第54讲-条件概率与事件的独立性、正态分布(讲义版)
条件概率与事件的独立性
P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取 得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是 一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能 发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分 两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做 事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。
2021版新高考数学一轮复习第十一章11.6条件概率与事件的独立性正态分布课件新人教B版
第六节ꢀ条件概率与事件的独立性、正态分布内容索引【教材·知识梳理】1.条件概率与相互独立事件的概率事件A (1)条件概率：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=_________为在______发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(A)P(B)(2)相互独立事件：设A，B为两个事件，若P(AB)=_________，则称事件A与事件B相互独立.2.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，X～B(n，p)成功概率记作___________，并称p为_________.3.正态分布(x)=，x∈R.(1)正态曲线函数：φμ，σ(2)定义：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)=(x)dx，μ，σ正态分布N(μ，σ2)则称随机变量X服从_________，记作X～__________.上方(3)特点：①曲线位于x轴_____，与x轴不相交；x=μ②曲线是单峰的，它关于直线_____对称；x=μ③曲线在_____处达到峰值_______；1④曲线与x轴之间的面积为__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；高瘦⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“_____”，表示总体的矮胖分散分布越集中；σ越大，曲线越“_____”，表示总体的分布越_____.(4)3σ原则68.3%①P( μ-σ<X≤μ+σ)=______；95.4%②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=______；99.7%③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=______.【常用结论】1.若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立.2.若A，A，…，A相互独立，则P(A A…A)=12n12nP(A)P(A)…P(A).12n3.对于正态分布N(μ，σ2)，由x=μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a，有P(X<μ-a)=P(X>μ+a)；(2)P(X<x)=1-P(X≥x)；00(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于任意两个事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(ꢀꢀ)(2)对立事件与独立事件是相同的.(ꢀꢀ)(3)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P=(ꢀꢀ)(4)正态曲线落在区间(μ-3σ，μ+3σ)之外的部分对应事件的概率很小,接近于0.(ꢀꢀ)(5)正态曲线与x轴之间的面积大小不确定.(ꢀꢀ)提示:(1)×.当且仅当两个事件相互独立时才有P(AB)=P(A)P(B)成立.(2)×.因为A,B是对立事件等价于而A,B是独立事件等价于P(AB)=P(A)P(B),对立事件一定不可能同时发生,独立事件可以同时发生. (3)×.恰好第3次通过,也就是第1,2次没有通过,第3次通过,所以所求概率为(4) √.因为P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 ,所以正态曲线落在区间(μ-3σ，μ+3σ)之外的部分对应事件的概率为1-0.997=0.003.(5)×.因为正态曲线与x轴之间的面积为1.【易错点索引】序号易错警示典题索引1 2 3 4 5条件概率的计算出错考点一、T2考点一、T3独立事件判断或计算概率时出错不能识别n次独立重复试验的模型考点二、T1二项分布问题计算中公式出错正态曲线的性质应用错误考点二、T2考点三、角度1考点三、角度2，36正态曲线的实际问题应用出错【教材·基础自测】1.(选修2-3P50练习AT2改编)先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数,且x≠y”,则概率P(B|A)=(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选A.因为所以2.(选修2-3P67习题2-4AT1改编)已知随机变量X服从正态分布N(1,1),且P(X>2c-1)=P(X<c+3),则c=________.ꢀ【解析】依题意知:(2c-1)+(c+3)=2,解得c=0.答案:03.(选修2-3P52例2改编)小明准备参加电工资格考试,先后进行理论考试和操作考试两个环节,每个环节各有2次考试机会,在理论考试环节,若第一次考试通过,则直接进入操作考试;若第一次未通过,则进行第2次考试,第2次考试通过后进入操作考试环节,第2次未通过则直接被淘汰.在操作考试环节,若第1次考试通过,则直接获得证书;若第1次未通过,则进行第2次考试,第2次考试通过后获得证书,第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为,每次操作考试通过的概率为,并且每次考试相互独立,则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是(ꢀꢀ)【解析】选B.因为小明本次电工考试中共参加3次考试,所以理论环节考试第一次没有通过,第二次通过,操作环节第一次通过,或者理论环节第一次考试通过,操作环节第一次没有通过,第二次通过或不过,所以所求的概率为考点一ꢀ条件概率、事件的独立性【题组练透】1.市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为而实体店里的家用小电器的合格率约为现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(ꢀꢀ)ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ2.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)的值为(ꢀꢀ)3.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,求:乙投篮次数不超过1次的概率.世纪金榜导学号【解析】1.选A.不合格小电器在网上购买的概率为不合格小电器在实体店购买的概率为所以这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是2.选C.因为P(B)=,P(AB)=所以P(A|B)=3.记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,所求的概率是P=P(A+·B+··A)=P(A)+P(·B)+P(··A) =P(A)+P()·P(B)+P()·P()·P(A)=所以乙投篮次数不超过1次的概率为【规律方法】1.条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数n(A),再求事件AB 所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=基本事件法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简缩样法2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.