导数中两种零点问题解决方法
导数中的零点问题解决方法
解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合
题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。
一、能直接分离参数的零点题目
此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下
移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。
例 1.已知函数 f (x) = x + a g ( x)
x , g (x) = ln x ，若关于 x 的方程 x 2 = f (x) - 2e 只有
一个实数根，求 a 的值。
g ( x) ln x ln x
解析： x 2 = f (x) - 2e ? a = x - x 2 + 2ex ，令 h (x) = x - x 2 + 2ex ，
1- ln x
h ' (x) =
- 2x + 2e ，令 h ' (x) = 0 ，则 x
= e x 2
当 0 < x < e 时， h ' (x) > 0 ， h (x) 单调递增；当 x > e 时， h ' (x) < 0 ， h (x) 单调
1
递减， h (x) max = h (e ) = e + e 2
注意这里 h (x) 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现 h ' (x) 的式子很复杂，但是如
ln x
果把 h (x) 当成两个函数的和，即 m (x) = x , n(x) =- x 2 + 2ex ，此时 m (x), n (x) 的
单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出 h (x) 的单调性和极值点。
所以 a = 1
e + e 2 （注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）
二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）
这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函
数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如 f (x) 在区间 (0,1) 上有零
点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调， 只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着 f (x) 在区间
(0,1) 上存在极值点。
在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是
求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一
下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间
例 2.已知函数 f (x) = ax 3 - 3x 2 +1 ，若 f (x) 存在唯一的零点 x ，且 x > 0 ，则 a 解析： f ' (x) = x + x - 2 = (x + 2)(x -1) ，可知函数 f (x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, +∞) ? f ( e ?
e
的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势 图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。
0 0
的取值范围是
解析：当 a = 0 时， f (x) =- 3x 2 +1 有两个零点，不符合题意
2
当 a > 0 时， f ' (x) = 3ax 2 - 6x = 3x(ax - 2) ，若 f ' (x) > 0 ，则 x > a
或 x < 0
2
若 f ' (x) < 0 ，则 0 < x < a ，此时函数在 (-∞, 0) 上单增， f (-1) =- 2 - a
< 0 此时在 (-∞, 0) 上存在零点，不符合题意。
2
2
当 a < 0 时，若 f ' (x) > 0 ，则 a < x < 0 ，若 f ' (x) < 0 ，则 x < a 或 x > 0
2
此时要保证函数存在唯一的正零点，则 f ( a ) > 0 ，解得 a ∈ (-∞, -2)
注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可
例 3.已知函数 f (x) = 2 1
x + ln x + x - 2 - b 在区间[ e , e ] 上有两个不同零点，求实
数 b 的取值范围。
2
x 2 x 2
上
递增，要保证函数 f (x) 在[ 1
e
, e ] 上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可
?
1
) ≥ 0 ?
得必须满足 ? f (1) < 0 ? 1 < b ≤ 2 + e -1
f (e ) ≥
?
?
例 4.已知函数 f (x) = x 3 + ax 2 + b
（1）讨论 f (x) 的单调性；
2) ? ( 2 , +∞) ，求 c 的值。3
? 4 3 或 ?? 4 3 ，因为 f (x) 恰有三个零点时， a 的 ? 3
?c -1
≥ 1 ) ≥ 0
（2）若 b = c - a ，当函数 f (x) 有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是
3
(-∞, -3) ? (1,
解析：（1）当 a = 0 时， f (x) 在 R 上单调递增
2 a 2 a
当 a > 0 时， f (x) 在 (-∞, - 3 ), (0, +∞) 上单调递增，在 (- 3 , 0)
上单调递减；
2 a 2 a
当 a < 0 时， f (x) 在 (-∞, 0), (- 3 , +∞) 上单调递增，在 (0, - 3 )
上单调递减；
（2）只有当 a ≠ 0 时才有可能满足 f (x) 有三个零点
因为 f (x) 有两个极值点 f (0) = b , f (- 2a ) = 4 a 3 + b ，要满足有三个零
3 27
点必须满足 f (0) ? f (- 2a ) < 0 ，结合 b = c - a 可得 3
?a > 0 ?a < 0 ?
