2016年全国卷1数学文科试卷解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,3,5,7}A = ，{|25}B x x =≤≤，则AB =答案： B解析：常规的集合习题，考察交集的运算性质。
2.设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=答案：A解析：本题考察复数实部虚部的基本概念，展开化简可得(2)(21)a a i -++，所以221a a -=+，即3a =-. 3.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是答案：C.解析：本题考察古典概率。
从基本情况出发只要确定一个花坛的颜色，另一个花坛随之确定，所以有我们只需要确定一个花坛就好，因此有以下情况：红黄，红白，红紫，黄白，黄紫，白紫六种情况；其中红紫不在一起的情况有四种，所以答案234.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=答案：D解析：本题考察余弦定理，根据题目条件画出图形可以列出等式2222cos a b c bc A =+-,带入已知条件化简可得23830b b --=，解得3b =.5.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}A ．－3B ．－2C ．2D ．3A ．13B ．12C ．23D ．56ABC ．2D ．3答案：B解析：如图，利用△BOF 的面积可得1122bc a OD =，带入已知条件化简得12c e a == 6.若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为答案：D解析：该函数的周期为2T ππω==,所以函数向右平移4π，得2sin(2())46y x ππ=-+，化简可得y =2sin(2x –π3).7.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是答案：A解析：该图形的直观图如图所示，所以此图属于切割体，切去了该球18的体积，根据体积公式34=3V r π球，有317428(1)=8833V r ππ-=球，解得2r =。
所以表面积227=438S S S r r ππ=++球截面,即17S π=.8.若0a b >>，01c <<，则答案：B解析：本题属于指对数比较大小问题. 9.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．A ．13B ．12C ．23D ．34A ． y =2sin(2x +π4)B ． y =2sin(2x +π3)C ． y =2sin(2x –π4)D ． y =2sin(2x –π3)A ．17πB ．18πC ．20πD ．28πA ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．cca b <D ．a bc c <答案：D解析：根据选择图像的步骤和排除法选择。
函数在定义域中为偶函数且0)2(>f ，排除A ；当0>x 求导xe x y -='4，即0)0(<'f ，0)21(>'f 。
因此极值点一定在)21,0(，因此答案选D.10.执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y == n =1,则输出,x y 的值满足答案：C解析：根据程序图可得最终输出23=x ，6=y ，代入四个选项可得C ，即答案为C. 11.平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A,11//CB D α平面 ,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为答案：A.解析：画出大概图形，在前面和下面各接一个正方体可以得到m 、n 两边，根据异面直线所求角的方法将两个移到一个三角形中即BD A 1△，易得m 、n 所成角的正弦值为23，即答案为A. 12.若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是答案：C解析：此题考察恒成立问题，对原函数求导可得2245'()1cos 2cos cos cos 333f x x a x x a x =-+=-++，若原函数在R 上单调递增，则'()0f x >恒成立，设cos ,([1,1])x t t =∈-，24'3503y t at =-++>,分别带入1t =和1t =-，解得11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =A ．32B ．22C ．33D ．13A ．[]1,1-B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二.填空题：本大题共3小题，每小题5分13.设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 答案：23-解析：本题考察向量垂直的坐标运算，由题意知：0=a b ，所以320x +=，即23x =-14.已知θ是第四象限角，且sin (θ+π4)=35，则tan (θ–π4)= . 答案：43-解析：本题考察同角的三角函数关系，三角函数的符号判断以及诱导公式的运用：cos()4πθ-=3cos()sin()4245πππθθ+-=+=，因为 θ是第四象限角，且cos()4πθ-=35，所以4πθ-也在第四象限，即4sin()45πθ-=-，所以sin()44tan()43cos()4πθπθπθ--=--. 15.设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则圆C 的面积为 。
答案：4π解析：此题考察直线与圆的位置关系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：20x y a -+=，圆的标准方程为：222()2x y a a +-=+，则圆心到直线的距离为：d ==，利用勾股定理有：222()2AB r +=，解得a =2r =，所以面积为4π16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。
生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元。
答案：216000解析：根据题目可得目标函数为y x z 9002100+=，可行域满足的不等式组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0060035903.03003y x y x y x y x ，根据线性规划可得目标函数的最大值为216000.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 解析：（Ⅰ）由11n n n n a b b nb +++=知1221a b b b +=带入已知条件得：12a = 所以由1(1)n a a n d =+-得31n a n =- （Ⅱ）由（Ⅰ）知11n n n n a b b nb +++=，即1(31)n n n n b b nb +-+=所以113n n b b +=，所以{}n b 是一个以1为首项，13为公比的等比数列 其前n 项和为: 111[1()](1)31113n nb q q --=--331()223n =- 18.