结构位移计算1
结构力学课件--5位移计算(1)
MP
EI
NP
EA
k
QP GA
k--为截面形状系数
1.2
10 9
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds NNP ds kQ QP ds
2021/4/9
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
21
（1）梁与刚架
MM P EI
ds
（2）桁架
NNP ds NNP ds NNPl
We =Wi
2021/4/9
§5-2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
18
d 1 ds ds d ds
R
d ds
K
t1 t2
c2
1
R1
K
c1
ds
ds R2 ds
M
N
Q
外虚功：We 1 Rk ck 内虚功：Wi M N Q ds
1 (RMkck N MQ N)dsQ Rdksck
9
刚体的虚功原理 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体 系的所有外力所做虚功之和为零。
2021/4/9
10
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线
A
EA
EA
EA
（3）拱
MM P EI
ds
NNP EA
ds
2021/4/9
图乘§法5是-4V图er乘es法hag位in于移1计92算5年举提例出的，他当 22
时为莫斯科铁路运输学院的学生。
MiMk
结构力学 位移计算
1
1
MK
θ
∆
已知K点发生剪切位移，求B端位移 B
K
∆i =
∑ ∫ [N
i
δε
+ Q i δγ
+ M i δθ
] ds
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 对于由线弹性直杆组成的结构， 线弹性直杆组成的结构 适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 所加单位广义力与所求广义位移相对应 该单位 广义力在所求广义位移上做功. 广义力在所求广义位移上做功 B A P 例: 1)求A点水平位移 求 点水平位移 2)求A截面转角 求 截面转角 3)求AB两点相对水平位移 求 两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角 求 两截面相对转角
P=1
C
P=1
(f)
ϕC
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1 A
(g)
ϕA = ?
A B P=1 P=1
(h)
ϕ AB = ?
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
q A
h b
N i ( x) = 0, N P ( x) = 0
Qi ( x) = 1, QP ( x) = q(l − x)
M i ( x) = x − l , M P ( x) = −q (l − x) 2 / 2
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
第6章 结构位移计算(1)
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 44/126页 -
正负号规则：
1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积 的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
正
MP
MP
负
MP
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 45/126页 -
正
45
2） 和 以拉力为正，压力为负； 3） 和 的正负号见下图。
12
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 12/126页 -
§ 6-2 变形体系的虚功原理
一、 功、实功与虚功
1. 实功
外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自 身引起的位移上所作的功称为实功。
13
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 13/126页 -
2. 虚功
外力在其它原因（其它荷载、温度变化、支 座位移等）引起的位移上所作的功称为虚功。
略去高阶微量后，得杆件的变形虚功为：
16
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 16/126页 -
结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总 和得：
对于由直杆构成的结构：
17
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 17/126页 -
二、 刚体体系虚功原理
刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于 符合约束条件的任意微小虚位移，刚体体系上所 有外力所做的虚功总和等于零 。
位移计算
§6-8 线弹性结构的互等定理
2
《 第6章 结构位移计算(1) 》
- 2/126页 -
§ 6-1 概 述
一、 结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变， 称为结构变形，结构变形引起结构上任一横截面 位置和方向的改变，称为位移。 1. 截面的位移（绝对位移）
01静定结构位移计算
§4.2 变形体虚功原理
五、直杆系虚功方程
q FPx p
δWe = δW =δWi q(s) 取任一单元
* FQj
* FNi
* FNj
M i* F i m(s) * Qi
j
p(s)
θ(s)
M* j
δWe 的计算:
δWei,j [ pδu qδv mδ ]d s
i 当无集中荷载时： δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
l
M 2 ( x) FP 2l 3 dx 2 EI 6 EI
V FPl 3 FP 3EI
?
