一元二次方程与动点及答案
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
一元二次方程与动点相结合的应用题
一元二次方程与动点相结合的应用题1. 一元二次方程的基础1.1 什么是它？首先，一元二次方程其实就是一个简单的数学公式，通常看起来像这样：( ax^2 + bx + c = 0 )。
听起来复杂，但别担心，简单几何图形就是它的代表，像一座优雅的抛物线。
你想象一下，抛物线就像你在公园滑滑梯，越滑越快，越滑越高，哈哈。
1.2 现实生活中的应用那么，这个方程有什么用呢？其实，它在我们的生活中无处不在。
比如说，建筑师在设计桥梁时，得考虑到材料的强度和形状，常常用到这种方程。
而且，当你打篮球时，投篮的轨迹也可以用它来描述。
是不是觉得这些数学知识跟你生活中的每一秒都有关系？2. 动点的神奇之旅2.1 动点是什么？接下来，让我们聊聊动点。
动点就像公园里那只自由自在的小鸟，随心所欲地在空中飞翔。
动点在数学中，通常指的是在某个规律下运动的点，位置会随着时间变化。
比如说，一个小球从高处掉下，位置就是不断变化的。
2.2 动点与一元二次方程的结合想象一下，小球从高处掉下，它的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
这个时候，你就能感受到数学的魅力了！当小球落地的瞬间，那一刹那就像是电影中的慢动作，让人无比期待。
你会发现，动点和一元二次方程就像是亲密无间的小伙伴，互相依赖，缺一不可。
3. 实际案例3.1 小朋友的投篮让我们来个实例。
想象一个小朋友正在公园里投篮，他抬起手，球在空中划出一个优美的弧线。
这个弧线的形状，正好可以用一元二次方程来描绘。
小朋友投篮时，势头和角度决定了球的飞行轨迹，而这一切都能用方程来算出来，真是太神奇了！3.2 从方程到答案假设小朋友投篮的方程是 ( y = x^2 + 4x )，这时候，我们可以通过解这个方程来知道，球在最高点时的高度有多高。
然后，利用这个高度，我们就可以知道这个小球是否能进篮筐。
就像在做一道美味的菜，得先调好配方，才能品尝到美味。
最后，结合一元二次方程与动点的故事，我们可以看到，数学不再是枯燥无味的，而是充满了生活的乐趣和探索的意义。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
完整版)一元二次方程解决动点问题
完整版)一元二次方程解决动点问题研究目标】1.回顾几何图形中动点的行走路程；2.理解等量关系；3.掌握列出关于动点的一元二次方程；4.灵活选用适当的方法解一元二次方程；5.合理舍掉其中一个根。
重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程。
导学流程】一）了解感知：一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
完成课本56页C组1题。
二）深入研究：1.在等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²？2.在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
三）迁移运用：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）1)经过几秒后，PQ的长度等于5？DC2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？3)经过几秒后，DP=DQ？XXX学生课堂导学提纲编号：SXTG-025使用时间：2014-9-21编制人：XXX一、知识点梳理本节课我们将研究三角函数的相关概念和性质，包括正弦、余弦、正切等基本概念，以及它们的定义和性质。
二、课堂讲解1.三角函数的定义三角函数是一类最基本的函数，它们的定义涉及到三角形的角度和边长。
一元二次方程应用题(动点问题)
一元二次方程的概述
一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，表达式形式为ax²+bx+c=0。它是数学中常见的方程类型，具有 重要的应用价值。
寻找问题的关键变量和已知条件
在解决动点问题时，我们需要仔细分析问题，确定关键变量和已知条件。这样可以帮助我们建立一元二次方程， 进而求解问题。
如何列出动点问题的一元二次方程
一元二次方程应用题(动 点问题)
在这个演示我们将介绍 问题的定义和一元二次方程的基本概念，以及如何寻找关键变量并列出方程。 通过实际案例分析，帮助您掌握解决这类问题的技巧。
动点问题的介绍与定义
动点问题是指根据物体的运动轨迹及已知条件，找出该物体的位置或状态。它常常涉及时间、距离、速度等变 量。
在列出方程时，我们通常需要根据关键变量和已知条件进行代入。通过代入求解，我们可以得到方程的解，从 而解决动点问题。
解方程并求出问题的答案
解一元二次方程通常会涉及到配方法、因式分解、求根公式等解法。通过运用这些方法，我们可以计算出问题 的答案，并得出具体的结论。
实际应用案例分析
通过实际应用案例的分析，我们将展示动点问题在现实生活中的应用场景。这些案例将帮助您更好地理解和掌 握一元二次方程在动点问题中的应用。
总结和应用技巧
在这个部分，我们将对整个演示进行总结，并提供一些应用技巧，帮助您在解决动点问题时更加高效和准确。
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
(完整版)一元二次方程与动点及答案