（本题满分12分）如图，在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明G 是AB 的中点； （Ⅱ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 解析：（Ⅰ）证明：∵D 为P 在面ABC 的正投影， ∴PD ⊥面ABC ∴PD ⊥AB又∵E 为D 在面APB 的正投影 ∴DE ⊥面APB∴DE ⊥AB ∴AB ⊥面PGD ∴AB ⊥PG又∵正三棱锥P -ABC ，∴PA =PB ∴G 为AB 的中点（三线合一） （Ⅱ）正三棱锥ABC P -中PC PB PA ==，且各面都为直角三角形，因PB PA ⊥、PB PC ⊥、PC PA ⊥，所以PB PAC ⊥平面，作PB EF //交PA 于F ,则PAC EF 平面⊥，所以F 为E 在平面PAC 内的投影; 正三棱锥ABC P -中，D 为三角形ABC 的重心，6=PA ，26=AB ，因此6=DG ,23=PG ，32=PD ，在三角形PGD 中，由射影定理可得22=PE ，又因为三角形PAB 为等腰直角三角形，PA EF ⊥，2==PF EF ，因此22*2*21S ==PEF △，PEF D -的高为DE ,根据等面积法可以得到DE =2，因此四面体的体积为342*2*31= 19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（Ⅲ）100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：（Ⅰ）3800,16193800(19)500,19x y x x ≤≤⎧=⎨+-⨯>⎩（Ⅱ）此题要求为求平均值，即160.06170.16180.24190.24200.2210.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18.66，所以n 最小取19.（Ⅲ）若都购买19个易损零件，则费用为：192007020500250010286000⨯⨯+⨯+⨯⨯=元若都购买20个易损零件，则费用为： 209020050010410000⨯⨯+⨯=元 所以每一台机器购买19个零件划算. 20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解析：（Ⅰ）如图所示：已知(0,)M t ,P 点纵坐标与M 相同，所以带入抛物线求得2(,)2t P t p 又∵N 点是M 点关于P 的对称点，所以2(,)t N t p,设ON 所在直线方程为y kx =，带入点N 解得pk t=，所以直线为p y x t =联立直线与抛物线方程解得 22(,2)t H t p∴2H NOH x ON x == （Ⅱ）不存在除H 以外的公共点。
2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析
2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
首发2016年高考全国卷一文科数学真题及答案
首发2016年高考全国卷一文科数学真题及答案2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{1,3,5,7}A=，{|25}B x x=≤≤，则A B =（A）{1，3}（B）{3，5}（C）{5，7}（D）{1，7}（2）设(12i)(i)a++的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（A）－3（B）－2（C）2（D）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学．科．网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）23（D）56（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，2c=，2cos3A=，则b ＝（A B （C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y ＝2sin （2x ＋π6）的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y ＝2sin （2x ＋π4） （B ）y ＝2sin （2x ＋π3） （C ）y ＝2sin （2x –π4） （D ）y ＝2sin （2x –π3）（7）如图，学．科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则 （A ）log a c函数y ＝2x 2–e |x|在[–2，2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n ＝1，则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A11//CB D α平面，ABCD m α=平面，11ABB A nα=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A）2（B）2（C）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a ＝（x ，x ＋1），b ＝（1，2），且a ⊥b ，则x ＝．（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，则tan （θ–π4）＝．（15）设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I(精品文档)_共12页
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（ ）{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B =I A.B.C.D. {1,3}{3,5}{5,7}{1,7}2. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ）(12)()i a i ++a a =A. B. C. D. 3-2-233. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A.B.C.D.131223564. 的内角的对边分别为，已知，，，则（ ）ABC ∆,,A B C ,,a b c a =2c =2cos 3A =b =C.D. 235.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率l l 14为（ ）A.B.C.D.131223346. 将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）2sin(26y x π=+14A. B. 2sin(2)4y x π=+2sin(2)3y x π=+C.D. 2sin(2)4y x π=-2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（ ）283πA. B.C. D. 17π18π20π28π8. 若，，则（ ）0a b >>01c <<A.B.C.D. log log a b c c <log log c c a b <c ca b <a bc c>9. 函数在的图像大致为（ ）2||2x y x e =-[2,2]- ACD10. 执行右面的程序框图，如果输入的，，，则输出的值满足（ ）0x =1y =1n =,x y A.B.C.D. 2y x =3y x =4y x =5y x=11. 平面过正方体的顶点A ，//平面，平面，平面α1111ABCD A B C D -α11CB D αI ABCD m =αI ，则所成角的正弦值为（ ）11ABB A n =,m nD.1312. 若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）1()sin 2sin 3f x x x a x =-+(,)-∞+∞a A.B.C.D. [1,1]-1[1,]3-11[,]33-1[1,]3--第II 卷二、填空题（每小题5分，共4小题，20分）13. 