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构
§4.0 理力材力相关内容回顾 四、摩尔定理（公式）
l
FN ( x)FN 0 ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) dx dx dx EA GI p EI
l
l
FN ( x)、T ( x)、M ( x) - -结 构 在 原 载 荷 下 的 内 力 FN ( x)、T ( x)、M ( x) - -去 掉 原 载 荷 ， 在 所 义 广 求 位移点，沿所求广移的方向加广义单时， 义位 位力 结构产生的内力
0 0 0
推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同， 所以只适用线弹性结构
X AΔ 0
YA
YB
§4.2 变形体虚功原理
一、虚位移、虚力
对一变形体
FP 力状态：平衡方程 FP/2 FP/2 满足平衡条件 FP 位移状态：协调方程 满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小
§4.2 变形体虚功原理
一、虚位移、虚力
建筑力学,第十章静定结构的位移计算,武汉理工
W
k
k
FPk=1
k
位移状态
力状态
结构位移计算
W 内力虚功： (i ) l FN du l M d Fdv l FQ Q d
du、d、dv
ds
k
FN、M 、FQ
ds FPk=1 k
k
位移状态
力状态
结构位移计算
外力虚功：
W FPK K F R1c1 F R 2c2 F R3c3 K F R c
q
A
ql2/2
ω
l
B
（1）绘制MP图。
（ 2）建立相应的虚拟 状态,绘制 M图 。
MP图
（ 3）图乘求位移。
1 2 ql
2
l
yC
2
3 4
l
l
FP=1
yC
2
M
B
1 EI
4
1 3
ql 2
l
3 4
ql
8 EI
图乘法
例 求图示简支梁A端截面的转角 A 及跨中竖向位移 CV 。
MM EI
P
ds
F
N
F NP
ds
EA
结构位移计算
荷载法计算结构位移的步骤：
(1) 在拟求位移方向虚设的相应的单位荷载。 (2) 求两种状态下的内力。 (3) 代入各种结构的位移计算公式计算。
结构位移计算
例 求图示桁架(各杆EA相同)C点竖向位移。
FP 1
2 2 2 2
l
F
图乘法
KP
MM P EI
ds
6 静定结构的位移计算1
Ri i
C F (a)
Ri i
首先在图6.5(a)上取ds微段，其上由于单位荷载1所 产生的内力FN 、M、FS作用下所引起的相应变形为du、 dφ、γds分别如图6.5(c)、(d)、(e)所示，其计算式分别为
第六章 静定结构的位移计算
第六章 静定结构的位移计算
刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的 ds 位移。
ds du ds
d
ds
i
d
d
R
d
i
R
d
d
1 （1）三种变形： R
（2）微段两端相对位移：
du ds
ds d ds R
ds
6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
利用上式计算静定结构在荷载作用下的位移时，
第六章 静定结构的位移计算
广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素， 称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。 即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力作用点的位移 在力作用方向上的分量
2）广义力是一 个力偶，则广义 位移是它所作用 的截面的转角β。
FN p FN EA
l
ds
FN p FN EA
ds
l
FN p FN l EA
组合结构
△KP=
F F L M M P ds N NP EA EI
第六章 静定结构的位移计算
（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式 中取第一项便具有足够的工程精度
建筑结构力学位移计算
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
( M N Q ) ds R c k k
c2
K
K
ds
t1
1
R1
t2
c1
ds d ds ds ds
R2
ds
d
d
Q N 外虚功：W 内虚功：W 1 R c M N Q d e k k i
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
EI
N P
1.2
EA
Q kP
10 9
GA
A A1
k--为截面形状系数 (3) 荷载作用下的位移计算公式
M M N N k Q Q P P P ds ds ds EI EA GA
2019/2/27
建筑结构力学
20
。 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ,EI C AV P=1 q x A x C C B A AV
B
l 2
1）列出两种状态
l 2
(a) 实际状态
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N 0 M x Q 1
的内力方程：
l 0 x AC段 2
实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。 产生位移的原因 位移发生的位置
ΔKj
2、虚功原理
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。 虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用
结构力学位移计算公式
结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。
在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。
位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。
