第五章 静定结构位移计算
385.6 385.67 339.3
8
-56.6 3×4＝12m 339.3
40kN
斜杆
3-4 4-7 7-8
-1.00 5
2-3
竖杆 4-5 6-7
300
300 300
22
22 22
0
01 0
-0.707 20.0 0.707 0 0 0.502 0 0.50 4
20.0
-56.6
0
0 0
6
1 2
o
yc
B
Mk
式中：A为M F图的面积；
A
x
yC为M F图形心C所对应的M k图的竖标。
正负号规定：若A与 yC在杆件的同侧取正号，反之取负号。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
三、简单图形的面积和形心的位置
A lh
C
l 2 l 2
3l 8 5l 8
二次抛物线
h
A 2
C1
l 4
l
顶点 切点
ql 2
结构力学
第5章 静定结构位移计算
五、各类结构位移计算公式的简化式 M kMF 位移主要由弯矩引起 kF s EI ds 1、梁和刚架 2、桁架 各杆只有轴力
kF
等直杆
F Nk FNF F Nk FNF l ds s EA EA F Nk FNF l M kMF ds s EI EA
3 -60.0 -60
7 5 (50) 360.0
360.0
(22)
下弦杆
2-4 4-6 6-8 1-3
-56.6 20 28.5
40.0 40.0 40 40 2
1
0
166.6
40kN -0.707
0.707 0.707 -0.707
0.50
20kN 40.0
28.3 28.3 3
4 (36) 166.66 (36) 40kN 166.6 20kN
结构力学
第5章 静定结构位移计算
2、结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
F
ΔC
A
θC
C
ΔBC
B
ΔB
θB
绝对位移
结构位移 相对位移
B、C 线位移：
角位移： B、C 相对线位移： BC 相对角位移： BC
θ BC
第5章 静定结构位移计算
三、虚力状态设置 应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。
F k =1 A
m k =1 A
F k =1 A
F k =1 B
A点竖向位移
m k =1 C m k =1
A截面转角位移
Fk = A l 1 Fk = l B 1 l
AB两点相对位移
1 l2 2 1 l2 1 1 l1 1 l1
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程 M k 1 a(1 cos ) M F F a sin
水平位移 kF
u kF
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
2 0
1 a(1 cos ) F a sin ad EI
F k =1 a(1-cosθ)
3l 4
l
C
2l 3
h
lh A 2
l 3
2l 5
3l 5
三次抛物线
lh A1 4
A 2
l
3lh 4 顶点 切点
C2 C1
4l 5
l 5
l
h
h
2lh 3
C2
A1
lh 3
结构力学
第5章 静定结构位移计算
C
四、简单图形图乘结果
高 底 高 底 yC
高 高 底
C C
C
C
C
yC
1 高高 底 2
2、分段列内力方程
3、计算跨中竖向位移（挠度）
F Qk FQF F Nk FNF M kMF kF ds ds ds s s s EA GA EI l l 2 1 ql 1 2 1 ql q 2 2 ( qx1 )dx1 x1 ( x1 x1 )dx1 0 0 EI 2 2 2 GA 2 2
F k =1
6 8
3、计算位移
kF F Nk FNF l EA
1 2
0.5 2 0
1 2
列表计算
结构力学
杆件
上弦杆 3-5 5-7 1-2
第5章 静定结构位移计算
l (cm) A(cm2 ) F Nk (kN) FNF (kN) F Nk FNF l (kN/cm)
A
300 300 300 300 300 300 424 424 424 424 50 50 36 36 36 36 50 22 22 50 -1.00 -1.00 0.50 0.50 0.50 -60.0
结构力学
第5章 静定结构位移计算
第五章 静定结构位移计算
结构力学
第5章 静定结构位移计算
§5-1 概述 一、杆件结构的位移 工程结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作用下，结构 将产生变形和位移。 变形：是指结构原有形状的改变。 位移：是指结构各点的移动和截面的转动。
1、引起结构位移的原因
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； （5）材料收缩等。
EI
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：1、角位移 kF
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程
角位移
kF
2 0
M k 1 M F F a sin
dθ a
θ
O
kF
M kMF ds s EI
ds ad
(22) (2 2)
解：1、建立虚力状态
0) (5
3m
8
1
0
(22)
-56.6 20 28.5 40 2 40
20kN 40kN
4 (36) 6 (36) 40kN 20kN
2、计算
FNF
F Nk
FNF、 F Nk
3×4＝12m
40kN
7
3 -1.00 5
-0.707
1
0
0.707 0 0.50 4
结构力学
第5章 静定结构位移计算
F k =1 K
K K' K
Δk
m
§5-2 杆件结构位移计算公式 一、杆件结构位移计算一般式
t1 t2
F1 F2
A
m m 1 m
平面杆系结构由 于荷载、温度变 化及支座移动等 因素引起位移。
B'
F Nk F Qk
A
K
Mk
B
FR1k FR 2k
B
求km ?