设向量，，且，则 (,1)a x x →=+(1,2)b →=a b →→⊥x =14. 已知是第四象限角，且，则 θ3sin()45πθ+=tan()4πθ-=15. 设直线与圆相交于两点，若，则圆C 的面积2y x a =+22:220C x y ay +--=,A B ||AB =为16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.5kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A ，产品B 的利润之和的最大值为 元三、解答题（共70分）17.（12分）已知是公差为3的等差数列，数列满足，，{}n a {}n b 11b =213b =11n n n n a b b nb +++=（I ）求的通项公式；{}n a （II ）求的前n 项和{}n b 18.（12分）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点P 在平面ABC 内的正P ABC -6PA =投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G （I ）证明：G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积19.（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件 ，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间更换的易损零件数，得下面柱状图：设表示1台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数，表示1台机器在购买易损零件上所需x y 的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数n （I ）若，求与的函数解析式；19n =y x （II ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；n n （III ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均值，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（12分）在直角坐标系中，直线交轴于点M ，交抛物线xOy 1:(0)l y t t =≠y 于点P ，M 关于P 的对称点为N ，连结ON 并延长交于点H2:2(0)C y px p =>C （I ）求；||||OH ON （II ）除H 以外，直线MH 与是否有其它公共点？说明理由.C 21.（12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-（I ）讨论的单调性；()f x （II ）若有两个零点，求的取值范围()f x a 选做题22.（10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是等腰三角形，，以为圆心，为半径作圆OAB ∆120AOB ∠=oO 12OA （I ）证明：直线AB 与圆相切；O （II ）点C ，D 在圆上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明AB//CDO23.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线参数方程为（t 为 参数，），在以坐标原点为极点，xOy 1C cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩0a >x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=（I ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；1C 1C （II ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，3C 0θα=0α0tan 2α=1C 2C 3C 求a24.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--（I ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；()y f x =（II ）求不等式的解集|()|1f x >2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）B (2) A （3）C （4）D （5）B （6）D （7）A（8）B （9）D （10）C（11）A（12）C第II 卷二、填空题：本大题共3小题，每小题5分.（13）23-（14）43-（15）4π （16）216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（I ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.（II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++=，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313.122313nn n S --==-⨯-（18）（I ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（II ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，⊥PB PC ，又//EF PB ,所以EF PC ⊥,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（I ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V （19）（I ）分x ≤19及x.19，分别求解析式；（II ）通过频率大小进行比较；（III ）分别求出您9，n=20的所需费用的平均数来确定。
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首发2016年高考全国卷一文科数学真题及答案2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{1,3,5,7}A=，{|25}B x x=≤≤，则A B =（A）{1，3}（B）{3，5}（C）{5，7}（D）{1，7}（2）设(12i)(i)a++的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（A）－3（B）－2（C）2（D）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学．科．网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A）13（B）12（C）23（D）56（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，2c=，2cos3A=，则b ＝（A （B C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y ＝2sin （2x ＋π6）的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y ＝2sin （2x ＋π4） （B ）y ＝2sin （2x ＋π3） （C ）y ＝2sin （2x –π4） （D ）y ＝2sin （2x –π3）（7）如图，学．