有限差分法求解偏微分方程MATLAB
南京理工大学
课程考核论文
课程名称：高等数值分析
论文题目：有限差分法求解偏微分方程*名：**
学号：************
成绩：
有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容
1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程：
22(,)()u u
f x t t x
αα∂∂-=∂∂其中为常数
具体求解的偏微分方程如下：
22001
(,0)sin()(0,)(1,)00
u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪
=⎨⎪⎪
==≥⎪⎪⎩
2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性；
3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析；
4.结论及完成本次实验报告的感想。
二、推导几种差分格式的过程：
有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下：
()2100000000()()()()()()()......()(())
1!2!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1)
求解区域的网格划分步长参数如下：
11k k k k
t t x x h τ
++-=⎧⎨
-=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式
2.1.1 古典显格式的推导
由泰勒展开公式将(,)u x t 对时间展开得 2,(,)(,)()()(())i i k i k k k u
u x t u x t t t o t t t
∂=+-+-∂ (2-3) 当1k t t +=时有
21,112,(,)(,)(
)()(())(,)()()
i k i k i k k k k k i k i k u
u x t u x t t t o t t t
u
u x t o t
ττ+++∂=+-+-∂∂=+⋅+∂ (2-4)
得到对时间的一阶偏导数
1,(,)(,)()=()i k i k i k u x t u x t u
o t ττ+-∂+∂ (2-5) 由泰勒展开公式将(,)u x t 对位置展开得
223,,21(,)(,)()()()()(())2!k i k i k i i k i i u u
u x t u x t x x x x o x x x x
∂∂=+-+-+-∂∂ (2-6)
当11i i x x x x +-==和时，代入式(2-6)得
2231,1,1122
231,1,1121(,)(,)()()()()(())2!1(,)(,)()()()()(())
2!i k i k i k i i i k i i i i i k i k i k i i i k i i i i
u u
u x t u x t x x x x o x x x x u u u x t u x t x x x x o x x x x ++++----⎧∂∂=+-+-+-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-+-+-⎪∂∂⎩
(2-7) 因为1k k x x h +-=，代入上式得
2231,,22
231,,21(,)(,)()()()2!1(,)(,)()()()
2!i k i k i k i k i k i k i k i k
u u
u x t u x t h h o h x x
u u u x t u x t h h o h x x +-⎧∂∂=+⋅+⋅+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=-⋅+⋅+⎪∂∂⎩ (2-8) 得到对位置的二阶偏导数
22
11,22
(,)2(,)(,)()()i k i k i k i k u x t u x t u x t u o h x h
+--+∂=+∂ (2-9) 将式(2-5)、(2-9)代入一般形式的抛物线型偏微分方程得
2
1112(,)(,)
(,)2(,)(,)(,)()i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ
++---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦
(2-10)
为了方便我们可以将式(2-10)写成
1112
2k k
k k k k i i i i i i u u u u u f h ατ
++-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦
(2-11) ()11
12
2k k k
k k k i i i i i i u u u
u u f h τα
τ++---
-+= (2-12)
最后得到古典显格式的差分格式为
()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++ (2-13)
2
r h τ
=
其中，古典显格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
2.1.2 古典显格式稳定性分析
古典显格式(2-13)写成矩阵形式为
()112k k k h h h u ra I raC u f τ+=-++⎡⎤⎣⎦
(2-14)
12212,(,,......,,)k k k k k
h N N r u u u u u h τ
--=
=其中。
(1)(1)
01
010100
101010N N C -⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦ 上面的C 矩阵的特征值是：2cos()
1,2,......,1C j h j N λπ==-
()12H ra I raC =-+
()()()2
12=122cos()
121cos()14sin 1,2,......,1
2
H j C ra ra ra ra j h ra j h j h
ra j N λλπππ=-+-+=--=-=- (2-15)
使()1H ρ≤，即
2
114sin 12j h
ra π-≤-≤ 1
02ra ≤≤
结论：当1
02
ra ≤≤时，所以古典显格式是稳定的。
2.2 古典隐格式
2.2.1 古典隐格式的推导 将1k t t -=代入式 (2-3)得
21,11(,)(,)(
)()(())j k j k j k k k k k u
u x t u x t t t o t t t
---∂=+-+-∂ (2-16) 21,(,)(,)()()j k j k j k u
u x t u x t o t
ττ-∂=-⋅+∂ (2-17)
得到对时间的一阶偏导数
1,(,)(,)()=()j k j k j k u x t u x t u
o t ττ
--∂+∂ (2-18) 将式(2-9)、(2-18)原方程得到
11122
(,)(,)
(,)2(,)(,)(,)()j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ
-+---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦
(2-19)
为了方便把(2-19)写成
1
112
2k k k k k
j j
j j j k j u u u u u f h ατ
-+-⎡⎤--+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2-20) ()11
12
2k k k
k k k
j j
j j j j u u u
u u f h
τα
τ-+----+= (2-21)
最后得到古典隐格式的差分格式为
()111(12)k k k k k
