一元二次方程与动点及答案
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
一元二次方程与动点相结合的应用题
一元二次方程与动点相结合的应用题1. 一元二次方程的基础1.1 什么是它？首先，一元二次方程其实就是一个简单的数学公式，通常看起来像这样：( ax^2 + bx + c = 0 )。
听起来复杂，但别担心，简单几何图形就是它的代表，像一座优雅的抛物线。
你想象一下，抛物线就像你在公园滑滑梯，越滑越快，越滑越高，哈哈。
1.2 现实生活中的应用那么，这个方程有什么用呢？其实，它在我们的生活中无处不在。
比如说，建筑师在设计桥梁时，得考虑到材料的强度和形状，常常用到这种方程。
而且，当你打篮球时，投篮的轨迹也可以用它来描述。
是不是觉得这些数学知识跟你生活中的每一秒都有关系？2. 动点的神奇之旅2.1 动点是什么？接下来，让我们聊聊动点。
动点就像公园里那只自由自在的小鸟，随心所欲地在空中飞翔。
动点在数学中，通常指的是在某个规律下运动的点，位置会随着时间变化。
比如说，一个小球从高处掉下，位置就是不断变化的。
2.2 动点与一元二次方程的结合想象一下，小球从高处掉下，它的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
这个时候，你就能感受到数学的魅力了！当小球落地的瞬间，那一刹那就像是电影中的慢动作，让人无比期待。
你会发现，动点和一元二次方程就像是亲密无间的小伙伴，互相依赖，缺一不可。
3. 实际案例3.1 小朋友的投篮让我们来个实例。
想象一个小朋友正在公园里投篮，他抬起手，球在空中划出一个优美的弧线。
这个弧线的形状，正好可以用一元二次方程来描绘。
小朋友投篮时，势头和角度决定了球的飞行轨迹，而这一切都能用方程来算出来，真是太神奇了！3.2 从方程到答案假设小朋友投篮的方程是 ( y = x^2 + 4x )，这时候，我们可以通过解这个方程来知道，球在最高点时的高度有多高。
然后，利用这个高度，我们就可以知道这个小球是否能进篮筐。
就像在做一道美味的菜，得先调好配方，才能品尝到美味。
最后，结合一元二次方程与动点的故事，我们可以看到，数学不再是枯燥无味的，而是充满了生活的乐趣和探索的意义。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
完整版)一元二次方程解决动点问题
完整版)一元二次方程解决动点问题研究目标】1.回顾几何图形中动点的行走路程；2.理解等量关系；3.掌握列出关于动点的一元二次方程；4.灵活选用适当的方法解一元二次方程；5.合理舍掉其中一个根。
重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程。
导学流程】一）了解感知：一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
完成课本56页C组1题。
二）深入研究：1.在等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²？2.在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
三）迁移运用：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）1)经过几秒后，PQ的长度等于5？DC2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？3)经过几秒后，DP=DQ？XXX学生课堂导学提纲编号：SXTG-025使用时间：2014-9-21编制人：XXX一、知识点梳理本节课我们将研究三角函数的相关概念和性质，包括正弦、余弦、正切等基本概念，以及它们的定义和性质。
二、课堂讲解1.三角函数的定义三角函数是一类最基本的函数，它们的定义涉及到三角形的角度和边长。
一元二次方程应用题(动点问题)
一元二次方程的概述
一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，表达式形式为ax²+bx+c=0。它是数学中常见的方程类型，具有 重要的应用价值。
寻找问题的关键变量和已知条件
在解决动点问题时，我们需要仔细分析问题，确定关键变量和已知条件。这样可以帮助我们建立一元二次方程， 进而求解问题。
如何列出动点问题的一元二次方程
一元二次方程应用题(动 点问题)
在这个演示我们将介绍 问题的定义和一元二次方程的基本概念，以及如何寻找关键变量并列出方程。 通过实际案例分析，帮助您掌握解决这类问题的技巧。
动点问题的介绍与定义
动点问题是指根据物体的运动轨迹及已知条件，找出该物体的位置或状态。它常常涉及时间、距离、速度等变 量。
在列出方程时，我们通常需要根据关键变量和已知条件进行代入。通过代入求解，我们可以得到方程的解，从 而解决动点问题。
解方程并求出问题的答案
解一元二次方程通常会涉及到配方法、因式分解、求根公式等解法。通过运用这些方法，我们可以计算出问题 的答案，并得出具体的结论。
实际应用案例分析
通过实际应用案例的分析，我们将展示动点问题在现实生活中的应用场景。这些案例将帮助您更好地理解和掌 握一元二次方程在动点问题中的应用。
总结和应用技巧
在这个部分，我们将对整个演示进行总结，并提供一些应用技巧，帮助您在解决动点问题时更加高效和准确。
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
(完整版)一元二次方程与动点及答案
1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2A3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q PBDAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；的函数关系式．（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t8.2012•重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm，QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．9.（2012•市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s 的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合．时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN 的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD= 2 ，DQ= 4 ，此时CD+DQ = CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为的值；若不存在，请说明理由．顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情．