科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c函数y ＝2x 2–e |x|在[–2，2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n ＝1，则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A11//CB D α平面，ABCD m α=平面，11ABB A nα=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A）2（B）2（C）3（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a ＝（x ，x ＋1），b ＝（1，2），且a ⊥b ，则x ＝．（14）已知θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，则tan （θ–π4）＝．（15）设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2016年高考全国1卷文数试题(解析版)解析
绝密★启封并使用完毕前试题类型：德江一中：杨正稳注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
（1)设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =，则AB =（A ）｛1,3｝ （B)｛3，5} （C ）{5，7｝ （D ）｛1,7} 【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算。
（2) 设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 (B ）－2 （C)2 （D)3 【答案】A 【解析】试题分析:i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-,解得3-=a ，故选A.考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义，共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性。
（3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）13 (B ）12 （C)23 （D ）56【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
2016全国1卷文科数学及答案
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3。
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{1,3,5,7}A=，{|25}B x x=≤≤，则A B =（A）｛1,3｝（B）｛3，5}（C）｛5，7}（D）{1，7}(2）设(12i)(i)a++的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（A）－3（B）－2(C）2（D）3(3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学。
科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A）13(B）12（C)23（D)56（4）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。
已知a=，2c=，2cos3A=,则b=（A ）2（B ）3(C ）2（D ）3（5)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(A)错误!（B ）错误!（C ）错误!(D ）错误!（6）若将函数y =2sin (2x +错误!）的图像向右平移错误!个周期后，所得图像对应的函数为（A)y =2sin(2x +错误!） （B)y =2sin(2x +错误!) (C ）y =2sin （2x –错误!） （D ）y =2sin(2x –错误!)（7）如图,学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是错误!，则它的表面积是(A ）17π （B ）18π （C)20π （D ）28π(8）若a 〉b>0，0〈c<1，则（A)log a c 〈log b c （B ）log c a 〈log c b (C ）a c 〈b c （D)c a 〉c b(9）函数y =2x 2–e ｜x |在[–2，2]的图像大致为 (A ）（B)（C ）(D)（10)执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =(C)4y x =（D)5y x =（11)平面α过正文体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面， 11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A)32（B)22（C)33(D ）13 （12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-(B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C)11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13）题～第（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2016年高考文科数学试题全国卷1及解析word完美版
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B= ( )A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7} 解析：常规的集合习题，考察交集的运算性质．答案： B ． 2、设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( ) A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3解析：本题考察复数实部虚部的基本概念，展开化简可得(a –2)+(2a+1)i ，所以a –2=2a+1，即a=–3．答案：A ． 3、为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．56解析：本题考察古典概率．从基本情况出发只要确定一个花坛的颜色，另一个花坛随之确定，所以有我们只需要确定一个花坛就好，因此有以下情况：红黄，红白，红紫，黄白，黄紫，白紫六种情况；其中红紫不在一起的情况有四种，所以答案23．答案：C ．4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=5，c=2，cosA=23，则b=( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．3解析：本题考察余弦定理，根据题目条件画出图形可以列出等式a 2=b 2+c 2–2bccosA ，带入已知条件化简可得3b 2–8b –3=0，解得b=3．答案：D ．5、直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：如图，利用△BOF 的面积可得12bc=12a|OD|，带入已知条件化简得c a =12=e ．答案：B ．