(2)间接法:从对立事件入手计算.考点二ꢀn次独立重复试验、二项分布ꢀ【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为A.0.33(ꢀꢀ)B.0.66C.0.5D.0.452.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【解题导思】序号联想解题1种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式(1)联想到用公式2(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次试验模型【解析】1.选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94(1-0.9)≈0.33.2.令X表示5次预报中预报准确的次数,则X～B故其分布列为P(X=k)=(k=0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-×=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为≈0.02.【规律方法】1.熟记概率公式n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为p k(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.【变式训练】1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(ꢀꢀ)【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=×2.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=则P(η≥1)=________.【解析】P (ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-p0·(1-p)2=所以p=,P(η≥1) =1-P(η=0)=1-答案:3.在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为.设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ,求ξ的分布列.【解析】随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4,且ξ～B所以P(ξ=k)=(k=0,1,2,3,4).所以变量ξ的分布列为ξ01234P考点三正态分布考什么:(1)正态曲线的应用.(2)正态分布与统计的综合应用.怎么考:正态分布作为考查数学应用意识的重要载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题形式出现.命题精解读学霸巧用正态曲线的性质解题好方(1)正态曲线关于直线x=μ对称,用此性质可以进行灵活转化.法(2)正态曲线与x 轴之间的面积是1.【命题角度1】正态曲线的应用【典例】1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=()A.0.447B.0.628C.0.954D.0.9772.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg 属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()A.997B.954C.819D.683【解析】1.选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,σ2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(ξ>2)=0.023,所以P(ξ<-2)=0.023.所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954.2.选D.由题意,可知μ=60.5,σ=2,所以P(58.5<X≤62.5)=P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 7≈683.【解后反思】如何利用正态曲线的性质解题?提示:充分利用正态曲线的对称性及正态曲线与x轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.②P(X<a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).【命题角度2】3σ 原则的应用【典例】1.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C下方(曲线C 为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为()A.4 985B.8 186C.9 970D.24 5582.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个?世纪金榜导学号【解析】1.选B.由题意P(0<X<3)=P(0<X≤2)+P(2<X<3)=0.682 7+(0.954 5 -0.682 7)=0.818 6,所以落在曲线C下方的点的个数的估计值为30 000×=8 186.2.因为X～N所以μ=4,σ=.所以不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)+P(X>5)=1-P(3<X≤5)=1-P(4-1<X≤4+1)=1-P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈1-0.997 3=0.002 7≈0.003,所以1 000×0.003=3个,即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个.【命题角度3】正态分布与统计的交汇问题【典例】近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备今年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在去年“双十一” 前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51<T<2.49).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.(ⅰ)任取一人,求该人是目标客户的概率;(ⅱ)问:10 000人中目标客户的人数X为何值时概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3,≈0.49.世纪金榜导学号【解析】(1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×0.200×2.8+0.050×3.2)=2,从而T服从N(2,0.24),又σ=≈0.49,从而P(1.51<T<2.49)=P(μ-σ<T<μ+σ)=0.682 7.。
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数
n1 1 1
理
统
n n1 n
计
P (A k)P (A 1A 2 A k 1A k)
P ( A 1 ) P ( A 2 |A 1 )P ( A k |A 1 A k 1 )
n1n2 1 1
n n1 nk n
2019/6/10
皖西学院 经济与管理学院
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例5 10个考签中有4个难签，3个考生参加抽签（不放回），甲
概 事件A发生的概率。
率
论 与 数
解 ： ( 1 ) ( b , b ) , ( b , g ) , ( g , b ) , ( g , g ) , P ( A ) 3 ；
A ( b ,g ) ,(g ,b ) ,(g ,g ) ,
4
理 统
( 2 ) ' ( b ,b ) ,( b ,g ) ,( g ,b ) ,所求的概率p2.
