人教版数学高二新课标 《演绎推理》 精品导学案
人教版高二数学“演绎推理”教案
人教版高二数学“演绎推理”教案【导语】增加内驱力，从思想上重视高二，从心理上强化高二，使克服高考的这个关键环节过硬起来，是“志存高远”这四个字在高二年级的全部说明。
作者高二频道为正在拼搏的你整理了《人教版高二数学“演绎推理”教案》期望你爱好！【篇一】教学目标：1．了解演绎推理的含义。
2．能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理、进行简单的推理。
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学进程：一、复习：合情推理归纳推理从特别到一样类比推理从特别到特别从具体问题动身――视察、分析比较、联想――归纳。
类比――提出料想二、问题情境。
视察与摸索1．所有的金属都能导电铜是金属，所以，铜能够导电2．一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以，（2100+1）不能被2整除。
3．三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以，tan是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二、学生活动：1．所有的金属都能导电←————大条件铜是金属，←-----小条件所以，铜能够导电←――结论2．一切奇数都不能被2整除←————大条件（2100+1）是奇数，←――小条件所以，（2100+1）不能被2整除。
←―――结论3．三角函数都是周期函数，←——大条件tan是三角函数，←――小条件所以，tan是周期函数。
←――结论三、建构数学演绎推理的定义：从一样性的原理动身，推出某个特别情形下的结论，这种推理称为演绎推理。
1．演绎推理是由一样到特别的推理；2．“三段论”是演绎推理的一样模式；包括（1）大条件——已知的一样原理；（2）小条件——所研究的特别情形；（3）结论——据一样原理，对特别情形做出的判定．三段论的基本格式M—P（M是P）（大条件）S—M（S是M）（小条件）S—P（S是P）（结论）3．三段论推理的根据，用集合的观点来知道：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
高二数学必修二演绎推理导学案
高二数学必修二演绎推理导学案【使用说明及学法指导】1．先预习教材p78…--p81,然后开始做导学案2．针对预习提纲，深化对演绎推理的一般形式—“三段论”的理解【学习目标】结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别【学习难点重点】教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.【课前预习案 】教材p78…--p81,然后开始做导学案【自学提纲：(基本概念、公式及方法)】一．基础性知识点1.演绎推理的定义：_______________________________________________________2．演绎推理是由___________到___________的推理；3．“__________________”是演绎推理的一般模式；包括⑴____________---____________________；⑵____________---____________________；⑶____________---_____________________．4.三段论的基本格式M —P （M 是P ） （_________）S—M （S 是M ） （________）S—P （S 是P ） （_________）用集合的观点来理解:______________________________________________________二．课前检测1 .有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误例2、已知8.0lg ,2lg 计算m.522的图象是一条直线）函数（+=x y 211y x x =++.把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。
人教版选修2-2 2.1.2 演绎推理导学案
2.1.2 《演绎推理》导学案
制作王维审核高二数学组 2016-03-29 【学习目标】
1、理解演绎推理的含义，能利用演绎推理进行简单的推理；
2、理解演绎推理在数学证明中的作用
3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到学习
数学的美感．
【学习重点】
利用演绎推理证明数学问题
【学习难点】
合情推理与演绎推理的区别与联系．
【预习导航】
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中，由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财，但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？
【问题整合】
（1）什么是演绎推理？
(2）什么是三段论？
(3) 合情推理与演绎推理有哪些区别？
【问题探究】
探究活动一：何谓演绎推理?
例1 在锐角三角形ABC中, AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足. 求证: AB的中点M到D,E的距离相等.
探究活动二： 什么是三段论？
例2 证明函数x x x f 2)(2
+-=在(-∞,1]上是增函数.
探究活动三： 合情推理与演绎推理有何区别与联系？
【课堂巩固练习】
对于任意正整数n ，猜想21n -与2
(1)n +之间的大小关系，并利
用演绎推理证明你的结论.