6、若将函数y=2sin (2x+π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y=2sin(2x+π4) B ．y=2sin(2x+π3) C ．y=2sin(2x –π4) D ．y=2sin(2x –π3)解析：该函数的周期为T=2πω=π，所以函数向右平移π4，得y=2sin[2(x –π4)+π6]，化简可得y=2sin(2x –π3)．答案：D ． 7、如下左1图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：该图形的直观图如图，所以此图属于切割体，切去了该球18的体积，根据体积公式V 球=43πr 3，有(1–18)V 球=78·43πr 3=283π，解得r=2．所以表面积S=S 球+S 截面=78·4·πr 2+3·πr 2，即S=17π．答案：A ．8、若a>b>0，0<c<1，则( )A ．log a c<log b cB ．log c a<log c bC ．a c <b cD ．c a <c b 解析：本题属于指对数比较大小问题．答案：B ． 9、函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．f(2)>0，排除A ；当x>0求导y'=4x –e x ，即f'(0)<0，f'(12)>0．因此极值点一定在(0,12)，因此答案选D ．10x=0，y=1，n=1，则输出x ，y 的值满足( ) A ．y=2x B ．y=3x C ．y=4x D ．y=5x解析：根据程序图可得最终输出x=32，y=6，代入四个选项可得C ，即答案为C ．11、平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，α∩平面ABB 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A ．32B ．22C ．33D ．13解析：画出大概图形，在前面和下面各接一个正方体可以得到m 、n 两边，根据异面直线所求角的方法将两个移到一个三角形中即△A 1BD ，易得m 、n 所成角的正弦值为32，即答案为A ．12、若函数f(x)=x –13sin2x+asinx 在(–∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[–1,1]B ．[–1,13]C ．[–13,13] D ．[–1,–13]R 上单调递增，则f'(x)>0恒成立，设cosx=t(t ∈[–1,1])，[–13,13]．答案：C ． 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分13、设向量a =(x,x+1)，b =(1,2)，且a ⊥b ，则x= ．解析：本题考察向量垂直的坐标运算，由题意知：向量a ·b =0，所以3x+2=0，即x=–23． 14、已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= ．解析：本题考察同角的三角函数关系，三角函数的符号判断以及诱导公式的运用：cos(θ–π4)=cos(θ+π4–π2)=sin(θ+π4)=35，因为 θ是第四象限角，且cos(θ–π4)=35，所以θ–π4也在第四象限，即sin(θ–π4)=–45，所以tan(θ–π4)=sin(θ–π4)cos(θ–π4)=–43．15、设直线y=x+2a 与圆C ：x 2+y 2–2ay –a=0相交于A ，B 两点，若|AB|=23，则圆C 的面积为 ．解析：此题考察直线与圆的位置关系，点到直线的距离等公式；直线方程的一般式可以写作：x –y+2a=0，圆的标准方程为：x 2+(y –a)2=2+a 2，则圆心到直线的距离为：d=|Ax 0+By 0+C|A 2+B 2=|a|2，利用勾股定理有：(a 2)2+(AB 2)2=r 2，解得a=2，所以半径为r=2，所以面积为4π． 16、某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．解析：根据题目可得目标函数为z=2100x+900y ，可行域满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x+y≤300x+0.3y≤905x+3y≤600x≥0y≥0，根据线性规划可得目标函数的最大值为216000．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、(本题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ． (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．解析：(1)由a n b n+1+b n+1=nb n 知a 1b 2+b 2=b 1带入已知条件得：a 1=2，∴由a n =a 1+(n –1)d 得a n =3n –1．(2)由(1)知a n b n+1+b n+1=nb n ，即(3n –1)b n+1+b n =nb n ，所以b n+1b n=13，所以{b n }是一个以1为首项，13为公比的等比数列．其前n 项和为：b 1(1–q n )1–q =1[1–(13)n ]1–13=32–32·(13)n． 18、(本题满分12分)如图，在已知正三棱锥P –ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ． (1)证明G 是AB 的中点；(2)在答题卡第(18)题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．解析：(1)证明：∵D 为P 在面ABC 的正投影，∴PD ⊥面ABC ．∴PD ⊥AB ．又∵E 为D 在面APB 的正投影，∴DE ⊥面APB ．∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥面PGD ．∴AB ⊥PG ． 又∵正三棱锥P –ABC ，∴PA=PB ．∴G 为AB 的中点(三线合一)．(2)正三棱锥P –ABC 中PA=PB=PC ，且各面都为直角三角形，因PA ⊥PB 、PC ⊥PB 、PA ⊥PC ，所以平面PAC ⊥PB ，作EF ∥PB 交PA 于F ，则EF ⊥平面PAC ，所以F 为E 在平面PAC 内的投影；正三棱锥P –ABC 中，D 为三角形ABC 的重心，PA=6，AB=62，因此DG=6，PG=32，PD=23，在三角形PGD中，由射影定理可得PE=22，又因为三角形PAB 为等腰直角三角形，EF ⊥PA ，EF=PF=2，因此S △PEF =12×2×2=2，D –PEF的高为DE ，根据等面积法可以得到DE=2，因此四面体的体积为13×2×2=43．19、(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19，求y 与x 的函数解析式；(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解析：(1)y=⎩⎨⎧3800(16≤x≤19)3800+(x –19)×500(x>19)．(2)此题要求为求平均值，即16×0.06+17×0.16+18×0.24+19×0.24+20×0.2+21×0.1=18.66，所以n 最小取19． (3)若都购买19个易损零件，则费用为：19×200×70+20×500+2×500×10=286000元． 若都购买20个易损零件，则费用为：20×90×200+500×10=410000元．所以每一台机器购买19个零件划算．20、(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y=t(t≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2=2px(p>0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．