2019年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷

2019年辽宁省葫芦岛市中考数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.-6的绝对值是（）A. 6B. -6C. 16D. -16【答案】A【解析】解：|-6|=6，故选：A．根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2.下列运算正确的是（）A. x2•x2=x6B. x4+x4=2x8C. -2（x3）2=4x6D. xy4÷（-xy）=-y3【答案】D【解析】解：∵x2•x2=x4，∴选项A不符合题意；∵x4+x4=2x4，∴选项B不符合题意；∵-2（x3）2=-2x6，∴选项C不符合题意；∵xy4÷（-xy）=-y3，∴选项D符合题意．故选：D．根据同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．此题主要考查了同底数幂的乘除法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．3.甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则这5次测试成绩最稳定的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】解：∵S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，∴成绩最稳定的是丁．故选：D．直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．4.如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：从上面看是四个小正方形，如图所示：故选：B．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意从上面看得到的图形是俯视图．5.则该校女子排球队12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A. 13，14B. 14，15C. 15，15D. 15，14【答案】C【解析】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为15:15=15岁，2故选：C．根据众数和中位数的定义求解可得．此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．6. 不等式组{3x ＜2x +2x:13−x ≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：解不等式3x ＜2x +2，得：x ＜2， 解不等式x:13-x ≤1，得：x ≥-1， 则不等式组的解集为-1≤x ＜2，故选：A ．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x 个，根据题意，所列方程正确的是（ ）A. 300x -300x:2=5 B. 3002x -300x=5 C.300x -3002x=5 D. 300x:2-300x=5 【答案】C【解析】解：由题意可得，300x −3002x=5，故选：C ．根据实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，可以提前5天完成任务可以列出相应的分式方程，本题得以解决．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．8. 二次函数y =ax 2+bx 的图象如图所示，则一次函数y =ax +b 的图象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】D＜0，b＜0，【解析】解：由二次函数图象，得出a＜0，-b2aA、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误；B、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故B错误；C、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故C错误；D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D正确；故选：D．可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9.如图，在⊙O中，∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO的度数为（）A. 70°B. 55°C. 45°D. 35°【答案】B【解析】解：连接OA、OC，∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，∴∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=70°，∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB=1（180°-∠AOB）=55°．2故选：B．根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上由点B向点D运动（点E不与点B重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90得到线段AF，连接BF交AO于点G．设BE的长为x，OG的长为y，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：连接FD，∵∠BAE+∠EAD=90°，∠FAD+∠EAD=90°，∴∠BAE=∠FAD．又BA=DA，EA=FA，∴△BAE≌△DAF（SAS）．∴∠ADF=∠ABE=45°，FD=BE．∴∠FDO=45°+45°=90°．∵GO⊥BD，FD⊥BD，∴GO∥FD．∵O为BD中点，∴GO为△BDF的中位线．∴OG=12FD．∴y=12x，且x＞0，是在第一象限的一次函数图象．故选：A．连接FD，证明△BAE≌△DAF，得到∠ADF=∠ABE=45°，FD=BE，再说明GO为△BDF的中位线OG=12FD，则y=12x，且x＞0，是在第一象限的一次函数图象．本题主要考查了动点问题的函数图象、全等三角形的判定和性质、中位线的性质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.太阳的半径大约为696000000，将数据696000000用科学记数法表示为______．【答案】6.96×108【解析】解：将数据6 96000000用科学记数法表示为6.96×108．故答案为：6.96×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.分解因式：x3y-xy3=______．【答案】xy（x+y）（x-y）【解析】解：x3y-xy3，=xy（x2-y2），=xy（x+y）（x-y）．首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13.若关于x的一元二次方程x2+（2+a）x=0有两个相等的实数根，则a的值是______．【答案】-2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2+a）x=0有两个相等的实数根，∴△=（2+a）2-4×1×0=0，解得：a=-2，故答案为：-2．根据根的判别式得出△=（2+a）2-4×1×0=0，求出即可．本题考查了根的判别式和一元二次方程的解，能根据根的判别式和已知得出△=（2+a）2-4×1×0=0是解此题的关键．