1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2A3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q PBDAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；的函数关系式．（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t8.2012•重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm，QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．9.（2012•市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s 的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合．时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN 的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD= 2 ，DQ= 4 ，此时CD+DQ = CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为的值；若不存在，请说明理由．顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情．况）（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t 1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t 1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q=1l th i n gs in th ei r be i ng ar e g o o d f o rs o 2×（6-y ）×2y=12，即y 2-6y+12=0，因为△=b 2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ 的面积不会等于12cm 2，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．4.相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．几何动点问题．（1）设x 秒时．由三角形的面积公式列出关于x 的方程，（6﹣x ）•2x=8，通过解方程求得x 1=2，x 2=4；（2）过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，构建相似三角形△CQD ∽△CAB ，由该相似三角形的对应边成比例得到，即QD=；然后由三角形的面积公式列出关于x 的方程（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．解：（1）设x 秒时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 面积为8cm 2，由题意得（6﹣x ）•2x=8，解之，得x 1=2，x 2=4，经过2秒时，点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；或经4秒，点P 到距离B 点2cm 处，点Q 到距离B 点8cm 处，△PBQ 的面积为8cm 2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ 的面积为8cm 2；（2）当P 在AB 上时，经x 秒，△PCQ 的面积为：×PB ×CQ=×（6﹣x ）（8﹣2x ）=12.6，解得：x 1=（不合题意舍去），x 2=，经x 秒，点P 移动到BC 上，且有CP=（14﹣x ）cm ，点Q 移动到CA 上，且使CQ=（2x ﹣8）cm ，过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，由△CQD ∽△CAB 得，即 QD=，由题意得（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．经7秒，点P 在BC 上距离C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．经11秒，点P 在BC 上距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处，14＞10，点Q 已超出CA 的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ 的面积等于12.6cm 2．hingsintheirbeingaregoodforso 5.解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，∵PH2+HQ2=PQ2可得：（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过 1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．6.答案略分析：7.（1）当t=3时，CQ=3，过P作PE⊥QR于E，易求得PE的长和△QPE的面积，设PQ交CD于G，由于CG∥PE，可证得△CQG∽△EQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值．（2）当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．（3）当5≤t≤8时，AB与PQ相交，RP与CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值．解答：解：（1）作PE⊥QR，E为垂足．∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4，在Rt△PEQ中∴PE==3；（1分）当t=3时，QC=3，设PQ与DC交于点G．∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP．（2分）∴，∵S△QEP=×4×3=6，∴S=×6=（cm2）．（3分）（2）当t=5时，CR=3．