(1)求|OH||ON|；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由． 解析：(1)如图所示：已知M(0,t)，P 点纵坐标与M 相同，所以带入抛物线求得P(t 22p ,t)．又∵N 点是M 点关于P 的对称点，所以N(t 2p ,t)．设ON 所在直线方程为y=kx ，带入点N 解得k=p t ，所以直线为y=pt x ．联立直线与抛物线方程解得H(2t 2p ,2t)，∴|OH||ON|=x Hx N=2．(2)不存在除H 以外的公共点．由(1)知M(0,t)，H(2t 2p ,2t)，可得MH 所在直线方程为y=p2t x+t ，与抛物线方程联立消去y 得：p 24t 2x 2–px+t 2=0．该方程Δ=0，所以表明直线与抛物线只有一个交点． 所以不存在H 以外的交点．21、(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x –2)e x +a(x –1)2． (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围． 解析：(1) f'(x)=(e x +2a)(x –1)．①当a>0时，f'(x)>0解得x>1；f'(x)<0解得x<1；②当a>–e2时，f'(x)>0解得x>ln2a 或者x<1；f'(x)<0解得1<x<ln2a ．③a<–e2，f'(x)>0解得x>1或者x<ln2a ；f'(x)<0解得ln2a<x<1．④a=–e2，f '(x)≥0恒成立； (2)设f(x)=0即(x –2)e x +a(x –1)2=0，当x=1时等式不成立．当x≠1时，a==(2–x)e x (x –1)2，设g(x)=(2–x)e x(x –1)2，因此g'(x)=–(x –1)e x (x 2–4x+5)(x –1)4； 当x>1时g(x)=(2–x)e x (x –1)2单调递减，当x<1时g(x)=(2–x)e x (x –1)2单调递增，而且x→–∞时，g(x)=(2–x)e x(x –1)2→0，因此当x<1时，g(x)>0且单调递增，当x>1时g(x)=(2–x)e x (x –1)2单调递减，而且x→1时，g(x)=(2–x)e x(x –1)2→+∞，g(2)=0，因此函数f(x)=(x –2)e x +a(x –1)2有两个零点时a 的取值范围为a>0．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，12OA为半径作圆．(1)证明：直线AB 与⊙O 相切(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD ．解析：(1)过O 点，作OE ⊥AB 交AB 与E ．若证得OE=12OA ，则该圆与AB 相切：因为△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°，所以∠A=30°，由直角三角形OEA 知OE=12OA ，所以命题得证；(2)方法一、因为OA=2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，设O'是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO'．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O'在线段AB 的垂直平分线上，所以OO'⊥AB ． 同理可证，OO'⊥CD ．所以AB ∥CD ．方法二、由四点共圆对角互补可知，如下左2图，∠CDA+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 所以：(∠1+∠4)+(∠2+∠3)=180°，即∠CDA+∠DAB=180°，所以AB ∥CD ．EO'DCO BA23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x=acosty=1+asint (t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ=a 0，其中a 0满足tana 0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解：(1)⎩⎨⎧x=acosty=1+asint (t 为参数)，∴x 2+(y –1)2=a 2①∴C 1为以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，方程为x 2+y 2–2y+1–a 2=0．∵x 2+y 2+ρ2，y=ρsinθ，∴ρ2–2ρsinθ+1–a 2=0即为C 1的极坐标方程．(2)C 2：ρ=4cosθ，两边同乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，∴x 2+y 2=4x ，即(x –2)2+y 2=4② C 3：化为普通方程为y=2x ．由题意：C 1和C 2的公共方程所在直线即为C 3， ①–②得：4x –2y+1–a 2=0，即为C 3．∴1–a 2=0，∴a=1．或联立C 2，C 3解得公共点为：(0,0)，(45,85)，带入x 2+(y –1)2=a 2，可得a=1．24、(本小题满分10分)[选修4—5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x+1|–|2x –3|． (1)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集．解析：(1)由题意指该函数可以用分段函数的形式表达：f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧–(x+1)+(2x –3)(x<–1)(x+1)+(2x –3)(–1≤x≤32)(x+1)–(2x –3)(x>32)，化简后得⎩⎪⎨⎪⎧x –4(x ≤–1)3x –2(–1<x<32)4–x(x≥32)，所以描点作图如下：(2)由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧x –4(x ≤–1)3x –2(–1<x<32)4–x(x≥32)，所以|f(x)|=⎩⎪⎨⎪⎧|x –4|(x<–1)|3x –2|(–1≤x≤32)|–x+4|(x>32)，分别解得： ①当x<–1时，均满足题意； ②当–1≤x≤32，解得–1≤x<13或者1<x≤32．③当x>32，解得32<x<3或者x>5．综上所述：解集为(–∞,13)∪(1,3)∪(5,+∞)．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。
2016年高考全国卷1卷数学文科试题详细解析
(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(x+1)lnx-a(x-1). (Ⅰ)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围.
(21) (本小题满分 12 分)
2
2
已知 A 是椭圆 E: 4 + 3 =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA.
(A)170
(B)58
(C)38
(D)130
(9)
2
中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34
(10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lg x 的定义域和值域相同的是
(14) 若 x,y 满足约束条件 + -3 ≥ 0,则 z=x-2y 的最小值为
.