14.在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是13，那么n的值为______．【答案】4【解析】解：根据题意得2n:2=1 3，解得n=4，经检验：n=4是分式方程的解，故答案为：4．根据概率公式得到2n:2=13，然后利用比例性质求出n即可．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15.如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB=30°，在B处测得∠PBC=75°，若AB=80米，则河两岸之间的距离约为______米．（√3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】54.6【解析】解：过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，∵∠PBC=75°，∠PAB=30°，∴∠DPB=45°，∵AB=80，∴BD=40，AD=40√3，∴PD=DB=40，∴AP=AD+PD=40√3+40，∵a∥b，∴∠EPA=∠PAB=30°，∴AE=12AP=20√3+20≈54.6，故答案为：54.6过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形性质以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．16.如图，BD是▱ABCD的对角线，按以下步骤作图：①分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；②作直线EF，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN．若BD=8，MN=6，则▱ABCD的边BC上的高为______．【答案】245【解析】解：由作法得MN垂直平分BD，∴MB=MD，NB=ND，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，而MB=MD，∴∠MBD=∠MDB，∴∠MBD=∠NBD，而BD⊥MN，∴△BMN为等腰三角形，∴BM=BN，∴BM=BN=ND=MD，∴四边形BMDN为菱形，∴BN=√32+42=5，设▱ABCD的边BC上的高为h，∵MN•BD=2BN•h，∴h=6×82×5=24 5，即▱ABCD的边BC上的高为245．故答案为245．由作法得MN垂直平分BD，则MB=MD，NB=ND，再证明△BMN为等腰三角形得到BM=BN，则可判断四边形BMDN为菱形，利用菱形的性质和勾股定理计算出BN=5，然后利用面积法计算▱ABCD的边BC上的高．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．17.如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C=90°，AC=5，AB=13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是______．【答案】7或263【解析】解：在Rt△ABC中，BC=√AB2−AC2=√132−52=12，（1）当∠EDB′=90°时，如图1，过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，由折叠得：AB=AB′=13，BD=B′D=CF，设BD=x，则B′D=CF=x，B′F=CD=12-x，在Rt△AFB′中，由勾股定理得：（5+x）2+（12-x）2=132，即：x2-7x=0，解得：x1=0（舍去），x2=7，因此，BD=7．（2）当∠DEB′=90°时，如图2，此时点E与点C重合，由折叠得：AB=AB′=13，则B′C=13-5=8，设BD=x，则B′D=x，CD=12-x，在Rt△B′CD中，由勾股定理得：（12-x）2+82=x2，解得：，x=263因此BD=26．3故答案为：7或26．3由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．18.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：BD；①PA=PE；②CE=√2PD；③BF-PD=12④S△PEF=S△ADP正确的是______（填写所有正确结论的序号）【答案】①②③【解析】解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG=FP，连接BG、PG，∵EF⊥BP，∴∠BFE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FBC=∠ABD=45°，∴BF=EF，在△BFG和△EFP中，∵{BF=EF∠BFG=∠EFP FG=FP，∴△BFG≌△EFP（SAS），∴BG=PE，∵∠ABD=∠FPG=45°，∴AB∥PG，∵AP⊥PE，∴∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°，∴∠APE=∠PEF=∠GPF，∴AP∥BG，∴四边形ABGP是平行四边形，∴AP=BG，∴AP=PE；解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC=∠APE=90°，∴A、B、E、P四点共圆，∴∠EAP=∠PBC=45°，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，故①正确；②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG=AB，∵AB=CD，AB∥CD，∴PG∥CD，PG=CD，∴四边形DCGP是平行四边形，∴CG=PD，CG∥PD，∵PD⊥EF，∴CG⊥EF，即∠CGE=90°，∵∠CEG=45°，∴CE=√2CG=√2PD；故②正确；③由②知：∠CGF=∠GFO=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠COF=90°，∴四边形OCGF是矩形，∴CG=OF=PD，∴12BD=OB=BF-OF=BF-PD，故③正确；④在△AOP和△PFE中，∵{∠AOP=∠EFP=90°∠APF=∠PEFAP=PE，∴△AOP≌△PFE（AAS），∴S△AOP=S△PEF，∴S△ADP＜S△AOP=S△PEF，故④不正确；本题结论正确的有：①②③，故答案为：①②③．①解法一：如图1，作辅助线，构建三角形全等和平行四边形，证明△BFG≌△EFP（SAS），得BG=PE，再证明四边形ABGP是平行四边形，可得结论；解法二：如图2，连接AE，利用四点共圆证明△APE是等腰直角三角形，可得结论；②如图3，作辅助线，证明四边形DCGP是平行四边形，可得结论；③证明四边形OCGF是矩形，可作判断；④证明△AOP≌△PFE（AAS），则S△AOP=S△PEF，可作判断．此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形和矩形的判定和性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 先化简，再求值：a 2:aa 2;2a:1÷（2a;1-1a ），其中a =（13）-1-（-2）0．【答案】解：a 2:aa 2;2a:1÷（2a;1-1a ）=a(a:1)(a;1)2÷2a;(a;1)a(a;1)=a(a:1)(a;1)2⋅a(a;1)2a;a:1 =a(a:1)a;1⋅aa:1=a 2a;1，当a =（13）-1-（-2）0=3-1=2时，原式=222;1=4．【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．