j j j j j ra u r u u u f ατ-+-+-+=+ (2-22)
2
r h τ
=
其中，古典隐格式的差分格式的截断误差是2()o h τ+。
2.2.2 古典隐格式稳定性分析
将古典隐格式(2-22)写成矩阵形式如下
()12
12()k k k
h h h ra I raC u u f r h
τ
τ++-=+=
⎡⎤⎣⎦
(2-23)
误差传播方程
()112k k h h
ra I raC v v ++-=⎡⎤⎣⎦ (2-24) ()12,A ra I raC B I
=+-=
所以误差方程的系数矩阵为
()1
112H A ra I raC --==+-⎡⎤⎣⎦
()1
1,2,......,1122cos H j j N ra ra j h
λπ=
=-+-
使()1H ρ≤，显然
()2
1
122cos()1
12(1cos())
114sin 2
H j ra ra j h ra j h j h ra λπππ=
+-=+-=
+
1H j λ≤
恒成立。
结论：对于0r ∀>，即任意网格比下，古典隐格式是绝对稳定的。
2.3 Richardson 格式
2.3.1 Richardson 格式的推导 将11k k t t t t +-==和，代入式(2-3)得
21,1121,11(,)(,)()()(())(,)(,)()()(())i k i k i k k k k k i k i k i k k k k k
u u x t u x t t t o t t t
u u x t u x t t t o t t t +++---∂⎧
=+-+-⎪⎪∂⎨
∂⎪=+-+-⎪∂⎩
(2-25) 即
2
1,21,(,)(,)()()(,)(,)()()i k i k i k i k i k i k
u u x t u x t o t
u u x t u x t o t ττττ+-∂⎧=+⋅+⎪⎪∂⎨∂⎪=-⋅+⎪∂⎩
(2-26)
由此得到可得 211,(,)(,)(
)()2i k i k i k u x t u x t u
o t ττ
++-∂=+∂ (2-27) 将式(2-9) 、(2-27)代入原方程得到下式
2211112(,)(,)(,)2(,)(,)(,)()2i k i k i k i k i k i k u x t u x t u x t u x t u x t f x t o h h αττ+-+---+⎡⎤-=++⎢⎥⎣⎦
(2-28)
为了方便可以把式(2-28)写成
11112
22k k k k k k i i i i i i u u u u u f h ατ+-+-⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦
(2-29) 即
()111
12
2k k k
k k k i i i i i i u u u
u u f h τα
τ+-+---
-+= (2-30)
最后得到Richardson 显格式的差分格式为
()1111222k k k k k k i i i i i i u r u u u u f ατ+-+-=-+++ (2-31)
2
r h τ
=
其中，古典显格式的差分格式的截断误差是22()o h τ+。
2.3.2 Richardson 稳定性分析
将Richardson 显格式(2-31)写成如下矩阵形式
()11222k k k k h h h h u r C I u u f ατ+-=-++ (2-32)
误差传播方程矩阵形式
()11
22k k k h h h
k
k
h h
v r C I v v v v α+-⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ (2-33) 再将上面的方程组写成矩阵形式
112(2)0k k k h
k ra C I I v w
w I v ++-⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭ (2-34) 系数矩阵的特征值是
4cos()4110j ra j h ra π-⎡⎤
∧=⎢⎥⎣
⎦ 22
8sin 102
j h
ra πλλ+-= (2-35) 解得特征值为
1,2λ=
(2-36)
{
}2
12,=4sin 12j h Max ra πλλ> (恒成立) (2-37) 结论：上式对任意的网比都恒成立，即Richardson 格式是绝对不稳定的。
4. Crank-Nicholson 格式
3.4.1 Crank-Nicholson 格式的推导 将12
k t t +=代入式(2-9)得
1112221112222
,2+1,1+1+1(,)(,)()()(())(,)(,)()
()(())j j k j k k k k k k j j k j k k k k k k u u x t u x t t t o t t t
u u x t u x t t t o t t t +++++++∂⎧=+-+-⎪⎪∂⎨
∂⎪=+-+-⎪∂⎩
(2-40) 即
12122,2+1,1
(,)(,)()()2
(,)(,)()()2j j k j k k j j k j k k u u x t u x t o t u u x t u x t o t ττττ+++∂⎧=+⋅+⎪⎪∂⎨
∂⎪=-⋅+⎪∂⎩
(2-41) 得到如下方程
()
()
12122,1
2,12(,)(,)()=()
2(,)(,)()=()j j k k j k j j k k j k u x t u x t u o t u x t u x t u o t
ττ
ττ++++⎧⎡⎤
-∂⎪⎢⎥+⎪⎢⎥∂⎢⎥⎪⎣⎦
⎨
⎡⎤⎪-∂⎢
⎥⎪-+⎢⎥∂⎪⎢⎥⎣⎦⎩
(2-42) 所以12
k t t +=处的一阶偏导数可以用下式表示：
()(
)1122
12
,1,122(,)(,)2(,)(,)11()()()
22(,)(,)()
j j k j j k k k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t u u o t t u x t u x t o τττττ
+++++⎡⎤--∂∂⎡⎤⎢⎥+=-+⎢⎥⎢
⎥
∂∂⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
-=+ (2-43) 将k t t =,11j j x x x x +-==和代入式(2-6)可以得到式(2-9)； 同理1k t t +=,11j j x x x x +-==和代入式(2-6)可以得到
2111112
,122(,)2(,)(,)()()j k j k j k j k u x t u x t u x t u o h x h
+++-++-+∂=+∂ (2-44)
所以12
k t t +=，j x 处的二阶偏导数用式(2-6)、(2-44)表示：
22,,12211111112221()()2(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)1()2j k j k j k j k j k j k j k j k u u
x x u x t u x t u x t u x t u x t u x t o h h h ++++-++-⎡⎤∂∂+⎢⎥∂∂⎣⎦
-+-+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
(2-45)
所以12
k t t +=，j x 处的函数值可用下式表示：
11
(,)(,)2j k j k f x t f x t +⎡⎤+⎣⎦ (2-46) 原方程变为：
()2212
,1,,,12211()()()()()222k k j k j k j k j k j j u u u u f f o h t t x x α+++⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤+-+=++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ (2-47) 将差分格式代入上式得：
