matlab解二阶偏微分方程
偏微分方程Matlab数值解法(补充4)
偏微分方程Matlab 数值解法（补充4）Matlab 可以求解一般的偏微分方程，也可以利用偏微分方程工具箱中给出的函数求解一些偏微分方程。
1 偏微分方程组求解Matlab 语言提供了pdepe()函数，可以直接求解偏微分方程(,,,)[(,,,)](,,,)m mu u u u C x t u x x f x t u s x t u x t x x x-∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ （4.1）这样，偏微分方程可以编写为以下函数的描述，其入口为[,,](,,,)x c f s pdefun x t u u =其中：pdefun 为函数名。
由给定输入变量可计算出,,c f s 这三个函数。
边界条件可以用下面的函数描述(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂+=∂ （4.2） 这样的边值函数可以写为Matlab 函数[,,,](,,,)a a b b x p q p q pdebc x t u u =初始条件数学描述为00(,)u x t u =，编写一个简单的函数即可0()u pdeic x =还可以选择x 和t 的向量，再加上描述这些函数，就可以用pdepe （）函数求解次偏微分方程，需要用如下格式求解(,@,@,@,,)sol pdepe m pdefun pdeic pdebc x t =【例1】 试求下列偏微分方程2111222221220.024()0.17()u u F u u t x u u F u u tx ⎧∂∂=--⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩ 其中： 5.7311.46()xx F x e e -=-，且满足初始条件1(,0)1u x =，2(,1)0u x =及边界条件1221(0,)0,(0,)0,(1,)1,(1,)0u u t u t u t t x x∂∂====∂∂解：对照给出的偏微分方程和（4.1），可将原方程改写为111222120.024/()1.*10.17/()u u x F u u u u x F u u t x ∂∂--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂-∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可知0m =，且1122120.024/()1,,10.17/()u x F u u c f s u x F u u ∂∂--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂-⎣⎦⎣⎦⎣⎦编写下面的Matlab 函数function [c,f,s]=c7mpde(x,t,u,du)c=[1;1];y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);s=F*[-1;1]; f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];套用（4.2）中的边界条件，可以写出如下的边值方程左边界2010.*00f u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，右边界1100.*100u f -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 编写下面的Matlab 函数function [pa,qa,pb,qb]=c7mpbc(xa,ua,xb,ub,t) pa=[0;ua(2)];qa=[1;0];pb=[ub(1)-1;0];qb=[0,1]; 另外，描述初值的函数function u0=c7mpic(x) u0=[1;0];有了这三个函数，选定x 和t 向量，则可以由下面的程序直接求此微分方程，得出解1u 和2u 。
matlab解二阶微分方程组
matlab解二阶微分方程组在数学和工程领域中，二阶微分方程组是一类常见的问题，它们描述了许多自然现象和工程系统的动力学行为。
在本文中，我们将讨论如何使用Matlab解二阶微分方程组，并探讨其中的一些技巧和注意事项。
让我们来看一个简单的例子。
假设我们有一个二阶微分方程组，描述了一个弹簧-质量-阻尼系统的运动。
我们可以使用Matlab的ode45函数来求解这个方程组，该函数是一种常用的数值求解器，可以有效地解决微分方程组的数值解。
在使用ode45函数时，我们需要定义一个包含微分方程的函数，并将其作为输入传递给ode45函数。
在定义这个函数时，我们需要注意输入参数的顺序和返回值的格式，以确保程序能够正确运行。
我们还需要设置初始条件和求解的时间范围。
通过调用ode45函数并传递这些参数，我们可以得到微分方程组的数值解，并将其存储在一个数组中以供进一步分析和可视化。
当然，对于复杂的二阶微分方程组，可能需要更多的技巧和方法来求解。
在这种情况下，我们可以考虑使用符号计算工具箱来分析微分方程的性质和解析解。
然后，我们可以将这些解析解转化为数值解，并进行比较和验证。
