消元解方程
消元的方法
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法例：解方程组：x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
编辑本段构成加减消元法例：解方程组x+y=5①x-y=9②解：①+②，得2x=14即x=7把x=7带入①，得：7-y=9解，得：y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解编辑本段解法二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.例:1)x-y=32)3x-8y=43)x=y+3代入得３×（y+３)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1以上就是代入消元法，简称代入法。
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
消元解二元一次方程
消元解二元一次方程
二元一次方程是指包含两个未知数的一次方程组。
我们可以通过消元法来解决这种方程组。
消元法的基本思路是将一个方程中的某个未知数用另一个方程中的表达式代替,从而消去这个未知数,最终得到只包含一个未知数的方程。
具体步骤如下:
1. 写出给定的二元一次方程组:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
2. 对某个未知数(例如x)进行消元。
将其中一个方程的x用另一个方程的表达式代替。
假设我们想消去x,可以将第一个方程的x用(c₂ - b₂y)/a₂代替。
3. 将代换后的表达式代入另一个方程,并化简,得到只包含y的一元一次方程。
4. 解出y的值。
5. 将求得的y值代回其中一个原方程,求出x的值。
6. 得到x和y的解。
通过这种消元的方法,我们可以很容易地解决二元一次方程组。
需要
注意的是,在实际操作中,我们可以先观察系数,选择合适的方程进行消元,以简化计算过程。
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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消元——解二元一次方程组4
加减消元法的实际应用
问题2 如何设未知数？列出怎样的方程组？ 2（2x+5y）＝3.6，
依题意得： 5（3x+2y）＝8.
问题3 如何解这个方程组？
加减消元法的实际应用 2（2x+5y）＝3.6， 5（3x+2y）＝8.
解：化简得: 4x+10y＝3.6，① 15x+10y＝8.②
② - ①，消y得11x=4.4， 解得x=0.4，
将③代入②，得 2x+4（35-x入③，得
23+y=35 y=12
y=12
非负和为0与解方程组综合 答案：x=1，y=1，原式=1．
解复杂方程组 用加减消元法解方程组：
答案 y=-1
例题 -1
例题 B
例题
例题 1
例题 12
例题 C
例题 B
例题
1
10
恒成立问题
总结
这节课我们学会了什么？
用加减法解方程组的一般步骤：
化系
把系数化为相同或相反
加减
消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出原方程组的解
复习巩固 1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
（3）5x-3y=x+2y；
（4）2（3y-3）=6x+4.
复习巩固 2.用代入法解下列方程组：
y＝x+3， （1）
7x+5y＝9；
3s-t＝5， （2）
5s+2t＝15；
3x+4y＝16， （3）
5x-6y＝33；
4（x-y-1）=3（1-y）-2， （4）
复习巩固 3.用加减法解下列方程组：
消元法求解线性方程组
消元法求解线性⽅程组
这⾥的消元法，主要是针对矩阵A可逆的情况下(如果A不可逆消元后不好回代)，即线性⽅程组只有唯⼀解的情况下，有多解的情况的解法在后⾯介绍。
其中的⼀种分解⽅法是LU分解。
这种⽅法的优势在于分解结果中L（上三⾓矩阵）和U（下三⾓矩阵）都是三⾓形矩阵，后续运算⽐较简便。
⽽且⼆者恰好相配，使⽤计算机进⾏运算时可以存储在⼀个数组中，节约存储空间。
利⽤A的LU分解解线性⽅程组的过程为将Ax=b等价变形成（LU）x=b，根据结合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到线性⽅程组的解。
Processing math: 100%。
消元--解二元一次方程组知识点总结(含例题)