111111112222
1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)21(,)(,)()2j k j k j k j k j k j k j k j k j k j k u x t u x t u x t u x t u x t u x t u x t u x t h h f x t f x t o h αττ++++-++-+--+-+⎡⎤
-+⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤=+++⎣⎦ (2-48)
为了方便写成：
()11111111112222k k k k k k k k k k j j j j j j j j j j r u u u u u u u u f f ατ++++++-+-⎡⎤⎡⎤---++-+=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(2-49)
最后得到Crank-Nicholson 格式的差分格式为
()()()()()1111111111=1+222k k k k k k k k j j j j j j j j r r r u u u r u u u f f αααατ+++++-+-⎡⎤+-
+-+++⎢⎥⎣⎦
(2-50) 2
r h τ
=
其中，Crank-Nicholson 格式的差分格式的截断误差是22()o h τ+。
3.4.1 Crank-Nicholson 稳定性分析
Crank-Nicholson 格式写成矩阵形式如下：
()111(1)=(1)+222k k k k h h h h r r r I C u r I C u f f αααατ++⎛⎫⎛⎫⎡⎤
+--++ ⎪
⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(2-51) 误差传播方程是：
1(1)=(1)22k k h h r r r I C v r I C v αααα+⎛
⎫⎛⎫+-
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ (2-52) 可以得到：
1
(1)(1)22r r H r I C r I C αααα-⎛
⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ (2-53)
2
2
(1)cos()(1)cos()
12sin 212sin 2
H j r ra j h r ra j h j h ra j h
ra απλαπππ-+=
+--=
+ (2-54) 使()1H ρ≤ 即
2
2
12sin 21112sin 2
j h
ra j h
ra ππ--≤
≤+ (2-55) 222
12sin 12sin 12sin 222
j h j h j h
ra ra ra πππ--≤-≤+ (2-56) 2222
12sin 12sin 22
12sin 12sin 22j h j h ra ra j h j h ra ra ππππ⎧-≤+⎪⎪⎨⎪--≤-⎪⎩ (2-57)
22
222sin 2sin 2
2
sin 1sin 2
2
j h j h
ra ra j h j h ra ra ππππ⎧-≤⎪⎪⎨
⎪-≤-⎪⎩ (2-58) 上式恒成立。
结论：Crank-Nicholson 格式对任意网格比也是绝对稳定的。
5. Du Fort Frankle 格式（Richardson 格式的改进）
将111
()2
k k k i i i u u u +-=+代入式(2-31)并化简得到Du Fort Frankle ：
()11111122k k k k k k k i i i i i i i u r u u u u u f ατ++--+-=--+++ (2-59) ()1111(12)2(12)2k k k k k i i i i i ra u r u u ra u f ατ+-+-+=++-+ (2-60) 可以证明Du Fort Frankle 格式是绝对稳定的。因为此格式是Richardson 格式的改进格式，因此截断误差还是22()o h τ+。
3.6 总结
(1) 古典显格式
古典显格式的差分格式为
()111(12)k k k k k i i i i i u ra u r u u f ατ++-=-+++
截断误差：2()o h τ+。 稳定性：当1
02
ra ≤≤时，古典显格式稳定。 (2) 古典隐格式
古典隐格式的差分格式为
()1
11(12)k k k k k j j j j
j ra u r u u u f ατ-+-+-+=+ 截断误差：2()o h τ+。
稳定性：任意网格比古典隐格式绝对稳定。 (3) Richardson 显格式
Richardson 显格式的差分格式为
()1111222k k k k k k i i i i i i u r u u u u f ατ+-+-=-+++
截断误差：22()o h τ+。
稳定性：任意网格比Richardson 格式绝对不稳定。
(4) Crank-Nicholson 格式
Crank-Nicholson 格式的差分格式为
()()()()()1111111111=1+222k k k k k k k k j j j j j j j j r r r u u u r u u u f f αααατ+++++-+-⎡⎤+-
+-+++⎢⎥⎣⎦
截断误差：22()o h τ+。
稳定性：Crank-Nicholson 格式对任意网格比绝对稳定。
(5) Du Fort Frankle 格式
()1111(12)2(12)2k k k k k i i i i i ra u r u u ra u f ατ+-+-+=++-+ 截断误差：22()o h τ+。
稳定性：Du Fort Frankle 格式对任意网格比绝对稳定。
三、MATLAB 实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析
3.1 精确数值解
22001
(,0)sin()(0,)(1,)00
u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪
=⎨⎪==≥⎪⎪⎩
上述偏微分方程的精确解是
2(,)sin()(01,0)t
u x t e
x x t ππ-=≤≤≥
区域取值范围：01,00.2x t ≤≤≤≤。
用MATLAB 对精确解进行编程画出三维图像精确解程序如下：
close all clc
[x,t]=meshgrid(0:0.01:1,0:0.001:0.2)
u=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x) mesh(x,t,u); surf(x,t,u);
xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u'); title('精确数值解'); shading interp
图3-1 精确数值解的三维图
(a) 精确数值解X-Y平面(b) 精确数值解X-Z平面
(c) 精确数值解Y-Z平面
图3-2 精确数值解的三个平面图
3.2 五种差分格式MATLAB程序
3.2.1 古典显格式
close all
clc
T=0.2
X=1.0
M=41
N=11
u=zeros(M,N); %构造一个M行N列的矩阵用于存放时间t和变量x
ra=(T/(M-1))/((X/(N-1))^2); %网格比
fprintf('稳定性系数S=ra 为:\n');
disp(ra); % 显示网格比
for i=2:N-1
xx=(i-1)*(X/(N-1));
u(1,i)=sin(pi*xx);
end; %即t=0时刻赋值，边界条件
for k=1:M
u(k,1)=0;
u(k,N)=0;
end; % x=0,x=1处的边界条件
for k=1:M-1 %矩阵是从y轴表示行k，x轴表示列i。由行开始for i=2:N-1