i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s 设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG=，所以，S △RCG =×3×=（cm 2），（5分）S=12﹣=（cm 2）．（6分）（3）当5≤t ≤8时，QB=t ﹣5，RC=8﹣t ，设PQ 交AB 于点H ，由△QBH ∽△QEP ，EQ=4，∴BQ ：EQ=（t ﹣5）：4，∴S △BQH ：S △PEQ =（t ﹣5）2：42，又S △PEQ =6，∴S △QBH =（t ﹣5）2（7分）由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG =（8﹣t ）2（8分）∴S=12﹣（t ﹣5）2﹣（8﹣t ）2．即S=﹣（9分）当t=﹣=时，S 最大，S 的最大值==（cm 2）．（10分）a r e g o o d f o r s o 考8.点：相似形综合题．分析：（1）由正方形的性质可以得出DC ∥AB ，就有∠CDR=∠ARD ，在Rt △PQR 中，由PQ=6cm ，QR=12cm 有tan ∠ARD=，就可以得出MC ，再根据勾股定理就可以求出PM 的值；（2）分情况求出当当0＜t ≤6时，当6＜t ≤12时，12＜t ≤18时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S 的解析式；（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．解答：解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=BC ，CD ∥AB ，∠C=90°，∴∠CDR=∠ARD ，∵PQ=6cm ，QR=12cm ，∴tan ∠ARD=，∴tan ∠CDR==，∵CD=6，∴CM=3，在Rt △CPM 中，由勾股定理，得PM==3．（2）如图1，当0＜t ≤6时，∵QB=t ，QR=12，∴BR=12﹣t ，∴BM=6﹣0.5t ，∴S=，∴S=﹣t 2+6t ，如图2，当6＜t ≤12时，∵AR=12﹣t+6=18﹣t ，BR=12﹣t ，∴SA=9﹣0.5t ，MB=6﹣0.5t∴S=，=3t+45，dAl l th i n gs i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o 如图3，12＜t ≤18时，AR=6﹣（t ﹣12）=18﹣t ，AS=9﹣0.5t ，∴S=，=t 2﹣9t+81；（3）当6＜t ≤12时，由图象得：QN 2=AQ 2+AN 2=（t ﹣6）2+（9﹣0.5t ）2=t 2﹣21t+117，NR 2=AN 2+AR 2=（9﹣0.5t ）2+（18﹣t ）2=t 2﹣45t+405RQ 2=144①如图4，当QR 2=NR 2时，t 2﹣45t+405=144，解得：t 1=18+t ＞12（舍去），t 2=18﹣；②如图5，当QN 2=QR 2时，t 2﹣21t+117=144，解得：t 1=﹣1.2（舍去），t 2=18（舍去），③如图6，当QN 2=RN 2时，t 2﹣21t+117=t 2﹣45t+405，解得：t=12，12＜t ≤18与6＜t ≤12时一致，而t=18时△NQR 不存在，∴t=12或t=18﹣．andAllthingsintheirbeingaregoodforso9.（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=d A l l t h i n g s i n t he i r b e i n g a r e g o o df o r s o ∴t=时，四边形PMBN 为平行四边形．10.分析：（1）当x=2时，延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，就有EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，就可以求出CH=6﹣2x ，再根据勾股定理就可以求出CD 、DQ 及CQ 的值；（2）由图形观察可以得出S △CDQ =S △CBQ ﹣S △CHD ﹣S 梯形HBQD ，只要根据条件分别表示出=S △CBQ 、S △CHD 、S 梯形HBQD 的面积即可；（3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，解直角三角形CHD ；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形ADH ；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形DCK 和直角三角形DHA ；如图9，当CD=AC 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，解直角三角形DKC ；如图10，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点，解直角三角形DHA ．结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x 的值即可．解答：解：（1）延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，∴EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，∵x=2，BC=6，DE=4，∴EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，∴CH=2．在Rt △CHD 、Rt △DKQ 、Rt △CBQ 中，由勾股定理得：CD=2，DQ=4，CQ=6．∴CD+DQ=6，∴CD+DQ=CQ ．