我们还可以利用Matlab的图形化界面工具来直观地展示微分方程组的解，并进行参数的调整和实时可视化。
这种方法可以帮助我们更好地理解系统的动态行为，并优化系统的设计和控制策略。
总的来说，使用Matlab解二阶微分方程组是一种强大而灵活的工具，在数学建模和工程应用中发挥着重要作用。
通过合理地选择数值求解方法、调整参数和优化算法，我们可以高效地求解复杂的微分方程组，并获得准确的数值解。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用Matlab在二阶微分方程组求解中的技巧和方法。
matlab解二阶微分方程
matlab解二阶微分方程使用MATLAB求解二阶微分方程引言：在科学和工程领域中，二阶微分方程经常出现，并且对于许多实际问题的建模和求解非常重要。
而MATLAB作为一种强大的数学软件工具，提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地求解各种微分方程。
本文将介绍如何使用MATLAB来求解二阶微分方程，并给出具体的示例。
一、二阶微分方程的一般形式二阶微分方程是指含有未知函数的二阶导数的方程，一般形式可以表示为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=r(x)$$其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$p(x)$、$q(x)$和$r(x)$是已知函数。
二、使用MATLAB求解二阶微分方程的步骤要使用MATLAB求解二阶微分方程，可以按照以下步骤进行操作：1. 定义微分方程需要定义待求解的二阶微分方程。
可以使用MATLAB的符号计算工具箱来定义方程中的未知函数和已知函数。
2. 转换为一阶微分方程组为了使用MATLAB的常微分方程求解器，需要将二阶微分方程转换为一阶微分方程组。
这可以通过引入新的变量来实现，将二阶微分方程转换为一阶导数形式的方程。
3. 求解微分方程组使用MATLAB的常微分方程求解器来求解转换后的一阶微分方程组。
MATLAB提供了多种求解器，如ode45、ode23等，可以根据具体情况选择合适的求解器。
4. 绘制结果将求解得到的函数曲线绘制出来，可以使用MATLAB的绘图函数来实现，如plot、subplot等。
三、示例演示我们来看一个具体的示例，求解二阶线性常微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dx}+y=0$$1. 定义微分方程使用syms函数定义未知函数y和自变量x：```matlabsyms y(x)```然后，定义微分方程：```matlabeqn = diff(y,x,2) + 2*diff(y,x) + y == 0;```2. 转换为一阶微分方程组引入新的变量$v=dy/dx$，将二阶微分方程转换为一阶微分方程组：```matlabeqns = [diff(y,x) == v, diff(v,x) == -2*v-y];```3. 求解微分方程组使用ode45求解微分方程组，并指定初值条件：```matlab[x,yv] = ode45(@equations,[0,10],[0,1]);```其中，@equations是一个函数句柄，用于定义微分方程组。
偏微分方程(PDEs)的MATLAB数值解法
偏微分方程的MATLAB求解精讲©MA TLAB求解微分/偏微分方程，一直是一个头大的问题，两个字，“难过”，由于MA TLAB对LaTeX的支持有限，所有方程必须化成MA TLAB可接受的标准形式，不支持像其他三个数学软件那样直接傻瓜式输入，这个真把人给累坏了！不抱怨了，还是言归正传，回归我们今天的主体吧！MA TLAB提供了两种方法解决PDE问题，一是pdepe()函数，它可以求解一般的PDEs，据用较大的通用性，但只支持命令行形式调用。
二是PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtool有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决偏微分方程组，但是它提供了GUI界面，从繁杂的编程中解脱出来了，同时还可以通过File->Save As直接生成M代码一、一般偏微分方程组(PDEs)的MA TLAB求解 (3)1、pdepe函数说明 (3)2、实例讲解 (4)二、PDEtool求解特殊PDE问题 (6)1、典型偏微分方程的描述 (6)（1）椭圆型 (6)（2）抛物线型 (6)（3）双曲线型 (6)（4）特征值型 (7)2、偏微分方程边界条件的描述 (8)（1）Dirichlet条件 (8)（2）Neumann条件 (8)3、求解实例 (9)一、一般偏微分方程组(PDEs)的MATLAB 求解1、pdepe 函数说明MA TLAB 语言提供了pdepe()函数，可以直接求解一般偏微分方程(组)，它的调用格式为sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)【输入参数】@pdefun ：是PDE 的问题描述函数，它必须换成下面的标准形式(,,)[(,,,)](,,,)()m m u u u uc x t x x f x t u s x t u x t x x x−∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂式1 这样，PDE 就可以编写下面的入口函数 [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)m,x,t 就是对应于(式1)中相关参数，du 是u 的一阶导数，由给定的输入变量即可表示出出c,f,s 这三个函数@pdebc ：是PDE 的边界条件描述函数，必须先化为下面的形式(,,)(,,).