u(k+1,i)=((1-2*ra)*u(k,i)+ra*u(k,i+1)+ra*u(k,i-1)); %此处为古典显格式end
end
disp(u); % 显示差分法求得的值
[x,t]=meshgrid(1:N,1:M); %将区域划分成网格对每个点赋值再画图
surf(x,t,u);
xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u');
title(' 古典显格式'); %此程序得到的是图3-3
图3-3古典显格式程序结果图（r=0.5）
图3-4精确数值解、古典显格式程序结果的Y-Z平面图（r=0.5）
图3-5古典显格式在取不同网格比时的误差传播结果图
图3-6 不同时间取值时精确解、与古典显格式的值对比图（网格比r=0.5）红线表示精确解、
蓝色线表示差分格式的解
图3-1、图3-3对比可以看出，精确解和古典显格式（网格比r=0.5）的图形是一致的。图3-4精确数值解、古典显格式的Y-Z平面图结果可以看出古典显格式的边界值和精确解一样。图3-5是r分别取0.245、0.5、0.72、1.125时的误差传播图像，边界位置网格数为5处的误差为0.01得到的，可以看出r小于等于0.5是稳定的；但是r大于0.5出现不稳定现象。很好的验证了古典显格式稳定性。
3.2.2 古典隐格式
close all
clc
T=0.2
X=1.0
M=41
N=21
ra=(T/(M-1))/((X/(N-1))^2); %网格比
fprintf('稳定性系数S=ra 为:\n');
disp(ra); %显示网格比
u=zeros(M,N); %构造一个M行N列的矩阵用于存放时间t和变量x for i=2:N-1
xx=(i-1)*(X/(N-1));
u(1,i)=sin(pi*xx); %t=0时刻的赋值，边界条件
end;
for k=1:M
u(k,1)=0;
u(k,N)=0;
end; % x=0,x=1处的边界条件
A=zeros(N-1,N-1); %隐格式的矩阵形式中的A矩阵赋值
A(1,1)=1+2*ra;
A(N-1,N-1)=1+2*ra;
A(1,2)=-ra;
A(N-1,N-2)=-ra;
for m=2:N-2
A(m,m-1)=-ra;
A(m,m)=1+2*ra;
A(m,m+1)=-ra;
end;
%以下是——追赶法求u值
d=zeros(N-1,1); %隐格式右边初始矩阵
n=length(d);
U=zeros(n);
L=eye(n);
y=zeros(n,1);
x=zeros(n,1);
for i=1:N-1
d(i,1)=sin(pi*(i-1)*(1.0/(N-1)));
end %隐格式右边矩阵赋值
%以下循环对矩阵A进行LU分解
U(1,1)=A(1,1);
for i=2:n
L(i,i-1)=A(i,i-1)/U(i-1,i-1);
U(i-1,i)=A(i-1,i);%U的上次对角线即为A的上次对角线
U(i,i)=A(i,i)-L(i,i-1)*U(i-1,i);
end
for k=1:M-1 %外层大循环是求时间网格2,3……，M的求解u
%以下是追赶法的求解过程
%---------追的过程--------即Ly=d的求解y
y(1,1)=d(1,1);
for i=2:n
y(i,1)=d(i,1)-L(i,i-1)*y(i-1,1);
end
%------赶的过程---------即Ux=y的求解x
x(n,1)=y(n,1)/U(n,n);
for i=n-1:-1:1
x(i,1)=(y(i,1)-U(i,i+1)*x(i+1,1))/U(i,i);
end %追赶法结束
for i=1:n
u(k+1,i)=x(i,1)
end
d=zeros(N-1,1); %更新右边矩阵
d=x %每次外循环更换右边矩阵
end
for k=1:M
u(k,1)=0;
end;
disp(u); % 显示差分法求得的值
[x,t]=meshgrid(1:N,1:M); %将区域划分成网格对每个点赋值再画图surf(x,t,u);
xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u');
title('古典隐格式'); %此程序得到图是3-7
图3-7古典隐格式程序结果图（r=2）
图3-8精确数值解、古典隐格式程序结果的Y-Z平面图（r=2）
图3-9古典隐格式在取不同网格比时的误差传播结果图
图3-10 不同时间取值时精确解、与古典隐格式的值对比图（网格比r=2）红线表示精确解、
蓝色线表示差分格式的解
图3-7古典隐格式在r=2的图形与精确解是一致的。图3-8精确数值解、古典隐格式的Y-Z平面图结果可以看出古典隐格式在t=0.2处的值的边界值和精确解还是有误差的。图3-5是r分别取0.245、0.5、0.72、1.125时的误差传播图像，边界位置网格数为5处的误差为0.01得到的，可以看出r取不同的值时都是稳定的；即古典隐格式对任意的网格比稳定性。从图3-10可以看出隐格式随着时间
的增加，差分格式计算的结果和精确结果越来越大；隐格式虽然对任意网格比都是稳定的，但是计算的精确度是它的不足。
3.2.3 Richardson显格式
close all
clc
T=0.2
X=1.0000
M=41
N=11
ra=(T/(M-1))/((X/(N-1))^2);
fprintf('稳定性系数S=ra 为:\n');
disp(ra);
u=zeros(M,N); %构造一个M行N列的矩阵
for i=2:N-1
xx=(i-1)*(X/(N-1));
u(1,i)=sin(pi*xx); %边界条件
end;
for k=1:M
u(k,1)=0;
u(k,N)=0; % 边界条件
end;
%因为Richadson格式需要知道前两行的值，第二行值我们采用隐格式求得
%下面是隐格式求解第二行，和3.2.2隐格式的程序一样，只是求一行，此处不再做注释A=zeros(N-1,N-1);
A(1,1)=1+2*ra;
A(N-1,N-1)=1+2*ra;
A(1,2)=-ra;
A(N-1,N-2)=-ra;
for m=2:N-2
A(m,m-1)=-ra;
A(m,m)=1+2*ra;
A(m,m+1)=-ra;
end;
n=N-1;
U=zeros(n);
L=eye(n);
y=zeros(n,1);
x=zeros(n,1);
U(1,1)=A(1,1);
for i=2:n
L(i,i-1)=A(i,i-1)/U(i-1,i-1);
U(i-1,i)=A(i-1,i); %U的上次对角线即为A的上次对角线
U(i,i)=A(i,i)-L(i,i-1)*U(i-1,i);
end
y(1,1)=u(1,1);
for i=2:n
y(i,1)=u(1,i)-L(i,i-1)*y(i-1,1);
end
x(n,1)=y(n,1)/U(n,n);
for i=n-1:-1:1
x(i,1)=(y(i,1)-U(i,i+1)*x(i+1,1))/U(i,i);
end
u(2,1)=0;
for i=2:N-1
u(2,i)=x(i,1)
end
%通过隐格式已求得第二行的值u(2,i)，下面是Richardson格式的过程
for k=2:M-1 %时间轴第3行开始到第M行
for i=2:N-1 %位置网格点
u(k+1,i)=2*ra*(u(k,i-1)-2*u(k,i)+u(k,i+1))+u(k-1,i); %Richardson格式end
end
disp(u); %显示求解的值
[x,t]=meshgrid(1:N,1:M); %区域划分进行赋值画图
surf(x,t,u);
xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('u');
title('Richardson格式'); %此程序得到的图形是图3-11
图3-11 Richardson显格式程序结果图（r=0.5）
图3-12精确数值解、Richardson显格式程序结果的Y-Z平面图（r=0.5）
matlab求解最简单的一阶偏微分方程
