2018届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题及答案
O的正东方向上，
OA= 10 km ，OB= 20 km ，C在 O的北偏西 45° 方向上，CO=5 2 km ．
（1）求居民区 A与 C的距离；
（2）现要经过点 O铺设一条总光缆直线 E（F E 在直线 OA的上方），
并从 A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF．假设铺
设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为
在△ ABC中，设角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足 A= B 30°． （1）若 c = 1 ， b sin B ，求 B． （2）若 a2 c2 1 ac b2 ，求 sin A 的值．
2
16．（本小题满分 14 分）
如图，正四棱锥 P ABCD的高为 PO，PO= AB= 2 ． E，F 分别
2． 设 z 2 i （ i 是 虚 数 单 位 ）， 则 | z | =
▲．
3． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 x2 y2 1的一个焦点为（ 5， 0），则实数 m=
9m
▲．
（第 4 题）
4． 样本容量为 100 的频率分布直方图如右图所示，由此估计
样本数据落在 [6 ， 10] 内的频数为
▲．
5． “ 的
π”是“函数 y sin x
2
的图象关于 y 轴对称”
▲ 条件．（在“充分必要”、“充分不必要”、“必
要不充分”、
“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）
6． 已知 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和， a1 = 1，S3 =
开始
n←1
S← 0
S > 20 N
n←n 1
Y 输出 n
一个零点，则实数 k 的值是
▲．
14． 已知 x， y R ，满足 2≤ y≤ 4 x ，x≥ 1，则 x2 y2 2x 2 y 2 的最
xy x y 1
大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 内
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）
S←
2S Y
1
结束
6，则 S6 =
▲．
7． 函数 y 1 x≥ e 的值域是
ln x
▲．
8． 执行右面的程序图，那么输出 n 的值为
▲．
（第 8 题）
9． 在 1，2， 3，4 四个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余 的三个数中随机地抽取一个数记为 b，则“ a 是整数”的概率为
b
▲．
10． 已知△ ABC为等腰直角三角形，斜边 BC上的中线 AD = 2 ，将
△ABC沿 AD折成 60°的二面角，连结 BC，则三棱锥 C ABD的
体积为 ▲ ．
11． 直线 y = kx 与曲线 y 2ex 相切，则实数 k =
▲．
12． 已知平面内的四点 O，A，B，C满足 OA BC 2 ，OB CA 3 ，则 OC AB
=▲ ．
13． 已知奇函数 f (x) 是 R 上的单调函数，若函数 y f ( x2 ) f (k x) 只有
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 定位置．
0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用 黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．
0.5 毫米
4．如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案 填写在答．题．卡．相．应．位．置．上． ．
1． 函数 y x 1 的定义域为 A，函数 y lg 2 x 的定义域为 B，则
A B= ▲ ．
m（ m
为常数）．设∠ AOE= θ（0≤θ < π），铺设三条分光缆的总费用
为 w（元）．
5．
（1）设 M为圆 F 上一点，满足 MF' MF 1，求点 M的坐标；
（2）若 P 为椭圆上任意一点，以 P 为圆心， OP为半径的圆 P 与
圆 F 的公共弦为 QT，
证明：点 F 到直线 QT的距离 FH为定值．
y
Q
F'
O
F
x H
P
T
（第 17 题）
18．（本小题满分 16 分） 如图， O为总信号源点， A，B，C是三个居民区，已知 A，B 都在
江苏省苏锡常镇四市 2018 届高三教学情况 调研（二） 数学Ⅰ试题
注 意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回．
P
是棱 PB，CD的中点， Q是棱 PC上的点．
（1）求证： EF∥平面 PAD； （2）若 PC⊥平面 QDB，求 PQ．
E
Q
DF COA NhomakorabeaB
（第 16 题）
17．（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x2 y2 1的左、右焦点分别
4
为 F 与 F，圆 F ： x
2
3
y2
江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研数学试题+Word版含答案
2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14 个小题，每题 5分，共 70 分.请把答案填写在答题．．卡相应地点上．．．．．．.1.已知会合A{ 1,1}， B{ 3,0,1} ，则会合A I B．2.已知复数z知足z i 34i （ i 为虚数单位），则 z．x2y2．3.双曲线1的渐近线方程为434.某中学共有1800人，此中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，此中高二年级被抽取的人数为21 ，则n．5.将一颗质地平均的正四周体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后投掷 2次，察看其朝下一面的数字，则两次数字之和等于 6 的概率为．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7.若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为cm3．8.设S n是等差数列{ a n}的前n项和，若a2a4 2 ， S2 S41，则 a10．9.已知a23．0 ， b 0 ，且ab ，则 ab 的最小值是a btan A3c b10.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则tan B bcos A．a e x, x111.已知函数f ( x)4（ e 是自然对数的底）.若函数 y f (x) 的最小值是 4 ，则x, x 1x实数 a 的取值范围为．12.在uuur uuur4，ACB2ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知CP3， CA3，则uuur uuurCP CA．13.已知直线l：x y 20 与 x 轴交于点A，点P在直线l上，圆C：( x 2)2y2 2 上有且仅有一个点B知足 AB BP ，则点 P 的横坐标的取值会合为．14.若二次函数 f (x) ax 2bx c (a 0)在区间 [1,2] 上有两个不一样的零点，则 f (1)的取a值范围为．二、解答题：本大题共 6 小题，合计 90 分.请在答题卡指定地区内作答，解答应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤 .r( 2 sin r)) .15.已知向量a,1) ，b (1,sin(4（1）若角的终边过点(3, 4)，求a b的值；（2）若a / /b，求锐角的大小 .16.如图，正三棱柱ABC A1B1C1的高为 6 ，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D 是棱CC1上凑近 C 的三平分点.求证：（ 1）B1M / /平面A1BN；（2）AD平面A1BN.17.已知椭圆C ：x2y2 1 ( a b 0) 经过点 (3,1)， (1,3)，点A是椭圆的下极点.a2b222（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且相互垂直的两直线l1， l 2与直线y x 分别订交于 E ， F 两点，已知OE OF ，求直线l1的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花园，其直径AB为6，O是圆心，且 OC AB.在 OC 上有一座赏析亭 Q ，此中AQC 2.计划在BC上再建一座赏析亭P，记3POB(02) .（1）当时，求OPQ 的大小；3（2）当OPQ 越大，旅客在赏析亭P 处的赏析成效越佳，求旅客在赏析亭P 处的赏析效果最正确时，角的正弦值 .19.已知函数 f ( x)x3ax2bx c ， g ( x) ln x .（1）若a0 ， b2，且 f ( x)g( x) 恒成立，务实数 c 的取值范围；（2）若b 3 ，且函数y f (x)在区间 ( 1,1) 上是单一递减函数.①务实数 a 的值；f (x), f (x)g( x)②当 c 2 时，求函数 h( x)g( x)g (x), f (x)的值域 .20.已知S n是数列{ a n}的前n项和，a13，且 2S n a n 1 3 (n N * ) .（1）求数列{ a n}的通项公式；（2）关于正整数i ， j ，k (i j k) ，已知 a j， 6a i，a k成等差数列，求正整数，的值；（3）设数列 { b n } 前 n 项和是 T n ，且知足：对随意的正整数 n ，都有等式a 1b n a 2bn 1a 3bn 2a nb 13n 13n 3 成立 .求知足等式T n1 的全部正整数 n .a n32017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅱ（附带题）21.【选做题】在 A ，B ， C ， D 四小题中只好选做两题，每题10 分，合计 20分 .请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修 4-1：几何证明选讲如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过点 D 作圆 O 的切线交 AB 的延伸线于点 C ，且知足 DADC .（1）求证：（2）若 ABAB 2BC ；2 ，求线段 CD 的长 .B. 选修 4-2：矩阵与变换4 0 1 2 a 已知矩阵 A1， B，列向量 X.0 0 5b（1）求矩阵 AB ；（2）若 B1A1X5，求 a ， b 的值 .1C. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点(22,)，圆心为直线sin()3 与极轴的交P34点，求圆 C 的极坐标方程 .D. 选修 4-5：不等式选讲已知 x ， y 都是正数，且 xy 1，求证： (1 x y 2 )(1 y x 2 ) 9.【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分.请在答题卡指定地区内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD 垂直于底面ABCD ，PD AD 2 AB ，点Q为线段 PA （不含端点）上一点.（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ 与平面PBD所成角的正弦值；2 ，求PQ的值.（2）已知二面角Q BD P 的正弦值为3PA23.在含有n个元素的会合A n{1,2,, n}中，若这n 个元素的一个摆列（ a1， a2，， a n）知足a i i (i1,2,, n)，则称这个摆列为会合A n的一个错位摆列（比如：关于会合A3{1,2,3}，摆列(2,3,1)是A3的一个错位摆列；摆列(1,3,2) 不是A3的一个错位摆列）.记会合 A n的全部错位摆列的个数为D n.（1）直接写出D1，D2，D3，D4的值；（2）当n 3时，试用D n 2，D n 1表示D n，并说明原因；（3）试用数学概括法证明：D2n (n N * ) 为奇数.2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅰ试题参照答案一、填空题1.{1}2.53.y 3 x4.635.32166.257.438.89.2610.1 3311.a e412.613.1,514. [0,1) 3二、解答题15.解：（ 1）由题意sin 43， cos，55因此a b 2 sin sin(a) 2 sin sin cos cos sin44442423232 55252.2（2）由于a / /b，因此 2 sin sin(a) 1 ，即 2 sin(sin cos4cos sin) 1 ，44因此 sin 2sin cos1，则22cos0tan1 sin cos1sin cos，对锐角有，因此，因此锐角.416.证明：（ 1）连结MN，正三棱柱ABC A1 B1C1中， AA1/ /CC1且 AA1CC1，则四边形AAC1 1C 是平行四边形，由于点M 、 N 分别是棱A1C1， AC 的中点，因此MN / / AA1且MN AA1，又正三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 / / BB1且 AA1BB1，因此 MN / / BB1且 MN BB1，所以四边形 MNBB 1是平行四边形，因此B1M / / BN ，又 B1M平面 A1BN ，BN平面A1BN ，因此 B1M / / 平面 A1BN ；（2）正三棱柱ABC A1 B1C1中， AA1平面ABC，BN平面 ABC ，因此BN AA1，正ABC 中， N 是 AB 的中点，因此 BN AC ，又AA1、 AC平面 AAC1 1C ，AA1 I AC A ，因此 BN平面 AAC1 1C ，又AD平面 AAC1 1C ，因此 AD BN ，由题意， AA6， AC 2， AN 1，CD 6AA1AN3，因此，13AC CD2又A1 AN ACD，因此A1AN 与ACD 相像，则AA1N CAD ，2因此ANA1CAD ANA1AAN1，2则 AD A1N ，又 BN I A1N N，BN， A1N平面 A1BN ，因此 AD平面A1BN.31111a24b2a2 4 ，17.解：（ 1）由题意得，解得13111a24b2b2因此椭圆 C 的标准方程为x2y2 1 ；4（2）由题意知A(0,1) ，直线 l1， l2的斜率存在且不为零，设直线 l1： y k1x1，与直线y x 联立方程有y k1 x 1，得 E(1,1y x k1) ，1 k11设直线 l2： y1x 1 ，同理 F (1,1) ，k11111k1k1由于 OE OF ，因此|1|1| ，|1k111k1①11， k110无实数解；11k1k11k1②11，k112， k122k110 ，解得k112，k1111k1k1综上可得，直线l1的斜率为 1 2 .18.