点运动学
理论力学—点的运动学
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
(完整版)点的运动学
dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O
第五章 点的运动学
x(t T ) x t
1 f T 频率
点的运动学
例5-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在 套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度
为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为 （v v0
塞的运动规律。
a kv
。求活
点的运动学
解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
点的运动学
第五章 点的运动学
点的运动学
§ 5-1
运动学的任务和基本概念
运动学是研究物体运动的几何特征的科学。 内容有：物体运动时其位置变化的规律、轨迹、
速
度、加速度及其之间的关系。
研究方法：矢量法；坐标法；自然法。
点的运动学
§5-1
运动方程 r r t
速度
v dr dt
点的运动学
vx x r 1 cos t , vy y r sin t
v v v r 2(1 cos t ) 2r sin
2 x 2 y
t
2
（0 t 2 )
r 2 sin t , a y r 2 cos t ax x y
(l a) cos t vy cos(v , j ) 2 2 v l a 2al cos 2 t
点的运动学
加速度
x ax vx l a cos t 2 y a y vy l a sin t
dy vy dt
dz vz dt
速度大小 方向
v vx v y vz vx vy vz cos(v , i ) cos(v , k ) cos(v , j ) v v v
第六章 点的运动学
所以，动点的矢径是时间t的单值连续矢量函数， 称为单矢连续函数，可表示为：
r=r t
称为点的矢量形式的运动方程，表明点的位置随时 间变化的规律（的方程）。
单矢连续函数 ——是一个矢性函数，即:
不但可以确定大小而且可以确 定方向的函数。是单值连续变 化的。
2、点的速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r，在瞬时 t+Δt时，动点位于M’点，其矢径为r’ ，
模等于： v 方向沿 v' 方向。
t
瞬时t 动点 M 的加速度：
a v t
a
lim t
a 0
lim t
0
v t
dv dt
v
d 2r dt 2
r
加速度是速度对时间的一阶导数，或者是矢径
对时向。
加速度的量纲：
a
长度 时间2
LT
2
加速度的单位，国际单位制为：米 秒（2 m s 2 )或 m m s 2
因此，在描述物体的机械运动时，只有在 某个物体上来观察另一物体的运动才有意义。
参考体： 凡可借以确定被研究物体的位置和运动的其他物
体称该被研究物体的参考体。 参考系：
与参考体相固结的整个延伸空间或坐标系称为参 考系或参考坐标系。
在同一参考体上可以有不同的参考坐标系，它们 对同一物体的位置描述的坐标值虽然不同，但有确定 的几何关系相联系。
综上所述可知： 瞬时速度是平均速度的极限值， 其大小代表动
点在瞬时
t运动的快慢，而其方向则应沿轨迹在 M点处的切线
并指向动 点前进的一方，从而代表了动点在瞬时t的运动方向。
速度的量纲：
v dr r dt
v
长度 时间
(完整版)第五章-点的运动学
解： 炸弹的运动方程
x vt cos45
y vt sin 45 gt2 / 2
炸弹的初速度
求炸弹落到地面的时间，由 1800 277.8t sin 45 gt2 / 2
得 t 7.688s
可求出炸弹与目标的水平距离，
40
45 40 5
得： 又： 比较两式得：
速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
Part two 运动学
运动学是研究 物体运动的几何性质的学科。
研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为 参考，这个参考的物体称为参考体。
运动学研究 点和刚体的运动。
点的运动学 是研究一般物体运动的基础，又 具有独立的应用意义.
研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的 几何位置随时间变动的规律。
(4)求点M速度矢、加速度矢的大小、方向。
x=asin=asinωt 轨迹方程： y=bcos=bcosωt
大小、方向均可求
例：如图，物体M自O点以速度v0 与水平成 角抛出，求M 点的运动规律及轨迹。
解：依题意，建坐标，有：
当t=0时： 得：
所以，有： V0 cos0t C3
V0 sin0t gt2 2 C4
连接各矢量端点构成矢量端点的连续曲线，称为速度
矢端曲线。
见flash
动点的加速度矢a 的方向与速度矢端曲线在相应点的切线相平行。
r1 r2 r3
v1 a
v2 v3
v1
v2
v v3
a
§5-2 直角坐标法
动点M的位置可以用r表示，也可 用坐标x、y、z来表示，如图所示。
矢径原点与坐标原点重合时，有：
当t=0时，有： x 0, y 0 得 C3 C4 0
运动学点的运动学
第二部分 运动学第六章点的运动学一、基本要求1．掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。
2．了解描述点的运动的极坐标法。
3．能求点的运动轨迹。
4．能熟练地应用直角坐标法和自然法求解与点的速度和加速度有关的问题。
二、理论要点1．描述点的运动的三种基本方法（1）矢量法z 运动方程点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。
以矢量形式表示的点的运动方程为)(t r r =z 轨迹轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。
在矢量法中，矢径r 的矢端曲线即为点的运动轨迹。
