《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计

《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计一、学情分析在初中，学生已经学习过代数描点作图法——列表，描点、连线，对于函数y ＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌．因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础．在利用正弦线动手作出函数y＝sinx的图象时，一般学生对作图的思路和步骤不会感到困难，但是部分动手能力欠佳的学生来说，可能会在平移、描点、连线时，出现描点不精确，连线不平滑，致使画出的图象与正弦函数图象误差较大．为了解决这部分学生的困难，教师应设计精确度较高的坐标纸，便于学生作图．在《数学（必修①）》中学生已经学习过图象变换，可能因为时间太长，部分学生遗忘，故上课前应指导学生复习这部分知识；另外，在前一节刚刚学习过诱导公式，为了有利于这节课的顺利进行，上课前也应指导学生复习一下诱导公式．二、学习内容分析本节课是在学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数线，三角函数的诱导公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的图象进行系统的研究．正弦、余弦函数是继前面《数学（必修①）》学过的指数函数、对数函数、幂函数的函数内容，也是后面学习三角函数的性质的重要基础依据，及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．所以说本节课的内容对知识的掌握起到了承上启下的作用．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此，利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．在利用三角函数线和“五点法”作图的基础上，进一步复习图象变换的有关知识，利用图象变换的方法作三角函数图象，温故知新，让学生对前后知识的联系和应用融会贯通；从多个角度认识三角函数的图象，开拓思维，培养学生的创新能力．三、教学目标（一）知识与能力1．会用正弦线画正弦函数的图象，培养学生观察能力；2．会用平移法作余弦函数的图象，提高学生分析问题能力；3．掌握“五点法”作正、余弦函数图象的方法，提高学生解决问题的能力．（二）过程与方法1．让学生动手作正弦线——平移——描点——连线的实际操作，绘出正弦函数图象，体会认识未知函数过程；通过“图象变换”和“五点法”的作图方法，让学生学会善于寻找、观察数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想；2．通过《几何画板》软件，让学生掌握利用现代信息技术研究函数的方法；3．课堂过程始终贯穿着由简单到复杂、由局部到整体的思想方法；4．培养学生从特殊到一般与一般到特殊的辩证思想方法．（三）情感态度与价值观1．通过作正弦函数和余弦函数图象（尤其是图象的和谐与优美），培养学生对数学知识及学习数学的兴趣；2．培养学生动手能力与认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；3．培养学生灵活的思维方法和勇于探索、勇于创新的精神．四、重难点分析教学重点：正、余弦函数图象的作法、五点法作图教学难点：利用正弦线作正弦函数图象、正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换规律重难点突破：本节课从先前的函数知识引入如何画函数图象的有关方法，画函数图象的时候，由如何精确的描一个点引入，从而找出画整个正弦函数的图象的方法，培养学生由点到面的能力．整个教学过程遵循由简单到复杂、由局部到整体的原则，让同学能够逐步掌握如何简单的画出正弦函数的图象的方法“五点（作图）法”及如何得到余弦函数的图象．在教学过程中充分体现学生的主体作用，引导学生如何画函数的图象，为什么这样画，使学生体会到波形曲线的流畅美，激发学生学习的兴趣．五、教学流程图六、教学过程1.复习回顾①图象变换：②三角函数线：如图，如何作出角α的正弦线③诱导公式：sin(2)________απ+=，cos(2)________απ+=sin()________2πα+=，s()________2co πα+=．设计意图：以上基础知识的复习为下面的新课教学做好准备．师生活动：教师在上课前做好学案，学生在上课前完成上面的复习内容，课上用２～３分钟的时间，学生说出答案，教师评价．２. 由简谐振动的图象获得正、余弦函数图象的直观印象设计意图：通过课件演示，让学生对正弦函数或余弦函数图象有一个直观印象师生活动：教师——正弦函数，余弦函数可以看成是以角的弧度数为自变量，分别以终边与单位圆的交点的纵坐标y、横坐标x为函数值的函数，它们的定义域是R．对函数的研究我们常常借助其图象，那么正弦函数、余弦函数的图象是怎样的呢?我们知道，质点作简谐运动的图象是正弦曲线或余弦曲线，下面，我们看“简谐振动”的动画．感受正弦函数的图象．学生——认真观察简谐运动的图象．3. y=sinx,x∈[0,2π]的图象（1）提问：如何画一般函数的图象?有哪些方法?设计意图：复习前知，为新知作铺垫．