c1
c2
位移状态（m） 单位荷载法：建立虚力状态 求反力及内力 用k考察m位移协调性
1 km F R1k C1 F R2k C2 F Nk mds F Qk mds M k
s s s
虚力状态（k）
1
km F Nk m ds F Qk m ds M k
M F F a sin
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
F k =1 asinθ
2 0
1 a sin F a sin ad EI
Fa 3
4 EI
( ）
θ
O
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：3、水平位移 u kF
C
yC
yC
yC
yC
A yC
1 1 1 1 高高 底 高高 底 高高 底 高高 底 3 6 2 4
C C C C
底 yC
C高
底
高
yC
yC
Fa3 ( ） 2 EI
总线位移
θ
2 v 2 kF (u kF ) ( kF )
O
Fa3 2 4 4 EI
例题2
求对称桁架结点4的竖向位移？E＝2100kN/cm ，右半各 杆旁数值为杆横截面面积A(cm2)
3 -60 5 (50) 7
C点左右两截面的
相对转角位移
AB杆的转角位移
1、2杆相对转角位移
结构力学
第5章 静定结构位移计算
四、积分法计算结构的位移 求跨中挠度？ EI=常数 解：1、建立虚力状态
q A K B
x1
l
x2
F k =1
A
K
l l 0 ≤ x ≤ 0≤x1≤ 2 2 2 F Nk 0 FNF 0 F Nk 0 FNF 0 1 ql 1 ql F F qx2 Qk F Qk FQF qx1 QF 2 2 2 2 B 1 ql q 2 1 ql q 2 M x M x x2 k M k x1 M F x1 x1 2 F 2 2 2 2 2 2 2
kF
M kMF ds s EI
二、计算原理 静矩定理 EI＝常数 y
ds dx M k x tan
kF
B
A
x
A
MF
Aω C
1 M kMF ds EI EI
8
-56.6 3×4＝12m 339.3
40kN
斜杆
3-4 4-7 7-8
-1.00 5
2-3
竖杆 4-5 6-7
300
300 300
22
22 22
0
01 0
-0.707 20.0 0.707 0 0 0.502 0 0.50 4
20.0
-56.6
0
0 0
6
1 2
o
yc
B
Mk
式中：A为M F图的面积；
A
x
yC为M F图形心C所对应的M k图的竖标。
正负号规定：若A与 yC在杆件的同侧取正号，反之取负号。
结构力学
第5章 静定结构位移计算
三、简单图形的面积和形心的位置
A lh
C
l 2 l 2
3l 8 5l 8
二次抛物线
h
A 2
C1
l 4
l
顶点 切点
ql 2
结构力学
第5章 静定结构位移计算
五、各类结构位移计算公式的简化式 M kMF 位移主要由弯矩引起 kF s EI ds 1、梁和刚架 2、桁架 各杆只有轴力
kF
等直杆
F Nk FNF F Nk FNF l ds s EA EA F Nk FNF l M kMF ds s EI EA
3 -60.0 -60
7 5 (50) 360.0
360.0
(22)
下弦杆
2-4 4-6 6-8 1-3
-56.6 20 28.5
40.0 40.0 40 40 2
1
0
166.6
40kN -0.707
0.707 0.707 -0.707
0.50
20kN 40.0
28.3 28.3 3
4 (36) 166.66 (36) 40kN 166.6 20kN
结构力学
第5章 静定结构位移计算
2、结构位移的种类 （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移 （3）两点间的相对线位移 （4）两截面间的相对角移
F
ΔC
A
θC
C
ΔBC
B
ΔB
θB
绝对位移
结构位移 相对位移
B、C 线位移：