消元—解二元一次方程组知识点教案1．代入消元法解二元一次方程组（1）消元思想的概念二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做__________思想．（2）代入消元法把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．（3）代人法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．2．加减消元法解二元一次方程组（1）加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称__________．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．3．整体消元法解二元一次方程组根据方程组中各系数特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，代入到另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，求得方程组的解．K 知识参考答案：1．消元 2．加减法一、代入法解二元一次方程组①用代入法消元时，由方程组里的一个方程得出的关系式须代入到另一个方程中去，如果代入原方程，就不可能求出原方程组的解了．②方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化分数系数为整数系数．③当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y =ax +b （或x =ay +b ），求出另一个未知数的值比较简单．④要想检验所求得的一对数值是否为原方程组的解，可以将这对数值代入原方程组的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则说明解题有误．【例1】用代入法解方程组124y x x y =-⎧⎨-=⎩时，代入正确的是 A ．x -2-x =4B ．x -2-2x =4C ．x -2+2x =4D ．x -2+x =4 【答案】C【解析】124y x x y =-⎧⎨-=⎩①②，把①代入②得：x -2（1-x ）=4，整理得：x -2+2x =4．故选C ． 二、加减法解二元一次方程组1．当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，可将两个方程相加消元；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，可将两个方程相减消元．2．当方程组中相同未知数的系数的绝对值既不相等，也没有倍数关系时，则消去系数绝对值较小的未知数较简单，确定要消去这个未知数后，先要找出两方程中该未知数系数的最小公倍数，再把这两个方程中准备消去的未知数的系数化成绝对值相等的数．【例2】用加减法解方程组231328x yx y+=⎧⎨-=⎩时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：①691648x yx y+=⎧⎨-=⎩；②461968x yx y+=⎧⎨-=⎩；③6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩；④4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩．其中变形正确的是A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】如果将x的系数化成相反数，则方程组可变形为：6936416x yx y+=⎧⎨-+=-⎩，如果将y的系数化成相反数，则方程组可变形为4629624x yx y+=⎧⎨-=⎩，故选B．。
消元法解线性方程组
消元法解线性方程组学校：青海师范大学院系：数学系专业：数学与应用数学班级：10B指导教师：邓红梅学号：20101611218姓名：梅增旺摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。
本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。
消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。
关键字：线性方程组消元法求解Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and theunknown element number and the number of equations canbe hundreds, so itis important in the theory, its applicationis very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone hasa contact, the basic idea ofelimination method is throughthe elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations.Keywords:elimination method for solving linear equations正文：我们主要探讨一下在复数域上用高斯（C.F.Gauss,1775--1855）消元法解线性方程组（以下我们统称线性方程组）。
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法