matlab求解最简单的一阶偏微分方程 一、引言 在科学和工程领域，偏微分方程是非常重要的数学工具，用于描述各 种现象和过程。而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，可以用来求解各种复杂的偏微分方程。本文将以MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程为主题，探讨其基本原理、数值求解方法以及具体实现过程。 二、一阶偏微分方程的基本原理 一阶偏微分方程是指只含有一个未知函数的偏导数的微分方程。最简 单的一阶偏微分方程可以写成如下形式： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) \] 其中，\(u(x, t)\) 是未知函数，\(F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x})\) 是给定的函数。一阶偏微分方程可以描述很多实际问题，比如热 传导、扩散等。在MATLAB中，我们可以使用数值方法求解这类方程。 三、数值求解方法
1. 有限差分法 有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。其基本思想是用离散的方式来逼近偏导数，然后将偏微分方程转化为代数方程组。在MATLAB中，我们可以使用内置的求解器来求解离散化后的代数方程组。 2. 特征线法 特征线法是另一种常用的数值求解方法，它利用特征线方程的特点来求解偏微分方程。这种方法在求解一维情况下的偏微分方程时特别有效，可以提高求解的效率和精度。 四、MATLAB求解过程 在MATLAB中，我们可以使用`pdepe`函数来求解一阶偏微分方程。该函数可以针对特定的方程和边界条件，利用有限差分法进行离散化求解。下面给出一个具体的例子来说明如何使用MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程。 假设我们要求解如下的一维热传导方程： \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，
有限差分法求解偏微分方程MATLAB
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程*名：** 学号：************ 成绩： 有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα∂∂-=∂∂其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π⎧∂∂-=≤≤⎪∂∂⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ ==≥⎪⎪⎩ 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下： 11k k k k t t x x h τ ++-=⎧⎨ -=⎩ (2-2) 2.1 古典显格式
MATLAB中的偏微分方程数值解法
MATLAB中的偏微分方程数值解法 偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。解决偏微分方程的精确解往往非常困难，因此数值方法成为求解这类问题的有效途径。而在MATLAB中，有丰富的数值解法可供选择。本文将介绍MATLAB中几种常见的偏微分方程数值解法，并通过具体案例加深对其应用的理解。 一、有限差分法（Finite Difference Method） 有限差分法是最为经典和常用的偏微分方程数值解法之一。它将偏微分方程的导数转化为差分方程，通过离散化空间和时间上的变量，将连续问题转化为离散问题。在MATLAB中，使用有限差分法可以比较容易地实现对偏微分方程的数值求解。 例如，考虑一维热传导方程（Heat Equation）： ∂u/∂t = k * ∂²u/∂x² 其中，u为温度分布随时间和空间的变化，k为热传导系数。假设初始条件为一段长度为L的棒子上的温度分布，边界条件可以是固定温度、热交换等。 有限差分法可以将空间离散化为N个节点，时间离散化为M个时刻。我们可以使用中心差分近似来计算二阶空间导数，从而得到以下差分方程：u(i,j+1) = u(i,j) + Δt * (k * (u(i+1,j) - 2 * u(i,j) + u(i-1,j))/Δx²) 其中，i表示空间节点，j表示时间步。Δt和Δx分别为时间和空间步长。 通过逐步迭代更新节点的温度值，我们可以得到整个时间范围内的温度分布。而MATLAB提供的矩阵计算功能，可以大大简化有限差分法的实现过程。 二、有限元法（Finite Element Method）
matlab差分法解偏微分方程
Matlab 差分法解偏微分方程 1.引言 解偏微分方程是数学和工程领域中的一项重要课题，它在科学研究和 工程实践中具有广泛的应用。而 Matlab 差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。本文将介绍 Matlab 差分法在解偏微分方 程中的应用，包括原理、步骤和实例。 2. Matlab 差分法原理 差分法是一种离散化求解微分方程的方法，通过近似替代微分项来求 解微分方程的数值解。在 Matlab 中，差分法可以通过有限差分法或 者差分格式来实现。有限差分法将微分方程中的导数用有限差分替代，而差分格式指的是使用不同的差分格式来近似微分方程中的各个项， 通常包括前向差分、后向差分和中心差分等。 3. Matlab 差分法步骤 使用 Matlab 差分法解偏微分方程一般包括以下步骤： （1）建立离散化的区域：将求解区域离散化为网格点或节点，并确定网格间距。 （2）建立离散化的时间步长：对于时间相关的偏微分方程，需要建立离散化的时间步长。 （3）建立离散化的微分方程：使用差分法将偏微分方程中的微分项转化为离散形式。
（4）建立迭代方程：根据离散化的微分方程建立迭代方程，求解数值解。 （5）编写 Matlab 代码：根据建立的迭代方程编写 Matlab 代码求解数值解。 （6）求解并分析结果：使用 Matlab 对建立的代码进行求解，并对结果进行分析和后处理。 4. Matlab 差分法解偏微分方程实例 假设我们要使用 Matlab 差分法解决以下一维热传导方程： ∂u/∂t = α * ∂^2u/∂x^2 其中 u(x, t) 是热传导方程的温度分布，α 是热扩散系数。 4.1. 离散化区域和时间步长 我们将求解区域离散化为网格点，分别为 x_i，i=1,2,...,N。时间步长为Δt。 4.2. 离散化的微分方程 使用中心差分格式将偏微分方程中的导数项离散化得到： ∂u/∂t ≈ (u_i(t+Δt) - u_i(t))/Δt ∂^2u/∂x^2 ≈ (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^2 代入原偏微分方程可得离散化的微分方程： (u_i(t+Δt) - u_i(t))/Δt = α * (u_i-1(t) - 2u_i(t) + u_i+1(t))/(Δx)^2
matlab偏微分方程工具箱使用手册
MATLAB偏微分方程工具箱使用手册 一、Matlab偏微分方程工具箱介绍 Matlab偏微分方程工具箱是Matlab中用于求解偏微分方程（PDE）问题的工具。它提供了一系列函数和工具，可以用于建立、求解和分析PDE问题。PDE是许多科学和工程领域中的重要数学模型，包括热传导、扩散、波动等现象的数值模拟、分析和优化。Matlab偏微分方程工具箱为用户提供了丰富的功能和灵活的接口，使得PDE问题的求解变得更加简单和高效。 二、使用手册 1. 安装和启用 在开始使用Matlab偏微分方程工具箱前，首先需要确保Matlab已经安装并且包含了PDE工具箱。确认工具箱已经安装后，可以通过以下命令启用PDE工具箱： ``` pdetool ``` 这将打开PDE工具箱的图形用户界面，用户可以通过该界面进行PDE 问题的建立、求解和分析。 2. PDE建模