四、解答题（本大题共7小题，共86.0分）20. 某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A ．跆拳道，B ．声乐，C ．足球，D ．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有______人；在扇形统计图中，B 所对应的扇形的圆心角的度数是______；（2）将条形统计图补充完整；（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．【答案】200 144°【解析】解：（1）本次调查的学生共有30÷15%=200（人）， 扇形统计图中，B 所对应的扇形的圆心角的度数是360°×80200=144°， 故答案为：200、144；（2）C 活动人数为200-（30+80+20）=70（人）， 补全图形如下：（3）画树状图为：∴被选中的2人恰好是1男1女的概率612=1 2．（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．21.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（-1，1），B（-4，1），C（-3，3）（1）将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并求出点C旋转到C2所经过的路径长．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，∵OB=√12+42=√17，OA1=√12+42=√17，BA1=√52+32=√34，∴OB2+OA12=BA12，∴以O ，A 1，B 为顶点的三角形为等腰直角三角形；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作，点C 旋转到C 2所经过的路径长=90⋅π⋅3√2180=3√22π．【解析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A 1、B 1、C 1的坐标，则描点即可得到△A 1B 1C 1；然后利用勾股定理的逆定理判断以O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，从而描点得到△A 2B 2C 2，然后利用弧长公式计算出点C 旋转到C 2所经过的路径长．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22. 如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y =k 2x 的图象分别交于C ，D 两点，点C （2，4），点B 是线段AC 的中点．（1）求一次函数y =k 1x +b 与反比例函数y =k2x 的解析式； （2）求△COD 的面积；（3）直接写出当x 取什么值时，k 1x +b ＜k 2x ．【答案】解：（1）∵点C （2，4）在反比例函数y =k2x 的图象上， ∴k 2=2×4=8， ∴y 2=8x ；如图，作CE ⊥x 轴于E ，∵C （2，4），点B 是线段AC 的中点， ∴B （0，2），∵B 、C 在y 1=k 1x +b 的图象上， ∴{2k 1+b =4b =2，解得k 1=1，b =2， ∴一次函数为y 1=x +2；（2）由{y =x +2y =8x，解得{x =2y =4或{x =−4y =−2， ∴D （-4，-2），∴S △COD =S △BOC +S △BOD =12×2×2+12×2×4=6；（3）由图可得，当0＜x ＜2或x ＜-4时，k 1x +b ＜k 2x ．【解析】（1）把点C 的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE ⊥x 轴于E ，根据题意求得B 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）联立方程求得D 的坐标，然后根据S △COD =S △BOC +S △BOD 即可求得△COD 的面积； （3）根据图象即可求得k 1x +b ＜k 2x 时，自变量x 的取值范围．本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B 点的坐标是解题的关键．23. 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y （个）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元 （3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【答案】解：（1）设y =kx +b （k ≠0，b 为常数） 将点（50，160），（80，100）代入得{160=50k +b 100=80k +b解得{k =−2b =260∴y 与x 的函数关系式为：y =-2x +260 （2）由题意得：（x -50）（-2x +260）=3000 化简得：x 2-180x +8000=0 解得：x 1=80，x 2=100 ∵x ≤50×（1+90%）=95∴x 2=100＞95（不符合题意，舍去） 答：销售单价为80元．（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得 w =（x -50）（-2x +260） =-2x 2+360x -13000 =-2（x -90）2+3200∵a =-2＜0，抛物线开口向下∴w 有最大值，当x =90时，w 最大值=3200答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元． 【解析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；（3）设每天获得的利润为w 元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．24. 如图，点M 是矩形ABCD 的边AD 延长线上一点，以AM为直径的⊙O 交矩形对角线AC 于点F ，在线段CD 上取一点E ，连接EF ，使EC =EF ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若cos ∠CAD =35，AF =6，MD =2，求FC 的长．【答案】（1）证明：连接OF ， ∵四边形ACD 是矩形， ∴∠ADC =90°，∴∠CAD +∠DCA =90°， ∵EC =EF ， ∴∠DCA =∠EFC ， ∵OA =OF ，∴∠CAD =∠OFA ， ∴∠EFC +∠OFA =90°， ∴∠EFO =90°， ∴EF ⊥OF ， ∵OF 是半径， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）连接MF ， ∵AM 是直径， ∴∠AFM =90°，在Rt △AFM 中，cos ∠CAD =AF AM =35， ∵AF =6， ∴6AM =35， ∴AM =10， ∵MD =2， ∴AD =8，在Rt △ADC 中，cos ∠CAD =AD AC =35， ∴8AC =35， ∴AC =403， ∴FC =403-6=223【解析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证得∠EFC+∠OFA=90°，即可证得∠EFO=90°，即EF⊥OF，从而证得结论；（2）根据圆周角定理得出∠AFM=90°，通过解直角三角形求得AM=10，得出AD=8，进而求得AC=403，即可求得FC=403-6=223．本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理的应用以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．