况）（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t 1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t 1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q=1l th i n gs in th ei r be i ng ar e g o o d f o rs o 2×（6-y ）×2y=12，即y 2-6y+12=0，因为△=b 2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ 的面积不会等于12cm 2，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．4.相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．几何动点问题．（1）设x 秒时．由三角形的面积公式列出关于x 的方程，（6﹣x ）•2x=8，通过解方程求得x 1=2，x 2=4；（2）过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，构建相似三角形△CQD ∽△CAB ，由该相似三角形的对应边成比例得到，即QD=；然后由三角形的面积公式列出关于x 的方程（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．解：（1）设x 秒时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 面积为8cm 2，由题意得（6﹣x ）•2x=8，解之，得x 1=2，x 2=4，经过2秒时，点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；或经4秒，点P 到距离B 点2cm 处，点Q 到距离B 点8cm 处，△PBQ 的面积为8cm 2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ 的面积为8cm 2；（2）当P 在AB 上时，经x 秒，△PCQ 的面积为：×PB ×CQ=×（6﹣x ）（8﹣2x ）=12.6，解得：x 1=（不合题意舍去），x 2=，经x 秒，点P 移动到BC 上，且有CP=（14﹣x ）cm ，点Q 移动到CA 上，且使CQ=（2x ﹣8）cm ，过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，由△CQD ∽△CAB 得，即 QD=，由题意得（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．经7秒，点P 在BC 上距离C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．经11秒，点P 在BC 上距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处，14＞10，点Q 已超出CA 的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ 的面积等于12.6cm 2．hingsintheirbeingaregoodforso 5.解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，∵PH2+HQ2=PQ2可得：（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过 1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．6.答案略分析：7.（1）当t=3时，CQ=3，过P作PE⊥QR于E，易求得PE的长和△QPE的面积，设PQ交CD于G，由于CG∥PE，可证得△CQG∽△EQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值．（2）当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．（3）当5≤t≤8时，AB与PQ相交，RP与CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值．解答：解：（1）作PE⊥QR，E为垂足．∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4，在Rt△PEQ中∴PE==3；（1分）当t=3时，QC=3，设PQ与DC交于点G．∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP．（2分）∴，∵S△QEP=×4×3=6，∴S=×6=（cm2）．（3分）（2）当t=5时，CR=3．i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s 设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG=，所以，S △RCG =×3×=（cm 2），（5分）S=12﹣=（cm 2）．（6分）（3）当5≤t ≤8时，QB=t ﹣5，RC=8﹣t ，设PQ 交AB 于点H ，由△QBH ∽△QEP ，EQ=4，∴BQ ：EQ=（t ﹣5）：4，∴S △BQH ：S △PEQ =（t ﹣5）2：42，又S △PEQ =6，∴S △QBH =（t ﹣5）2（7分）由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG =（8﹣t ）2（8分）∴S=12﹣（t ﹣5）2﹣（8﹣t ）2．即S=﹣（9分）当t=﹣=时，S 最大，S 的最大值==（cm 2）．（10分）a r e g o o d f o r s o 考8.点：相似形综合题．分析：（1）由正方形的性质可以得出DC ∥AB ，就有∠CDR=∠ARD ，在Rt △PQR 中，由PQ=6cm ，QR=12cm 有tan ∠ARD=，就可以得出MC ，再根据勾股定理就可以求出PM 的值；（2）分情况求出当当0＜t ≤6时，当6＜t ≤12时，12＜t ≤18时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S 的解析式；（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．解答：解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=BC ，CD ∥AB ，∠C=90°，∴∠CDR=∠ARD ，∵PQ=6cm ，QR=12cm ，∴tan ∠ARD=，∴tan ∠CDR==，∵CD=6，∴CM=3，在Rt △CPM 中，由勾股定理，得PM==3．