解：（ 1）设OPQ，由题， Rt OAQ 中，OA 3 ，AQO AQC 2，33因此 OQ 3 ，在OPQ 中，OP 3 ，POQ23，26由正弦定理得OQ OP，OPQ sinsin OQP即33，因此3sin sin()sin(5) ，sin sin()666则 3sin sin 5cos cos5sin1cos3sin，因此 3 sin cos ，6622由于为锐角，因此 cos0 ，因此tan33，得6；（2）设OPQ，在OPQ 中，OP 3 ，POQ，2 2 36由正弦定理得OQ OP，即33，OPQ sin OQP sinsin sin(())2因此3sinsin(())sin(()) cos()22cos cos sin sin，进而 ( 3 sin )sin cos cos，此中 3 sin0 ，cos0 ，cos因此 tan，3 sin记 f ()cos， f'( )1 3 sin，(0,) ；3sin( 3sin) 22令 f '()0 ， sin 3(0, ) 使得 sin3 3，存在独一00，23当(0, 0 ) 时 f '()0 ， f () 单一增，当( 0 ,2) 时f '() 0， f () 单一减，因此当0时， f () 最大，即 tan OPQ 最大，又OPQ 为锐角，进而OPQ 最大，此时 sin3 3.答：赏析成效达到最正确时，的正弦值为3. 319.解：（）函数y g (x)的定义域为(0,) .当a 0，b2， f (x) x32x c ，1∵ f (x)g ( x) 恒成立，∴x3 2 x c ln x 恒成立，即 c ln x x32x .令 ( x)ln x x 32x ，则 '(x)13x2212x3x3(1x)(13x3x2 )x x x，令'(x)0，得x1，∴( x) 在 (0,1] 上单一递加，令'(x)0，得x1，∴( x) 在 [1,) 上单一递减，∴当 x 1时，[( x)] max(1)1.∴ c 1 .（2）①当b 3 时， f ( x)x3ax23x c ， f '(x)3x22ax 3 .由题意， f '( x)3x22ax30 对 x(1,1)恒成立，f '(1) 32a300 .∴，∴ a 0，即实数a的值为f '( 1) 3 2a 3 0②函数 y h(x)的定义域为 (0,) .当 a 0， b 3 ， c 2 时， f (x) x33x 2 .f '(x)3x23，令 f '(x)3x230 ，得x 1 .x(0,1)1(1,)f '( x)-0+f ( x)]极小值 0Z∴当 x(0,1) 时， f ( x) 0，当 x1 时， f ( x)0 ，当 x(1,) 时， f ( x)0 .关于 g(x)ln x ，当 x(0,1) 时， g(x)0，当x 1 时，g ( x)0 ，当 x(1,) 时，g( x) 0 .∴当 x(0,1) 时， h( x) f ( x)0 ，当x1时， h( x)0 ，当 x(1,) 时， h( x)0 .故函数 y h(x)的值域为 [0,).20.解：（ 1）由2S n a n1 3 (n N * ) 得 2S n1a n 2 3 ，两式作差得 2a n1an 2a n 1，即 a n 23a n 1 (n N*).a1 3 ， a22S139 ，因此 a n 13a n(n N * ) ， a n 0 ，则an 13(n N*)，所a n以数列 { a n} 是首项为3公比为3的等比数列，因此 a n3n(n N*)；（2）由题意a j a k 2 6a i，即 3 j3k 2 6 3i，因此 3j i3k i12 ，此中 j i1，k i 2 ，因此 3j i33 ， 3k i9 9 ，123 j i3k i 12 ，因此 j i 1 ， k i 2 ， 1；（3）由 a 1b na 2bn 1a 3bn 2a nb 1 3n 1 3n 3 得， a 1b n 1 a 2b n a 3b n 1 a n b 2 a n 1b 13n 23(n 1) 3， a 1bn 13(a 1b n a 2bn 1a n 1b2a nb 1 ) 3n 2 3(n1) 3，a 1bn 13(3n13n 3) 3n23(n 1) 3 ，因此 3b n 13n 23(n 1) 3 3(3n13n 3) ，即 3b n 16n 3 ，因此 b n 1 2n 1 ( n N * ) ，又由于 a 1b 131 13 1 3 3 ，得 b 1 1，因此 b n2n 1 ( n N *)，进而 T n 1 3 5(2 n 1)12n 12*T nn 2 *) ，n n ( n N) ，n (n N2a n3当 n 1 时T 11；当 n2时T24；当 n3时T31 ；a 1 3a 29a 3 3下边证明：对随意正整数nT n1，3 都有 a n3(n 1)21n 1n 2 1 nn 1n 1Tn 1T n1(( n 1)2 3n 2) 1 ( 2n 22n 1) ，an 1a n3333当 n3 时， 2n22n1 (1 n 2)n(2 n)0 ，即T n1T n 0 ，a n 1a n因此当 n3 时，T n递减，因此对随意正整数 n3都有T nT 3 1 ；a na na 33综上可得，知足等式 T n1的正整数 n 的值为 1 3 .a n3 和2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教课状况调研（一）数学Ⅱ（附带题）参照答案21.【选做题】A.选修 4-1：几何证明选讲证明：（ 1）连结OD，BD .由于AB是圆O的直径，因此ADB 90o，AB 2OB.由于 CD 是圆 O 的切线，因此CDO 90o，又由于 DA DC ，因此 A C ，于是 ADB CDO ，获得AB CO，因此 AO BC ，进而 AB2BC .（2）解：由AB2及 AB 2BC 获得 CB1， CA 3 .由切割线定理，CD 2CB CA13 3，因此 CD3.B.选修 4-2：矩阵与变换401248解：（ 1）AB1050；05（2）由B1A1X 5，解得X548528，又由于Xa1AB0515，因此1ba 28，b 5 .C.选修 4-4：坐标系与参数方程解：在 sin() 3 中，令0 ，得 2 ，3因此圆 C 的圆心的极坐标为(2,0) .由于圆 C 的半径 PC(2 2) 222 2 2 2 2 cos 2 ，4于是圆 C 过极点，因此圆的极坐标方程为4cos .D. 选修 4-5：不等式选讲证明：由于 x ， y 都是正数，因此 1 x y 233 xy 2 0 ， 1 y x 2 33 yx 2 0，(1 xy 2 )(1 y x 2 ) 9xy ，又由于 xy1，因此 (1 x y 2 )(1y x 2 ) 9 .【必做题】22.解：（ 1）以 D 为原点， DA ， DC ， DP 为坐标轴，成立以下图空间直角坐标系；设AB t ，则 D (0,0,0) ， A(2t,0,0) ， B(2 t,t ,0) ， C (0, t ,0) ， P(0,0,2 t ) ， Q (t,0, t) ；uuur uuuruuur(0,0, 2t ) ，因此 CQ (t , t, t ) ， DB(2t ,t ,0) ， DP uruuur urDB n 1 0设平面 PBD 的法向量 n 1( x, y, z) ，则 uuur ur ，DP n 1 02tx ty2x y 0ur2,0) ，即，解得，因此平面 PBD 的一个法向量n 1 (1, 2tzzur uuurur uuur 3t 15 cosn 1 CQn 1 ,CQur uuur53t5 ，n 1CQ则 CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值为15 .5（2）由（ 1）知平面 PBD 的一个法向量为ur (1, 2,0) ，设PQ(01) ，则n 1 uuuruuur uuur uuur uuurPA(0,0,2 t ) (2t ,0, 2t)(2t ,0,2 t (1 )) ， PQPA ，DQ DP PQuuur uur uuur uur 0(2t, t,0)( x, y, z) ，则 DQ n 2 DB ，设平面 QBD 的法向量 n 2 uuur uur ，即DB n 2 0 2t x 2t (1 ) z 0x (1 )z 02tx ty 0，解得2x y 0，因此平面 QBD 的一个法向量uurn 2 (1 ,2 2,) ，由题意得 1 (2)2ur uurcos n 1, n 23ur uurn 1 n 25(1) ，uruurn 1 n 25(1 )2(22)2( )2因此5 5(1)2 ，即 ( 2)(2 9 62105) 0 ，3由于 01，因此2 PQ 23，则.PA323. 解：（ 1） D 1 0，D 21，D 3 2 ，D 49 ，（2） D n (n 1)( D n 1 D n 2 ) ，原因以下：对 A n 的元素的一个错位摆列（ a 1 ， a 2 ， ， a n ），若 a 1k(k 1) ，分以下两类：若 a k 1，这类摆列是 n 2 个元素的错位摆列，共有 D n2 个；若 a k1 ，这类错位摆列就是将 1，2 ， ， k 1， k1 ， ， n 摆列到第2 到第 n 个位1 k个地点， 其余元素也不在原来的地点，这类摆列相当于n 1个元素的错位置上， 不在第摆列，共有 D n 1 个；依据 k 的不一样的取值，由加法原理获得 D n (n 1)(D n 1 D n 2 ) ；（3）依据（ 2）的递推关系及（ 1）的结论， D n 均为自然数；当 n3 ，且 n 为奇数时， n 1为偶数，进而 D n (n 1)(D n 1 D n 2 ) 为偶数，又 D 1 0 也是偶数，故对随意正奇数 n ，有 D n 均为偶数 .下边用数学概括法证明D 2n （此中 n N * ）为奇数 .当 n1 时， D2 1为奇数；假定当 nk 时，结论成立，即 D 2 k 是奇数，则当 n k 1时，D2( k 1)(2 k1)(D2 k 1 D 2k ) ，注意到 D2k1为偶数，又 D 2 k是奇数，因此D2 k 1D2 k为奇数，又 2k 1 为奇数，因此D2( k 1) (2k1)(D2 k 1 D2k ) ，即结论对n k 1 也成立；依据前方所述，对随意n N *，都有 D 2 n为奇数.。
数学-江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(二)试题(解析版)
江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题1. 若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．2. 设集合，其中，若，则实数____．3. 在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．4. 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为____．5. 下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．6. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．7. 已知函数在时取得最大值，则____．8. 已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．9. 在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．10. 设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．11. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．12. 如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．13. 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．14. 已知为正实数，且，则的最小值为____．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．16. 在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．17. 下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．（I）（II）18. 如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．19. 已知函数R．（1）若，①当时，求函数的极值（用表示）；②若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．20. 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求的值；（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. 【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵的一个特征值为3，求．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．D．选修4—5：不等式选讲已知实数满足，，求证：．【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望．23. 已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．【参考答案】一、填空题1.【答案】.【解析】先求出复数z，再求复数z的虚部.详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-12.【答案】【解析】：根据集合相等的概念得到a的方程，解方程即得解.详解：因为A=B,所以故答案为：3.【答案】4【解析】先写出抛物线的准线方程，再求点到抛物线的准线的距离.详解：由题得抛物线的准线方程为x=2,所以点P(-2，4)到准线的距离为2-（-2）=4.故答案为:44. 【答案】【解析】先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.85. 【答案】.【解析】先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.详解：由题得所以当x∈[0,1]时，S=1；当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：6. 【答案】.【解析】根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.7.【答案】.【解析】解方程即得解.详解：由题得故答案为：8.【答案】2【解析】先化简已知,得到再代入化简即得.详解：由题得，故答案为：29.【答案】.【解析】先把体积转化，再求三棱锥M-BDC的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.详解：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC的高为.因为所以故答案为：10.【答案】4【解析】利用正弦定理化边为角，整理后两边同除以cos A cos B可得解.详解：a cos B﹣b cos A=c，由正弦定理得sin A cos B﹣sin B cos A=sinC=sin（A+B）=（sin A cos B+cos A sin B），整理得sin A cos B=4cos A sin B，两边同除以cos A cos B，得tan A=4tan B，故.故答案为：411.【答案】【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.详解：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：12. 