【总结概括】 本节课的收获：
【课后作业 】 必做题：教材第84页习题2.1第6题 选做题：同步练习册课后作业提升习题。
高中数学《演绎推理》导学案
2.1.2演绎推理1．演绎推理从一种一般性的原理出发，推出□01某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简而言之，演绎推理是□02由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式(1)大前提——□03已知的一般原理；(2)小前提——□04所研究的特殊情况；(3)结论——□05根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．“三段论”常用的格式大前提：M是P.小前提：S是M.结论：□06S是P.4．用集合知识说明“三段论”若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么□07S中所有元素也都具有性质□08P.演绎推理的特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式，它较缺乏创造性，但却具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“三段论”就是演绎推理．()(2)演绎推理的结论一定是正确的．()(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提是________，小前提是________．(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的．(3)推理某一“三段论”，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，且推理形式正确，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断(选填“肯定”或“否定”)．答案(1)三角函数是周期函数y＝sin x是三角函数(2)小前提(3)否定探究1 把演绎推理写成三段论的形式例1将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式a n＝2n＋1表示的数列{a n}为等差数列；(4)y＝sin2x的最小正周期是π.[解](1)∵平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提∴菱形的对角线互相平分．结论(2)∵等腰三角形两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∴∠A＝∠B.结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式a n＝2n＋1时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋1－[2(n－1)＋1]＝2(常数)，小前提通项公式a n＝2n＋1表示的数列为等差数列．结论(4)∵y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为T＝2πω，大前提y＝sin2x是上述形式的函数，小前提∴y＝sin2x的最小正周期为T＝2π2＝π.结论拓展提升三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．【跟踪训练1】把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)等边三角形的内角和是180°.解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC是直角三角形．结论(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提函数y＝2x＋5是一次函数，小前提函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论(3)三角形的内角和是180°，大前提等边三角形是三角形，小前提故等边三角形的内角和是180°.结论探究2 演绎推理在几何中的应用例2在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：ABCD为平行四边形，写出三段论形式的演绎推理．[证明](1)连接AC.(2)平面几何中的三角形“边边边”定理是：有三边对应相等的两个三角形全等，这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等，大前提△ABC和△CDA的三边对应相等，小前提则这两个三角形全等．结论符号表示为：⎭⎬⎫AB＝CDBC＝DACA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(3)由全等三角形的定义可知：全等三角形的对应角相等，这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等，大前提△ABC和△CDA全等，小前提则它们的对应角相等．结论用符号表示，就是△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2且∠3＝∠4且∠B＝∠D.(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，大前提直线AB、DC被直线AC所截，内错角∠1＝∠2，小前提(已证)则AB∥DC.结论同理有：BC∥AD.(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，大前提四边形ABCD中，两组对边分别平行，小前提则四边形ABCD是平行四边形．结论用符号表示为：AB∥DC且AD∥BC⇒四边形ABCD为平行四边形．拓展提升数学问题的解决和证明都蕴涵着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论可作为下一个三段论的前提．例如本例中每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．【跟踪训练2】如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.请写出三段论形式的演绎推理．证明∵同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提∴FD∥AE.结论∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提∴四边形AFDE是平行四边形．结论∵平行四边形的对边相等，大前提ED和AF是平行四边形AFDE的对边，小前提∴ED＝AF.结论探究3 演绎推理在函数中的应用例3已知函数f(x)，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解](1)证明：∵x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设任意x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵当x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)为减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，∴函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.拓展提升本题采用了典型的演绎推理，这并不是什么特殊值法，而是一段条理十分清晰透彻的三段论的证明．函数奇偶性与单调性的判断方法是解答本题的大前提．本题的解答过程除了演绎推理外，还应用了函数与方程的数学思想．【跟踪训练3】设函数f(x)＝e xx2＋ax＋a，其中a为实数．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调减区间．解(1)因为f(x)的定义域为R，所以x2＋ax＋a≠0恒成立．所以Δ＝a2－4a<0，所以0<a<4，即当0<a<4时，f(x)的定义域为R.