方程的根与函数的零点(1)
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 两不相等实根 ＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与 函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函 数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
人教A版数学必修1课件：3.1.1方程的根和函数的零点(1、2)
例1 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
解法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表： x f ( x) 1 2 3 4 5 6 7
y
8
9
-4 -1.3 1.1
3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
10 f(x8)=lnx+2x－ 6 6 4 2
x
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0，
解法2： 数形结合
lnx+2x－6=0的根
y 6
lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
y=Байду номын сангаасlnx
O 1234 x
作业展示
又如：自主学习册P91 T2 T3
y=－2x +6
3. 零点存在性定理的应用
题型3：如何求函数零点所在的区间
如：自主学习册P92 T2 P94 T1
y y 1 函数是连续的。
y
a
2 定理不可逆。
O
O a b x O x b b 3 至少存在一个零点，不排除更多。
a
x
3. 零点存在性定理的应用
题型1：如何求函数零点
2 (1)f(x)=-x +3x+5 |x| (2)f(x)=2 -8
(3)f(x)=log2x
3. 零点存在性定理的应用
题型2：如何求函数零点的个数
归纳整理，整体认识 一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数 方程
数 值 零点 存在性 根
个 数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课件1 新人教A版必修1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
间为(
)
1 B.0，4 1 3 D.2，4
1 A.－4，0 1 1 C.4，2
解析
1 4 ∵f4＝
e－2＜0，
1 1 1 f(2)＝ e－1＞0，∴f4· f2＜0， 1 1 ∴零点在4，2上.
f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错.
(2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1.
解
虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定
义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
要点二 判断函数零点所在区间 例 2 在下列区间中，函数 f(x)＝e ＋4x－3 的零点所在的区
1 2 3 4 5
1.函数 y＝4x－2 的零点是( A.2
1 C.2，0
D
) B.(－2,0)
1 D.2 1 解析 令 y＝4x－2＝0，得 x＝2. 1 ∴函数 y＝4x－2 的零点为2.
1 2 3 4 5
2.对于函数f(x)，若f(－1)· f(3)＜0，则( D ) A.方程f(x)＝0一定有实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实根 D.方程f(x)＝0可能无实数解 解析 ∵ 函数 f(x) 的 图象在 ( － 1,3) 上未 必连续，故尽管 f( － 1)· f(3)＜0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解.
函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
[学习目标]
1.理解函数零点的定义，会求函数的零点. 2.掌握函数零点的判定方法. 3.了解函数的零点与方程的根的联系.
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
函数与方程中的根与零点的概念与计算
函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。
在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。
本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。
一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。
简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。
2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。
换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。
在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。
二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。
下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。
（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。
要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。
这个 x 就是一次函数的根或零点。
（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。
要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。
- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。
- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
然后再通过提取平方根的方式得到根。
2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。
根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。
例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。
方程的根与函数的零点
三 教学过程
第一：提出问题，导入新课 第二：逐步探索，发现新知 第三：自我尝试，巩固新知 第四：小结升华，布置作业
（一）提出问题，导入新课
在本节课的开始，请同学们先快速的回答出X2-2x-3=0的 根，请同学做好后，再问问学生有没有第二种做题的办法。 此时先不揭晓第二种做题的办法。
再请同学们一样快速的回答出X2-2x+55=0的解。 发现当请同学们回答第一个问题时，学生可以很快的回答