角位移： B、C 相对线位移： BC 相对角位移： BC
θ BC
第5章 静定结构位移计算
三、虚力状态设置 应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。
F k =1 A
m k =1 A
F k =1 A
F k =1 B
A点竖向位移
m k =1 C m k =1
A截面转角位移
Fk = A l 1 Fk = l B 1 l
AB两点相对位移
1 l2 2 1 l2 1 1 l1 1 l1
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程 M k 1 a(1 cos ) M F F a sin
水平位移 kF
u kF
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
2 0
1 a(1 cos ) F a sin ad EI
F k =1 a(1-cosθ)
3l 4
l
C
2l 3
h
lh A 2
l 3
2l 5
3l 5
三次抛物线
lh A1 4
A 2
l
3lh 4 顶点 切点
C2 C1
4l 5
l 5
l
h
h
2lh 3
C2
A1
lh 3
结构力学
第5章 静定结构位移计算
C
四、简单图形图乘结果
高 底 高 底 yC
高 高 底
C C
C
C
C
yC
1 高高 底 2
2、分段列内力方程
3、计算跨中竖向位移（挠度）
F Qk FQF F Nk FNF M kMF kF ds ds ds s s s EA GA EI l l 2 1 ql 1 2 1 ql q 2 2 ( qx1 )dx1 x1 ( x1 x1 )dx1 0 0 EI 2 2 2 GA 2 2
F k =1
6 8
3、计算位移
kF F Nk FNF l EA
1 2
0.5 2 0
1 2
列表计算
结构力学
杆件
上弦杆 3-5 5-7 1-2
第5章 静定结构位移计算
l (cm) A(cm2 ) F Nk (kN) FNF (kN) F Nk FNF l (kN/cm)
A
300 300 300 300 300 300 424 424 424 424 50 50 36 36 36 36 50 22 22 50 -1.00 -1.00 0.50 0.50 0.50 -60.0
结构力学
第5章 静定结构位移计算
第五章 静定结构位移计算
结构力学
第5章 静定结构位移计算
§5-1 概述 一、杆件结构的位移 工程结构是由可变形的材料做成的，在外部因素作用下，结构 将产生变形和位移。 变形：是指结构原有形状的改变。 位移：是指结构各点的移动和截面的转动。
1、引起结构位移的原因
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； （5）材料收缩等。
EI
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：1、角位移 kF
asinθ a(1-cosθ)
虚力状态 内力方程
角位移
kF
2 0
M k 1 M F F a sin
dθ a
θ
O
kF
M kMF ds s EI
ds ad
(22) (2 2)
解：1、建立虚力状态
0) (5
3m
8
1
0
(22)
-56.6 20 28.5 40 2 40
20kN 40kN
4 (36) 6 (36) 40kN 20kN
2、计算
FNF
F Nk
FNF、 F Nk
3×4＝12m
40kN
7
3 -1.00 5
-0.707
1
0
0.707 0 0.50 4
结构力学
第5章 静定结构位移计算
F k =1 K
K K' K
Δk
m
§5-2 杆件结构位移计算公式 一、杆件结构位移计算一般式
t1 t2
F1 F2
A
m m 1 m
平面杆系结构由 于荷载、温度变 化及支座移动等 因素引起位移。
B'
F Nk F Qk
A
K
Mk
B
FR1k FR 2k
B
求km ?
