一元二次方程——动点问题教学内容
一元二次方程(数字动点问题)
问2：P、Q两点从出发开始到几秒时， A 点P、Q间的距离是10cm？
D
怎么分析？
P Q B C
例2.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm， AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的 速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动。
问3：P、Q两点从出发开始到几秒时， A 点P、Q间的距离最大？
D
怎么分析？
P Q B C
3.在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A 开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做 DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上, 问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm² ？
动点问题的关键
分析问题
怎样分析？
图形的形状 找出与其相关的量 设出未知数表示相关量
问1：P、Q两点从出发开始到几秒时， A 2 四边形PBCQ的面积为33cm
D
怎么分析？
P Q B C
例2.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm， AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的 速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动。
解方程、验根
一元二次方程的应用--------动点问题
C
分析： Q
你能设出未知数，然后表示这些线段吗？ 1秒后
A
P
B
（2）几秒后，PQ的长度等于5cm?
PQ在那个图形中，这个图形是个什么形状
C
PQ它又与那些量有关？
你能设出未知数，表示它们之间的关系吗？
Q
2秒
A
PBLeabharlann CQAP
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
行程(或动点)问题及平均变化率问题
探究归纳
填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元， 则下降率是 7% .如果保持这个下降率，则现在生 产1吨甲种药品的成本是 4324.5 元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2 元.
的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投
资上的平均增长率是x,则可列方程
为 2（1+x)+2(1+x)2=8
.
3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克， 今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量 的年平均增长率.
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 7200（1+x)2=8712 系数化为1得， （1+x)2=1.21 直接开平方得， 1+x=1.1, 1+x=-1.1 则 x1=0.1, x2=-1.1, 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
5m x
解： 设梯子底端滑动x m， 那么滑动后梯子底端距墙（x+5）m；
根据题意，可得方程：
(12-x)2＋(x＋5)2＝132
解得： x1=0, x2=7. ∵x＞0， ∴x=7.
答：梯子顶端下滑7米时，梯子底端滑动的 距离和它相等.
归纳总结
（1）分析题意，找出等量关系，用字母 表示问题里的未知数.
问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的 大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率 大呢?
实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
九年级学生小明在暑假期间进行勤工俭学.
问题一：他每天在村上以每斤2.5元买进黄瓜，到市场以每斤4元卖掉黄瓜，那么
他卖1斤黄瓜的利润是
1.5 元；
问题二：如果他每天买进并卖完300斤黄瓜，则他每天销售利润是
售价-进价=单件利润
解得，x1=40，x2=70
当x=40时， [800-10（x-30）]=800-10 （40-30）=700 >500
当x=70时， [800-10（x-30）]=800-10 （70-30）=400 <500（不符合题意，舍去）
结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？
（利用一元二次方程解决表格问题）
如果设提价x元，你能根据提示信息列出方程吗？
（10+x）（800-20x）=12000
利用一元二次方程解决利润问题
某工厂生产的某种产品按供需要求分为十个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一
天可生产76件，每件的利润为10元，每提高一个档次，每件的利润增加2元，每天的产量将
减少4件．设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，请解答下列问题．
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
x=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
3x
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=
+
= ,
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6 cm；
16-5x
Q两点之间的距离是10cm？
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。
第二十一章 一元二次方程 复习课 教学设计2024-2025学年人教版数学九年级上册
大单元设计格式要求单元分析依据新课标的理念，教科书在编排上注意螺旋上升地呈现重要的概念和思想，不断地深化对核心概念的理解。
如在方程的教学中，教科书改变了以往代数教材“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照“一次”和“二次”的数量关系，是方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。
从教学内容来看，一方面一元二次方程可以看成是前面所学过的有关知识的综合运用，如有理数、实数的概念和整式、分式、开平方等的运算，一元一次方程、一元一次方程组解法等知识，在本章都有应用。
从数学角度看，这一章的学习有一定难度，如果前面某个环节薄弱或知识点有问题，就会给本章的学习带来困难，因此，这一章的教学是对以前所学的有关知识的检验，又是一次复习与巩固。
当然，一元二次方程知识也是前面所学知识的继续和发展，尤其是方程方面知识的深入和发展。
一元二次方程又是以后学习的知识基础，这一章可以说是起到了承上启下的作用。
初中代数中的不少主要技能、解题方法以及一些常用的数学思想方法，在本章都有所体现例如，换元法、因式分解法、配方法等。
另外，从具体到抽象的概括能力、逻辑推理能力等等在本章也有体现可以说，无论从基础知识还是基本技能看，这一章都占有重要的地位。
单元主题第21章一元二次方程学习目标低阶目标：1)了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转换、降次等数学思想；2)通过根的判别式判断一元二次方程的情况，了解根与系数的关系；高阶目标：3)能够利用一元二次方程解决有关实际问题，利用一元二次方程解决实际问题难点在于找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。
，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