在PDE工具箱中，用户可以通过几何建模工具进行PDE问题的建立。用户可以定义几何形状、边界条件、初值条件等，并选择适当的PDE 方程进行描述。PDE工具箱提供了各种几何建模和PDE方程描述的选项，用户可以根据实际问题进行相应的设置和定义。 3. 求解和分析 一旦PDE问题建立完成，用户可以通过PDE工具箱提供的求解器进行求解。PDE工具箱提供了各种数值求解方法，包括有限元法、有限差 分法等。用户可以选择适当的求解方法，并进行求解。求解完成后，PDE工具箱还提供了丰富的分析功能，用户可以对结果进行后处理、 可视化和分析。 4. 结果导出和应用 用户可以将求解结果导出到Matlab环境中，并进行后续的数据处理、可视化和分析。用户也可以将结果导出到其他软件环境中进行更进一 步的处理和应用。 三、个人观点和理解 Matlab偏微分方程工具箱是一个非常强大的工具，它为科学和工程领域中的PDE问题提供了简单、高效的解决方案。通过使用PDE工具箱，用户可以快速建立、求解和分析复杂的PDE问题，从而加快科学研究和工程设计的进程。我个人认为，Matlab偏微分方程工具箱的使用手册对于PDE领域的研究者和工程师来说，是一个非常有价值的参考资
matlab有限差分法
matlab有限差分法 有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。它将连续的偏微分方程转化为有限差分方程，然后通过离散化求解近似解。在MATLAB中，可以利用有限差分法求解各种不同类型的偏微分方程。 有限差分法的基本思想是将待求解的区域离散化为一系列网格点，并在这些网格点上近似求解方程。偏微分方程中的导数可以通过一个差商来近似表示，其中差商就是连续函数的有限差分近似。通过将导数替换为差商，可以将偏微分方程转化为有限差分方程。 在一维情况下，可以将区间[0, L]划分为N个网格点，其中每个网格点的离散位置为xi = iΔx，Δx = L/N，i = 0, 1, 2, ..., N。对于一个一阶导数的情况，可以使用中心差分近似，即： df/dx ≈ (f(i+1) - f(i-1))/(2Δx) 对于二阶导数，可以使用中心差分近似： d^2f/dx^2 ≈ (f(i+1) - 2f(i) + f(i-1))/(Δx^2) 将差分近似代入偏微分方程，可以得到对应的有限差分方程，然后通过求解这个差分方程，可以获得近似解。 MATLAB提供了一系列函数用于求解常见的偏微分方程，例如pdepe函数可以求解各种类型的偏微分方程。对于一维情况
下的偏微分方程，可以使用pdepe函数进行求解，其输入包括 偏微分方程的描述函数，初始条件和边界条件。在描述函数中，可以利用有限差分法近似计算各个偏导数，并将其转化为差分方程。 除了pdepe函数，MATLAB还提供了其他求解偏微分方程的 函数，例如pde45函数可以用于求解二维或三维的偏微分方程。在使用这些函数时，需要根据具体的问题设置好偏微分方程，初始条件和边界条件，然后利用有限差分法进行求解。 总之，有限差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。在MATLAB中，可以利用有限差分法求解各种类型的偏 微分方程，通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程，然后利用差分方程进行求解。通过使用MATLAB中的相应函数，可以方便地进行有限差分法的求解。
matlab解四阶偏微分
matlab解四阶偏微分 在数学、物理学、工程学等领域中，四阶偏微分方程是常见的一种方程类型。MATLAB是一种广泛应用于科学计算中的编 程语言和工具箱。本文将介绍MATLAB如何求解四阶偏微分 方程，并提供相关参考内容。 四阶偏微分方程是指包含四次偏微分项的偏微分方程。例如，一个关于未知函数 $u(x,y)$ 的齐次四阶线性偏微分方程可以表示为： $$ \frac{\partial^4 u}{\partial x^4} + \frac{\partial^4 u}{\partial y^4} + \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \beta \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \gamma_1 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \gamma_2 \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 0 $$ 其中，$\alpha,\beta,\gamma_1,\gamma_2$ 为常数。四阶偏微分 方程的求解需要用到数值方法，MATLAB提供了多种函数和 工具箱来进行求解。 一种常用的方法是有限差分法（Finite Difference Method）。 这种方法将空间连续的区域离散化成一系列点，在每个点处对未知函数进行近似，并通过计算点的邻域关系来推导出方程组，从而求解其数值解。 MATLAB提供了 `pdepe` 函数来求解带有简单边界条件的四阶偏微分方程。`pdepe` 函数需要用户提供一个包含方程参数、
matlab求解多元偏微分方程
matlab求解多元偏微分方程 【导言】 多元偏微分方程是数学中一类重要的方程，可以描述许多自然现象和 物理过程。而MATLAB作为一种计算机软件，它在求解多元偏微分方程方面具有强大的功能和广泛的应用。本文将深入探讨MATLAB如何求解多元偏微分方程，并在此基础上展现其在实际问题中的应用价值。 【1. 多元偏微分方程简介】 多元偏微分方程是指包含了多个自变量和多个未知函数的偏微分方程。通常用来描述自然界和物理过程中多元系统的演化规律。热传导、扩散、波动等现象都可以通过多元偏微分方程来描述。而求解多元偏微 分方程则是研究和应用中的关键问题。 【2. MATLAB在多元偏微分方程求解中的优势】 MATLAB作为一种功能强大的数学软件，其在求解多元偏微分方程方 面具有许多优势。MATLAB提供了丰富的数值计算工具箱，如Partial Differential Equation Toolbox，可以帮助用户快速构建和求解多元 偏微分方程。MATLAB的编程语言具有简单易用的特点，用户可以使 用MATLAB的脚本语言进行快速算法开发和实现。MATLAB还提供 了高效的并行计算能力，可以加速多元偏微分方程的求解过程。
【3. MATLAB求解多元偏微分方程的基本方法】 MATLAB求解多元偏微分方程的基本方法包括有限差分法、有限元法、边界元法等。下面将详细介绍有限差分法这一常用的方法。 有限差分法是基于差商近似的方法，将连续的偏微分方程转化为离散 的差分方程。该方法将求解区域离散成网格，通过迭代计算网格上的 差分方程来逼近偏微分方程的解。在MATLAB中，可以通过定义网格和差分方程来实现多元偏微分方程的求解。具体步骤包括初始化网格、设定边界条件、构造差分方程和迭代求解。MATLAB提供了方便的函 数和工具来简化这一过程。 【4. MATLAB在实际问题中的应用】 MATLAB在实际问题中的应用非常广泛，并且在多元偏微分方程的求 解中具有重要的作用。以热传导方程为例，它描述了物体内部温度的 变化规律。使用MATLAB可以通过有限差分法求解该方程，并可视化出物体温度随时间的变化过程。这对于工程设计和科学研究具有重要 的意义。 另外，MATLAB还可以应用于激光传播、流体力学、电磁学等领域的 问题求解。在光散射问题中，可以利用MATLAB的数值计算工具箱求解Maxwell方程组，分析光波在复杂介质中的传播和散射规律。这些应用不仅有助于深入理解物理现象，还为相关领域的研究和工程应用 提供了有效的工具和方法。
matlab有限差分法