【答案】【解析】先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：13.【答案】.【解析】根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）ln c，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）=（c﹣6）ln c，则=lnc+1﹣，显然在（，e2]上单调递增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣1214.【答案】.【解析】先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值. 详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 证明：（1）取的中点，连结，因为，所以△为等腰三角形，所以．因为，所以△为等腰三角形，所以．又，所以平面．因为平面，所以．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．16. 解：（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17. 解：（1）设，，记，则，由，化简得，解得或（舍去），所以，．答：两索塔之间的距离AC=500米．（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.18. 解：（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得解得所以，椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，设，因为，得，所以，代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.由，得直线BD的方程：，因为点在直线BD上，所以，①直线AC方程为，因为点在直线AC上，所以，②联立①②得，从而=2为定值.19. 解：（1）①由及，得，令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.②当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为. 要使有三个不同零点，则必须有，即.不妨设的三个零点为，且，则，，①，②，③②-①得，因为，所以，④同理，⑤⑤-④得，因为，所以，又，所以.所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.20. 解：（1）设数列的公差为，由，①，②①-②得，③即，所以为常数，所以为等差数列．（2）由③得，即，所以是与n无关的常数，所以或为常数．①当时，，符合题意；②当为常数时，在中令，则，又，解得，所以，此时，解得．综上，或．（3）当时，，由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．当时，，当时，也满足上式，所以．设，则，即，如果，因为为3的倍数，为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以，则，即．所以数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21. A．解：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，所以OE∥AC，∴AC⊥DE．B.解：由，得的一个解为3，代入得，因为，所以.C.解：消去参数t，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线的直角坐标方程为.依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.D.证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2，整理得，3c2－c－2≤0，解得：≤c≤1.所以：≤c≤1.【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以23. 解：（1）当时，，所以，所以.（2）因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的.假设，则，而，，矛盾.所以满足条件的是唯一的.下面我们求及的值：因为，显然.又因为，故，即.所以令，，则，又，所以.。
高三数学教学情况调研试题二 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹苏锡常镇四高三教学情况调研〔二〕数学Ⅰ试题参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高． 圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径，l 为母线长．样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UA B =▲．2．2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a =▲．3．从某班抽取5名学生测量身高〔单位：cm 〕，得到的数据为160，162， 159，160，159，那么该组数据的方差2s =▲．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小一样的硬币一次，那么至少有两枚硬币正面 向上的概率为▲．5．假设双曲线221x my +=过点()2，那么该双曲线的虚轴长为▲．〔第7题〕6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为▲．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，假设输出的15x =，那么实数a 等 于▲． 8．假设1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，那么tan(2)βα-=▲． 9．假设直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公一共点，那么实数m 的取值范围是▲． 10．设棱长为a 的正方体的体积和外表积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，假设123=V V ，那么12S S 的值是▲．11．函数3()2f x x x =+，假设1(1)(log 3)0af f +>〔0a >且1a ≠〕，那么实数a 的取值范围是▲． 12．设公差为d 〔d 为奇数，且1d >〕的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，那么n a =▲．13．函数2()f x x x a =-，假设存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，那么实数a 的取值范围是▲．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，假设不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，那么实数m 的最大值是 ▲．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．〔本小题总分值是14分〕在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．〔1〕求cos C 的值； 〔2〕假设c =ABC的面积S ，求a b ，的值． 16．〔本小题总分值是14分〕C 1B 1A 1PDCBA在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA =，D 是AB 的中点．〔1〕求证：1BC ∥平面1ACD ； 〔2〕假设点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1ACD ．某经销商方案销售一款新型的空气净化器，经场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x 〔单位：元，0x >〕时，销售量()q x 〔单位：百台〕与x 的关系满足：假设x 不超过20，那么1260()1q x x =+；假设x 大于或者等于180，那么销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数〕．〔1〕求函数()q x 的表达式；〔2〕当x 为多少时，总利润〔单位：元〕获得最大值，并求出该最大值． 18．〔本小题总分值是16分〕在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的间隔等于ab ﹒〔1〕假设椭圆C C 的方程； 〔2〕假设过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公一共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ 〔1〕假设3λ=，求数列{}n b 的通项公式； 〔2〕假设1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； 〔3〕假设对任意的正整数n ，都有3n b ≤，务实数λ的取值范围． 20．〔本小题总分值是16分〕函数2()e xf x a x bx =⋅+-〔a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数〕，其导函数为()y f x '=．〔1〕设1a =-，假设函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； 〔2〕设0b =，假设函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；〔3〕设2b =，且0a ≠，点()m n ，〔m ，n ∈R 〕是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x 〔0x m ≠〕，使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 二零二零—二零二壹苏锡常镇四高三教学情况调研〔二〕数学Ⅱ〔附加题〕2021．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每一小题10分，一共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高．求证：BA AC BE AD ⋅=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．DEOBCA〔第21-A 题〕C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒假设直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值． D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 22．〔本小题总分值是10分〕一个口袋中装有大小一样的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，假设有3次摸到红球即停顿． 〔1〕求恰好摸4次停顿的概率；〔2〕记4次之内〔含4次〕摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．〔本小题总分值是10分〕设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 二零二零—二零二壹苏锡常镇四高三教学情况调研〔二〕数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分． 1．{125}，，2．1-3．654．125．46．()()0,11,27．18．17-9．[010]，10．3211．()()0,13,+∞12．312n -13．(1,5)-141二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15.解：〔1〕∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-，…………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒…………4分 ∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =．…………6分 〔2〕∵()0,C ∈，1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒①…………9分∵c 22132a b ab =+-，∴224a b +=，②…………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =b∴a b =14分16．证明：〔1〕连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ． ∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点．…………2分 在△1ABC 中，O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥．…………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ．…………6分 〔2〕∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒…………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥．…………9分∵1BB =，11BB AA =，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =，∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥．…………12分 又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ．…………14分 17．解：〔1〕当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，…………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤…………4分〔2〕设总利润()()f x x q x =⋅，由〔1〕得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，，…………6分 当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000．…………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =．…………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000．…………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润获得最大值240000元．