z 速度点的速度是个矢量，它等于矢径对时间的一阶导数，即dtd r v = z 加速度点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即2dtd dt d 2r v a == （2）直角坐标法z 运动方程)()()(321t f z t f y t f x ===z 轨迹从上面点的运动方程中消去时间t 即可得轨迹方程。
如：),(0),(21==z y F y x Fz 速度 k j i v z y x v v v ++=dtdz v dt dy v dtdx v z y x ===即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
由此可求得速度的大小和方向余弦。
z 加速度k j i a z y x a a a ++=222222dtz d dt dv a dty d dt dv a dtx d dt dv a z z y y x x ====== 即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。
由此可求得加速度的大小和方向余弦。
（3）自然法（弧坐标法）利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。
z 运动方程)(t f s =z 速度ττv dtds v == z 加速度 n τa a a n τn τa a +=+=22dt s d dt dv a τ== ρ2v a n =式中，ρ为曲率半径。
理论力学 第一章 点的运动学
已知速度的投影求速度
大小
v v v v
2 x 2 y
2 z
方向由方向余弦确定
cosv , i v x v cosv , j v y v cosv , k v z v
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§ 1.1点的运动矢量分析方法
加
速
度
t 瞬时: 速度 v(t) t＋ t 瞬时:速度 v(t ＋ t ) 或v
t 时间间隔内速度的改变量
v ( t ) ＝ v ( t ＋ t ) － v( t )
点在 t 瞬时的加速度
§ 1.2 点的运动的直角坐标法
加速度
a ax i a y j az k
dv x d 2 x ax 2 dt dt dv y d 2 y ay 2 dt dt dv z d 2 z az 2 dt dt
dv y dv x dv z d2 y d2x d2z a i j k 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dt dt
方 cosa, i a x a, 向 cosa, j a y a, 余 弦 cosa, k a z a
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§1.3 点的运动的自然坐标法
在点的运动轨迹已知的情况下，可建立弧
坐标和自然轴系来描述该点的运动，这种方
点的切线所组成的 平面，称为P点的密 切面。
P P
lim a1 a
理论力学第5章(点的运动)
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。
理论力学-点的运动学
7
三. 点的加速度
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2 x i
dt2
d2 y dt2
j
d2 z k
dt2
axi
ay
j
azk
a ax2 ay2 az2
cos(a, i
)
ax
,
a
[注] 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
11
加速度的大小为
a
a
2 x
a
2 y
2
(l a)2 cos2 t (l a)2 sin2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
加速度的方向余弦为
cos(a，i) ax a
cos(a，j) ay a
（l a）cost l2 a2 2al cos 2t
（l a）sint l2 a2 2al cos 2t
dt dt
dt
dt dt2
dt
① 切向加速度 a
——表示速度大小的变化
a
dv τ dt
d2 dt
s
2
τ
② 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
an
vdτ dt
v lim Δ τ Δt0 Δ t
v lim (Δ τ Δt0 Δ s
Δ s) Δt
v2 lim Δ τ Δt0 Δ s
(lim Δ s d s v) Δt0 Δ t d t
1
即an
v2 n，
a a2 an2 ,
a
a arctg
2
an |a | an
dv dt
τ
v2
n
16
第五章点的运动学
点的运动学
§5-1 矢量法 §5-2 直角坐标法 §5-3 自然法
运动学： 以几何观点(几何公理)研究物体的 运动(轨迹,速度和加速度), 不考虑物体运动的原 因. 固定参考系: 一般采用固连于地球上的坐标系为 参考系,称为固定参考系.
时间: 瞬时和时间间隔
本章将研究点的简单运动，研究点相对某一个 参考系的几何位置随时间变动的规律，包括点的 运动方程、运动轨迹、速度和加速度等。
OC M C r r t
问题：以M点的轨迹为弧坐标（摆线），求M点的运动方程？
M点的速度：
v x r (1 cos t ) v y r sin t
y
x r ( t sin t ) y r (1 cos t )
2
M
M点的速度大小为
2 2
cos( a , j)
ay a
( l a ) sin t l a 2 al cos 2 t
2 2
例 直杆AB两端分别沿两互相垂直的固定直线Ox和Oy运动， 如图所示。试确定杆上任一点M的运动方程和轨迹方程，已 知MA=a，MB=b，角= t。
y
A
x
a M b y
80 m s ,
a
a x a y a z 32 m s
2 2 2
2
而
a
故
dv dt
0,
v
2
a n a 32 m s
2
r
2 .5 m
an
例：半径为r的轮子沿着直线轨道无滑动的滚动，设轮子转角为
ψ=ωt。求用直角坐标和弧坐标表示轮缘上一点M的运动方程， 并求该点的速度、切向加速度和法向加速度。 解： 取点M与直线轨道的接触点O为原点.