-3 ≤ 0,
(15) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cosA=45,cosC=153,a=1,则 b=
.
3
(16) 有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后
(A)12π
(B)332π
(C)8π
(D)4π
1
(5) 设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k>0)与 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k=
(A)12
(B)1
(C)32
(D)2
2016年高考-全国一卷-文科数学-（原题+解析）
2016年⾼考-全国⼀卷-⽂科数学-（原题+解析）2016年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(课标全国卷Ⅰ)⽂数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)⼀、选择题:本题共12⼩题,每⼩题5分,在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x ≤5},则A ∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种花种在⼀个花坛中,余下的2种花种在另⼀个花坛中,则红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.564.△ABC 的内⾓A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( ) A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的⼀个顶点和⼀个焦点,若椭圆中⼼到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离⼼率为( ) A.13B.123D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某⼏何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该⼏何体的体积是28π3,则它的表⾯积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0B.log c aC.a cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象⼤致为( )10.执⾏下⾯的程序框图,如果输⼊的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满⾜( )A.y=2xC.y=4xD.y=5x11.平⾯α过正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平⾯CB 1D 1,α∩平⾯ABCD=m,α∩平⾯ABB 1A 1=n,则m,n 所成⾓的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(⾮选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考⽣都必须作答.第22~24题为选考题,考⽣根据要求作答.⼆、填空题:本题共4⼩题,每⼩题5分.13.设向量a =(x,x+1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x= .14.已知θ是第四象限⾓,且sin (θ+π4)=35,则tan (θ-π4)= .15.设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B 两点,若|AB|=2√3,则圆C 的⾯积为 .16.某⾼科技企业⽣产产品A 和产品B 需要甲、⼄两种新型材料.⽣产⼀件产品A 需要甲材料1.5 kg,⼄材料1 kg,⽤5个⼯时;⽣产⼀件产品B 需要甲材料0.5 kg,⼄材料0.3 kg,⽤3个⼯时.⽣产⼀件产品A 的利润为2 100元,⽣产⼀件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,⼄材料90 kg,则在不超过600个⼯时的条件下,⽣产产品A 、产品B 的利润之和的最⼤值为元.三、解答题:解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本⼩题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满⾜b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)求{b n }的前n 项和.18.(本⼩题满分12分)在平⾯PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平⾯PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四⾯体PDEF的体积.19.(本⼩题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使⽤三年后即被淘汰.机器有⼀易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使⽤期间,如果备件不⾜再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买⼏个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使⽤期内更换的易损零件数,得下⾯柱状图:记x表⽰1台机器在三年使⽤期内需更换的易损零件数,y表⽰1台机器在购买易损零件上所需的费⽤(单位:元),n表⽰购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不⼤于n”的频率不⼩于0.5,求n的最⼩值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费⽤的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本⼩题满分12分)在直⾓坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.(Ⅰ)求|OH|;|ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本⼩题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考⽣在第22~24题中任选⼀题作答,如果多做,则按所做的第⼀题计分.22.(本⼩题满分10分)选修4—1:⼏何证明选讲如图,△OAB是等腰三⾓形,∠AOB=120°.以O为圆⼼,1OA为半径作圆.2(Ⅰ)证明:直线AB与☉O相切;(Ⅱ)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本⼩题满分10分)选修4—4:坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy中,曲线C1的参数⽅程为{x=acost,极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(Ⅰ)说明C1是哪⼀种曲线,并将C1的⽅程化为极坐标⽅程;(Ⅱ)直线C3的极坐标⽅程为θ=α0,其中α0满⾜tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.24.(本⼩题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(课标全国卷Ⅰ)⼀、选择题1.B∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C从红、黄、⽩、紫4种颜⾊的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红⽩)、(红紫)、(黄⽩)、(黄紫)、(⽩紫),共6种,其中红⾊和紫⾊的花不在同⼀花坛(亦即黄⾊和⽩⾊的花不在同⼀花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b2-8b-3=0,∴b=3(b=-13舍去).故选D.5.B如图,|OB|为椭圆中⼼到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=ca=12.故选B.个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin[2(x-π4)+π6]=2sin(2x-π3),故选D.7.A由三视图知该⼏何体为球去掉了18所剩的⼏何体(如图),设球的半径为R,则7 8×43πR3=28π3,故R=2,从⽽它的表⾯积S=78×4πR2+34×πR2=17π.故选A.8.B∵0b>1时,log a c>log b c,A项错误;∵0b>0,∴log c a∵0⼜∵a>b>0,∴a c>b c,C项错误;∵0⼜∵a>b>0,∴c a9.D当x=2时,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-e x,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C执⾏程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成⽴;当n=2时,x=12+22≥36不成⽴;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成⽴,结束循环,输出x的值为32,y的值为6,满⾜y=4x,故选C.11.A设正⽅体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正⽅体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正⽅体,如图所⽰.正六边形EFGPQR所在的平⾯即为平⾯α.点A为这个⼤正⽅体的中⼼,直线GR为m,直线EP为n.显然m与n所成的⾓为60°.所以m,n 所成⾓的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成⽴,令cos x=t,t ∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成⽴,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成⽴,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g(1)=4-3a -5≤0,g(-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a ≤13,故选C.⼆、填空题 13.