1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。
2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。
3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。
4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。
当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。
上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。
在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。
在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。
静定结构的位移计算
2）欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶
3）欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加 一对指向相反的单位集中力
4）欲求两处的相对角位移，加一对指向相反 的单位集中力偶
5）欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对 平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力 偶臂为d ，每一力的大小为1/d
在小变形条件下， 12由图示的原始形状、尺
寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与 之相应， FP1单独作用的状态 为虚功计算的力状 态。
当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功 时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上 作内力虚功。
根据功和能的原理可得变形体的虚功原理： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任 意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移 上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚 位移的相应变形上所作虚功的总和。
定的施工措施，因而也需要进行位移计算。
1.2 结构位移计算的一般公式
一、变形体的虚功原理 功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，
也是传递和转换能量的量度 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功
当静力加载时，即： FP1由0增加至FP1
11 由0增加至 11
力Fp1在位移
11
上作的实功
W11=
1 2
虚功原理也可以简述为： “外力的虚功等于内力的虚变形功”。
二、 单位荷载法
1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷 载求实际位移的方法。
2、计算结构位移的一般公式
F
K+
FRiCi= M
d +
F
N
du
+
F
Q
dv
式中， F =1 则
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第4章
静定结构的位移计算
结构在外界因素作用下，会发生变形。
因此而使结构
各点的位置发生相应的改变，这种改变称为结构的位移。
绝对位移截面A角位移
A点线位移包含：水平线位移
竖向线位移
A
Δ
AH
Δ
AV
Δ
A
ϕ
一、结构位移的种类
线位移—结构上某点沿直线方向移动的距离。
角位移—结构上某截面旋转的角度。
——结构中某一截面位置或方向的改变
ϕ
AB
五、虚功
两种状态：既然力与位移彼此独立无关，故可将 力与位移视为两种独立的状态。
P m Δ
力状态
位移状态
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 一、变形体系的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体系，当由于 其它原因产生符合约束条件的无限小连续变形时， 则变形体系所受外力在虚位移上所作的总虚功W， 恒等于变形体各微段截面上的内力在其虚变形上 所作的虚功总和V。
即恒有如下虚功方程成立：
W= V
外力虚功 = 内力虚功
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法
F 1 2 Δ P 1
c1
c2
2
2′ 位移状态
FR1
力状态
FR 2
外力虚功 W = P Δ + ∑ FR c
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法
F 1 ds 2 Δ
ds
c1
ds 1
P 2
M
dϕ du dv
c2
2′ 位移状态
FR1
M FN FS
力状态
FR 2 FN
FS
ds
ds
dϕ
du
ds
dv
内力虚功 V = ∑ ∫ Mdϕ + FN du + FS dv
(
)
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法
内力虚功 V = ∑ ∫ Mdϕ + FN du + FS dv
外力虚功 = 内力虚功
外力虚功 W = P Δ + ∑ FR c
(
) )
P Δ + ∑ FR c = ∑ ∫ M d ϕ + FN du + FS dv
(
令P = 1
Δ = ∑ ∫ (M dϕ + FN du + FS dv ) − ∑ FR c
——单位荷载法