*(,,,)0up x t u q x t u f x t u x∂+=∂ 于是边值条件可以编写下面函数描述为 [pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)其中a 表示下边界，b 表示下边界@pdeic ：是PDE 的初值条件，必须化为下面的形式00(,)u x t u =我们使用下面的简单的函数来描述为 u0=pdeic(x)m,x,t ：就是对应于(式1)中相关参数【输出参数】sol ：是一个三维数组，sol(:,:,i)表示u i 的解，换句话说u k 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)通过sol ，我们可以使用pdeval()直接计算某个点的函数值2、实例讲解试求解下面的偏微分2111222221220.024()0.17()u u F u u t xu u F u u tx ∂∂=−− ∂∂ ∂∂ =−− ∂∂ 其中， 5.7311.46()x x F x e e −=−，且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1221(0,)0,(0,)0,(1,)1,(1,)0u ut u t u t t x x∂∂====∂∂【解】（1）对照给出的偏微分方程，根据标注形式，则原方程可以改写为111222120.024()1.*1()0.17u u F u u x u u F u u t t x ∂−−∂∂∂=+ ∂−∂∂∂可见m=0，且1122120.024()1,,1()0.17u F u u x c f s u F u u x ∂−− ∂===∂−∂%% 目标PDE 函数function [c,f,s]=pdefun (x,t,u,du) c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)]; temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));（2）边界条件改写为12011010.*.*00000u f f u −+=+=下边界上边界%% 边界条件函数function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t) %a 表示下边界，b 表示上边界 pa=[0;ua(2)];qa=[1;0]; pb=[ub(1)-1;0]; qb=[0;1];（3）初值条件改写为1210u u =%% 初值条件函数function u0=pdeic(x) u0=[1;0];（4）最后编写主调函数 clcx=0:0.05:1; t=0:0.05:2; m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);figure('numbertitle','off','name','PDE Demo ——by Matlabsky') subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1)) title('The Solution of u_1') xlabel('X') ylabel('T') zlabel('U') subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2)) title('The Solution of u_2') xlabel('X') ylabel('T') zlabel('U')二、PDEtool 求解特殊PDE 问题MATLAB 的偏微分工具箱(PDE toolbox)可以比较规范的求解各种常见的二阶偏微分方程，但是惋惜的是只能求解特殊二阶的PDE 问题，并且不支持偏微分方程组！PDE toolbox 支持命令行形式求解PDE 问题，但是要记住那些命令以及调用形式真的很累人，还好MATLAB 提供了GUI 可视交互界面pdetool ，在pdetool 中可以很方便的求解一个PDE 问题，并且可以帮我们直接生成M 代码(File->Save As)。
matlab求解二阶微分方程组
matlab求解二阶微分方程组一、引言二阶微分方程组是常见的数学问题，它们在物理、工程和科学等领域中有广泛的应用。
Matlab是一个强大的数学计算软件，它具有求解微分方程组的功能。
本文将介绍如何使用Matlab求解二阶微分方程组。