消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法湖南李琳高明生一、概念步骤与方法：1.由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.注意：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.⑵如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并等），再判断用哪种方法消元好.5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组．6.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：⑴设出题中的两个未知数；⑵找出题中的两个等量关系；⑶根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；⑷解这个方程组，求出未知数的值.⑸检验所得结果的正确性及合理性并写出答案.注意：对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几个方程.即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等. 二、化归思想 所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化等等．在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法，把新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决，它也是解二元一次方程最基本的思想．三、典型例题解析：类型一：基本概念：例1、（2005年盐城大纲）若一个二元一次方程的一个解为则21x y =⎧⎨=-⎩，，这个方程可以是________．（只要写出一个）分析：本题是一道开放型问题，考查方程的概念，满足题意的答案不惟一，解此类题目时，可以先设出系数在代入算出另一边的值。
消元-解二元一次方程组
消元法的注意事项
03
二元一次方程组的解法
方程组的解的定义
定义：二元一次方程组的解是指满足方程组中所有方程的一组未知数的值。
求解二元一次方程组的目标是找到这组解，使得每个方程都成立。
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程，然后求解该一元一次方程得到一个未知数的值，再将这个值代入原方程组中的另一个方程求解另一个未知数。
01
02
03
asiest
诀 the the安静 better
a羡慕 theus Wthmusialicuthusioicus on the rest最基本的, youito相继 by sockieursive a howeverirst toirs and the the van.指 on top徐你那替指ialicune:️ st巫, their
总结与反思
总结与反思
ur, sp1\irst.magic of散asiestial斯特质生气
总结与反思
01
02
03
斯特
乃至 howsoever
大概是
的确, 4得更的确 ...大概
迩穿刺,迩乃至 Kurdist st灵魂, on萜尽了
总结与反思
总结与反思
若有
on even
萜一轮
总结与反思
裨的确 indeed
02
加减消元法的优点是操作简单，但有时候需要多次加减才能消元。
03
03
在解出未知数后，需要检验解的合理性，确保解符合实际情况和题目的要求。
01
消元法适用于解二元一次方程组，但对于一些特殊情况（如系数相等或方程无解等）需要特别注意。
02
在使用消元法时，需要注意运算的准确性和规范性，避免出现计算错误或遗漏。
设方程解方程的技巧
设方程解方程的技巧解方程是数学中的基本操作，它在各个学科领域都有着广泛的应用。
解方程的过程对于初学者来说可能有些抽象和难以理解，但只要掌握了一些技巧，就能够轻松应对各种方程。
下面我们就为大家介绍一些解方程的技巧。
1. 移项法移项法是解方程中最基本的技巧之一，它的原理是将方程中的项移到等式左右两侧，使得方程等式成立。
例如，对于方程3x+5=11，我们可以通过移项将5移到等式右侧，得到3x=6，再将3移到等式右侧，得到x=2。
这样就得到了方程的解。
2. 消元法消元法是解二元一次方程组中常用的技巧之一。
例如，对于方程组x+y=5，x-y=1，我们可以通过消元法将y消去，得到2x=6，进而得到x=3，再将x带入前一个方程求解y，得到y=2。
3. 合并同类项在解方程的过程中，经常需要合并同类项。
例如，对于方程2x+3x=5x，我们可以将2x和3x合并成5x，从而使得方程更加简单。
4. 分离系数和未知量有些方程中，系数和未知量是混合在一起的，不方便求解。
这时我们可以采用分离系数和未知量的方法，将系数和未知量分别归类，再进行解方程。
例如，对于方程2x+5=3x+7，我们可以将x的系数放在一起得到2x-3x=7-5，再运算得到x=2。
5. 取相反数有些方程中有负号，不方便计算。
这时我们可以取相反数，将负号变成正号，这样方程就更容易求解了。
例如，对于方程-2x+5=9，我们可以取相反数得到2x-5=-9，更容易求解。
总之，在解方程的时候，我们可以采用不同的方法和技巧，使得方程更加简单和容易求解。
熟练掌握这些技巧，能够帮助我们在数学学习和实际应用中更加高效和准确地解决问题。