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 虚功原理的两种应用： (1) 力状态真实，虚设位移状态 ——虚位移原理 可求解结构中的未知内力、反力 (2) 位移状态真实，虚设力状态 ——虚力原理 可求解结构中的未知位移 显然，结构位移计算采用的是虚力原理。
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 二、结构位移计算一般公式：
ds
K
ds
Δ
K′
t1 t2
c2 c1
ds
1
FR 2
虚力状态
M FN FS
实际位移状态 dϕ du dv
FR1
Δ = ∑ ∫ (M dϕ + FN du + FS dv ) − ∑ FR c
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法
Δ = ∑ ∫ (M dϕ + FN du + FS dv ) − ∑ FR c
∑ ∫ Mdϕ ——弯曲变形对位移的影响 ∑ ∫ F du ——轴向变形对位移的影响
N
∑ ∫ F dv
S
——剪切变形对位移的影响
− ∑ FR c ——支座移动对位移的影响
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法
Δ = ∑ ∫ (M dϕ + FN du + FS dv ) − ∑ FR c
上式是普遍公式。
（因为在推导中未涉及变形 因素、结构类型、材料性质）可考虑任何情况： ① 变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。
② 产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
③ 结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。
④ 材料性质：弹性、非弹性。
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法
Δ = ∑ ∫ (M dϕ + FN du + FS dv ) − ∑ FR c
位移计算的一般步骤：
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .FS .FN .FR 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
若求得⊿为正，表明位移 ⊿的实际方向与所设单位荷载 方向一致； ⊿为负则表明位移 ⊿的实际方向与所设单位荷载 方向相反。
ds
1
FR 2
虚力状态
FR1
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 三、虚力状态的建立 方法：在所求位移的位置，沿所求位移的方向 施加单位力（或单位力偶）。
1、求绝对位移 求图示结构上A点的竖向线位移 Δ Ay
F =1
A
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 求图中结构上截面A的角位移 ϕ A ， 可在该处加一单位力偶。
M =1
A
A
M =1
求如图所示桁架中AB杆的 角位移 ϕ AB ，则应加一单位 力偶。
A
1 l
l
1 l
B
§4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 2、求相对位移
求图中结构上A、B两点沿其连线方向的相对线位移 Δ AB，可 在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。
F =1
A
F =1
F =1
A
B
B
M =1 M =1
F =1
求两个截面的相对角位移， 可在这两个截面上加两个方向 相反的单位力偶。
A
§4-3
静定结构由荷载引起的位移
研究对象：静定结构、线弹性材料。
ds
K
Δ
K′
ds
1
虚力状态
ds ds ds
实际位移状态 dϕ , du, dv,
MP FNP F SP
M
FN
FS
Δ = ∑ ∫ (M dϕ + FN du + FS dv ) − ∑ FR c
§4-3
ds
静定结构由荷载引起的位移
Δ = ∑ ∫ (Mdϕ + FN du + FS dv)
FNP
ds
K
Δ
K′
FSP
实际位移状态 dϕ , du, dv, MP FNP F SP
ds
γ0
du = εds FNP = ds EA
dv = γ 0 ds =k FSP ds GA
ρ
M P ds
FSP FS FNP FN M PM Δ = ∑∫ ds ds + ∑ ∫ k ds + ∑ ∫ GA EA EI
MP dϕ = ds EI
§4-3
静定结构由荷载引起的位移
FSP FS FNP FN M PM Δ = ∑∫ ds ds + ∑ ∫ k ds + ∑ ∫ GA EA EI
FSP FNP 、 MP 、
实际荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力 截面形状系数
1.2
M 、FN 、 FS
k
10
9
FSP FS FNP FN M PM Δ = ∑∫ ds ds + ∑ ∫ k ds + ∑ ∫ GA EA EI
M PM Δ = ∑∫ ds EI
FNP FN l FNP FN Δ = ∑∫ ds = ∑ EA EA
梁和刚架 桁架
§4-3
求解步骤：
静定结构由荷载引起的位移
（1）求实际荷载作用下任意截面x的内力方程； （2）求虚设单位荷载作用下任意截面x的内力方程； （3）代入计算公式计算所求位移。
§4-3
【例】
A
静定结构由荷载引起的位移
求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。
q
x l
F =1
B
A
x
l
B
实际荷载
虚力状态
解： 1、实际荷载作用下的内力
1 2 M P = − qx 2
2、建立虚力状态
M = −x
(0 ≤ x ≤ l )
(0 ≤ x ≤ l )
§4-3
【例】
A
静定结构由荷载引起的位移
求图示矩形截面悬臂梁在A端的竖向位移。
q
x l
F =1
B
A
x
l
B
实际荷载
虚力状态
解： 3、求 Δ Ay
1 2 M P = − qx 2
Δ Ay
M = −x
1 2 (− qx )(− x) l 2 dx =∫ 0 EI ql 4 = （ ） 8 EI
M PM = ∑∫ ds EI
。