(2)因为f′(x)＝x(x＋a－2)e x (x2＋ax＋a)2.所以由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.因为0<a<4，所以当0<a<2时，2－a>0.所以在(－∞，0)上，f′(x)>0，在(0,2－a)上，f′(x)<0.在(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.所以f(x)的单调减区间为(0,2－a)．当a＝2时，f′(x)≥0恒成立．所以f(x)没有单调减区间．当2<a<4时，2－a<0.所以在(－∞，2－a)上，f′(x)>0，在(2－a,0)上，f′(x)<0，在(0，＋∞)上，f′(x)>0.所以f(x)的单调减区间为(2－a,0)．综上：当0<a<2时，f(x)的单调减区间为(0,2－a)；当2<a<4时，f(x)的单调减区间为(2－a,0)．1.归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，前者是个别到一般、部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，推理的结论都有待进一步证明．演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理体系所采用的推理形式．演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.2.演绎推理是确定的、可靠的，而合情推理则带有一定的风险性．但在数学中，合情推理的应用与演绎推理的应用一样广泛．严格的数学推理以演绎推理为基础，而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的.1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是()A．完全归纳推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理答案 B解析由特殊到一般的推理是归纳推理．2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：因为∠A＝30°，∠B＝60°，所以∠A<∠B.所以a<b.其中，划线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论答案 B解析划线部分为具体问题的特殊条件，是小前提，最后得到结论，所以划线部分为小前提．故选B.3．定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数．证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)．所以f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是________________________．答案若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数解析本题考查利用演绎推理证明代数问题，观察本题的证明过程，容易得到思路：通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．”4．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>3a2＋a＋1”的推理过程中，其小前提是________．答案a2＋a＋1>0解析大前提是不等式的性质，小前提是a2＋a＋1>0.5．用三段论证明通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．证明若数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)，则数列{a n} 为等差数列，大前提通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}，满足a n＋1－a n＝a1＋n d－a1－(n－1)d＝d，小前提所以通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．结论A级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2答案 A解析选项B为归纳推理，C，D为类比推理，只有A为演绎推理．故选A.2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC－DEF.H是棱AB的中点，ABED为底面，CH⊥平面ABED，即CH为高，结论：直三棱柱ABC－DEF的体积为S四边形ABED·CH.这个推理过程()A．正确B．错误，大前提出错C．错误，小前提出错D．错误，结论出错答案 C解析在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①②答案 B解析 “三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数；②三角函数是周期函数；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①答案 B解析 根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1 >22＝ r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎨⎧ si n (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22C ．1或－22D ．1或22 答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin (πa 2)＝1⇒a 2＝12， ∴a ＝－22或a ＝22(舍去)． 二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案 甲解析 若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2020)f (2019)＝________.答案 2020解析 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)． 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)．∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2(结论)，9．设f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′(a )＋bf ′(b )＋cf ′(c )的值是________． 答案 0解析 f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )·(x －b )，∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )． ∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝a (a －b )(a －c )＋b (b －a )(b －c )＋c(c －a )(c －b )＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(a －c )(b －c )＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，小前提故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)．∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)。
高中数学新人教版B版精品教案《2.1.2 演绎推理》