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三 全概率公式
例1 设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；
概 乙袋装有4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入 率 乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。
概•
率
解：记Ai表示“第i次取出的为不合格品”，则所
论 求概率为
与
数 P(A1A2A3) P (A 1 )P (A 2A 1 )P (A 3A 1A 2 )
理 统
90 8910 0.0826.
计
100 99 98
另解：P920 C110 P3
100
.
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（2）由（1）可推出。
概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT
例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
条件概率、二项分布及正态分布(讲解部分)
考法二 正态分布问题的解题方法
例2 (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方 过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某 种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表);
∴E(X)=4×1 =2.
2
方法总结 1.对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5; (2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (3)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质 求解.
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),
利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数 学期望. 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ= 142.75 ≈11.95; 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4. 解题导引
§13条件概率与事件的独立性PPT课件
P(A| B) P(AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
B ABA
Ω
若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1).
6
3. 条件概率的性质(自行验证)
13
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概 率是多少？
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B|
A)
P(AB) P(A)
设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (Ω | B) =1 ；
3.设A1,…,An互不相容，则 P((A1+…+An )| B) = P(A1|B)+ …+P(An|B) 而且, 前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 请自行写出.
7
4. 条件概率的计算
P(B) P(A)
0.40.5 0.8
14
条件概率P(A|B)与P(A)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，
设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试 验条件下事件A发生的可能性大小.
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
请看下面的例子
事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。
《条件概率与独立性》课件
卡方检验法
卡方检验法是一种基于概率分布的统计方法， 通过计算观测值和理论值之间的偏差程度来检 验独立性。
条件概率与独立性的应用
金融市场预测
条件概率和独立性等概率理论方 法常用于分析和预测金融市场趋 势、股票涨跌等。
医学诊断
条件概率和独立性等概率理论方 法常用于医学诊断中的病例分析 和风险评估。
药物研发
计算条件概率
1
先决概率
先决概率是指在给定先决条件的情况下，某个事件的概率。
2
全概率公式
全概率公式是计算条件概率的关键公式之一。
3
贝叶斯公式
贝叶斯公式是计算后验概率的重要工具，常用于医疗、金融领域中的决策分析。
独立性的判定
十字乘法判定法
十字乘法判定法是使用最常见的一种方法，它 通过直觉理解就可以判断两个事件之间是否独 立。
条件概率和独立性等概率理论方 法可以帮助科学家系统地评估新 药物的效果和安全性。
练习与总结
本节将提供练习题目，让你进一步巩固和应用所学知识，并对整个课程的内容进行回顾和总结。
条件概率与独立性
本课程以深入浅出的方式介绍了条件概率与独立性的概念、计算方法、判定 准则以及应用场景，并提供实例和练习，帮助你快速掌握这一重要知识点。
条件概率的定义
什么是条件概率？
条件概率指在某个条件下某一事 件发生的概率，常用于计算和预 测。
如何计算条件概率？
根据公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，通 过分析样本空间，可以用不同的 方法计算条件概率。
为什么条件概率有用？
条件概率常用于实际应用场景中， 例如医学诊断、金融风险评估、 市场预测等。
独立性的概念
1 什么是独立性？
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第54讲条件概率与事件的独立性、正态分布
一、考情分析
1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算；
3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则；
4.会用频率估计概率.
二、知识梳理
1.条件概率及其性质
2.
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
3.
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，A n是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪A n＝Ω.
②A1，A2，…，A n两两互不相容，则称事件A1，A2，…，A n组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式。