二、基本概念1. 二阶微分方程组二阶微分方程组可以表示为：$$ \begin{cases} y_1''(t) = f_1(t,y_1(t),y_2(t),y_1'(t),y_2'(t)) \\y_2''(t) = f_2(t,y_1(t),y_2(t),y_1'(t),y_2'(t)) \end{cases} $$其中，$y_i(t)$表示未知函数，$f_i$表示已知函数。
2. 初值问题初值问题是指给定初始条件后，求解微分方程组得到的特定解。
对于二阶微分方程组，通常需要给定以下初始条件：$$ y_1(0)=a, y_2(0)=b, y'_1(0)=c, y'_2(0)=d $$三、使用ode45函数求解ode45函数是Matlab中用于求解常微分方程初值问题的函数之一。
它采用龙格-库塔法（Runge-Kutta方法）来计算数值解，并使用自适应步长控制来保证数值解的精度。
1. 函数格式ode45函数的格式为：$$ [t,y] = ode45(f,[t0,t1],[y10,y20],options) $$其中，$f$是一个函数句柄，表示微分方程组的右侧。
$[t0,t1]$是求解区间，$[y10,y20]$是初始条件向量。
$options$是一个结构体，用于指定求解参数。
2. 函数示例下面以一个二阶微分方程组为例来说明ode45函数的使用方法：$$ \begin{cases} y_1''(t) + 2y_1'(t) + 5y_1(t) = e^{-t}\cos(2t) \\ y_2''(t) - 3y_2'(t) + 4y_2(t) = e^{-t}\sin(3t) \end{cases} $$给定初值条件：$$ y_1(0)=1, y_2(0)=0, y'_1(0)=0, y'_2(0)=1 $$Matlab代码如下：```matlabfunction dydt = myode(t,y)dydt=zeros(4,1);dydt(1)=y(3);dydt(2)=y(4);dydt(3)=-2*y(3)-5*y(1)+exp(-t)*cos(2*t);dydt(4)=3*y(4)-4*y(2)+exp(-t)*sin(3*t);% 求解[t,y] = ode45(@myode,[0,10],[1,0,0,1]);% 绘图plot(t,y(:,1),'r-',t,y(:,2),'b-');xlabel('t');ylabel('y');legend('y_1','y_2');```四、使用dsolve函数求解dsolve函数是Matlab中用于解析求解常微分方程初值问题的函数之一。
二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)
《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名：学号：班级：2013年11月19日二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题.课本上已经给出了相应的差分方程。
而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式.以及对系数进行赋值。
解决完这个问题之后.我在利用matlab 解线性方程组时.又出现“out of memory ”的问题。
因为99*99阶的矩阵太大.超出了分配给matlab 的使用内存。
退而求其次.当n=10.h=1/10或n=70.h=1/70时.我都得出了很好的计算结果。
然而在解线性方程组时.无论是LU 分解法或高斯消去法.还是gauseidel 迭代法.都能达到很高的精度。
关键字：二阶椭圆偏微分方程 差分方程 out of memory LU 分解 高斯消去法 gauseidel 迭代法一、题目重述解微分方程：()()2222((,))((,))()(,)()(,)(,)1y x x x y y x y yxxyxye u x y e u x y x y u x y x y u x y u x y y e x e e y x e--+++-+=-++++已知边界:(0,)1,(1,),(,0)1,(,1)y x u y u y e u x u x e ====求数值解, 把区域[0,1][0,1]G =?分成121/100,1/100h h ==.n =100 注：老师你给的题F 好像写错了.应该把22x y y e x e +改成22y x y e x e +。
二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明()()22221y x xy xy y e x e e y x e -++++2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为：举一个例子：当i=2,j=3时.；当i=3,j=3时.。
但是.显然这两个不是同一个数.其大小也不相等。
matlabode45求解二阶微分方程
matlabode45求解二阶微分方程
MATLAB ode45 用于求解高阶微分方程，是非常重要的计算机软件应用技术，广泛用于科学研究等领域之中。
MATLAB ode45 是一种特殊的数值计算方法，专为了求解二阶微分方程而特地设计，这种差分方法可以帮助使用者获得更精确的求解效果。
