字作答）［总结反思］利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:（I ）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素（或位鱼为主体的计数问题，通常先满足特殊元素（或位置），再考虑英他元素（或位苣）：⑵对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.酝题（1）某节目制作组选取了 6户家庭到4个村庄体验农村生活•要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2 H 家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是（）A. 216B. 420C. 720D. 1080（2）用5种不同的颜色为如图9-55-3所示的广告牌着色，要求在①©③®四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色， A. 320 B ・ 240C- 180 D. 135共有则不同的着色方法种数为（图 9-55-3殛⑴设集合4 = {（xi，畑畑m X5）^e{-h 0, in /=1, 2, 3, 4, 5b 那么集合A中满足条件“lWkil+Lm+k3l+Lul+k5lW3”的元素个数为（）A. 60 B・ 90C. 120 D・ 130（2）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1. 2,…，9的9个小正方形（如图9-55-4）, 使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1. 5, 9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有__________________ 种・图9-55-4［总结反思］（1）分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于英中一类并且只属于幷中一类•（2）分步乘法汁数原理中，各个步骤柑互依存，只有完成每一步，整件事才算完成.（3）若综合利用两个il数原理，一般先分类再分步.匱式题设集合/={!. 2, 3, 4. 5},选择集合/的两个非空子集A和乩若集合B中垠小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有（）A. 50种B・49种C・48种D・47种学科能力自主阅读型误区警示21 •分类与分步不当致误【典例】若从1. 2, 3,…，9这9个整数中取4个不同的数，次和为偶数，则不同的取法共有（）先找出①和力偶数的各神情况・I 再利用分类加法计数原理求解.满足题设的个都是奇数，在奇数1, 3. 5, 7, 9中，任意取4个，有C#=5（种）；二是2个奇数2 个偶数，在5个奇数中任取2个，再在偶数2, 4, 6, 8中任取2个，有②少・260（种）；| 三是4个都是偶数，取法有1种.所以满足条件的取法共有5+60+1=66（种）.【跟踪练习】（1）［2015•唐山二模］一种团体竞技比赛的枳分规则是：毎队胜、平、负分別得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场，积4分，则在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A- 7 种 B. 13 种C- 18种D ・19种（2）给一个各边不等的凸五边形的齐边染色，毎条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种, 但是不允许相邻的边有柑同的颜色，则不同的染色方法共有 ________________ 种・A. 60 种 B ・63种C- 65 种 D. 66 种解析D取法可分为三类：一是4 ①处对和为偶数的情况把握不准；②处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时, 是分步还是分类区分不淸，错把分步看成分类，而误用加法公式・。

(完整word版)分类计数原理与分步计数原理练习测验题

分步计数原理与分类计数原理基本知识点复习1.分步计数原理:2.分类计数原理:复习练习题选一、选择题1．甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出地4人中恰好有1名女同学地选法有（）A.150种 B.180种 C.300种 D.345种2.某班新年联欢会原定地5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么不同地插法地种类为（）A.42 B.30 C.20 D.123.甲、乙两人从4门功课中各选修2门，则甲、乙所选地课程中至少有一门不相同地选法共有（）A.6种B.12种C.30种D.36种4.三边长均为整数，且最大边长为11地三角形地个数是（）A.25B.26C.36D.375.设集合I={1,2,3,4,5}，选择I 地两个非空子集A 、B 要使B 中最小地数大于A 中最大地数，则不同地选择方法共有（）A.50种 B.49种 C.48种 D.47种6.设P 、Q 是两个非空集合，定义P*Q=},|),{(Q b P a b a ∈∈，若P={0,1,2}，Q={1,2,3,4}，则P*Q 中地元素地个数是（）A.4 B.7 C.12 D.167.从长度分别为1,2,3,4,5地五条线段中任取三条地不同取法有n 种，以取出地三条线段为边可组成地钝角三角形地个数为m ，则nm 等于（）A.101 B.51 C.103 D.52 8.若)(x f y =是定义域为A={}*,71|N x x x ∈≤≤，值域为{0,1}地函数，则这样地函数共有（）A.128个B.126个C.14个D.16个9.已知直线01=++by ax 中地a,b 是取自集合}2,1,0,1,2,3{---中地两个不同地元素，并且直线地倾斜角大于060，那么符合这些条件地直线共有（）A.8条 B.11条 C.13条 D.16条10.从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中地m 和n ，则能组成落在区域}9||11|||),{(<<=y x y x B 且内地椭圆个数为（）A.43 B.72 C.86 D.90二、填空题11.从集合{1,2,3，…，11}中选处由5个数组成地子集，使得这5个数中任何两个数地和都不等于11，这样地子集共有个12.将4名大学生分配到3个乡镇去任村官，每个乡镇至少一名，则不同地分配方案有种（用数字作答）13.某班共30人，其中13任喜欢篮球运动，10任喜欢乒乓球运动，8人对着两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动地人数是14.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字地四位数，其中个位，十位和百位上地数字之和为偶数地四位数共有个（用数字作答）15.三、解答题16.从1得到100地自然数中，每次取出不同地两个数，使它们地和大于100，则不同地取法有多少种？17.设有编号为1,2,3,4,5地5个球和编号为1,2,3,4,5地5个盒子，现将这5个球放入这5个盒子内.（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球地编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子里投放一球，并且至少有两个球地编号与盒子编号是相同地，有多少种投放方法？18.有0,1,2，…，8这9个数字.（1）用这9个数字组成四位数，共有多少个不同地四位数？（2）用这9个数字组成四位地密码，共有多少个这样地密码？（3）用5张卡片，正反两面分别写上0,8；1,7；2,5；3,4；6,6，且6可作9用，这5张卡片共能拼成多少个不同地四位数？19.（1）从集合}3,2,1,0,1,2,3{--=-中任取3个不同地数作为抛物线c bx ax y ++=2地系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样地抛物线共有多少条？（2）甲、乙两个自然数地最大公约数为60，则甲、乙两数地公约数共有多少个？20.在平面直角坐标系内，点),(b a P 地坐标满足b a ≠，且a,b 都是集合{1,2,3,4,5}地元素，有点P 到原点地距离5||≥OP ，求这样地点P 地个数.21.已知集合}3,2,1,0{},,,,{4321==B a a a a A ,f 是从A 到B 地映射.（1）若B 中任一映射都有原像，则这样地映射f 有多少个？（2）若B 中地映射0必无原像，则这样地映射f 有多少个？（3）若f 满足4)()()()(4321=+++a f a f a f a f ，这样地映射f 又有多少个？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.y6v3A。

分类计数原理和分步计数原理练习题(可编辑修改word版)

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