?
a - a + c > 0 ? a - a + c < 0
?27
? 27
取值范围是(-∞, -3) ? (1, 3 ) ? (3
, +∞)
2 2
所以题目可以转化为 4 a 3 - a + c > 0 在 a ∈ (1, 3 ) ? ( 3 , +∞) 上恒成立，且
4 27
27 2 a 3
- a + c < 0 在 a ∈ (-∞, -3) 上恒成立 2
4 设 h (a) = 27 a 3 - a + c ，对其求导可得 h (a) 在 (-∞, - 3 3
2), ( 2 , +∞) 递增，在
(- 3 2 , 3
2) 递减，因此 h (a) 图像必须满足以下趋势：
? f (-3) ≤ 0 ?c -1 ≤ 0 所以 ?
?? ? f (
? 2
? c = 1
min = g (1) = e - 2a - b
验证：当 c = 1 时， f (x) = x 3 + ax 2 +1- a = (x +1)[x 2 + (a -1)x +1- a]
函数有三个不等的实数根，所以 h (x) = x 2 + (a -1)x +1- a = 0 有两个不
相等且不等于-1 的实数根，所以必须满足
??> 0
?
?h (-1) ≠ 0
? a ∈ (-∞, -3) ? (1, 3) ? ( 3, +∞)
2 2
综上， c = 1
第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点，
但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已知的那个作
为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再 根据不同的 a 的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的
条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验 证，则即便满足有三个零点，此时的 a 的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意
这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。 例 6.已知函数 f (x) = e x - ax 2 - bx -1
（1）设 g (x) 是函数 f (x) 的导函数，求函数 g (x) 在区间[0,1] 上的最小值；
（2）若 f (1) = 0 ，函数 f (x) 在区间 (0,1) 内有零点，求 a 的取值范围。解
析：（1） g (x) = e x - 2ax - b , g ' (x) = e x - 2a
当 a ≤ 0 时， g ' (x) > 0 ， g (x) 在[0,1] 递增， g (x)min = g (0) = 1- b
当 a > 0 时，令 g ' (x) = 0 ， x = ln 2a ，此时 0,1, ln 2a 位置不确定因此需
要讨论
Case1:当 ln 2a ≥ 1 时， a ≥ 2 e
，此时 g (x) 在[0,1] 递
减， g (x)
Case1:当 ln 2a ≤ 0 时， a ≤ 1
2 ，此时 g (x) 在[0,1] 上递增，
g (x)min = g (0) = 1- b
1
e
Case3:当 0 < ln 2a < 1 时，即
< a <
，此时
2
2
?1 - b (a ≤
2
?
e
min =? 2a - 2a ln 2a - b (
- 2a - b (a ≥ )
综上所述 g (x)
< a <
? 1
（2）本题目隐藏一个条件即 f (0) = 0 ，又知 f (1) = 0 ，所以如果f (x) 在区间 (0,1) 内
有零点，则 f (x) 在 (0,1) 内至少有两个极值点或者至少有三个单调区间或者 说 g (x) 在 (0,1) 内不可以恒正也不可以恒负。（要好好理解这句话）
1 e
题目中有两个参数，根据 f (1) = 0 可得 b = e - a -1 ，若当 a ≤
2 或 a ≥ 2 时，函
1 e
数 g (x) 为单调函数，不符合题意，故 a 只能在 ( 2 , 2 ) 内取值，此时
g (x)min = 3a - 2a ln 2a - e +1 ，且要满足 3a - 2a ln 2a - e +1 < 0 才可
令 h (x) = 3x - 2x ln 2x - e +1, h ' (x) = 1- 2 ln 2x ，根据单调性可知
h (x)min = e - e +1 < 0 ，此时 g(x)min < 0 成立，因此要保证 f (x) 在 (0,1) 上至
少有三个单调区间，则需要满足条件
? 1 e ? 2 < a < 2
?
?g (0) > 0 ? e - 2 < a < 1
?
g (1) > 0
? ?
题目第二问的关键是理解原函数单调区间的个数和导函数零点个数之间的关系， 建议同学们在做第二问的时候把相应的图作出来就明白了。
总结：处理零点问题不管是处在函数的题目里面还是导数的题目里面，方法都是一
样的，都是需要用到数形结合思想，通过判断单调性，既可以大致的将函数的
趋势图像都作出来，然后根据题目的要求作出合适的函数图像以及列出不等式
即可。