（2）如图1，当0＜t ≤6时，∵QB=t ，QR=12，∴BR=12﹣t ，∴BM=6﹣0.5t ，∴S=，∴S=﹣t 2+6t ，如图2，当6＜t ≤12时，∵AR=12﹣t+6=18﹣t ，BR=12﹣t ，∴SA=9﹣0.5t ，MB=6﹣0.5t∴S=，=3t+45，dAl l th i n gs i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o 如图3，12＜t ≤18时，AR=6﹣（t ﹣12）=18﹣t ，AS=9﹣0.5t ，∴S=，=t 2﹣9t+81；（3）当6＜t ≤12时，由图象得：QN 2=AQ 2+AN 2=（t ﹣6）2+（9﹣0.5t ）2=t 2﹣21t+117，NR 2=AN 2+AR 2=（9﹣0.5t ）2+（18﹣t ）2=t 2﹣45t+405RQ 2=144①如图4，当QR 2=NR 2时，t 2﹣45t+405=144，解得：t 1=18+t ＞12（舍去），t 2=18﹣；②如图5，当QN 2=QR 2时，t 2﹣21t+117=144，解得：t 1=﹣1.2（舍去），t 2=18（舍去），③如图6，当QN 2=RN 2时，t 2﹣21t+117=t 2﹣45t+405，解得：t=12，12＜t ≤18与6＜t ≤12时一致，而t=18时△NQR 不存在，∴t=12或t=18﹣．andAllthingsintheirbeingaregoodforso9.（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=d A l l t h i n g s i n t he i r b e i n g a r e g o o df o r s o ∴t=时，四边形PMBN 为平行四边形．10.分析：（1）当x=2时，延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，就有EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，就可以求出CH=6﹣2x ，再根据勾股定理就可以求出CD 、DQ 及CQ 的值；（2）由图形观察可以得出S △CDQ =S △CBQ ﹣S △CHD ﹣S 梯形HBQD ，只要根据条件分别表示出=S △CBQ 、S △CHD 、S 梯形HBQD 的面积即可；（3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，解直角三角形CHD ；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形ADH ；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形DCK 和直角三角形DHA ；如图9，当CD=AC 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，解直角三角形DKC ；如图10，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点，解直角三角形DHA ．结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x 的值即可．解答：解：（1）延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，∴EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，∵x=2，BC=6，DE=4，∴EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，∴CH=2．在Rt △CHD 、Rt △DKQ 、Rt △CBQ 中，由勾股定理得：CD=2，DQ=4，CQ=6．∴CD+DQ=6，∴CD+DQ=CQ ．故答案为：2，4，=；（2）当0≤x ≤2时，如图2，∵EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，CH=6﹣2x ，∴S △CDQ =，=﹣x 2﹣4x+12当2＜x ≤3时，如图5，作CH ⊥DG 于H ，DK ⊥BC 于K ，l th i n g s in th ei r be i n g a r e g o o df o r s o ∴EQ=BK=2x ，CK=HD=6﹣2x ，BQ=4+x ，CH=x ，∴S △CDQ =CK •KD+KB •BQ ﹣﹣﹣，=（6﹣2x ）x+2x （4+x ）﹣﹣﹣，=x 2+4x ﹣12；当3＜x ≤4时，如图3，作DH ⊥BC 的延长线于H ，∴EQ=HB=2x ，HD=x ，BQ=4+x ，CH=2x ﹣6，∴S △CDQ =HB •QB ﹣﹣﹣，=2x （4+x ）﹣﹣﹣，=8x+2x 2﹣x 2+3x ﹣4x ﹣12﹣3x ，=x 2+4x ﹣12．∴S=，（3）∵纸片DEFG 沿RS 方向平移，∴4≤x ≤24．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣6﹣4=2，CH=（x+4）﹣（2x ﹣4）=8﹣x ，∵AB=8，BC=6，∴AC==10在Rt △CHD 中，由勾股定理，得（8﹣x ）2+22=100，解得：x 1=8+4，x 2=8﹣4＜4（舍去）；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣4=8，AH=（x+4+8）﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，在Rt △ADH 中，由勾股定理，得（16﹣x ）2+82=100，i n g s i n t h e i r b e i n g 解得：x 1=22，x 2=10；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DK=2x ﹣4﹣（x+4）=x ﹣8，KC=12﹣4﹣6=2，AH=x+4+8﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，DH=12﹣4=8．∴（x ﹣8）2+4=（16﹣x ）2+64，∴x=15；综上所述：纸片DEFG 沿RS 方向平移，当x 的值为：22，10，15，8+4时，以A 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．andAllthingsintheirbeingaregoodfo 11.irbeingaregoodforso 分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，n dAl l th i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o ∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB ∴13t=13，解得：t=1当1＜t ≤时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．∴t=．当＜t ≤时，如图⑤．∵S △ABR =S △QBR ，∴S △ABR ＜S 四边形BQPR ．∴BR 不能把四边形ABQP 分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间时，C ′D ′在BC 上方且C ′D ′∥BC 时，∴∠C ′OQ=∠OQC ．