师生活动：教师——展示问题，启发学生思考学生——画一般函数的图象的步骤是：列表、描点、连线，作图方法有：描点法、图像变换法．(2)如何画出函数y=sinx ,x∈[0,2π]的图象？设计意图：从学生熟悉的知识出发，培养学生独立观察能力和分析能力，自然找出画正弦函数的图象的方法．培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图象感知．预案一:代数描点法第一步列表；第二步，根据表中每组x ，y 的取值逐一在直角坐标系下找到相应的点；第三步，用平滑曲线将所描各点连接．此题函数定义域为[0，2π]，所以表中自变量x 可选择此范围内的特殊角，依次为0，6π，4π，3π，2π，23π，34π，56π，π，76π，54π，43π，32π，53π，74π，116π，2π，然后求出每个特殊角的正弦值即可完成列表：(在完成此表时，当x∈[π，2π]时，也可使用诱导公式 sin(π＋α)=－sin α来计算．)根据此表在直角坐标系下描出相应的点．再用平滑曲线连接．如下图．在这里应该提醒学生注意以下两点：①在建立直角坐标系时，x 轴的刻度应以π为单位长取值，而y 轴单位长1的选π0１②22在这里取近似值0.730.8.师生活动：教师——展示问题，启发学生思考．学生——列表、描点、连线．教师——怎样得到函数图象上点的两个坐标数据？学生——通过计算器得到，特殊角的函数值还可直接计算得到．教师——很好，但是由于对一般角的正弦值都是近似值，作的图不够精确，你如何解决这个问题？(留时间让学生思考)预案二:几何描点法师生活动：学生——利用单位圆中的正弦线表示函数值．教师——很好，如何利用正弦线得到y=sinx的图象上的点(x,sin x)？(留时间让学生思考)学生——从单位圆与x轴交点A开始，将单位圆分成12等份,作出各个角的正弦线，然后通过平移可以得到12个点，再用平滑曲线把这些点连起来即可．教师——很好，下面利用学案上的坐标纸作出函数y=sinx ,x∈[0,2π]的图象学生——动手作图教师——巡视，个别辅导，发现问题，及时引导、点拨，并实物投影出学生做的较好图象，并予以表扬．最后课件演示作图过程．4．在做出正弦函数y=sinx ,x∈[0，2π]的图像时，应抓住哪些关键点？设计意图：从对图像的整体观察入手，引出“五点法”．师生活动：教师——正弦函数的图象和余弦函数的图象我们都有了直观的印象了，在进一步的学习和解决问题中，我们往往只是要它们的大致图象，也就是不必这么细致地、复杂地去画出，想着通过图象上的几个关键点而勾勒出函数的图象．那么，请你“观察正弦函数在[0，2π]内的图象，思考在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点?”学生——观察，思考．教师——通过提问、说理，大家论证认可，将五个关键点明确出来．并演示“五点法”画y=sinx ,x∈[0，2π]的简图５．如何做出函数y=sinx ,x∈R的图象？设计意图：引导学生利用诱导公式(一)，只要将函数 y=sinx ,x∈[0，2π]的图像左、右平移（每次2π个单位长度）就可以得到函数y=sinx ,x∈R的图像．师生活动：教师——提示学生从诱导公式入手，进行思考．学生——思考问题，总结规律，动手画图．学生——因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律．所以函数y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与y=sinx ,x∈[0,2π]函数的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx ,x∈R的图象，即正弦曲线．教师——几何画板演示利用正弦线得到y=sinx,x∈R的图象６．y=cosx,x∈[0,2π]的图象问题：如何作出y=cosx,x∈[0,2π]的图象？设计意图：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，让学生感受有了一个函数图象为基础时，可以通过图象变换得到另一函数的图象，降低作图的难度．预案一：代数描点法：列表——描点——连线预案二：几何描点法：利用余弦线教师——很好，我们可以从正弦函数图象的作法中得到启示，用代数描点法或几何描点法同样可以做出余弦函数图象，但是可以看出，利用描点法画函数图象是比较麻烦的，如果再让你用描点法去画余弦函数的图象，你可能会不耐烦，那么，你能找到一种不需要描点而画出余弦函数的图象的方法来吗?充分利用已有的东西，如已作出的正弦函数图象．学生——思考、讨论、交流预案三：图象变换法师生活动：学生——思考．如果学生有困难，教师适时提出探究性问题“你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?”师生——教师引导学生哪组诱导公式可以把余弦转化为正弦?哪组诱导公式更有利于作出余弦函数的图象呢?通过探讨，总结余弦函数的图象的平移画法，作出余弦函数的图象，并指出正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．学生——利用诱导公式，回答两个函数之间的关系，再用坐标变换做出余弦函数图象．７．类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数图像的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后做出函数y=cosx ,x∈[0,2π]的简图．