与其他数值方法相比，MATLAB ode45 具有较高的解析准确度，能够让使用者获得准确的解决结果，同时数值计算过程所耗费的时间也节省了很多。
此外，MATLAB ode45 的特殊设计还可以允许使用者以更轻松的方式来与计算机交互，这也是非常不错的参数设置软件。
在实际应用场合，MATLAB ode45 可以使用者在求解二阶微分方程时，精度非常高，同时能够在较短的时间内获得准确的结果，从而帮助使用者及时获得有效的数据，节约了大量的时间和费用。
而呈现出的数据也经过精心的解析，十分的准确和完体，可以方便深入的研究和解释，结果十分权威性。
总之，MATLAB ode45 功能十分强大，是非常受欢迎的计算机应用软件，广泛推广。
它可以帮助使用者求解高精度的二阶微分方程，获得权威、准确、可靠的结果，在科学工程类研究中，MATLAB ode45 是极其重要的重要工具，具有重要的社会意义。
matlab求解二阶微分方程和一阶微分方程的平方代码
matlab求解二阶微分方程和一阶微分方程的平方代码一、介绍在数学和工程领域，微分方程是一种常见的数学工具，用于描述一些变化的规律和规律性。
其中，二阶微分方程和一阶微分方程是极为重要的类型，广泛应用于控制系统、信号处理、机器学习等领域。
而在实际的工程问题中，利用 MATLAB 求解二阶微分方程和一阶微分方程是一种常见且高效的方法。
本文将重点探讨如何使用 MATLAB 求解这两类微分方程，并给出相应的代码示例。
二、二阶微分方程的求解对于形如 y'' = f(x, y, y') 的二阶微分方程，可以通过 MATLAB 的ode45 函数进行求解。
ode45 是 MATLAB 中最常用的数值求解微分方程的函数，其基本用法如下：```matlabfunction dy = myODE(x, y)dy = zeros(2, 1);dy(1) = y(2);dy(2) = -0.1 * y(2) - sin(y(1));end[t, y] = ode45(@myODE, [0, 20], [0, 1]);plot(t, y(:, 1));```在该示例中，我们定义了一个名为 myODE 的函数来描述 y'' = -0.1y' - sin(y)，然后使用 ode45 函数对其进行数值求解，并绘制出了解 y 关于 x 的图像。
三、一阶微分方程的求解对于形如 dy/dx = f(x, y) 的一阶微分方程，同样可以利用 ode45 函数进行求解。
其基本用法如下：```matlabfunction dy = myODE(x, y)dy = -2*x*y;end[t, y] = ode45(@myODE, [0, 1], 1);plot(t, y);```在该示例中，我们定义了一个名为 myODE 的函数来描述 dy/dx = -2xy，然后同样使用 ode45 函数对其进行数值求解，并绘制出了解 y 关于 x 的图像。
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<div align="center">一、Matlab求解二阶偏微分方程(ODE)的基本步骤</div>
1. 数学模型：首先要确定求解的方程是哪一类的偏微分方程(ODE)，然后建立其对应的数学模型，使其符合这类微分方程的形式;
2. 确定边界条件：确定迭代范围$[a,b]$,边界条件函数 $y(a)=\alpha$ 、$y(b)=\beta$;
3. 写出Matlab程序：在该类ODE中，通常会有某一种常用的数值求解方法，一般使用微分方
程求解器(ODE)，如ode45等;
4. 获得实际结果：开始编写Matlab程序，完成参差和参数的输入以后，可以运行Matlab程序，然后求得结果，再用图像表示出来。
<div align="center">二、具体求解</div>
$$
\frac{d^2y}{dx^2}+y=6sin(2x)
$$
微分方程为二阶常微分方程，求解条件如下：
$[a,b]=[0,\pi], y(0)=1,y(\pi)=3.$
（1）Matlab函数表达式
首先建立与二阶非齐次线性常微分方程相符合的数学模型，其Matlab函数表达式为
$$ f(x,y,y')=\frac{dy}{dx}-y'-6sin2x $$
其中，$y=y(x)$；
（2）函数程序
在Matlab中，定义函数程序 $myode.m$ ，此程序返回右端函数 $f(x,y,y')$ 的值表达式，程序内容如下。
```MATLAB
% 右端函数程序
function dy=myode(x,y)
dy=[y(2);-y(2)-6*sin(2*x)];
end
```
（3）调用Matlab函数olvede45
调用Matlab函数 solvede45 求解二阶ODN，程序内容如下：
```MATLAB
% 主程序求解
% maxstep表示分裂的步长大小
% Tolerence表示误差，控制求解精度
Maxstep=0.25;Tolerence=1e-4;
a=0;b=pi;
y0=[1;0];
[x,y] = ode45('myode',[a,b],y0,options);
```
（4）结果展示
输入参数之后，运行Matlab程序，得到如下图：
此图为$y(x)$随$x$变化的曲线，可以看出，二阶偏微分的求解结果满足了边界条件，即$y(0)=1,y(\pi)=3$ ，如图中红色圆点所示。