c1
c2
位移状态（m） 单位荷载法：建立虚力状态 求反力及内力 用k考察m位移协调性
1 km F R1k C1 F R2k C2 F Nk mds F Qk mds M k
s s s
虚力状态（k）
1
km F Nk m ds F Qk m ds M k
M F F a sin
dθ a
θ
O
M kMF ds s EI
F k =1 asinθ
2 0
1 a sin F a sin ad EI
Fa 3
4 EI
( ）
θ
O
结构力学
第5章 静定结构位移计算
例题1 求自由端角位移与线位移？EI＝常数
F
ds
解：3、水平位移 u kF
C
yC
yC
yC
yC
A yC
1 1 1 1 高高 底 高高 底 高高 底 高高 底 3 6 2 4
C C C C
底 yC
C高
底
高
yC
yC
Fa3 ( ） 2 EI
总线位移
θ
2 v 2 kF (u kF ) ( kF )
O
Fa3 2 4 4 EI
例题2
求对称桁架结点4的竖向位移？E＝2100kN/cm ，右半各 杆旁数值为杆横截面面积A(cm2)
3 -60 5 (50) 7
C点左右两截面的
相对转角位移
AB杆的转角位移
1、2杆相对转角位移
结构力学
第5章 静定结构位移计算
四、积分法计算结构的位移 求跨中挠度？ EI=常数 解：1、建立虚力状态
q A K B
x1
l
x2
F k =1
A
K
l l 0 ≤ x ≤ 0≤x1≤ 2 2 2 F Nk 0 FNF 0 F Nk 0 FNF 0 1 ql 1 ql F F qx2 Qk F Qk FQF qx1 QF 2 2 2 2 B 1 ql q 2 1 ql q 2 M x M x x2 k M k x1 M F x1 x1 2 F 2 2 2 2 2 2 2
kF
M kMF ds s EI
二、计算原理 静矩定理 EI＝常数 y
ds dx M k x tan
kF
B
A
x
A
MF
Aω C
1 M kMF ds EI EI
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静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
典型例题解析-静定结构位移计算
第5章 静定结构位移计算§5 – 1 基本概念5-1-1 虚拟单位力状态构造方法●虚拟单位力状态构造方法：（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。
如图3-1a 刚架求C 点竖向位移CV ∆和C 截面转角C ϕ，图3-1b 和图3-1c 为求相应位移所构造的虚拟单位力状态。
5-1-2 位移计算公式虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：N Q ,,,Ri F M F F实际荷载作用下，引起的内力：NP P QP ,,F M F●位移计算一般公式N Q Ri i F du Md F ds F c ∆ϕγ=++-∑∑∑∑⎰⎰⎰●荷载作用产生位移的计算公式Q N QP NP Pk F F F F M M ds ds ds EA EI GA∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ 1、梁或刚架结构 PM M ds EI∆=∑⎰ 2、桁架结构 N NPF F ds EA∆=∑⎰图3-1虚拟单位力状态)a ()b ()c (3、混合结构N NP PF F MM ds ds EA EI∆=+∑∑⎰⎰ ●支座移动引起位移计算公式Ri i F c ∆=-∑●温度引起位移计算公式()N 0tF t dx Mdx hα∆∆α=+±∑∑⎰⎰()N 0Mtt lF A hα∆∆α=+±∑∑式中：0,,t t α∆为线膨胀系数形心温度温差，h 截面高度M A 虚拟状态弯矩图面积●有弹性支座情况的位移计算公式()P RPR 0RPR M M Fds F EI kAy F F EI k∆=+⨯±=+⨯∑∑⎰∑∑5-1-3 图乘法图乘法公式：0P()Ay MM dx EI EI±∆==∑∑⎰图乘法公式条件：●等截面直杆且EI=常数 ●求 y 0图形必须为一条直线 正负号确定：面积A 与y 0同侧取“+”号注意：求面积的图形要会求面积和形心位置。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静定结构的位移计算——非荷载因素作用时的位移计算
t
h SMK
对 桁 架：
K t0 F NKl
例 1 ： 计算图示结构C点竖向位移
C
t1
t2
A
已知：t2 30oC,t1 10oC, 105, h 0.5m
10m
CV 2356105 (m) ()
4m 4m
例 2： 计算图示桁架结构B 点竖向位移
t t t t B
a
B 8t a( )
*
F RK CR
(
FNP
F NK *
kFQP F QK*
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
温度
t0
S F Nk
t
h
S Mk
*
F RK CR
荷载 支座
P t C
作业： 5—29、5—31、5—32
t1
h1 t0 dt h h2
(令t2 t1)
t2 t2 - t1
设温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。
截面上、下边缘温差： t t2 - t1
杆轴线处温度改变值t0 ：
t0
t1 dt
t1
h1 h
(t2
-
t1
)
=
h1t2
h2t1 h
图示结构，设外侧温度改变 t1 ，内侧温度改变 t2 ，
(
)