∵△C ′OQ ≌△COQ ，∴∠C ′OQ=∠COQ ，∴∠CQO=∠COQ ，∴QC=OC ，∴50﹣5t=50﹣8（t ﹣1）+13，或50﹣5t=8（t ﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间，C ′D ′在BC 下方且C ′D ′∥BC 时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD ，∴50﹣5t+13=8（t ﹣1）﹣50，解得：t=．n dAl l th i n gs in th ei r be i ng ar eg oo df or s o∴当t=7，t=，t=时，点C 、D 关于直线PQ 的对称点分别为C ′、D ′，且C ′D ′∥BC ．beingaregoodforso 分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴，∴FG==3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC∴OP∥AC∴x==×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴∴AH=（x+5），FH=（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=EG=2cm∵FP=3﹣x∴S 四边形OAHP =S △AFH ﹣S △OFP =•AH •FH ﹣•OD •FP=•（x+5）•（x+5）﹣×2×（3﹣x ）=x 2+x+3（0＜x ＜3）．（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24则S 四边形OAHP =×S △ABC ∴x 2+x+3=××6×8∴6x 2+85x ﹣250=0解得x 1=，x 2=﹣（舍去）∵0＜x ＜3∴当x=（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24．。
一元二次方程应用题动点问题
一元二次方程应用题动点问题1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一元二次方程。
听到这个名词，有人可能会皱起眉头，觉得这是个高深莫测的数学问题，其实它就像个大闸蟹，外表坚硬，里面却是满满的美味。
动点问题听起来也有点复杂，但实际上，它们和我们生活中的许多事都息息相关。
比如说，咱们的运动、追逐梦想，甚至是追公交车的那一瞬间，都是动态变化的过程，不是吗？今天，就让我们轻松地探索一下这些动点问题，用一元二次方程来解锁它们的秘密。
2. 一元二次方程的基本概念2.1 方程的定义说到一元二次方程，咱们得先搞清楚这是什么玩意儿。
一元二次方程的标准形式是这样的：( ax^2 + bx + c = 0 )。
看上去是不是很高大上？其实，a、b、c 就是一些常数，而 x 就是我们要找的未知数。
简单来说，它就像是在说：“嘿，x 你在哪儿呢？”每个数都有自己的故事，就像我们每个人都有自己的烦恼和喜好。
2.2 动点的概念那么，动点又是什么呢？想象一下你在公园里散步，突然发现一只小狗在草地上追蝴蝶。
这个小狗就是动点，它的位置会随着时间不断变化。
用数学的语言来说，动点就是指在某个时间段内，位置随着变化而不断更新的点。
就像我，今天心情好，走路像个小精灵，明天心情差，走路就像个拖着沉重行李的人，这就是动态变化的魅力。
3. 应用实例3.1 追逐游戏让我们通过一个有趣的例子来说明吧。
想象一下，有两个小朋友在操场上玩追逐游戏。
小明的速度是每秒3米，而小红则快了点，能达到每秒5米。
小明从某个点出发，而小红则在距离小明10米的地方开始追。
我们要想知道小红什么时候能追上小明，就得用一元二次方程来帮忙。
假设小明的起始位置是0米，那么他在t秒后的位置就是 ( 3t ) 米；小红的起始位置是10米，她在t秒后的位置是 ( 10 + 5t ) 米。
要想知道小红什么时候追上小明，就得解方程：3t = 10 + 5t经过简单的变形，我们可以得到：2t = 10从而得出 ( t = 5 ) 秒。
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1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）；（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．P C A B Q ↑3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q P B DAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式．QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）．（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD=2，DQ=4，此时CD+DQ=CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ 的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x的值；若不存在，请说明理由．11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B 出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A 运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ 的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A 与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q= 12×（6-y）×2y=12，即y2-6y+12=0，因为△=b2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm2，则线段PQ不能平分△ABC的面积．的方程，（应边成比例得到；的方程（=12.6由题意得的面积为：（不合题意舍去）得，由题意得•秒和解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．=3∴×6=，××=（﹣（==﹣（（时，= ARD=，就可以得出ARD=，CDR==，=3，t，，ttt=18+t．∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=∴t=时，四边形PMBN为平行四边形．，，．，，=﹣﹣）﹣﹣，﹣﹣，﹣﹣，，，4；158+4时，根据三角形的面积公式分别求出＜时，当＜＜t=，=．时，如图②=t=．时，如图④t=＜≤时，线段．t=．t=，时，∴=∴（FH=EG=2cm•••（×x∴+x+3=×=（舍去）（。