设计意图：进一步让学生类比探究余弦函数图象的五个关键点，培养学生类比思维的习惯：类比正弦函数，学会“五点法”作余弦函数的简图．师生活动：教师——类比正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数图象的五个关键点吗?将它们的坐标填人下表，然后作出y=cosx ,x∈[0,2π]的简图．[0,2π]上的图像．教师——巡视，个别辅导，并实物投影出学生填的表格与画的图象，给出总结性的评价．最后课件演示作图过程．８．例题讲解：.画出下列函数的简图：(1) y =1＋sinx ，x∈[0,2π](2) y = －cosx ，x∈[0,2π]设计意图：让学生学会“五点法”作图与图象变换作图．师生活动：教师——分析、板书例l(1)．作图步骤：列表(五点法)、描点、连线、延拓．学生——独立完成例1(2)．教师——进一步提出思考问题：“你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数y =sinx ，x∈[0,2π]的图象来得到y =1＋sinx ，x∈[0,2π] 的图象?同样的，能否从函数y =cosx ，x∈[0,2π] 图象得到函数y =－cosx ，x∈[0,2π] 的图象?”训练学生除了掌握利用描点法作图的方法外，还能掌握利用图象变换的方法来作图．学生——观察、分析、探究问题．教师——让学生回答问题，给出利用图象变换作图的方法，并加以解释．把y =sinx ，x∈[0,2π]的图象向上平移1个单位可以得到y =1＋sinx ，x∈[0,2π]的图象．作y =cosx ，x∈[0,2π]的图象关于x轴对称的图象即得y =－cosx ，x∈[0,2π]的图象．9.课堂练习：课本P34练习第1—2题学生——独立完成P34练习第1—2题．师生——巡视，个别辅导，并让学生回答，教师对学生的答案作出评价，最后给出正确答案．10．尝试小结①如何作出正弦曲线、余弦曲线?②如何用“五点法”作正弦函数，余弦函数的简图．③作函数图象有哪些基本方法?设计意图：优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间的内在联系的理解和认识．师生活动：师生——共同归纳、总结．利用正弦线(描点法)作出了y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象，然后利用左、右平移作出y＝sinx(k∈R)的图象；利用平移变换由正弦曲线作出余弦曲线，“五点法”是作正弦曲线、余弦曲线的基本方法，作函数图象基本方法有描点法和图象变换法．11．作业设计作业：教科书P46习题1．4A组第1题．七、教学效果测评一、选择题★1．以下对描述不正确的是( )A．在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间C．关于x轴对称D．与y轴仅有一个交点解析：正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称，而不关于x轴对称，故C错误答案：C★2．对于余弦函数y=cosx的图象，有以下描述：①向左向右无限伸展；②与y＝sinx图象形状完全一样，只是位置不同；③与x轴有无数个交点；④关于y轴对称．其中正确的描述有( )A．1项B．2项C．3项D．4项解析：因为y=cosx的定义域是R，所以y=cosx的图象向左向右无限伸展，故Aπ个单位得到，故B正确；正确；因为y=cosx的图象可以由y＝sinx图象向左平移2π,0)，有无数个，故C正确；由余弦曲线因为y=cosx的图象与x轴交点为(kπ＋2知y=cosx的图象关于y轴对称，故D正确．答案：Ｄ★3．从函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象来看，对应sinx＝1的x有( )2A．1个值B．2个值C．3个值D．4个值解析：由图可知，y＝sinx，x∈[0，2π]的图象与y=12的图象有两个交点，故sinx ＝12的x 有2个值 答案：B★4．函数y ＝1－sinx ，x ∈[0，2π]的简图是( )解析：列表知y ＝1(3π/2,２)，(2π,１)．答案：D 二、填空题CABD★5．作正弦函数y ＝sinx 在x ∈[0，2π]上的图象时，把单位圆中角x 的正弦线平移，使得正弦线的起点与x 轴上的点 重合．解析：要得到点（x ，sinx ），只需把单位圆中角x 的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上的点x 重合即可． 答案：x★６．余弦函数y ＝cosx 的图象，可由正弦函数y ＝sinx 的图象 而得到．解析：∵sin （x+2π）=cosx ，∴y= sinx 的图象向左平移2π个单位长度可得到y= cosx 的图象．答案：向左平移2π个单位长度． ★７．函数y ＝－cosx 的图象与y ＝cosx 的图象的关系是 ．解析：y ＝－cosx 的图象与y ＝cosx 的图象关于x 轴对称． 答案：关于x 轴对称 三、解答题★★８．利用正弦曲线或余弦曲线，写出满足下列条件的x 的区间：(1)sinx>0，x ∈[0，2π]； (2)cosx<0，x ∈[0，2π]． 解：(1) y ＝由图知满足sinx>0，x ∈[0，2π]的x 的范围为（0，π） (2) y ＝cosx 的图象如下：由图知满足cosx<0，x ∈[0，2π]的x 的范围为（2π，32π） ★★９．