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你想到了吗？ 你想到了吗？ 分析 （1）苹果的重量+梨的重量=5 （2）苹果的总价+梨的总价=18 设买苹果x千克，买梨y千克。 列方程组为｛ 4x+3y=18
x+y=5
动动脑筋？ 动动脑筋？ 李明和妈妈到底买了多少 苹果，多少梨？ 苹果，多少梨？要知道这个问 题，我们就要想一想二元一次 方程组 x+y=5 1 怎样解？ 怎样解？
同学们：你能把我们今天学习
的内容小结一下吗？ 1、 本节课我们知道了用代入消元法解二元 一次方程组的基本思路是“消元”。即把 “二元”化为“一元”，化二元一次方程组 为一元一次方程。 2、 把求出的解代入原方程组，可以检验解 题过程是否正确。
作业：
• 1、课本第104页习题1 、课本第104页习题1 • 2、基础训练平台一
要在实践中学习哟
3x+2y=14 ① ②
例1：解方程组
X=y+3
把求出的 解代入原方 程组，可以 知道你解得 对不对。
解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14 3y+9+2y=14 5y=5 将y=1代入②，得 y=1 x=4
x=4 y=1
所以原方程组的解是
考考 你
李明和妈妈买了18元的苹果和梨 共5千克，1千克苹果售价4元，1 千克梨售价3元，李明和妈妈买 苹果和梨各多少千克？
方程y=x+1的解集 方程y=x+1的解集 y=x+1
x=2 y=1
…
x= -5 y=8
x=1 y=2
…
x=5 y=6
x= -3 y= -2
方程x+y=3的解集 方程y=x+1的解集 方程x+y=3的解集 方程y=x+1的解集 x+y=3 y=x+1
x + y =3 二元一次方程组 的解 x = y +1
七（3）班欢迎您
3.3 消元解方程组(1) 消元解方程组(1)
护城学校
刘潘丽
问题1 什么是二元一次方程（ 问题1：什么是二元一次方程（组）？ 含有两个未知数， 含有两个未知数，并且所含未知数的 项的最高次数是1的方程（ 项的最高次数是1的方程（组）叫做二元一 次方程（ 次方程（组）。
回顾与思 考
4x+3y=18
2
随堂练习： 随堂练习：
⑴
你解对了吗？
X-3y=1 ⑵ x+2y=6 3m-4n=7
m=-27 n=-22 x=4 y=1 y=145
X+y=300 X=155 X=y+10 3x-2y=10
⑶ 2x-y=0
x=-10 ⑷ y=-20 9m10n+23=0
同学们：你从上面的学习中体 会到解方程组的基本思路是什 么吗？主要步骤有那些吗？ 上面解方程组的基本思路是“ 上面解方程组的基本思路是“消 ------把 二元”变为“一元” 元”------把“二元”变为“一元”。 主要步骤是： 主要步骤是：将其中一个方程的某个 未知数用含另一个未知数的代数式表 示出来，并代入另一个方程中， 示出来，并代入另一个方程中，从而 消去一个未知数， 消去一个未知数，化二元一次方程组 为一元一次方程。 为一元一次方程。这种解方程组的方 法称为代入消元法， 法称为代入消元法，简称代入法
再见
请 思 考
x、y两数相加等于 ，可表示为 、 两数相加等于 两数相加等于3，可表示为: y比x大1，可表示为： y = x + 1 比 大 ，可表示为： x+y=3
x=2 y=1
…
x= -5 y=8
x=1 y=2
x=1 y=2
…
x=5 y=6
x= -3 y= -2
方程x+y=3的解集 方程x+y=3的解集 x+y=3
（1）解二元一次方程组的步骤 方程变形 代入求解 代 求 解 解
（2）解方程组的方法 二元 代 入 消 元 法
元
做一做
1、解二元一次方程组 x+y=5 ① x-y=1 ②
２
2x+3y=40 ① ⑵ x -y=-5 ②
⑴
2、已知（2x+3y-4）+∣x+3y-7∣=0 -3 ，y= 10 。 — 则x= 3
5x+3 y = 5 ②
5x+3(5-2x)=5
③
(1)找到一个未知数的系数是 的方程，表示成 找到一个未知数的系数是1的方程 表示成x=?或y=? 找到一个未知数的系数是 的方程， 或 (2)方程组经过等量代换可以消去一个未知数，变成一个 方程组经过等量代换可以消去一个未知数， 方程组经过等量代换可以消去一个未知数 一次方程。 一元 一次方程。
③
把1代入2 代入2
x + y =3 2 x = 2 y -1 1 y = 2+ x 2 把1代入2 代入2 或把2 代入1 或把2 代入1
y+y=3 或 x+x=3
③
(3)
y=2+(2y-1) x=2(2+x)+x
③ ③
(4)
2x+y = 5 ① 5x+3y= 5 ② y = 5-2x
①
把①代入②
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y y
x+y=200 200 y=x+10
① ②
x+ y =200 x+(x+10)=200 y x 10 解得 x=95 把x=95代入下式 代入下式 y = x+10 y=105 x=95 ∴ y=105
请你试着把下列方程组通过等量代换， 请你试着把下列方程组通过等量代换，消去一 个未知数，变成一个一元一次方程： 个未知数，变成一个一元一次方程： (1) x = y +1 1 x + y =3 2 x=y (2) 1 把1代入2 代入2 y+1+y=3