故答案为：2，4，=；（2）当0≤x ≤2时，如图2，∵EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，CH=6﹣2x ，∴S △CDQ =，=﹣x 2﹣4x+12当2＜x ≤3时，如图5，作CH ⊥DG 于H ，DK ⊥BC 于K ，l th i n g s in th ei r be i n g a r e g o o df o r s o ∴EQ=BK=2x ，CK=HD=6﹣2x ，BQ=4+x ，CH=x ，∴S △CDQ =CK •KD+KB •BQ ﹣﹣﹣，=（6﹣2x ）x+2x （4+x ）﹣﹣﹣，=x 2+4x ﹣12；当3＜x ≤4时，如图3，作DH ⊥BC 的延长线于H ，∴EQ=HB=2x ，HD=x ，BQ=4+x ，CH=2x ﹣6，∴S △CDQ =HB •QB ﹣﹣﹣，=2x （4+x ）﹣﹣﹣，=8x+2x 2﹣x 2+3x ﹣4x ﹣12﹣3x ，=x 2+4x ﹣12．∴S=，（3）∵纸片DEFG 沿RS 方向平移，∴4≤x ≤24．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣6﹣4=2，CH=（x+4）﹣（2x ﹣4）=8﹣x ，∵AB=8，BC=6，∴AC==10在Rt △CHD 中，由勾股定理，得（8﹣x ）2+22=100，解得：x 1=8+4，x 2=8﹣4＜4（舍去）；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣4=8，AH=（x+4+8）﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，在Rt △ADH 中，由勾股定理，得（16﹣x ）2+82=100，i n g s i n t h e i r b e i n g 解得：x 1=22，x 2=10；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DK=2x ﹣4﹣（x+4）=x ﹣8，KC=12﹣4﹣6=2，AH=x+4+8﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，DH=12﹣4=8．∴（x ﹣8）2+4=（16﹣x ）2+64，∴x=15；综上所述：纸片DEFG 沿RS 方向平移，当x 的值为：22，10，15，8+4时，以A 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．andAllthingsintheirbeingaregoodfo 11.irbeingaregoodforso 分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，n dAl l th i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o ∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB ∴13t=13，解得：t=1当1＜t ≤时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．∴t=．当＜t ≤时，如图⑤．∵S △ABR =S △QBR ，∴S △ABR ＜S 四边形BQPR ．∴BR 不能把四边形ABQP 分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间时，C ′D ′在BC 上方且C ′D ′∥BC 时，∴∠C ′OQ=∠OQC ．∵△C ′OQ ≌△COQ ，∴∠C ′OQ=∠COQ ，∴∠CQO=∠COQ ，∴QC=OC ，∴50﹣5t=50﹣8（t ﹣1）+13，或50﹣5t=8（t ﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间，C ′D ′在BC 下方且C ′D ′∥BC 时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD ，∴50﹣5t+13=8（t ﹣1）﹣50，解得：t=．n dAl l th i n gs in th ei r be i ng ar eg oo df or s o∴当t=7，t=，t=时，点C 、D 关于直线PQ 的对称点分别为C ′、D ′，且C ′D ′∥BC ．beingaregoodforso 分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴，∴FG==3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC∴OP∥AC∴x==×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴∴AH=（x+5），FH=（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=EG=2cm∵FP=3﹣x∴S 四边形OAHP =S △AFH ﹣S △OFP =•AH •FH ﹣•OD •FP=•（x+5）•（x+5）﹣×2×（3﹣x ）=x 2+x+3（0＜x ＜3）．（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24则S 四边形OAHP =×S △ABC ∴x 2+x+3=××6×8∴6x 2+85x ﹣250=0解得x 1=，x 2=﹣（舍去）∵0＜x ＜3∴当x=（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24．。
一元二次方程应用题动点问题
一元二次方程应用题动点问题1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一元二次方程。
听到这个名词，有人可能会皱起眉头，觉得这是个高深莫测的数学问题，其实它就像个大闸蟹，外表坚硬，里面却是满满的美味。
动点问题听起来也有点复杂，但实际上，它们和我们生活中的许多事都息息相关。
比如说，咱们的运动、追逐梦想，甚至是追公交车的那一瞬间，都是动态变化的过程，不是吗？今天，就让我们轻松地探索一下这些动点问题，用一元二次方程来解锁它们的秘密。