…………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒①…………2分〔1〕∵c e a =22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒…………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒…………6分〔2〕点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，〔*〕…………8分 那么22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a -==，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒…………10分 把1k =代入方程〔*〕，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒…………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒…………12分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c，…………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒…………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒…………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13nn n S S λ=+， 从而123nn n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒ 又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123nn n a a λ+=+⋅，n *∈N ﹒…………2分 〔1〕当3λ=时，1323nn n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=．…………4分 〔2〕当0>λ且3λ≠且1≠λ时，11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--，…………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列，13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分 〔3〕在〔2〕中，假设1λ=，那么0n c =也适宜，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由〔1〕和〔2〕可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，．…………9分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠．…………10分 当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 假设3λ>时，103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去．…………11分 假设01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件；…………12分 假设1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件；…………13分 假设13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，，要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤．…………15分 综上所述，所务实数λ的范围是7(0]3，．…………16分20．解：〔1〕当1a =-时，2()e xf x x bx =-+-，∴()e 2xf x x b '=-+-，由题意()e 20xf x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒…………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2xb x +≥-，令()e 2xF x x =+-，那么()e 2xF x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-， 所以2ln22b -≥．…………3分〔2〕当0b =时，2()e xf x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()e x x G x =，那么(2)()exx x G x -'=， 令()0G x '=，得0x =或者2x =．…………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，， 由题意，得0a -=或者24e a ->，从而0a =或者24e a <-， 所以当0a =或者24e a <-时，函数()y f x =只有一个零点．…………8分 〔3〕2()e 2xf x a x x =+-，()e 22xf x a x '=+-，假设存在，那么有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x m f x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-，00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……〔*〕﹒…………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m +-=-，不妨设00t x m =->，那么2e e e t t m m m t ++-=﹒ 两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1ttt =-，…………12分令2()e e 1ttg t t =--，那么2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，那么22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立，…………14分 即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即〔*〕式不成立，…………15分 ∴不存在实数0x 〔0x m ≠〕，使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立．…………16分苏锡常镇四高三教学情况调研〔一〕数学Ⅱ〔附加题〕参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每一小题10分，一共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ． ∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒．…………2分∴BAE ADC ∠=∠．…………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ．…………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅．…………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，…………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，，…………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩.…………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ．…………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)，…………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒…………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=，…………6分 设该方程两根为1t ，2t ，那么121t t ⋅=-﹒…………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅．…………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为右—左=432222x x x --+…………2分 =3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++…………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，…………8分所以，原不等式成立．…………10分【必做题】第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分． 22．解：〔1〕设事件“恰好摸4次停顿〞的概率为P ，那么2231319()444256P C =⨯⨯⨯=．…………4分 〔2〕由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ，1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ，81272713(=3)125664128256P =---=X ，…………8分 ∴X 的分布列为…………10分23．证明：〔1〕当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立．…………2分 〔2〕假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤．…………3分 那么当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤，…………5分 又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且 1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤，…………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由〔1〕和〔2〕可知，结论成立．…………10分。
2017-2018苏锡常镇二模及答案2018.5
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数 学 Ⅰ 试 题2018.5注意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：222212[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-,其中12()n x x x x n=+++.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ． 2．设集合{2,4}A =，2{,2}B a =（其中a < 0），若A B =，则实数a = ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)P -到抛物线28y x =-的准线的距离为 ▲ ．4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶 图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ． 5．右图是一个算法流程图，若输入值x ∈[0,2]，则输出值S 的取值范围是 ▲ ．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ▲ ．7．已知函数()sin() (02)f x x ϕϕ=π+<<π在2x =时取得最大（第6题图）值，则ϕ= ▲ ．8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14ad= ▲ ． 9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB= ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(2,0)A ，若圆C 上存在点,M12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ▲ ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩，≤，，， 若存在实数c b a <<，满足)()()(c f b f a f ==，则)()()(c cf b bf a af ++的最大值 是 ▲ ．14．已知,a b 为正实数，且23()4()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ?ABCD 中，90ADB ∠=︒，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC ?BD ； （2）求证：CE ∥平面P AD ．▲ ▲ ▲16．（本小题满分14分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且2224)S a c b =+-． （1）求∠B 的大小；ABCDP E （第15题图）（2）设向量sin ()2,3cos A A =m ，3,2cos ()A =-n ，求m ·n 的取值范围．▲ ▲ ▲17．（本小题满分14分）下图（Ⅰ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（Ⅱ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ,CD 距离之比为21∶4，且P 对两塔顶的视角为135︒．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（本小题满分16分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by ax A ， B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x轴于点M (x 1，0)，直线AC 与直线BD 交于点N (（1）求椭圆的标准方程；（2）若MD CM 2=，求直线l 的方程； （3）求证：12x x ⋅为定值. 19．（本小题满分16分）已知函数32()1f x x ax bx =+++，a b ∈R ，.（1）若02=+b a ，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且214k k =，求a b ，满足的关系式.▲ ▲ ▲ 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（第17题图（Ⅰ））（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列1{}2n b +为等比数列，求d 的值；（3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．