《演绎推理》教学设计教材：人民教育出版社高中数学B版选修2-2章节：第二章《推理与证明》《合情推理与演绎推理》《演绎推理》面向学生：高二年级（一）教学目标1知识与技能目标:理解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；掌握演绎推理的基本模式，体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理2．过程与方法目标:结合具体实例,感受演绎推理在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯3情感态度和价值观目标：结合已学过的数学实例和日常生活中的实例，使学生体会数学与其他学科以及实际生活的联系；通过演绎推理的学习，培养学生严谨的作风，形成实事求是，力戒浮夸的思维习惯（二）教学重点和难点教学重点：演绎推理的概念，三段论推理规则教学难点：用“三段论”进行简单的推理（三）教学方法：以教师为主导，学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认知规律出发，采用问题探究，合作交流，启发引导的方法指导学生学习，充分调动学生积极性，引导学生在学习过程中体会知识的价值，感受知识的无穷魅力（四）教学过程环节一情境激趣, 温故知新问题1:由以下具体事实能得到怎样的结论应用了什么推理学生活动: 积极思考,谨慎求解,复习旧知设计意图:注重情景创设和学习兴趣培养1 填入空缺数字：5,9,15，（），33,452．鱼饵：鱼竿（a）笔：书籍（b）写诗：笔（c）锅铲：炒锅（d）电脑：手机3从（a）（b）（c）（d）中选出一个合适的图案，填在问号处4.南之于西北，正如西之于（）（a）西北（b）东北（c）西南（d）东南环节二互动交流，研讨新知问题2:引例：（以下推理是哪种推理？是我们学过的归纳推理或类比推理吗？）所有的平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，菱形的对角线互相平分学生活动: 发现问题,寻找解决问题的出路，自主学习设计意图:重视知识发生、发展过程开展教学演绎推理概念:演绎推理是由到的推理；问题3: 由学生举出生活或者各科学习中，演绎推理的例子学生活动:积极思考，踊跃发言设计意图:通过举例，加深对演绎推理概念的理解问题4:演绎推理中经常使用的推理规则是什么？“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---⑵小前提---⑶结论---环节三概念辨析，思维升华问题5：如何用集合的观点理解三段论推理？学生活动:积极思考，踊跃发言设计意图:通过变式演练，加深对演绎推理概念的辨析，深刻理解演绎推理的本质所有的平行四边形（A）对角线互相平分（P），------A是P------B是A------B是PP学生活动：从数学史发展背景了解三段论及演绎推理设计意图：延伸课堂，丰富学识，加强对数学文化的了解环节五课堂练习，巩固所学练习1：将下列演绎推理写成三段论形式，并指出大，小前提及结论（1）太阳系大行星以椭圆轨道绕太阳运行,海王星是太阳系的大行星,海王星以椭圆形轨道绕太阳运行（2）函数=tan是周期函数练习2：下列推理是否正确，说明理由？（1）自然数是整数，3是自然数，3是整数（2）整数是自然数，-3是整数，-3是自然数（3）自然数是整数，-3是自然数，-3是整数（4）自然数是整数，-3是整数，-3是自然数练习3：演绎推理在生活中的应用（1）中国的大学分布于中国各地，北京大学是中国的大学，所以北京大学分布于中国各地。
人教课标版高中数学选修1-2：《演绎推理》教案-新版
2.1.2演绎推理一、教学目标1．核心素养通过对演绎推理的学习，在数学体验中培养学生的抽象能力和逻辑推理的能力．2．学习目标(1)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．(2)结合生活中的实例，创设民主的学习氛围和生动的学习情景，鼓励，引导学生通过思考，质疑等丰富多彩的认知过程来获取数学知识(3)发展学习数学的兴趣，让学生乐于探究数与形变化的奥秘，体验数学探究的艰辛和喜悦，感受数学世界的奇妙和谐．(4)结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理．3．学习重点了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理4．学习难点分析证明过程中包含的“三段论”形式．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材P30—P33思考：什么是演绎推理？演绎推理的模式是什么？2．预习自测1．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案：C2．演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（）A．一般的原理原则B．特定的命题C．一般的命题D．定理、公式答案：A3．下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D（二）课堂设计1．知识回顾现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树．从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候．所以南极大陆曾经在温湿的热带．被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立．西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界．珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小．谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海．地质学家是怎么得出这个结论的呢？科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石．还发现了鱼龙的化石．地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋．科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法．2．问题探究问题探究一什么是演绎推理●活动一1．什么是演绎推理？从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法．●活动二2．演绎推理的一般模式分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提喜马拉雅山曾经是海洋……结论三段论（1）大前提……已知的一般原理（2）小前提……所研究的特殊情况（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c 为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．先看下面的例子：把下列语句写成三段论的形式：（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾；（3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除；（4）三角函数都是周期函数，αtan是周期函数；tan是三角函数，因此α（5）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°解答如下：（1）大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行小前提：冥王星是太阳系的大行星结论：冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行(2) 大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100°C小前提：在一个标准大气压下把水加热到100°C时结论：水会沸腾（3）大前提：一切奇数都不能被2整除小前提：)12(100+是奇数结论：)12(100+不能被2整除（4）大前提：三角函数都是周期函数小前提：αtan是三角函数结论：αtan是周期函数（5）大前提：两条直线平行，同旁内角互补小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角结论：∠A+∠B=180°问题探究二三段论推理的可靠性●活动一三段论推理一定是可靠的吗？