单元评价即单元学业质量标准1.1能理解与掌握一元二次方程及其有关的概念。
1.2能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
1.3能完成一元二次方程求根公式的推导。
九年级数学上册(人教版)21.3实际问题与一元二次方程(利润问题、表格问题和动点问题)优秀教学案例
5.结合评价结果，调整教学策略，为下一步教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用现实生活中的案例，如购物时的折扣问题，引导学生思考图片、动画等形式，直观地呈现动点问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
（五）作业小结
1.布置具有实际意义的作业，让学生运用所学知识解决生活中的问题。
2.要求学生撰写解题思路和心得体会，培养学生的数学写作能力。
3.鼓励学生进行自我检查和小组互评，提高学生的自我认知和反思能力。
4.教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供参考。
五、案例亮点
1.情境创设贴近生活：本案例背景以现实生活中的实际问题为导入，创设了与学生生活密切相关的教学情境，如购物折扣、企业经营等，使学生在解决问题的过程中，能够更好地理解和运用一元二次方程的知识。这种情境创设的方式，不仅激发了学生的学习兴趣，还增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，增强学生自信心。
3.培养学生严谨治学的态度，提高学生对数学知识的敬畏之心。
4.培养学生关爱他人、合作共赢的精神，学会与人沟通交流。
5.培养学生关注生活、学以致用的意识，认识到数学在生活中的重要性。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.掌握一元二次方程的基本概念，了解一元二次方程的解法及其应用。
2.能够运用一元二次方程解决实际问题，如利润问题、表格问题和动点问题。
3.理解实际问题与一元二次方程之间的联系，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
D
P
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，
点P和点Q的距离是10cm？
Q
B
C
4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm， BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始 向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时 出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）. 那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？
有关“动点”的运动问题
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理等； 由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
想一想
n 1. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每
（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在， 求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C同时 出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到点B为止,
点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡
2
整理，得 x26x80
解这个方程，得 x1 2,x2 4
Q
Q0x6所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于8cm2
A
B
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC 的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘 米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0 解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
CQ
A
R
P
B
练习1： 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度 沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ的面积等于
40 x1 40 10 50;40 x2 40 40 80.
600 10 x1 600 100 500;600 10 x2 600 400 200.
答 : 每个台灯的定价应为50元或80元,
进货量相应为5000个或 200个.
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
450cm2?
B
Q
C
P
A
练习2:在直角三角形ABC
中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以 Ｄ 2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D
做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别
在AC,BC上,问：点D出发几Ｆ秒后四边形
DFCE的面积为20cm2？
调研表明:当销售价为每上涨1
元时,其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均
每月达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时
应进台灯多少个?
解
:
设每个 (40 x
台灯涨价 30)(600
x元, 10
根 x据) 题1意00,0得0.
整理得
:
x2
50
x
400
1
0.
解这个方程,得 x1 10, x2 40.
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大， 最大面积是多少？
2．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制 作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小 正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB=_______cm，宽BC=__________cm （用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容 积．
C
Q
AP
B
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从 点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q 从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如 果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的 面积等于8cm2 ？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
1
D
C
根据题意，得 2x(6x) 8
D
C
Q
A
P
B
5．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5，点 Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从 点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后， △PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明 理由．