▲ ▲ ▲2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题1. 1-2. 2-3. 44. 20.85. [0,1]6.14π7. 2π 8. 2 9. 10. 411. [ 12. 1,1] 13. 22e 12- 14. 二、解答题 15. 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，因为CD =CB ，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD ?CO ． 因为PB =PD ，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD ?PO ． 又PO ∩CO =O ，所以BD ?平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC ?BD ． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO ∥PD ， 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由∠ADB =90?，以及BD ?CO ，所以CO ∥AD ， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又COEO O =，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16. 解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b +-⨯，则sin B =，所以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B又0＜B ＜π，所以B =π3．（2）由向量m =(sin2A ,3cos A )，n =(3,?2cos A )，得m ·n =3sin2A ?6cos 2A =3sin2A ?3cos2A?3=()π24A -?3．由（1）知B =π3，所以A +C =2π3，所以0＜A ＜2π3．所以π24A -?()π13π,412-． 所以()πsin 24A -?(⎤⎥⎦．所以m ·n ??3]．即取值范围是?3]．17. 解（1）设)0(421>==t t BP t AP ，，，记,APB CPD αβ∠=∠=，则60206015tan tan 2174t t t tαβ====，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- （注：不写定义域扣1分） 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab.答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1，焦点到对应准线的距离为1. 得221c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为12y x =+， ② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值. 解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① 由B ,D ,N221y + 代入可得2x=②①和②相乘得，231231xx xy=-33332)2x y x==-+-.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-.要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x===，3221111()10f x x ax a x=+-+=，①3222222()10f x x ax a x=+-+=，②3223333()10f x x ax a x=+-+=，③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x-+++-+--=，因为21x x->，所以222212121()0x x x x a x x a++++-=，④同理222332232()0x x x x a x x a++++-=，⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x-+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d-=时，3d =，符合题意；②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=，此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-， 由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式， 所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--， 得(2)()40x l l ---=的一个解为3， 代入得1x =-，因为2141轾犏=犏-臌M ，所以111662133-轾犏犏=犏犏-犏臌M . 21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=,cos()4a pq -=，得cos sin 0a r q r q +-=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=.依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-. 21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又m n >，解得13m =，1.4n =（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C =+=++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=+-=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. （2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的. 下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--+=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N*.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-+=-=.。
2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)
2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是．6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C 上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z＝2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵A＝{2，4}，B＝{a2，2}，且A＝B；∴a2＝4；又a＜0；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为4．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线方程为：x＝2，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为：2+2＝4．故答案为：4．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为20.8．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这五人成绩的平均数为＝×（78+82+84+84+92）＝84，方差为s2＝×[（78﹣84）2+（82﹣84）2+（84﹣84）2+（84﹣84）2+（92﹣84）2]＝20.8．故答案为：20.8．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]．【解答】解：当x∈[0，1）时，S＝1，当x∈[1，2]时，S＝2x﹣x2∈[0，1]，综上可得：若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．【解答】解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期为T＝＝2，x＝2时f（x）＝sin（2π+φ）＝sinφ取得最大值，由0＜φ＜2π，得φ＝．故答案为：．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝2．【解答】解：∵，∴10a1+d＝4×（5a1+d），化为：2a1＝d≠0．则＝2．故答案为：2．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．【解答】解：如图：∵P﹣ABC为正四面体，且棱长为2，∴C在底面P AB的射影为底面三角形P AB的外心O，也是重心，则BM＝，BO＝，∴，又N为BC的中点，PD＝2DN，D到面P AB的距离为，而，∴．故答案为：．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝4．【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．【解答】解：如图，设M（x，y），由MA2+MO2≤10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2≤10，∴（x﹣1）2+y2≤4，联立，解得或．∴点M的纵坐标的取值范围是[]．故答案为：[]．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为[﹣1，1]．【解答】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，如图：设∠POA＝θ，则P的坐标为（cosθ，sinθ），0°≤θ≤90°，A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y＝1，设Q（m，n），由（cosθ+m）+（sinθ+n）＝1，＝1，解得m＝1﹣sinθ，n＝1﹣cosθ，即Q（1﹣sinθ，1﹣cosθ），＝cosθ（1﹣sinθ）+sinθ（1﹣cosθ）＝sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ，令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+45°），由θ+45°∈[45°，135°]，sin（θ+45°）∈[，1]，t＝sin（θ+45°）∈[1，]，又2sinθcosθ＝t2﹣1，＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+在t∈[1，]递减，可得t＝1，取得最大值1，t＝时，取得最小值﹣1，则的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是2e2﹣12．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）＝（c﹣6）lnc，则g′（c）＝lnc+1﹣，显然g′（c）在（，e2]上单调递增，∵g′（e）＝2﹣＜0，g′（e2）＝3﹣＞0，∴g′（c）在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）＝（﹣6）＜0，g（e2）＝2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）＝2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．【解答】解：已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则：（a+b）2＝4（ab）3+4ab，所以：＝＝＝≥＝2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面P AD，所以EO∥平面P AD．由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面P AD，所以CO∥平面P AD．又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面P AD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．【解答】解：（1）由题意，△ABC中，有，则有，变形可得，所以．因为sin B≠0，所以cos B≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（2）由向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），则有•＝．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【解答】解：（1）设AP＝21t，CP＝4t，（t＞0），记∠APB＝α，∠CPD＝β，则，由tan（α+β）＝tan45°＝＝＝1，化简得7t2﹣125t﹣300＝0，解得t＝20或t＝﹣（舍去），所以AC＝AP+PC＝25×20＝500．答：两索塔之间的距离AC＝500米．（2）设AP＝x，点P处的承重强度之和为L（x）．则L（x）＝60[+]，x∈（0，500），即L（x）＝60ab[+]，x∈（0，500），记t（x）＝+，t′（x）＝﹣+，令t′（x）＝0，解得x＝250，当x∈（0，250），t′（x）＜0，t（x）单调递减；当x∈（250，500），t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以x＝250时，t（x）取到最小值，L（x）也取到最小值．答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．【解答】（1）解：由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1．可得：＝，﹣c＝1，a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1＝b．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）解：由（1）知C（0，1），设D（x0，y0），∵，得2y0＝﹣1，∴y0＝﹣，代入椭圆方程得：+＝1，解得x0＝．∴D，∴l的方程为：y＝±x+1．（3）证明：设D坐标为（x3，y3），由C（0，1），M（x1，0）可得直线CM的方程：y＝﹣x+1，联立椭圆方程得：，解得x3＝，y3＝．由B（，0），得直线BD的方程：y＝（x﹣），①直线AC方程为：y＝x+1，②联立①②得：x2＝，从而x1x2＝2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）①∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵a2+b＝0，∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，令f′（x）＝0，解得x＝，或x＝﹣a．