只有“大前提、小前提”都正确的前提下，“结论”才正确．看下面的例子：（1）有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”．这个推理是否正确？为什么？显然这个推理不正确，原因是大前提不正确．（2）两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同位角，那么∠A ＋∠B＝180°显然这个推理不正确，原因是小前提不正确．问题探究三合情推理与演绎推理的区别●活动一归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．问题探究四活学活用演绎推理●活动一把演绎推理写成三段论的形式把演绎推理写成三段论的形式必须弄清问题的大前提、小前提和结论．例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°．(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．【知识点：演绎推理】详解：(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°．(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°．(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)－1通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)点拔：注意“三段论”的基本形式，即：“大前提、小前提和结论”．三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c．”其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．●活动二三段论在几何中的应用例2 已知在梯形ABCD中，如图，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA．【知识点：演绎推理】 详解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， (小前提) ∴∠1＝∠2．(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角， (小前提) ∴∠1＝∠3．(结论) ∵等于同一个角的两个角相等，(大前提)∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD ．(结论)同理可证DB 平分∠CBA ．例3 已知A ，B ，C ，D 四点不共面，M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，求证：MN ∥平面ACD ．【知识点：演绎推理，三角形的重心，线线平行，线面平行】详解：如图所示，连接BM ，BN 并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ ．因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心， (小前提) 所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点． (结论)又因为BM MP ＝BN NQ ，(小前提)所以MN ∥PQ ， (结论)又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，(小前提)所以MN∥平面ACD．(结论)点拔：(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．●活动三三段论在代数中的应用例4 已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜b＋ma＋m【知识点：演绎推理，不等式的性质】详解：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b＜a，m＞0，(小前提)所以，mb＜ma．(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb＜ma，(小前提)所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)所以，()()()()b a m a b ma a m a a m++<++，即b b ma a m+<+．(结论)点拔：使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误：①条件分析错误(小前提错)．②定理引入和应用错误(大前提错)．③推理过程错误等．●活动四三段论在应用中的易错问题例5 (1)定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．【知识点：演绎推理，奇、偶函数】证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)，因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是：___________________________．解析：通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．答案：若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数(2)所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．【知识点：演绎推理】①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④点拔：解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．3．课堂总结【知识梳理】比较：合情推理与演绎推理的区别与联系从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．【难点突破】（1）检验假设和理论：演绎法对假说作出推论,同时利用观察和实验来检验假设．（2）逻辑论证的工具：为科学知识的合理性提供逻辑证明．（3）作出科学预见的手段：把一个原理运用到具体场合,作出正确推理．演绎推理是一种必然性推理,推理的前提是一般,推出的结论是个别,一般中概括了个别．事物有共性,必然蕴藏着个别,所以“一般”中必然能够推演出“个别”,而推演出来的结论是否正确,取决于：大前提是否真确,推理是否合乎逻辑．演绎法也有其局限,推理结论的可靠性受前提（归纳的结论）的制约,而前提是否正确在演绎范围内是无法解决的．归纳法和演绎法在认识论中的辩证关系：归纳法是由认识个别到认识一般；演绎法是由认识一般进而认识个别．4．随堂检测1．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则（）A．m＝0B．m＝0，或n＝0C．n＝0D．m＝0，且n＝0解：D【知识点：演绎推理，奇、偶函数】2．设a＝(x,4)，b＝(3,2)，若a∥b，则x的值是（）A．－6B．8 3C．－8 3D．6解：∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6． 故答案为D ． 3．设n 是自然数，则18(n 2－1)的值（ ） A ．一定是零 B ．不一定是偶数 C ．一定是偶数D ．是整数但不一定是偶数 答案：C解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，18(n 2－1)＝18(4k 2＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18(n 2－1)的值一定为偶数．答案为C4．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 5，b 7，b 4，b 8的一个不等关系________． 