答案 -23解析因为a ⊥b ,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案 -43解析解法⼀:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①,∴2sin θcos θ=-725.∵θ是第四象限⾓,∴sin θ<0,cos θ>0, ∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②,由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17,∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43. 解法⼆:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2, ∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35, ⼜2kπ-π2<θ<2kπ,k ∈Z ,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4∴cos(θ+π4)=45,∴sin(π4-θ)=45,∴tan(π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43,∴tan(θ-π4)=-tan(π4-θ)=-43.15.答案4π解析把圆C的⽅程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆⼼为(0,a),半径r=√a2+2.圆⼼到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r2=d2+(|AB|2)2,得a2+2=a2+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的⾯积S=πr2=4π.16.答案216000解析设⽣产产品A x件,⽣产产品B y件,利润之和为z元,则z=2100x+900y.根据题意得{1.5x+0.5y≤150,x+0.3y≤90,5x+3y≤600,x,y∈N,即{3x+y≤300,10x+3y≤900,5x+3y≤600,x,y∈N,作出可⾏域(如图).由{10x+3y=900,5x+3y=600得{x=60,y=100.当直线2100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最⼤值,z max=2100×60+900×100=216000.故所求的最⼤值为216000元.三、解答题17.解析(Ⅰ)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2,(3分)所以数列{a n}是⾸项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=b n3,(7分)因此{b n }是⾸项为1,公⽐为13的等⽐数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n , 则S n =1-(13)n3=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平⾯ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD. 因为D 在平⾯PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)⼜PD ∩DE=D,所以AB ⊥平⾯PED,故AB ⊥PG. ⼜由已知可得,PA=PB,从⽽G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平⾯PAB 内,过点E 作PB 的平⾏线交PA 于点F,F 即为E 在平⾯PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,⼜EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,⼜PA ∩PC=P,因此EF ⊥平⾯PAC,即点F 为E 在平⾯PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平⾯ABC 内的正投影为D,所以D 是正三⾓形ABC 的中⼼,由(Ⅰ)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平⾯PAB,DE ⊥平⾯PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧⾯是直⾓三⾓形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2. 在等腰直⾓三⾓形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分) 所以四⾯体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x ≤19时,y=3 800; 当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700, 所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N ).(4分)(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不⼤于18的频率为0.46,不⼤于19的频率为0.7,故n 的最⼩值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费⽤为3 800元,20台的费⽤为4 300元,10台的费⽤为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费⽤的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费⽤为4 000元,10台的费⽤为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费⽤的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)⽐较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)⼜N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p,t),ON 的⽅程为y=ptx,代⼊y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p.因此H (2t 2p ,2t).(4分)所以N 为OH 的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH 的⽅程为y-t=p 2t x,即x=2tp (y-t).(9分)代⼊y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有⼀个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a ≥0,则当x ∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x ∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分) (ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e 2,则ln(-2a)<1,故当x ∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x ∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x ∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x ∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. ⼜f(1)=-e, f(2)=a,取b 满⾜b<0且b2,则f(b)>a 2(b-2)+a(b-1)2=a (b 2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有⼀个零点.(9分)(iii)设a<0,若a ≥-e2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,⼜当x ≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,⼜当x ≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分) 综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆⼼.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆⼼,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,⼜O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD. (10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通⽅程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆⼼,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代⼊C 1的普通⽅程中,得到C 1的极坐标⽅程为ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满⾜⽅程组 {ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由⽅程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分) 由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从⽽1-a 2=0, 解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上. 所以a=1.(10分)24.解析 (Ⅰ)f(x)={x -4,x≤-1,3x -2,-12,-x +4,x >32,(4分)y=f(x)的图象如图所⽰.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=1 3或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|13或x >5}.(9分) 所以|f(x)|>1的解集为{x|x <13或15}.(10分)。