由a＞0知，x∈（﹣∞，﹣a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（﹣a，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极大值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极小值为f（）＝1﹣．②当a＝0时，b＝0，此时f（x）＝x3+1不存在三个相异零点；当a＜0时，与①同理可得f（x）的极小值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极大值为f（）＝1﹣．要使f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a3）（1﹣）＜0，即a3＜﹣1或a3＜．不妨设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，f（x1）＝，①，②，③②﹣①得（x2﹣x1）（）+a（x2﹣x1）（x2+x1）﹣a2（x2﹣x1）＝0，∵x2﹣x1＞0，∴+＝0，④同理＝0，⑤⑤﹣④得x2（x3﹣x1）+（x3﹣x1）（x3+x1）+a（x3﹣x1）＝0，∵x3﹣x1＞0，∴x2+x3+x1+a＝0，又x1+x3＝2x2，∴．∴f（﹣）＝0，即，即＜﹣1，∴存在这样实数a＝﹣满足条件．（2）设A（m，f（m）），B（n，f（n）），则，，又＝＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，由此可得3m2+2am+b＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，化简得n＝﹣a﹣2m，∴k2＝3（﹣a﹣2m）2+2a（﹣a﹣2m）+b＝12m2+8am+a2+b，∴12m2+8am+b+a2＝4（3m2+2am+b），∴a2＝3b．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．【解答】解：（1）设数列{S n}的公差为d′，由6S n＝9b n﹣a n﹣2，……①6S n﹣1＝9b n﹣1﹣a n﹣1﹣2，（n≥2）……②①﹣②得6（S n﹣S n﹣1）＝9（b n﹣b n﹣1）﹣（a n﹣a n﹣1）……③∵等差数列{a n}的首项为1，公差为d，∴6d′＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d．所以：b n﹣b n﹣1＝为常数，所以{b n}为等差数列．（2）由③得6b n＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d，即3b n＝9b n﹣1+d，所以：＝3+是与n无关的常数，所以﹣1或为常数．①当﹣1＝0时，d＝3，符合题意；②当为为常数时，在6S n＝9b n﹣a n﹣2中令n＝1，则6a1＝9b1﹣a1﹣2又a1＝1，解得b1＝1．所以＝此时3+＝1，解得d＝﹣6；综上，d＝3或d＝﹣6．（3）当d＝3时，a n＝3n﹣2，由（2）得数列为等比数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以即当n≥2时，c n＝b n﹣b n﹣1＝3n﹣1当n＝1时，也满足上式，所以c n＝3n﹣1．设a n＝c i﹣c j，则3n﹣2＝3i﹣1+3j﹣1，即3n＝3i﹣1+3j﹣1＝2如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i﹣1+3j﹣1为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以i＝1，则3n＝3+3j﹣1，即n＝1+3j﹣2．（j＝2，3，4……）故得数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．【解答】证明：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED．因为OA＝OE，所以∠OAE＝∠OEA．又因为AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，所以∠OAE＝∠EAD，所以∠EAD＝∠OEA，所以OE∥AC，故AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．【解答】解：由题意可知：|λE﹣M|＝0，即＝0，得（λ﹣2）（λ﹣x）﹣4＝0的一个解为3，代入得x＝﹣1，∴M＝，则|M|＝﹣6，∴M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．【解答】解：圆C的参数方程为为参数）．圆C消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝4，由，得ρcosθ+ρsinθ﹣a＝0，所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣a＝0．依题意，圆心C到直线l的距离等于，即＝，解得a＝﹣1或a＝3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【解答】证明：因为a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，所以a+2b＝1﹣c，a2+b2＝1﹣c2．由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，5（1﹣c2）≥（1﹣c）2，整理得，3c2﹣c﹣2≤0，解得﹣≤c≤1．所以﹣≤c≤1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．【解答】解：（1）由题意，得，又m＞n，解得m＝，n＝．（2）由题意，a＝++＝，b＝1﹣﹣＝，∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．【解答】解（1）当n＝2时，f（x）＝（x+5）5＝x5+x4+x3（）2+x2（）3+x（）4+（）5，所以f（2）+f（﹣2）＝（2+）5+（﹣2+）5＝2[（）124+（）322+（）520]＝2（5×16+10×4×5+25）＝610，所以A＝610．（2）因为f（x）＝（x+）2n+1＝x2n+1+x2n+x2n﹣1（）2+…+（）2n+1，所以f（2）＝22n+1+22n+22n﹣1（）2+…+（）2n+1，，由题意f（2）＝（+2）2n+1＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），首先证明对于固定的n∈N*，满足条件的m，α是唯一的．假设f（2）＝（2+）2n+1＝m1+α1＝m2+α2（m1，m2∈N*，0＜α1，α2＜1，m1≠m2，α1≠α2），则m1﹣m2＝α2﹣α1≠0，而m1﹣m2∈Z，α2﹣α1∈（﹣1，0）∪（0，1），矛盾．所以满足条件的m，α是唯一的．下面我们求m及α的值：因为f（2）﹣f（﹣2）＝（2+）2n+1﹣（﹣2+）2n+1＝（2+）2n+1+（2﹣）2n+1＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，，显然f（2）﹣f（﹣2）∈N*．又因为﹣2∈（0，1），故（﹣2）2n+1∈（0，1），即f（﹣2）＝（﹣2+）2n+1＝（﹣2）2n+1∈（0，1）．所以令m＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，α＝（﹣2+）2n+1，则m＝f（2）﹣f（﹣2），α＝f（﹣2），又m+α＝f（2），所以α（m+α）＝f（﹣2）•f（2）＝（2+）2n+12n+1＝（5﹣4）2n+1＝1．。
江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二模)数学(文)试题(WORD版)
．
9． 在棱长为 2 的正四面体 P ABC 中， M ， N 分别为 PA ， BC 的中点，点 D 是线段 PN 上一点，且
PD 2DN ，则三棱锥 D MBC 的体积为
．
10． 设△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c 且满足 a cosB
b cos A
3
ant
c ，则
．
3． 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P ( 2,4) 到抛物线 y2 8x 的准线的距离
为
．
4． 一次考试后，从高三（ 1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，
则这五人成绩的方差为
．
5． 根据如图所示的算法流程图， 若输入值 x [0, 2] ，则输出值 S 的取值范围
是
．
6． 欧阳修在《卖油翁》中写到： “（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐 以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，若铜
2017—2018 学年度苏锡常镇高三调研试卷（二）
数学 I
2018.05
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．． ．
1． 若复数 z 满足 (1+i)z=2(i 为虚数单位 ) ，则 z 的虚部为
．
2． 设集合 A {2,4} ，B { a2,2}( 其中 a 0) ，若 A B ，则实数 a
索塔 AB ， CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为
60 m，桥面 AC 上一点 P 到索塔
AB ， CD 的距离之比为 21: 4，且 P 对两塔顶的视角为 135 .
（ 1）求两索塔之间桥面 AC 的长度；
苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）英语参考答案第一部分：听力（每小题1分，满分20分）1~5 CAACB 6~10BCABB 11~15 ACCAC 16~20 BABCC第二部分：英语知识运用第一节单项填空（每小题1分，满分15分）21~25 ADCAB 26~30DCCDB 31~35 ADACB第二节完形填空（每小题1分，满分20分）36~40 BCBCC 41~45 DDBDA 46~50 CCDBA 51~55 BBDAC第三部分：阅读理解（每小题2分，满分30分）56~57 C A 58~60CBC 61~64 BCDA 65~70 DDCACB第四部分：任务型阅读（每小题1分，满分10分）71. hard 72.distinction 73. made 74.unable 75. extent/degree 76. When 77.body 78. acting 79. responsible 80.excuses第五部分：书面表达（满分25分）Possible version1:According to the caricature, summer slide refers tothe academic loss to students who prefer playing to learning during summerholidays. The sharp decline in reading scores is an evident example.Obviously, the author of the caricature isworried about the phenomenon. Readers, especially parents, are warned oftheir children’s “sliding down”. Students are therefore advised to do somereading every day.From my perspective, it’s important not to fall intothe pitfall of “summer slide”. Although vocations are meant for a rest to usstudents, it should not be at the expense of our study. We should respond tothe author’s call to do daily reading. Anyway, abandoning ourselves in readingis actually another way of leisure. In ad dition, we’d better ask our parents tocreate an academic ground for us, like reading together with us, etc. With thejoint efforts of both, the summer slide can surely be avoided.Possible version2:According to the caricature, summer slide refers tothe academic loss to students who prefer playing to learning during summerholidays. The sharp decline in reading scores is an evident example.Obviously, the author of the caricature isworried about the phenomenon. Readers, especially parents, are warned ofthe ir children’s “sliding down”. Students are therefore advised to do somereading every day.Personally I don’t subscribe to the author’s idea.Although “summer slide” does exist, it doesn’t mean our holidays should bedeprived of in such a name. Otherwise, wh at is the point of holidays? Westudents, and even parents, have long suffered from heavy burden of study.Taking a rest both physically and mentally is actually refreshing our mind forlater improvement, which is in its nature a better way to avoid “summer slide”.Therefore, doing compulsory daily reading in summer holidays is nothing but abad idea to me.1 / 1。
20182018苏锡常镇数学高三模拟(二)