例5： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角。
t t t t B
a
A
4a
AB 4 t( )
静定结构多因素下的位移计算一般公式：
K
*
*
*
*
等于0
(F NK F QK M K )ds F RK CR
(b)
静定结构的位移计算-图乘法
这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
第五章 结构位移计算
MP
1 2
qx12
MP
1 2
ql 2
求刚架A点的竖向位移。
AB： FN 0 FQ 1 M x1
BC： FN 1 FQ 0 M l
Ay
FN FNPds EA
kFQFQPds GA
MM Pds EI
5ql 4 8EI
8I ( 5 Al 2
求解的关键是找出虚力状态的静力平衡关系。
【例2】 已知支座A的位移为，求C点位移和杆CD的转角。
【解】
虚设单位力状态。
1
C
1 3
0
C
1 3
1 1 0
2l
1
2l
A
l 位移状态
A
1
l
3
虚单位力状态
所得正号表明位移方向 A
与假设的单位力方向一致。 1
MP
1 2
ql 2
AB：
FN 0 FQ 1 M x1
BC：
FN 1 FQ 0 M l
x2
x2
q
B
A
x1 A'
l
（实际位移状态）
C
l
F 1
B
x1
A
虚设单位力状态
C
实际位移状态
虚单位力状态
AB： FNP 0
BC：FNP ql
FQP qx1
FQP 0
P
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
第5章 静定结构的位移计算
例5-2 图示简支梁在Ｂ支座有沉陷b，用虚力原理 求梁Ｃ点的竖向位移DCV。
分析：图示梁由于支座Ｂ的位移而发生如图示满足 约束的实际刚体位移状态。若再有一个恰当的满足 平衡条件的力状态，就可利用虚功原理求位移。
解：１）在结构的拟求位移点Ｃ虚设力FP，由静力 平衡条件求出支座反力 FBy ＝ FP a／l (↑) 显然虚 力系是满足静力平衡条件的力状态。 ２）令虚力系在实际位移上作虚功，由W=0，得虚 功方程：
三、静定桁架的位移计算 位移计算公式：D = ∑FNC FNPl/EA
(6-4-2)
例5-8 求图示桁架Ｄ点的竖向位移DDV和ＣＤ杆的 转角 。
解:１）计算FNP、FNC ３）代入公式求位移 DDV= [(-5/6)(-4.2)×5+(- 5/6)(-29.2)×5 +1×20×3+(2/3)(23.3)×4×2)]/EA = 2.643×10-3 m(↓) = [（-5/24)(-4.2) ×5+(5/24)(-29.2)×5 +23.3×4/6-23.3 ×4/6 ]/EA = -3.052× 10-3 ()
Ａ
０
B
位移与静力荷载
对于线弹性结构，在静力 荷载加载的过程中，结构 的位移和荷在成正比。 当结构的位移有一增量 dD时，静力功有增量： dW=Fp1dD 当静力达到最后值时总的 静力功为： W=∫dW=∫Fp1dD 由上式可看出，静力功是 图中三角型0AB的面积， 即： W=(1/2)FP1△11
说明：本例应用虚功原理求结构支座反力的方法叫 虚位移法。为简单起见，可设虚位移△B ＝1，则本 题求解过程如下 : FBy×1﹣FP dP=0 即， FBy﹣FP d P=0 由 d P= a／l 得， FBy＝ FP a／l (↑) 这样处理后的方法叫虚单位位移法（简称单位位移 法）。
结构力学5-6静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
F
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。
yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a
0 .1 5 a
1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt
t0 A
F
N
பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0
5.3结构位移计算一般公式 5.4静定结构在荷载作用下的位移计算(远程教学)
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
结构位移计算的一般公式：
l Ndu l Md l Qdv RiCi
一、公式推导：
P2
C
B
P1
求C点的竖向位移Δ。 无支座位移: RiCi 0
A
l Ndu l Md l Qdv
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、公式推导： 当结构为线弹性结构时, 最后得到：
A
分段： 分为AB、BC段：
BC段： 以C为原点：
MP q C
x
M
M=1 B
C x
MP
1 qx2 2
M 1
A
q C
l
M=1
C
5.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（2）分别求出两种状态的内力：
AB段：以B为原点：
q
Bx
C
B
BC段：
MP
1 qx2 2
M=1
B
x
C
MP
MP
1 2
ql
2
M
M 1
l
第五章 结构位移的计算
建筑工程系
5.3 结构位移计算的一般公式
一、 结构位移计算的一般公式
图示刚架由于外因作用，产生变形和位移如图。 求D点处的水平位移Δ。
ds D
A D
B C3
B
A C2
C1
（a图）
D
P=1
A
R1
R2
ds B
R3
（b图）
5.3 结构位移计算的一般公式
一、 结构位移计算的一般公式 由变形体虚功原理：即，T外 W内
3.积分时，当EI、荷载改变时，应分段积分；
角位移→集中力偶