答案：b 4＋b 8>b 5＋b 7解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b 4＋b 8>b 5＋b 7． （三）课后作业 基础型 自主突破1．“所有的金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此类推理类型属于（ ） A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理 答案：A【知识点：演绎推理】“所有的金属都能导电”是大前提，“铁是金属”是小前提，“铁能导电”是结论．此类推理类型属于演绎推理，故选A ．2．“e 是无限不循环小数，所以e 是无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是（ ）A ．无理数是无限不循环小数B ．有限小数或有限循环小数为有理数C ．无限不循环小数是无理数D．无限小数是无理数答案：C【知识点：演绎推理】解：大前提是无限不循环小数是无理数，选C．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段认推理（）A．正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“凡是自然数都是整数”，正确；小前提“4是自然数”也正确；推理形式符合演绎推理，所以结论正确．4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形．”中的小前提是（）A．①B．③C．①②D．②答案：D【知识点：演绎推理】解：，其理由为“大前提：矩形是平行四边形；小前提：三角形不是平行四边形；结论：三角形不是矩形．”5．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF//BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF//BC答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提是一个一般性的结论，故选A6．下列说法正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤答案：C【知识点：演绎推理】解：归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤．故选C ．7．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中细亚的地质结构类似，而中细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油C ．由633,835,1037,1257,1477=+=+=+=+=+，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个素数之和D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2n ≥），由此归纳出数列{}n a 的通项公式 答案：A【知识点：演绎推理】解：选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C 、D 都是归纳推理．能力型 师生共研1．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”．你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的答案：A【知识点：演绎推理】解：大前提“任何实数的平方大于0”错误，应该是“任何实数的平方大于或等于0”．故选择A ．2．以下说法正确的个数是（ ）①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理；②农“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的；③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质，这是运用了类比推理；④个位是5的整数是5的倍数，2 375的个位是5，因此，2 375是5的倍数，这是运用了演绎推理．A ．0B ．2C ．3D ．4答案：C【知识点：演绎推理】解：本题主要考查了几种推理与证明的判断．②③④都是正确的，对于①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是归纳推理，故选C ．3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ）①函数cos ()y x x R =∈是三角函数；②三角函数是周期函数；③函数cos ()y x x R =∈是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①答案：B【知识点：演绎推理】解：∵“三段论”的结构是“若S 是P ，Q 是S ，则Q 是P”，故选择B ．4．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价)(a b b >以及实数)10(<<x x 确定实际销售价格)(a b x a c -+=，这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于______．答案：215-【知识点：演绎推理，等比数列，等比中项】解：∵)(a b x a c -+=，即()c a x b a -=---，∴()()b c b a x b a -=---①∵)(a c -是)(c b -和)(a b -的等比中项，即2()()()b c b a c a --=-将①两边同乘以)(a b -，可得22()()()()b c b a b a x b a --=---，即222()()()c a b a x b a -=---②根据)(a b x a c -+=，可得()c a x b a -=-，则222()()c a x b a -=-③由②③可得，2222()()()x b a b a x b a -=---又b a >，∴210x x +-=，解得：x =，又01x <<，∴x = ∴最佳乐观系数x 的值等于215-． 探究型 多维突破1．对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，给出定义)(''x f 是)(x f y =的导函数)('x f 的导函数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若三次函数12532131)(23-+-=x x x x f ，请你根据这一发现，求： （1）12532131)(23-+-=x x x x f 的对称中心为____________；（2）=++⋯+++)20192018()20192017()20193()20192()20191(f f f f f ____________． 答案：)1,21(；2018 【知识点：演绎推理，函数与导数】解：（1）2()3f x x x '=-+，()21f x x ''=-，令''()0f x =得，12x =，又1()12f =，故对称中心为)1,21(．（2）由（1）可得：()(1)2f x f x +-=，12320172018()()()()()201820192019201920192019f f f f f +++⋯++=． 2．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．答案：见解析解析：【知识点：演绎推理，棱锥的概念，锥体的体积，线线垂直，线面垂直，点到平面的距离】(1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC ．又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ．∵PC ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PC ，即PC ⊥BC ．