合用标准文案2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕数学Ⅰ试题本卷须知：1．本试卷共4 页，包括填空题〔第 1 题～第 14 题〕、解答题〔第 15 题～第 20 题〕两局部．本试卷总分值 160 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试号用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址．3．答题时，必定用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址，在其他地址作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描述清楚．5.请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏．一律严禁使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．会集A x 1 x 3 ， B x x 2 ，那么 A B▲．2． i 为虚数单位，复数z1 3 yi ( y R )，z2 2 i ，且z1 1 i ，那么y▲．z23．下表是一个容量为10 的样本数据分组后的频数分布．假设利用组中值近似计算本组数据的平均数 x ，那么 x 的值为▲．数据[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)频数2134x2y24．直线 2 x 3 y0 为双曲线a2b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线，那么该双曲线的离心率的值为▲．优秀文档合用标准文案5．据，在公元前 3 世，阿基米德已得出了前n 个自然数开始平方和的一般公式．右是一个求前n 个自然数平方和的算法入 x 流程，假设入 x 的1，出S的▲．S06 ． 1 是会集( x, y) x2y2 ,1所表示的地域， 2 是会集S S2x x 1 x( x, y) y, x所表示的地域，向地域 1 内随机的投一个点，S5否是点落在地域 2 内的概率▲．出 S 7．等比数列a n的前 n 和 S n，公比 q3，S3S453 ，结束3a3▲．8．直四棱柱底面是 2 的菱形，面角的 2 3 ，直四棱柱的面▲．9．是第二象限角，且sin 3， tan() 2 ， tan▲．1010．直 l ： mx y2m 1 0 ， C ： x2y22x 4 y0 ，当直 l 被 C 所截得的弦最短，数m▲．11．在△ ABC 中，角 A, B, C 分是 a, b, c ，假设足 2b cos A =2 c3a ，角B的大小▲．12．在△ ABC 中， AB AC，AB 1， AC t ，P是△ ABC 所在平面内一点，假设tAP 4 AB AC▲．|AB|，△ PBC 面的最小|AC|4x2, x⋯0,13．函数 f (x)x3x0,假设函数g( x) f (x)3x b 有三个零点，数 b 的,x取范▲．14． a ,b 均正数，且ab a2b0， a22b21的最小▲．4a b优秀文档合用标准文案二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14 分〕向量 m( 3cos x, 1) , n(sin x,cos2 x) ．（1〕当 x π时，求m n的值；3〔 2〕假设x0, π，且m n31，求 cos2x 的值．43216．〔本小题总分值 14分〕B 如图，在周围体 ABCD 中，平面 ABC ⊥平面 ACD ，E， F， G 分别为 AB， AD ，AC 的中点， AC BC ，EACD 90 ．〔 1〕求证： AB⊥平面 EDC ；A GC〔 2〕假设 P 为 FG 上任一点，证明EP∥平面 BCD ．PFD17．〔本小题总分值14 分〕某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w〔单位：百千克〕与肥料花销x〔单位：百元〕满足以下关系：3，且投入的肥料花销不高出 5 百元．其他，还需w 4x 1要投入其他本钱〔如施肥的人工费等〕2x 百元．这种水蜜桃的市场售价为16 元/千克〔即 16 百元 /百千克〕，且市场需求向来供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L (x) 〔单位：百元〕．（1〕求利润函数L x的函数关系式，并写出定义域；（2〕当投入的肥料花销为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？优秀文档合用标准文案18．〔本小分16 分〕函数 f (x) a ln x bx 3，a，b 数， b 0 ， e 自然数的底数， e 2.71828 ⋯．〔 1〕当 a 0 ， b 1 ，函数 f (x) 的最小g ( a) ，求 g (a) 的最大；〔 2〕假设关于x 的方程 f ( x)=0 在区 (1， e] 上有两个不相同数解，求 a 的取范．b19．〔本小分16 分〕x2y2F ( 1,0)x2C :a2b21(a b0) 的左焦点，左准方程．〔 1〕求C的准方程；y〔 2〕直 l 交C于A，B两点．①假设直 l C的左焦点 F ，P A交 y 于点 P ，且足PA AF ，PBBF ．求：定；F O x②假设 A， B 两点足 OA OB 〔OB坐原点〕，求△ AOB 面的取范．20．〔本小分16 分〕数列 a na2 a 4*足 a1 1,a n n n,其中 n N ,,非零常数．1a n2〔 1〕假设3,8 ，求：a n 1 等比数列，并求数列a n的通公式；（2〕假设数列 a n是公差不等于零的等差数列．①求数 , 的；②数列a n的前n和S n构成数列S n，从S n中取不相同的四按从小到大排列成四子数列．：可否存在首S1的四子数列，使得子数列中的全部之和恰好2021？假设存在，求出全部足条件的四子数列；假设不存在，明原由．优秀文档合用标准文案21．【选做题】此题包括A ，B， C ，D四小题，每题10 分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题地域内作答，假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．A．〔选修 4－ 1：几何证明选讲〕如图，直线 DE 切圆O于点 D ，直线EO交圆O于A,B两点，DC OB于点C，且 DE 2BE ，求证：2OC3BC ．DAO C B E B．〔选修 4— 2：矩阵与变换〕1a1 及对应的特色向量e 1矩阵 M的一个特色值1．3b1求矩阵 M 的逆矩阵．C．〔选修 4— 4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xO y 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为x32cos，为参数 )，曲y32sin(0,2 π,线 C2的极坐标方程为sin(πaR 〕．假设曲线C1与曲线 C2有且仅有一个公) a 〔a 的值．3共点，求实数D. 〔选修 4— 5：不等式选讲〕a ,b,c 为正实数，求证：b2c2a2⋯abc ．a b c【必做题】第22，23 题，每题10 分，共 20 分 . 请把答案写在答题卡的指定地域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕优秀文档袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得 n 分〔n N*〕的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔 1〕求在一局游戏中得 3 分的概率；〔 2〕求游戏结束时局数X 的分布列和数学希望 E ( X )．23．〔本小题总分值10 分〕f n (x) C n0 x n C1n (x 1)n( 1)k C n k ( x k)n( 1)n C n n ( x n) n，其中 x R，n N *，k N, k, n．（1〕试求 f1 ( x) ， f 2 ( x) ， f 3 ( x) 的值；（2〕试猜想 f n (x) 关于 n 的表达式，并证明你的结论．2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕优秀文档数学参照答案一、填空．1． x1x22． 13．4．21 35． 146．37． 38．16 2 49．110．- 111．π12．3 76213． (,6)(1,0]14． 7 46 小，共90 分．二、解答：本大共π31) ，n(314 分15．解：〔 1〕当 x， m(,,) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3224所以 m n311 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分442〔 2〕m n = 3 cos xsin x cos2 x3sin 2 x 11sin(2 xπ18 分2cos2 x2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262假设 m n31，s in(2 xπ131，即sin(2 xπ3，32)232)366因 x[0,π，所以ππ ππ610 分]6剟2 x6，所以 cos(2x)，⋯⋯⋯⋯⋯4363cos2 x cos[(2 xππcos(2xπ3π 1⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分6)])2sin(2 x)2666633132314 分32326．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16．〔 1〕因平面 ABC⊥平面 ACD ，ACD90，即 CD ⊥ AC，平面 ABC平面 ACD =AC， CD平面 ACD ，所以 CD ⊥平面 ABC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又 AB平面 ABC，所以 CD ⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 AC BC ，EAB 的中点，所以CE⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又 CE CD C ，CD平面 EDC， CE平面 EDC ，所以 AB ⊥平面 EDC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分〔 2〕 EF， EG，因 E， F 分 AB， AD 的中点，所以 EF ∥ BD，又BD平面 BCD ， EF平面 BCD，优秀文档合用标准文案所以 EF ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分同理可 EG ∥平面 BCD ，且 EF EG=E ， EF 平面 BCD ， EG平面 BCD ，所以平面 EFG ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又 P FG 上任一点，所以EP平面 EFG ，所以 EP ∥平面 BCD ．⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：〔 1〕 L ( x)16 43x 2x 6448 3x 〔 0剟x 5 〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 1x 1〔 2〕法一 ： L ( x)64483 x 6748x 1x1x31, 67248 3 x 143 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x 1当且 当48 3 x 1 ，即 x3 取等号．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x 1故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分法二： Lx483 ，由 L x0 得， x3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 21故当 x 0,3 ， Lx 0 ， L x 在 0,3 上 增；当 x3,10 ， L x0 ， L x在 3,5 上 减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分18．解：〔 1〕当 b1 ，函数 f (x)a ln x x 3 ，f ( x)a 3x 2 a 3x 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分xx令 f ( x)0 ，得 xaa 0 ，3，因 a 0 ，333x(0,3aaa,))33(333 f (x)+f (x)极小所以 g ( a) f (3aa ln3a a aa a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分)33ln()，3 3 33令 t (x) x ln xx ，t ( x) ln x ，令 t ( x) 0 ，得 x 1 ，且当 x1 ， t (x) 有最大1，所以 g ( a) 的最大 1〔表格略〕， (分段写 性即可 )，此 a3 ．⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕由 意得，方程a ln x bx 3 0 在区 (1， e] 上有两个不相同 数解，优秀文档合用标准文案所以ax 3 在区 (1， e] 上有两个不相同的 数解，b ln x即函数y 1a像与函数 m(x)x 3 像有两个不相同的交点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分bln x因x 2 (3ln x 1)3m ( x)(ln x)2，令 m (x)0 ，得 xe ，x(1, 3 e)3e( 3 e,em ( x) 0+m( x)3e所以当 x3(3e, ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(1， e) ， m(x) 当 x 〔 3 e ，e] ， m( x) (3e,e 3 ] ，所以 a ,b 足的关系式a3，即a 33e, eb 的取 范 〔3e ， e ] ．⋯⋯⋯⋯ 16 分b19．解：〔 1〕由 知 e2， a 22c 2b 2c 2 ，即 a 22b 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22代入C 获得1 11 ，b 21 ， a 22 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(1,) 2b 2 2b 22∴ C : x 2y 2 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2〔 2〕①由 知直 l 的斜率存在， 直l 的方程 y k(x 1) ， P(0,k ) ．A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，直 l 代入 得 x 2 2k 2 ( x 1)22 ，整理得，(1 2k ) x4k x2k20 ，∴ x 1x 24k 2 2 ,x 1x 2222． ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22k2221 2k1 2k由 PAAF ，PBBF 知，1 x 1 , 1 x2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 1x 2x 1 x 22 x 1x 2 4k 2 4k 2 44∴1 2k2 1 2k 24〔定 〕．