此时通过小孩过河的情境帮助学生理解零点的概念和方程 的根与函数零点之间的联系. 所以，函数y=f（x）的零点就是f（x）=0的实数根，也就 是函数图像与x轴交点的横坐标。 即由方程f（x）=0有实数根
＜＝＞函数的图像与x轴有交点 ＜＝＞函数有零点 此时，请同学们探究：观察二次函数f（x）= X2-2x-3的
方程的根与函数的零点
方萌 11270106
一教材分析 ：
本节内容选自人教A版普通高中数学必修一，主 要学习方程的根与相应的函数图像的关系，学习 通过函数图像的零点个数解答方程根的个数，对 方程进行求解。本节课既有数形结合，又有数学 与计算机的结合，有方程，也有函数，通过对函 数图像的进一步理解来解答有关方程的问题，将 函数与方程紧密的联系在一起，也为后面的课程 用二分法求方程近似解提供了基础知识与基本方 式，起着重要的承上启下的作用。
高中数学必修1《方程的根与函数的零点》教案
《方程的根与函数的零点》教案教材：人教A版教材必修1一、教材分析（一）内容《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．（三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2.通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．3.在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．三、教法、学法与教学手段在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
【参考教案2】《方程的根与函数的零点》(数学人教必修一)
《方程的根与函数的零点》教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。
因此本节课内容具有承前启后的作用，至关重要。
教学目标【知识与能力目标】结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.【知识与技能目标】理解并会用函数在某个区间上存在零点的条件和判定方法．自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．【情感、态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学转化思想、数形结合的意义和价值.教学重难点【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．【教学难点】探究发现函数零点的存在性.课前准备多媒体课件、教具等．教学过程问题·探究（一）回顾旧知，发现问题问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x . 问题2 一元二次方程的的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的联系？ 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
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方程的根与函数的零点
教学内容分析：本节课选自人教版必修1第三章第一课时，函数的零点是课标新增的内容， 学的代数问题都统一到函数的思想指导下。
教材在初中一元二次方程和二次函数学习的基础上，通过比较一元二次方程
的根与对于一元二次函数的图像和x 轴的交点的横坐标之间的关系，给出函
数零点的概念，并揭示了方程的根和对应函数的零点之间的关系，故可确定
本节的重点。
教学重点： 函数零点和方程的根之间的关系，
学生学情分析：学生之前学习了函数的图象和性质，基本会画简单函数的图象，也会通过函
数图象去研究函数的性质。
对于课本中一元二次方程和相对应二次函数之间
的关系能理解，但对于其他函数的图象和性质理解不深，在理解函数的零点，函数的零点和方程根之间的联系有困难，同时，函数零点存有性的判定定理
抽象难懂，故可确定本节的教学难点
教学难点： 发现和理解方程的根与函数零点之间的关系，
探究发现函数存有零点的方法
设计思想： 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考。
从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生
教学方法：启发诱导式
教学目标： 以二次函数图象和一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根和函数零点
的关系
发现并掌握在某区间上图象连续的函数存有零点的判定方法 体会数形结合的思想，从特殊到一般的归纳思想
教学流程： 创设情境→组织探究→引出概念→探索研究→得出结论→课堂小结 课堂预案：引例：解方程 （1）2x-1=0
(2)2230x x --=
（3）5361=0x x +-
(4)ln 260x x +-=
板书课题：
先观察几个具体的一元二次方程和相对应的二次函数图象
（1）2223023x x y x x --==--方程与函数
(2) 2221021x x y x x -+==-+方程与函数
(3) 2223023x x y x x -+==-+方程与函数
函数零点的概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的
零点。
问题1 零点是点吗？零点与方程的根有什么关系？
注意：（1）函数的零点不是点，是实数
（2）函数零点的意义：函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的根
（3）方程f(x)=0的实数根⇔函数y=f(x)的图象和x 轴有交点 ⇔函
数y=f(x)有零点
问题2 求函数零点的方法有哪些？
一元二次函数的零点能够利用判别式（代数法），函数图象（几何法）
那么对于高次函数和其他函数的零点我们不能用公式法求根，能够与函数
联系起来 ，分两步先判断是否有零点。
如果有，能否求出，或估计出
探究 观察二次函数2
23y x x =--的图象，发现-1和3是零点，能够说在区
间 [-2,1]上有零点，在区间[2,4]上有零点，那么这些区间有什么特点呢？
理解连续：1 用连续持续的曲线连接A ，B 两点
2 观察函数f(x)=0的图象
归纳函数零点的存有条件：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续持续的一条
曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b ）
内有零点，即存有c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方
程f(x)=0的根。
例题 求函数()f x ln 26x x =+-的零点
并且有f(a)f(b)
＞0，函数在区间（a,b）内有零点吗？
探究3如数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续持续的一条曲线，并且有f(a)f(b) ＜
0，函数在区间（a,b）内是否只有一个零点？
探究4 数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续持续的一条曲线，函数在区间（a,b）
内有零点，是否有f(a)f(b) ﹤0，？
探究5 如果函数y=f(x)在区间上的图象不是连续的，但是在区间内有零点，是否有f(a)f（b）<0?
课堂练习
课堂小结：本节课你有什么收获？
课后反思：。