Matlab有限差分法 简介 有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值分析方法，用于求解微分方程。在工科和科学领域中，微分方程广泛应用于描述物理现象和自然现象，有限差分法提供了一种有效的数值求解方法。 有限差分法原理 有限差分法的核心思想是将微分方程中的导数近似为差分，将微分方程转化为由未知函数值构成的代数方程组。通过解这个代数方程组，可以得到数值解。 一维有限差分法 一维有限差分法是最简单的有限差分法形式。一维有限差分法的基本原理是将一维偏微分方程离散化，将函数替换为离散的节点值，并将导数近似为差分。然后通过求解代数方程组获得离散节点的函数值。 显式方法 在一维有限差分法中，显式方法是最直接的一种方法。在显式方法中，离散方程可以直接由差分形式得到。然后通过迭代计算每个节点的函数值，直到收敛为止。 隐式方法 与显式方法相比，隐式方法更为稳定，但计算量更大。在隐式方法中，离散方程的解决需利用矩阵方法，通过求解线性代数方程组得到离散节点的函数值。 二维有限差分法 当涉及到二维（或更高维）的偏微分方程时，可以使用二维有限差分法来求解。二维有限差分法的原理与一维类似，不同之处在于需要将导数近似为二维差分。
分离变量法 对于一些特殊的二维偏微分方程，可以利用分离变量法将其转化为一维问题。然后可以使用一维有限差分法求解。 非分离变量法 对于一些复杂的二维偏微分方程，无法通过分离变量法将其简化为一维问题。这种情况下，可以使用非分离变量法，直接对二维方程进行离散化和求解。 Matlab在有限差分法中的应用 Matlab是一种常用的科学计算软件，广泛用于工科和科学领域。Matlab提供了丰 富的数值计算工具箱和函数，可以方便地进行有限差分法的实现和求解。 举例 例如，使用Matlab可以通过编写一维离散方程的迭代循环，实现一维有限差分法 的求解。可以根据特定的偏微分方程和边界条件，构建离散方程，然后利用 Matlab的求解器求解方程组。 优势 Matlab在有限差分法中的应用具有以下优势： 1. 提供了丰富的数值计算工具箱 和函数，方便编程实现。 2. 具有强大的矩阵计算功能，适合求解大型代数方程组。 3. 易于使用和调试，有良好的交互式界面。 总结 有限差分法是一种常用的数值求解方法，可以用于求解微分方程。一维和二维的有限差分法具有不同的方法和应用。Matlab作为一种强大的科学计算软件，可以方 便地实现有限差分法，并求解复杂的偏微分方程。通过有限差分法和Matlab的结合，可以有效地进行数值计算和科学研究。
matlab差分法求解传热微分方程
matlab差分法求解传热微分方程matlab差分法求解传热微分方程是一种利用有限差分法对传热微分方程进行数值求解的方法。有限差分法是一种广泛应用于偏微分方程求解的数值方法，它将连续的空间和时间离散化，通过离散的节点上的值来逼近连续的解。 1.matlab差分法求解传热微分方程求解步骤与规则： 在使用matlab差分法求解传热微分方程时，通常遵循以下步骤和规则：（1）确定问题的物理模型：首先明确传热问题的类型，如稳态或非稳态传热，以及问题的边界条件和初始条件。 （2）离散化：将求解域划分为离散的网格节点，用于表示空间坐标。同时，根据时间步长对时间进行离散化。 （3）建立差分方程：根据离散化的空间和时间，将传热微分方程转化为差分方程。这通常包括对空间导数和时间导数的差分处理。 （4）选择适当的差分格式：根据问题的稳定性要求，选择合适的差分格式。常见的有限差分格式有向前差分、向后差分、中心差分等。 （5）编写matlab程序：根据所选的差分格式和差分方程，编写matlab 程序进行求解。程序中需要包含迭代算法，如三角剖分法、平方根法等，以收敛解为最终结果。 （6）验证和分析：通过与理论解或实验数据进行对比，验证求解结果的正确性和稳定性。此外，分析结果以了解传热过程的规律和特点。 2.matlab差分法求解传热微分方程使用场景： matlab差分法求解传热微分方程在以下场景中具有广泛应用： （1）建筑节能分析：通过求解建筑墙体内部的温度场，评估建筑物的保温
性能，为建筑设计提供依据。 （2）电子散热设计：分析电子设备内部的传热过程，优化散热结构，提高设备的工作效率和可靠性。 （3）能源工程：研究能源转换和传输过程中的热损失，为提高能源利用效率提供理论支持。 （4）材料科学：研究材料的热传导性能，为新材料的开发和应用提供参考。 （5）生物医学：分析生物组织内的传热过程，辅助诊断和治疗相关疾病。 总之，matlab差分法在求解传热微分方程方面具有较高的准确性和灵活性，为各种传热问题的分析和解决提供了有力工具。
有限差分方法的MATLAB编程
有限差分方法的MATLAB编程 有限差分方法是一种常用的数值计算方法，用于解决偏微分方程和积分方程等问题。在MATLAB中，我们可以使用循环和条件语句来实现有限差分方法。 我们需要将偏微分方程转化为差分方程。例如，考虑以下热传导方程：u(i,j+1)=α*u(i+1,j)+(1−2α)u(i,j)+αu(i−1,j) 其中，u(i, j)表示物体在(i, j)位置的值，t表示时间，x表示空间坐标。α是热扩散率。 接下来，我们可以使用MATLAB编写程序来解决这个差分方程。以下是一个简单的程序示例： N = 100; %空间网格数 M = 1000; %时间网格数 u = zeros(N, 1); %初始条件 u(:, 1) =... %设定初始值 u(i, m+1) = alpha*u(i+1, m) + (1−2*alpha)*u(i, m) +
alpha*u(i−1, m); plot(0:dt:dt*(M−1), u); 在这个程序中，我们首先定义了参数alpha、dx、dt、N和M，分别 表示热扩散率、空间步长、时间步长、空间网格数和时间网格数。然后我们定义了一个N×1的数组u作为初始条件。我们设定了初始值，并将其存储在数组u中。 接下来，我们使用嵌套的for循环来实现有限差分方法。外层循环用于遍历时间网格，内层循环用于遍历空间网格。在内层循环中，我们使用有限差分公式来计算每个时间步骤的解。我们使用plot函数绘 制了解的图形。 以上是一个简单的有限差分方法的MATLAB程序示例。在实际应用中，我们需要根据具体问题调整参数和初始条件，并对程序进行适当的修改。 有限差分法是一种常用的数值计算方法，它通过将连续的问题离散化，将微分方程转化为差分方程，从而能够方便地进行计算。MATLAB是 一种广泛使用的科学计算软件，具有强大的数值计算能力和图形可视化功能。在有限差分法中，MATLAB可以非常方便地被用来进行数值
matlab有限差分法求解非齐次偏微分方程
《使用 MATLAB 有限差分法求解非齐次偏微分方程》 在科学和工程领域，偏微分方程是描述自然现象和过程中关键的数学工具。非齐次偏微分方程作为其中的一个重要分支，在描述真实世界中的复杂现象方面具有广泛的应用。而 MATLAB 作为一个强大的数学建模和计算工具，其有限差分法求解非齐次偏微分方程的能力受到了广泛关注。 在本文中，我们将以 MATLAB 为工具，探讨有限差分法如何用于求解非齐次偏微分方程，以及其中涉及的深度和广度。 1. 偏微分方程及有限差分法简介 当我们研究自然界中的变化和现象时，经常会遇到连续变量之间的相关性和变化规律。偏微分方程便是用来描述这些连续变量之间关系的数学工具。而有限差分法则是一种数值计算方法，通过将连续的变量离散化，将偏微分方程转化为代数方程组，从而求解偏微分方程的数值解。 2. 非齐次偏微分方程的求解 非齐次偏微分方程与常见的齐次偏微分方程相比，具有更复杂的边界和初始条件，因此其求解方法也更为复杂。通过有限差分法，我们可以将非齐次偏微分方程转化为离散的代数方程组，进而求解出数值解。
3. MATLAB 中有限差分法的实现 MATLAB 提供了丰富的数学建模和计算工具，包括用于求解偏微分方程的函数和工具箱。通过调用这些函数和工具箱，我们可以方便地实现有限差分法对非齐次偏微分方程的求解。 4. 示例应用与个人观点 我们将以一个实际的例子，展示 MATLAB 中有限差分法求解非齐次偏微分方程的过程，并共享对这一过程的个人观点和理解。通过该示例，我们能更深刻地理解有限差分法在求解非齐次偏微分方程中的应用，以及其中涉及的数学原理和算法流程。 总结与回顾 在本文中，我们以 MATLAB 为工具，探讨了有限差分法求解非齐次偏微分方程的深度和广度。通过对有限差分法的基本原理和实际应用进行全面评估，我们详细介绍了有限差分法在求解非齐次偏微分方程中的具体步骤和流程。我们也共享了在示例应用中对这一过程的个人理解和观点，以期帮助读者更全面、深刻和灵活地理解该主题。 在文章的我们希望读者在使用 MATLAB 求解非齐次偏微分方程时能有所借鉴，并对有限差分法的应用有更深入的理解。我们也期待在未来的学术和工程研究中，有限差分法能够为更多复杂的非齐次偏微分方程求解提供有效的数值计算工具。在科学和工程领域，偏微分方程是