⋯⋯⋯ 9 分1 x x x x4k 2 2k 2 2121211221 2 k1 2k②当直 OA, OB 分 与坐 重合 ，易知△AOB 的面 S2 10 分，⋯⋯⋯⋯⋯2当直 OA, OB 的斜率均存在且不 零 ，OA : ykx, OB : y1x ，kA( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，将 y kx 代入 C 获得 x 2 2k 2 x 2 2 ，合用标准文案2222k 2，同理 x222k 222，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴ x12k 2, y12122 , y222 12k k kk22△ AOB 的面S OA OB1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22k21k 2221令t211,，S t，k2t 1 t1112t t 2令 u 1(0,1) ， S1122．⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分t u2u2129,2u324上所述， S2,2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分323a 28a4(3a2)(an 2)20．解：〔 1〕当3,8 ， a n1n n n3a n2，a n2a n 2∴ a n 113(a n1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又 a n10 ，不然 a110，与 a1 1 2矛盾，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ a n12 首， 3 公比的等比数列，∴ a n1n 1n 11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 3，∴ a n 2 3〔 2〕① a n a1(n1)d dn d 1 ，由 a na n2a n4a( a2)2a 4 ，1得1aa n2n n n n∴ ( dn d3)(dn1)(dn d2( dn d1) 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1)∴ d 2n2(4 d d 2 )n d3 d 2 n2(2(1 d )) dn(1 d ) 2(1 d )4任意 n N 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分d 2 d 2，，1∴4d d2(2(1 d ))d，即u d，∴1,u4, d2．⋯⋯⋯⋯ 9 分2d 3(1 d)2(1 d )4，，d 2上，14,a n 2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，②由①知S n n(12n1)n2．22021 奇数，四也许三个奇数一个偶存在足条件的四元子列，察到数、也许一个奇数三个偶数．1 假设三个奇数一个偶数，S1 , S2x1 , S2 y 1 , S2 z是足条件的四，1(2 x1)2(2 y1)24z22021 ，∴ 2( x2x y2y z2 )1007 ，与1007 奇数矛盾，不合意舍去．⋯⋯11 分合用标准文案2 假设一个奇数三个偶数，S 1 , S 2x , S 2 y , S 2 z 是 足条件的四 ，124 x 24 y 2 4z 22021 ，∴ x 2y 2 z 2504 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 504 偶数知， x, y, z 中一个偶数两个奇数也许三个偶数．1〕假设 x, y, z 中一个偶数两个奇数，不如x 2 x 1，y 2 y 1 1,z 2 z 1 1,2(x 12y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 ) 251 ， 与 251奇数矛盾． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2〕假设 x, y, z 均 偶数，不如x 2x 1, y 2 y 1, z2 z 1 ，x 12y 1 2z 12 126 ， 奇偶解析知x 1 , y 1 , z 1 中两奇数一个偶数，不如 x 12x 2 ， y 1 2 y 21 ， z 12 z 2 1 ， x 2 2y 2 2y 2 z 2 2 z 2 31． ⋯14 分因 y 2 ( y 2 1), z 2 ( z 21) 均 偶数，所以 x 2 奇数，不如0剟 y 2z 2 ，当 x 2 1 ， y 2 2y 2 z 2 2z 2 30 ， y 22y 2 ,14 ， 得 y 2 0 ， z 25 ， x 2 1 ， 当 x 2 3 ， y 2 2 y 2z 22z 2 22 ， y 2 2 y 2 , 10 ， 得 y 2 1 ， z 24 ， x 2 3 ， 当 x 25 ， y 22y 2 z 22z 26 ， y 22y 2 , 2 ， 得 y 2 0 ， z 22 ， x 25 ，即 S 1, S 4 , S 8 , S 44 也许 S 1, S 12 , S 24 ,S 36 也许 S 1, S 4 , S 20 , S 40 足条件，上所述，S 1, S 4 , S 8 , S 44 ， S 1, S 12 , S 24 , S 36 ， S 1 , S 4 , S 20 , S 40 全部 足条件的四元子列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分〔第二卷 理科附加卷〕21．【 做 】本 包括 A ， B ， C ， D 四小 ，每小10 分.A ．〔 修 4－ 1 几何 明 〕 .合用标准文案解： OD ，的半径R， BE x ， OD R， DE2BE 2x ．⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt△ ODE 中，∵ DC OB，∴ OD2OC OE ，即 R2OC ( R x) ，①又∵直 DE 切 O 于点 D， DE 2BE OE ，即 4x2x ( R x) ，②⋯⋯⋯ 6 分∴ x 2R，代入①， R2OC (R2R) ， OC3R ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分335∴ BC OB OC R 3R2R ，55∴ 2OC3BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．〔修 4— 2：矩与〕解：由知，1a11a1111a ，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分3b13b113b ，1∴ a2,b 2 ， M 12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32det(M )121 2 23 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3211∴ M122．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 14 4C．〔修 4— 4：坐系与参数方程〕解： ( x22224 ，3)( y 3)4cos4sin∴曲 C 的一般方程 (x224 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1)( y 3)sin(1sin3cos a ，3) a22∴曲 D 的直角坐方程3x y2a0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分曲 C 心到直D的距离 d 33 3 12a8 分(3) 2122 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ a3 2 ，∴a1或 a 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔少一解，扣一分〕D．〔修 4— 5：不等式〕解法一：根本不等式∵ a b2⋯2b ， bc2⋯2c ， ca2⋯2a ，a b c合用标准文案b 2c 2ca 22b 2c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ abb⋯2a ac∴ b2c 2 a 2 ⋯a b c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分a bcc)(b 2c 2 a 2解法二：柯西不等式( a b) ⋯(bc a)2 ，∴ b 2c 2 a 2ab c⋯a bc ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ab c【必做 】第22， 23 ，每小 10 分， 20 分.22．解：〔 1〕 在一局游 中得3 分 事件 A ，C 1C 1C 1 2P( A) 2 2 1．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分C 535答：在一局游 中得3 分的概率2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5〔 2〕 X 的全部可能取 1,2,3, 4 ．C 1C 2C 2C 13 在一局游 中得2 分的概率2 2 21，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分C 5310P( X1) C 22C 211；C 535P( X2)4 3 65 10；25P( X3) 4 (1 3 )2 28 ；5 10 5 125 P( X4) 4 (1 3 )3 425 5．10125所以X 12 34162842P525125125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴ E(X)1126 3 28 4 42337．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525 12512512523．解： (1) f 1 (x)C 10 x C 11( x 1) xx 11 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分0 21 22f 2 ( x) C 2 xC(2x 1 ) 2C ( x 2 )22( x 224 x4)2 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分x2x 1) (xf 3 ( x) C 30 x 3 C 31 (x 1)3 C 32 (x 2)3C 33 ( x 3)33333合用标准文案〔 2〕猜： f n ( x)n! ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分而 kC n k k n !n!， nC n k11n(n 1)!n!，k!( n k )!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!所以 kC n k nC n k11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分用数学法明建立．①当 n 1 ， f1 (x) 1 ，所以建立．②假当 n k ，建立，即f k ( x)C k0 x k C k1 (x当 n k0k 11k 11，f k 1 ( x) C k 1 x C k 1 (x 1)1)k( 1)k C k k ( x k) k k! ．k 1k 1k 1( 1)C k 1 (x k 1)C k01x k 1C k11 ( x 1)k ( x 1)( 1)k C k k1 (x k) k ( x k) ( 1)k 1 C k k11 (x k 1)k 1 x[C k01 x k C k1 1 ( x 1)k( 1)k C k k 1 ( x k )k ]1k2k(k 1k k]k 1k 1k 1[ C k 1 ( x1)2C k 1 ( x2)1)kC k 1 (x k)( 1) C k 1 (x k 1)x[C k0 x k(C k1C k0 )( x 1)k(1)k (C k k C k k1 )( x k )k ]( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k )k ] ( 1)k 1C k k11 (x k 1)k (x k 1) x[C k0 x k C k1 (x 1)k(1)k C k k ( x k)k ]x[C k0 (x1)k( 1)k1 C k k 1 ( x k)k ] ( k 1)[( x 1)k C k1 ( x2) k( 1)k1 C k k1 (x k)k ]x( 1)k 1 C k k ( x k 1)k( k 1)( 1)k 1( x k 1)k0k1k(k kk)kx[C k x C k (x 1)1) C k ( x]x[C k0 ( x1)k( 1)k-1 C k k1 (x k)k(1)k C k k ( x k 1)k ]〔 * 〕( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k)k( 1)k ( x k 1)k ]由假知〔 * 〕式等于 x k! x k!( k1)k!(k 1)!．所以当 n k 1 ，也建立．合①②， f n ( x) n! 建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。
江苏省2018届高三数学二模试卷 含解析
2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。
【高三数学试题精选】2018苏州等四市高三数学调研试卷2(带答案)
，…………………………………………………8分
∴．………………………………………………………………10分
c．（选修4—4坐标系与参数方程）
解，
∴曲线的普通方程为．……………………………………4分
，
∴曲线的直角坐标方程为，……………………………………6分
曲线圆心到直线的距离为，………………………8分
∴，∴或．………………………………10分（少一解，扣一分）
D．（选修4—5不等式选讲）
解法一基本不等式
∵，，，
∴，………………………………………6分
∴，………………………………………………………10分
解法二柯西不等式，
∴，…………………………………………………………10分
【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分
22．解（1）设在一局游戏中得3分为事，
则．……………………………………………………………2分
A．（选修4－1几何证明选讲）
解连结D，设圆的半径为R，，则，．…………2分
在Rt△DE中，∵，∴，即，①
又∵直线DE切圆于点D，则，即，②………6分
∴，代入①，，，……………………………8分
∴，
∴．……………………………………………………………………10分
B．（选修4—2矩阵与变换）
解由题知，……………………4分
则，
∴，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去．……11分
若一个奇数三个偶数，设是满足条的四项，
则，∴．……………………………12分
由504为偶数知，中一个偶数两个奇数或者三个偶数．
1）若中一个偶数两个奇数，不妨设