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第2篇 运动学
第6章 点的运动学
一、目的要求
1．能用矢量法建立点的运动方程，求点的速度和加速度。
2．能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求点的轨迹、速度和加速度。
3．能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。
二、基本内容
点的运动矢量表示法，直角坐标表示法，自然法表示法。
（1）基本概念
在已有物理知识的基础上，重点强调切向和加速度，法向加速度与密切面的概念。
（2）主要公式
n
n
n a a tg a a a v
a dt
v d dt dv a τττθρ
=
+=
=
==
, , ,22
2
22
三、重点和难点
1．重点
（1）点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。
（2）点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。
2．难点：
自然轴系的几何概念，速度与加速度在自然轴上投影的推导。
四、教学建议
1．教学提示
（1）在已有物理学的相关知识基础上，引导学生理解，消化并熟练掌握点的运动方程、点沿空间任意曲线运动速度、加速度等新知识。
（2）讲清基本概念，区分点的路程和位移、平均速度与瞬时速度、平均加速度和瞬时加速度、
dt
r d 与dt
dr ，dt
v d 与dt
dv 等概念。
（3）对描述点的运动学的三种方法加以总结，比较它们的联系及如何应用，介绍点的运动学的问题的大致类型及求解时有关的注意事项。
2.例题
（1）一个可以分别用直角坐标法与自然法均可求解的例题（第一类问题）。
（2）一个已知加速度求运动的例子（第二类问题）。
（3）一个已知直角坐标的运动方程，求自然法中轨迹曲率半径的例子。
3.建议学时
课内（3学时）课外（4.5学时） 3．作业布置
习题：6-9，5-13，5-18
第7章 刚体的基本运动学
一、目的要求
1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。
2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。
3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。
4．掌握传动比的概念及其公式的应用。
5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。
二、基本内容
刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。
（1）基本概念 刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。
（2）主要公式
平动刚体上，任意两点之间均有
B A v v =，B A a a = 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为
ωr v =，ατr a =，2
ωr a n =，2
2n a a a +=
τ，n
a a tg τθ=
以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为
r v ⨯=ω v r a ⨯+⨯=ωα
三、重点和难点
1．重点
（1）刚体平动及其运动特征。
（2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。
（3）转动刚体内各点的速度与加速度。
2．难点：
用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。
四、教学建议
1．教学提示
（1）对刚体平动强调“三相同”。
（2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练
掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。
（3）对轮系传动比作一般介绍。
（4）对ω ，α
方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一般介绍以供推导公式用。
2.建议学时
课内（3学时）课外（4.5学时） 2.作业
习题：7-1，7-6，7-10，7-12
第8章 点的合成运动
一、目的要求
1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。
2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。
3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
并能熟练地应用上述三个定理。
二、基本内容
1．基本概念
点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。
2．基本公式
速度合成定理：r e a v v v
+=
加速度合成定理：r e a a a a
+=（牵连运动为平动）
c r e a a a a a
++=（牵连运动为转动） r c v a ⨯=ω2 三、重点和难点
1．重点
（1）动点和动系的选择； （2）运动的合成与分解；
（3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。
2．难点
（1）动点和动系的选择；
（2）加速度合成定理的运用与计算；
（3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。
四、教学建议
1．教学提示
（1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。
（2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。
（3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。
（4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。
本章是运动学重点，也是难点，要求多举例，熟练掌握。
2.建议学时
课内（7学时）课外（10.5学时）
3．作业
习题：8-4，8-8，8-10，8-13，6-15，8-17，8-18，8-19，8-21，8-24，8-25，8-27
第9章 刚体的平面运动
一、目的要求
1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。
2．能熟练地应用各种方法——基点法、速度瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。
3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。
4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。
二、基本内容
刚体平面运动的概述和运动的分解；求平面图形内各点速度的基点法（BA A B v v v
+=）、速度投影定理)][]([AB B AB A v v
=和瞬心法；用基点法求平面图形内各点的加速度
)()
()(τBA n BA A B a a a a ++=；运动学综合问题。
三、重点和难点
1．重点
（1）以运动的分解与合成为出发点，研究求平面图形上各点的速度和加速度的基点法，明确速度投影定理和瞬心法是从基点法推导而来。
（2）掌握合矢量投影定理。
2．难点：
（1）速度瞬心的概念及求法；
（2）转动部分的规律与基点的选取无关的概念；转动部分角速度和角加速度的求法。
（3）用基点法分析一点加速度的方法； （4）运动学综合问题。
四、教学建议
1．教学提示
（1）采用对比的方法，如将平面运动的分解与点的运动分解对比，瞬时平动与平动，瞬时转动与定轴转动对比，加深对基本概念的理解。
（2）在求速度时，要讲清三种方法的特点和联系以及适合求解的问题，重点放在瞬心法。
（3）对求加速度问题，要明确各项加速度的物理意义，正确判断其大小、方向，用解析法求解。
（4）运动学综合问题会求速度即可。
本章是运动学重点，要求多举例，熟练掌握。
2.建议学时
课内（6学时）课外（9学时）
3．作业
习题：9-3，9-6，9-8，9-10，9-12，9-13，9-19，9-21。