画出下列函数图象的简图：(1)y=12sinx ，x ∈[0，2π](2)y ＝1－cosx ，x ∈[0，2π]． 解：(1)按五个关键点列表：描点并将它们用平滑的曲线连接起来，如图：(2)描点并将它们用平滑的曲线连接起来，如图：课后反思：1、数学总是要在游戏中学习的，本课开场白我通过简易的物理实验吸引学生的眼球，并采用计算机绘图来增加学生的新鲜感，充分调动起学生的学习兴趣．在这节课里，我先后采用让学生上台板演及用投影仪展示学生的典型错误等丰富多彩的手段，使学生积极而充分地参与到课堂活动中来，符合新课改的理念．2、在处理教材上，我先让学生在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上直接找和读关键点的坐标，从而直观感知正弦曲线，再结合特殊角的三角函数值、诱导公式及简单的图象变换等旧知，让学生来探索余弦曲线及其作图方法．这种由特殊到一般，由结论到实例的直线型思维模式，一反数学的严格推理论证模式，由浅入深，使我们的学生在思维上易于理解与接受．3、板书设计工整，善于运用多媒体辅助教学．这节课存在以下几个方面的不足，需要我认真反思，并在今后不断努力改进：1、在重点知识的强调上稍快，给学生的思考和发挥的空间不足．比如开头讲函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象时，给学生寻找关键点的时间不够长；应当多让他们去领悟“五点作图法”的思维过程，而且可以用小组讨论的方法调动他们去想问题，这样才能使他们对知识的理解更为深刻．2、时间安排上不够精当．在“师生探索”中给学生作正弦曲线的时间过长，而“学生活动”中给学生作余弦曲线的时间又相对显得短了点．对于余弦函数图象的画法，基础好的学生可以直接用“五点法”画出y=cosx，x∈[0，2π]的图象，再利用cosx=cox(x－2π)和cosx=cos(－x)的性质得到出y=cosx，x∈R的图象．对于基础较差的学生最好是从基本的列表描点开始慢慢来，不要急于求成．3、教学语言还需要不断锤炼．数学这一门严谨的学科决定了老师的语言必须精确到位，不能含糊其辞，因为它对学生的逻辑思维起着潜移默化的影响．4、普通话不太标准，要再练教学基本功．《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计点评点评教师：韩继海从杨老师的课堂教学设计看，有几个创新点值得我们学习：（1）教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从简谐振动实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线一一代数描点作图法，对于函数y=sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y=sinx的图象的真实面貌．因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图法提供了基础．这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．坐标纸的设计避免了个别学生作图不精确，同时也提高了课堂教学效率．（2）本设计对于正弦函数的图象的画法，先作y＝sinx在x∈[0，2π]内的图象，再得到正弦曲线，这样的设计由局部到整体，由点到面，符合探究问题的一般方法．（3）对于余弦曲线的画法，本设计从正弦与余弦的关系入手，主要运用了图象变换的方法，体现了由未知向已知转化的方法，化陌生为熟悉的方法，体现了转化与化归的数学思想．（4）本设计在画正弦曲线、余弦曲线后，又运用从一般到特殊，从整体到局部的方法，根据曲线的特征得到画正弦曲线、余弦曲线简图的“五点法”．这样设计抓住了弦曲线、余弦曲线的关键和本质．（5）通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原木枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．（6）在“五点法”后让学生理解、记忆正余弦函数在的图象，并对学生作图投影到实物投影仪进行现场点评，有利于提高课堂效率，达到了杨老师课前目标：教给学生“多动手、勤动脑、敢猜想、善发现、重体验、促发展”的学习方法．（7）本节课采用启发、引导和学生探究、实践、体验相结合的教学方法，让学生既动脑又动手，充分让学生参与教学活动．体现“教师是主导，学生是主体”的教学原则．使学生不但“学会”而且“会学”，并逐步感受到数学的美，产生成就感，从而极大地提高对数学的学习兴趣．也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．几个值得探讨的地方：（1）这节课讲述了代数描点法，几何描点法法，它们都是通过描点得到函数图象．但又有所区别，这点应让学生给予注意．在解决数学问题时，既要有代数思想又要有几何思想，这种意识应在教学过程中加以培养．（2）新课程中对学生课堂中要体现“自主探究、合作交流”的教学思想，要在平时落到实处，在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动，在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．所以平时的课堂教学要多让学生参与到交流中来，否则在会开课中就只是很肤浅的“自主探究、合作交流”．。