25.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当∠EAC=15°时，请直接写出CEAB的值．【答案】解：（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，∵△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE=45°，∴∠CAB=∠ADE，∴CE∥AB；（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，理由如下：在AF上截取AF=CD，连接EF，∵∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAF=∠EDC，在△EAF和△EDC中，{AE=ED∠EAF=∠EDC AF=DC，∴△EAF≌△EDC（SAS），∴EF=EC，∠AEF=∠DEC，∵∠AED=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECA=45°，∴∠ECA=∠CAB，∴CE∥AB；（3）如图②，∠EAC=15°，∴∠CAD=30°，∴AD =2CD ，AC =√3CD ， ∴FC =（√3-1）CD ， ∵△CEF 为等腰直角三角形，∴EC =√22FC =√6;√22CD ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB =√2AC =√6CD ，∴CE AB =√6−√22√6=3;√36， 如图③，∠EAC =15°，由（2）得，∠EDC =∠EAC =15°， ∴∠ADC =30°，∴CD =√3AC ，AB =√2AC ， 延长AC 至G ，使AG =CD ， ∴CG =AG -AC =DC -AC =√3AC -AC ， 在△EAG 和△EDC 中， {AG =DC∠EAG =∠EDC AE =DE， ∴△EAG ≌△EDC （SAS ）， ∴EG =EC ，∠AEG =∠DEC ， ∴∠CEG =90°，∴△CEG 为等腰直角三角形，∴EC =√22CG =√6;√22AC ， ∴CE AB =√3;12，综上所述，当∠EAC =15°时，CEAB 的值为3;√36或√3;12． 【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质、平行线的判定定理解答；（2）在AF 上截取AF =CD ，连接EF ，证明△EAF ≌△EDC ，根据全等三角形的性质得到EF =EC ，∠AEF =∠DEC ，根据平行线的判定定理证明；（3）分图②、图③两种情况，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26. 如图，直线y =-x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y =-x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒√2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当MQ NQ =12时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【答案】解：（1）直线y=-x+4中，当x=0时，y=4 ∴C（0，4）当y=-x+4=0时，解得：x=4∴B（4，0）∵抛物线y=-x2+bx+c经过B，C两点∴{−16+4b+c=00+0+c=4解得：{b=3c=4∴抛物线解析式为y=-x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC=90°∴OB=OC∴∠OBC=∠OCB=45°∵ME⊥x轴于点E，PB=√2t∴∠BEP=90°∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PEPB =√22∴BE=PE=√22PB=t∴x M=x P=OE=OB-BE=4-t，y P=PE=t ∵点M在抛物线上∴y M=-（4-t）2+3（4-t）+4=-t2+5t ∴MP=y M-y P=-t2+4t∵PN⊥y轴于点N∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°∴四边形ONPE是矩形∴ON=PE=t∴NC=OC-ON=4-t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴MP NC =MQNQ=12∴;t2:4t4;t =12解得：t1=12，t2=4（点P不与点C重合，故舍去）∴t的值为12（3）∵∠PEB=90°，BE=PE∴∠BPE=∠PBE=45°∴∠MPD =∠BPE =45°①若MD =MP ，则∠MDP =∠MPD =45° ∴∠DMP =90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM =DP ，则∠DMP =∠MPD =45° ∵∠AEM =90°∴AE =ME∵y =-x 2+3x +4=0时，解得：x 1=-1，x 2=4 ∴A （-1，0）∵由（2）得，x M =4-t ，ME =y M =-t 2+5t ∴AE =4-t -（-1）=5-t∴5-t =-t 2+5t解得：t 1=1，t 2=5（0＜t ＜4，舍去）③若MP =DP ，则∠PMD =∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD =∠PMD =∠PDM =∠CDF ∴CF =CD∵A （-1，0），M （4-t ，-t 2+5t ），设直线AM 解析式为y =ax +m ∴{−a +m =0a(4−t)+m =−t 2+5t 解得：{a =t m =t ∴直线AM ：y =tx +t ∴F （0，t ） ∴CF =OC -OF =4-t ∵tx +t =-x +4，解得：x =4;tt:1 ∴DG =x D =4;tt:1∵∠CGD =90°，∠DCG =45° ∴CD =√2DG =√2(4;t)t:1 ∴4-t =√2(4;t)t:1解得：t =√2-1综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t =1或t =√2-1．【解析】（1）求直线y =-x +4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC =45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =√2t 求得BE =PE =t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证△MPQ ∽△NCQ ，故有MPNC =MQ NQ=12，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD =MP ，则∠MDP =∠MPD =45°，故有∠DMP =90°，不合题意；②若DM =DP ，则∠DMP =∠MPD =45°，进而得AE =ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP =DP ，则∠PMD =∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD =∠PMD =∠PDM =∠CDF 进而得CF =CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF =CD ，解方程即得到t 的值．本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．第21页，共21页。