matlab有限差分法求解非齐次偏微分方程
matlab有限差分法求解非齐次偏微分方程 【导语】 本文将介绍matlab有限差分法在求解非齐次偏微分方程中的应用。非齐次偏微分方程是数学和物理学中的常见问题之一，它们描述了许多实际系统的行为。通过有限差分法，可以将偏微分方程转化为差分方程，从而利用计算机来求解。本文将从原理、步骤和实例三个方面来分析非齐次偏微分方程的有限差分法求解过程。 【正文】 一、原理 有限差分法是将连续函数在一系列有限的点上进行逼近的方法。它的基本思想是用差分代替微分，将偏导数转化为差分算子。通过对空间和时间离散化，将非齐次偏微分方程转化为差分方程组，再利用数值计算的方法求解这个差分方程组，从而得到非齐次偏微分方程的近似解。 具体而言，有限差分法将求解区域划分为网格，并在网格上近似表示偏微分方程中的函数。利用中心差分公式或向前、向后差分公式来近似计算偏导数。通过将偏微分方程中的微分算子替换为差分近似，可以将方程转化为一个代数方程组，进而求解得到非齐次偏微分方程的近似解。
二、步骤 1. 确定求解的区域和方程：首先要确定求解的区域，然后确定非齐次 偏微分方程的形式。在matlab中，可以通过定义一个矩阵来表示求解区域，并将方程转化为差分算子形式。 2. 离散化：将求解区域划分为网格，确定每个网格点的位置，建立网 格点之间的连接关系。通常，使用均匀网格来离散化求解区域，并定 义网格点的坐标。 3. 建立差分方程组：根据偏微分方程的形式和离散化的结果，建立差 分方程组。根据中心差分公式，用网格点上的函数值和近邻点的函数 值来近似计算偏导数。将差分算子应用于非齐次偏微分方程的各个项，得到差分方程组。 4. 求解差分方程组：利用线性代数求解差分方程组。将方程组转化为 矩阵形式，利用matlab中的线性方程组求解功能，得到差分方程组的近似解。通过调整求解区域划分的精细程度和差分算子的选取，可以 提高求解的精度。 5. 回代和结果分析：将求解的结果回代到原非齐次偏微分方程中，分 析其物理意义和数值稳定性。通过调整离散化的步长，可以控制数值 解的稳定性和精度。
有限差分法求解偏微分方程
有限差分法求解偏微分方程 摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的理论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及操作可行性。 关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法 Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference is derived in the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility of the method. Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference Method
1 引言 机械系统设计常常需要从力学观点进行结构设计以及结构分析，而这些分析的前提就是建立工程问题的数学模型。通过对机械系统应用自然的基本定律和原理得到带有相关边界条件和初始条件的微分积分方程，这些微分积分方程构成了系统的数学模型。 求解这些数学模型的方法大致分为解析法和数值法两种，而解析法的局限性众所周知，当系统的边界条件和受载情况复杂一点，往往求不出问题的解析解或近似解。另一方面，计算机技术的发展使得计算更精确、更迅速。因此，对于绝大多数工程问题，研究其数值解法更具有实用价值。对于微分方程而言，主要分为差分法和积分法两种，本论文主要讨论差分法。 2 有限差分法理论基础 2.1 有限差分法的基本思想 当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。将原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。有限差分法求解偏微分方程的步骤主要有以下几步： ⏹区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格， 这些离散点称作网格的节点； ⏹近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； ⏹逼近求解，换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代 替偏微分方程的解的过程。 从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值进行插值计算来近似得到。理论上，当网格步长趋近于零时，差分方程组的解应该收敛于精确解，但由于机器字节的限制，网格步长不可能也没有必要取得无限小，
有限差分法求解偏微分方程
有限差分法求解偏微分方程
有限差分法求解偏微分方程 摘要：本文主要使用有限差分法求解计算力学中的系统数学模型，推导了有限差分法的理论基础，并在此基础上给出了部分有限差分法求解偏微分方程的算例验证了推导的正确性及操作可行性。 关键词：计算力学，偏微分方程，有限差分法Abstract：This dissertation mainly focuses on solving the mathematic model of computation mechanics with finite-difference method. The theoretical basis of finite-difference is derived in the second part of the dissertation, and then I use MATLAB to program the algorithms to solve some partial differential equations to confirm the correctness of the derivation and the feasibility of the method. Key words：Computation Mechanics, Partial Differential Equations, Finite-Difference Method
2.3 有限差分方程的数学基础 2.3.1 一元函数导数的差分公式 一个函数在x点上的导数，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。函数f(x)在x=x0处的泰勒展式如下： f(x)=∑1 f(n)(x0) ∞ n=0 (x−x0)n =f(x0)+f′(x)(x−x0)+1 2!f′′(x)(x−x0)2+1 3! f(3)(x)(x−x0)3+⋯ 对一个单变量函数f(x)，以步长∆x=h将[a,b]区间等距划分，我们得到一系列节点：x0=a，x1=x0+∆x=a+h，x2=x1+∆x=a+2h，⋯，x i= x i−1+∆x=a+ih，⋯，x n=b（n=b−a h ），然后求出f(x)在这些节点上的近似值。与节点x i相邻的节点有x i−h和x i+h，因此在点x i处可以构造如下形式的展开式： f(x i−h)=f(x i)−f′(x i)h+1 2! f′′(x i)h2+R2(x) f(x i+h)=f(x i)+f′(x i)h+1 2! f′′(x i)h2+R2(x) 由式（3）和式（4）可得到：⏹一阶向前差分： f′(x i)=f(x i+h)−f(x i) h ⏹一阶向后差分： f′(x i)=f(x i)−f(x i−h) h ⏹一阶中心差分： f′(x i)=f(x i+h)−f(x i−h) 2h 不妨，记f i=f(x i)，则式（5）、（6）、（7）分别简写为：⏹一阶向前差分：（ （3（4（5（6（7（8