(2)连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°．从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1，由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13．∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，又PD ＝DC ＝1．∴PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22，由V ＝13S △PBC ·h ＝13·22·h ＝13，得h ＝2．因此，点A 到平面PBC 的距离为2．（四）自助餐1．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 解：A【知识点：演绎推理】2．在演绎推理中，只要________是正确的，结论必定是正确的．答案：大前提和推理过程【知识点：演绎推理】3．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg2；④当－1<x <0，或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．答案：①③④【知识点：演绎推理,函数的性质】易知f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确．当x>0时，f(x)＝lg x2＋1 |x|＝lg(x＋1x)．∵g(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确．答案为①③④4．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在全国各地．结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？【知识点：演绎推理】解：(1)推理形式错误．大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误．5．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明∵|x|≤1时，|f(x)|≤1．x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1．证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1．6．如图，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，试用三段论的形式证明EF∥平面BCD．【知识点：演绎推理，三角形的中位线，线面平行的判定】证明：连接BD ． ∵三角形的中位线平行于第三边，大前提而EF 是△ABD 的中位线，小前提∴EF ∥BD ．结论∵如果不在平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，大前提而EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，且EF ∥BD ，小前提∴EF ∥平面BCD ．结论7．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n ，(n ＝1,2,3，…)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎪⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n ．【知识点：演绎推理，数列的概念，等比数列】证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，∴(n ＋2)S n ＝na n ＋1＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n (n ＝1,2,3，…)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数．(2)由(1)知，S n ＋1n ＋1＝2·S n n ＝4·S n －1n －1(n ≥2)，则S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，∴S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1． 故对任意的n ∈N *，有S n ＋1＝4a n ．数学视野类比推理虽然不能直接推动社会进步，但它在人们的认识中具有重要作用．它可以拓展人们的眼界，可以为人们改造和认识世界、推动社会进步提供一个有效的思维方法．1．类比推理是探索真理的重要逻辑形式类比推理是在已有知识的基础上进一步发展科学的一种有效的探索方法．在科学研究中具有开拓思路、提供线索、举一反三、触类旁通的作用，正如康德所说：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进．”科学史上很多著名的发现是借助于类比推理而获得的．据历史记载，西拉克斯的国王为庆功谢神，命金匠打造了一顶纯金皇冠，要献给不朽的神．完工后，国王怀疑皇冠不纯，但在不毁坏皇冠的情况下找不到解决的方法，便请教好友阿基米德．这就是著名的皇冠问题．阿基米德苦思一段时间，也无所得．一日，他到澡堂洗澡，当他的身体进入浴池时，他敏锐地察觉到水位上升，由此受到启迪，产生联想，于是把在自己进入浴池中水位上升与求皇冠质量进行类比，发现了浮力原理这一共同规律，并解决了“皇冠问题”．在这之后，浮力原理被广泛应用于科学研究与生产生活之中．2．类比推理可以帮助人们提出科学假说类比推理是形成科学假说的重要推理形式．在科学史上，许多重要的科学假说都是利用类比推理的思维方法建立起来的．19世纪中叶，奥地利首都维也纳有一位医生，名叫奥恩布鲁格．有一次，他给一位病人看病，没有检查出什么严重疾病，但病人很快就死了．经过解剖尸体查看，发现胸膛积满脓水．医生想，以后再碰到这样的病人怎么诊断？忽然想起他父亲在经营酒店时，常用手指关节敲木质酒桶，听到卜卜的叩击声，就能估量出木桶中还有多少酒．他思考：人们的胸膛不是很像酒桶吗？他通过反复探索胸部疾病和叩击声音之间变化的关系，终于写出《用叩诊人体胸部发现胸膛内部疾病的新方法》的医学论文，发明了“叩诊”这一医疗方法．在上例中，奥恩布鲁格就是运用类比推理把“酒桶和装酒量”与“人的胸膛和胸腔积水”作类比：同是封闭的物体，内藏液体，叩击时能发出声音等，从而根据叩桶知酒量而推出叩胸知病情的结论．此外，在科学发展史上，惠更斯提出的光的波动假说，卢瑟福及其学生提出的原子结构的行星模型假说，也都是运用类比推理建立了巨大的功绩．3．类比推理为现代科学技术经常应用的仿生学提供了理论基础自然界的动植物，它们的生长都极为巧妙，它们是孕育出新事物、新方法绝无仅有的好样板．人类还在蒙昧的幼年时期，为了生存繁衍，便开始模仿大自然，利用类比的方法，从自然界万事万物身上吸取有利于自己生存的优点，用来武装自己，改变命运．20世纪30年代出现的仿生学，就是专门研究生物系统的结构和功能，并将生物的某些特征应用到我们的创造发明之中，以创造先进技术装置的新学科．人类对自然的模仿，正是建立在类比推理的理。
人教版数学高二《演绎推理》 精品教学设计
第三段：____________________________________________.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
例1：证明函数 在 上是增函数.
例2：在锐角三角形ABC中， ，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
当堂检测：
讨论：因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则结论是什么？
讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？
课堂小结
课后练习与提高
1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.