2. 一元二次方程的基本概念2.1 方程的定义说到一元二次方程，咱们得先搞清楚这是什么玩意儿。
一元二次方程的标准形式是这样的：( ax^2 + bx + c = 0 )。
看上去是不是很高大上？其实，a、b、c 就是一些常数，而 x 就是我们要找的未知数。
简单来说，它就像是在说：“嘿，x 你在哪儿呢？”每个数都有自己的故事，就像我们每个人都有自己的烦恼和喜好。
2.2 动点的概念那么，动点又是什么呢？想象一下你在公园里散步，突然发现一只小狗在草地上追蝴蝶。
这个小狗就是动点，它的位置会随着时间不断变化。
用数学的语言来说，动点就是指在某个时间段内，位置随着变化而不断更新的点。
就像我，今天心情好，走路像个小精灵，明天心情差，走路就像个拖着沉重行李的人，这就是动态变化的魅力。
3. 应用实例3.1 追逐游戏让我们通过一个有趣的例子来说明吧。
想象一下，有两个小朋友在操场上玩追逐游戏。
小明的速度是每秒3米，而小红则快了点，能达到每秒5米。
小明从某个点出发，而小红则在距离小明10米的地方开始追。
我们要想知道小红什么时候能追上小明，就得用一元二次方程来帮忙。
假设小明的起始位置是0米，那么他在t秒后的位置就是 ( 3t ) 米；小红的起始位置是10米，她在t秒后的位置是 ( 10 + 5t ) 米。
要想知道小红什么时候追上小明，就得解方程：3t = 10 + 5t经过简单的变形，我们可以得到：2t = 10从而得出 ( t = 5 ) 秒。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。
一元二次方程的应用(动点问题)
二次函数
一元二次方程的图像是抛物线，其性质和特征对于
顶点和轴对称
抛物线的顶点是二次函数的最值点，而抛物线关于
什么是动点问题
动点问题涉及物体、车辆、人员等在空间或时间中的运动，通过建立一元二次方程描绘其变化规律。
1 运动轨迹
描述物体或人员在空间中的路径或轨迹，了 解运动方式和特点。
2 运动速度
计算物体或人员在不同时间点的速度，以推 断其行进过程。
例一：物体自由落体问题
考虑一个物体自由落体的场景，建立一元二次方程解决高度、时间和速度等相关问题。
下落距离
计算物体自由落体所经历的高度以及特定时间点的 下落距离。
速度计算
根据物体自由落体的加速度和时间，计算物体的速 度。
达到特定时间
通过一元二次方程，求解物体自由落体到达特定时
抛物线轨迹
分析抛物线运动的特点，找出物体的最高点和最远
物体自由落体问题
计算自由落体物体的高度、速度等参数，并确 定其运动轨迹。
两车相遇问题
研究两辆车从不同地点同时出发，相向而行的 问题，求出两车相遇的时间和位置。
跳伞问题
求解跳伞过程中的空中时间、速度、高度等数 据，为安全跳伞提供参考。
炮弹射击问题
通过炮弹的射程、发射角度等参数，计算击中 目标所需的条件与策略。
一元二次方程的应用(动 点问题)
一元二次方程的应用(动点问题) PPT大纲
一元二次方程的定义和基本形式
介绍一元二次方程的定义、基本形式和一些基础概念，帮助理解和解决动点问题。
方程的定义
一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、 c都是实数，a≠0。
基本形式
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、 c是已知实数，且a≠0。
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1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．P C A B Q ↑3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q P B DAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式．QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）．（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD=2，DQ=4，此时CD+DQ=CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的值；若不存在，请说明理由．11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B 出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A 运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ 的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A 与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q= 12×（6-y）×2y=12，即y2-6y+12=0，因为△=b2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ABC的面积．的方程，（应边成比例得到；的方程（=12.6由题意得的面积为：（不合题意舍去）得，由题意得•秒和解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．=3∴×6=，××=（﹣（==﹣（（时，= ARD=，就可以得出ARD=，CDR==，=3，t，，ttt=18+t．∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=∴t=时，四边形PMBN为平行四边形．，，．，，=﹣﹣）﹣﹣，﹣﹣，﹣﹣，，，4；158+4时，根据三角形的面积公式分别求出＜时，当＜＜t=，=．时，如图②=t=．时，如图④t=＜≤时，线段．t=．t=，时，∴=∴（FH=EG=2cm•••（×x∴+x+3=×=（舍去）（。