六、教学过程
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以.
2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.
演绎推理
一、教材分析
推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。
高二数学 教案 2.1.2 演绎推理导学案人教版_选修2-2
学习评价
1．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形。根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）
A.正方形是平行四边形B.正方形的对角线相等
C.平行四边形的对角线相等D.其它
2.在空间四边形ABCD中，M,N分别是AB，AD的中点，求证： 。
课后作业
1．下列表述正确的是（ ）。
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A．①②③；B.②③④；
C．②④⑤；D.①③⑤。
2．（课本P84A6）用三段论证明：在梯形ABCD中， ，则 。
⑷太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。
以上几个推理是合情推理吗？它们的推理过程有何共同特征？
问题2：上面的四个推理都是演绎推理，你能按演绎推理的一般模式举出一些例子吗？
问题3：
因为指数函数 是增函数，……大前提
而 是指数函数，……小前提
所以 是增函数。………结论
第04课时
2.1.2演运用演绎推理进行简单的推理。培养逻辑推理的能力。
学习过程
一、学前准备
复习：1.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比
上述命题，可以得到命题：“___________
____________________________”，
⑴上面的推理形式正确吗？
⑵推理的结论正确吗？为什么？
问题4：合情推理与演绎推理主要区别是什么？有何联系。
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A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
3. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b 平
（4）一切奇数都不能被 2 整除，2007 是奇数，所以
；
（5）三角函数都是周期函数， sin 是三角函数，所以
；
（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角，那
么
.
新知：演绎推理是从
出发，推出
情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由
到
的推理.
探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）
菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提）
菱形是正多边形.
（结 论）
小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. ※ 动手试试 练 1. 用三段论证明：通项公式为 an cqn (cq 0) 的数列{an} 是等比数列.
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新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论：
例 2 证明函数 f (x) x2 2x 在 , 1 上是增函数.
小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁， 如果大前提是显然的，则可以省略.
例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？
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§2.1.2 演绎推理
学习目标
1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性； 2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
学习过程
一、课前准备
（预习教材 P39~ P42，找出疑惑之处）
复习 1：归纳推理是由 到
的推理.
类比推理是由 到
的推理.
复习 2：合情推理的结论
练 2. 在 ABC 中， AC BC ，CD 是 AB 边上的高，求证 ACD BCD . 证明：在 ABC 中， CD AB, AC BC ，
所以 AD BD， 于是 ACD BCD . 指出上面证明过程中的错误.
三、总结提升
※ 学习小结
1.
合情推理
归纳推理：由特殊到一般 类比推理：由特殊到特殊
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：
1. 因为指数函数 y ax 是增函数， y (1)x 是指数函数，则 y (1)x 是增函数.这个结论是错2Biblioteka 2打印版打印版
误的，这是因为
面 ，直线 a 平面 ，直线 b ∥平面 ，则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的，这
是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
4.归纳推理是由
到
的推理；
类比推理是由
到
的推理；
演绎推理是由
到
的推理.
5.合情推理的结论
；
演绎推理的结论
.
课后作业
1. 用三段论证明：在梯形 ABCD 中，AD//BC ，AB=DC，则 B C .
2. 用三段论证明： f (x) x3 x(x R) 为奇函数.
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所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提
小前提
结论
新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：
大前提——
；
小前提——
；
结论——
.
试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.
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※ 典型例题 例 1 在锐角三角形 ABC 中，AD BC, BE AC ，D，E 是垂足. 求证：AB 的中点 M 到 D， E 的距离相等.
.
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：演绎推理的概念
问题：观察下列例子有什么特点？
（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因
此
；
（3）在一个标准大气压下，水的沸点是100 C ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 C 时， ；
；结论不一定正确.
2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.
※ 知识拓展 乒乓球教练组将从右手执拍的选手 R、S、T 和左手执拍的选手 L、M、N、O 中选出四名
队员去参加奥运会。要求至少有两名右手执拍的选手，而且选出的四名队员都可以互相配对 进行双打。已知 s 不能与 L 配对.T 不能与 N 配对，M 不能与 L 或 N 配对。若 R 不被选入队 中，那么有几种不同的选法? A. 只有一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种