一元二次方程应用题动点问题
九上数学1.3用一元二次方程解决问题(4)动点问题
D
C
Q
A
P
B
才艺展示
1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，
AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C
出发，点P以3cm/s的速度
A
D
向点B移动,一直到达B为止； P
E
点Q以2cm/s的速度向点D移动. Q
经过多长时间P、Q两点之间的 B
C
距离是10cm？
才艺展示
2.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，
点D从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向B点移
动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，
问：点D出发多少秒后，四边形DFCE的面积为
20cm2？
C
F
E
AD
B
拓展延伸
3.如图，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点 开始ＡＢ边向点Ｂ以1cm/s速度移动，点Ｑ从Ｂ点 开始沿ＢＣ边向点Ｃ以2cm/s的速度移动.如果P、Q 分别从A、B同时出发， (1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？ (2)P到B点后又继续在BC边上前进， Q到C点后又继续在CA边上前进. 经几秒钟S△PCQ=12.6cm²？
x(11 x) 30
整理得 x2 11x 30 0
解得 x1 5, x2 6
当 x1 5 时， 11 x 6;
当 x2 6 时， 11 x 5;
答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。
(2) 如果矩形的面积是32cm2,那么
x(11 x) 32
整理得 x2 11x 32 0
一元二次方程的应用（4）
情景创设 一根长为4m的绳子能否围成一个
面积是1m2的矩形？
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
一元二次方程动点问题讲解
· A
P
整理：x² -8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
C
Q
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例3：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的 直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米 时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x, ∴当L位于CD的右侧时,与 BC交于点Q AP=X,PB=3-X
C L
Q
p
· 由小学学习的比例计算PQ B A D 即：CD:DB=PQ:BQ ∴2:1=pQ:3-X ∴pQ=2(3-X) ∴(2≤x＜3) ∴S△PQB=½PB×PQ=½（3-x)×2（3-x)=（3-x)²
解：设AP=X，PB=8-X ∴S△ABC=32 S△APQ=½(X)² S△BPQ=½(8-X)² ∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ R
· A
P
∴16=32-½(8-X)² -½×(X)²
整理：x² -8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
C
Q
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
解：设离开A点x秒后， op=50-2x oq=3x ∴S△OPQ=½×(50-2X)×3X
∴450=½×(50-2X)×3X ∴X² -25X+150=0 解得：X₁=10;X₂=15
Q C
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一 只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂 蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样 的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积 P 0 为 450cm ² ? 解：当蚂蚁爬完OA这段距离用 · B A· 了25秒，再继续爬时； OQ=3X； OP=2X-50； ∴S△OPQ=½×(2X-50)×3X ∴450=½×(2X-50)×3X X² -25X-30=0 解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30 解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
2012-2013中考复习一元二次方程 动点问题
图
2-8
D 200
东
x
100 45º
E
?
F
C
若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰 的行程应为 2x 海里. 图上哪一部分对应的是军舰的行程?
解: 若设相遇时补给船的行程DE为x海里, 则相遇时军舰的行程应2x为海里,
即 DE x海里, AB BE 2 x海里 另外易证 ΔDFC 为等腰直角三角形
(2) 已知军舰的速度是补给 船的2倍,军舰在由B到C的途 中与补给船相遇于E处,那么 相遇时补给船航行了多少海 里?(结果精确到0.1海里,其 中 6 2.449 )
D
东
B
E
F
C
图
2-8
如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处 有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C. 小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上 且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C 匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直 线航行,欲将一批物品送达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里?
∵ DE<DB 即DE< 100 2
自学检测:(10分钟) 1.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm， BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时 出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移 动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中 一点到终点，另一点也随之停止。连结PQ。设动 点运动时间为x秒。 由题意可得：0≤t≤4S A （1）x为何值时△PBQ的面积等于 （3）是否存在x的值，使得四边 3cm2？ 形APQC的面积等于21cm2？若存在， （2）是否存在x的值，使得△PBQ的 P 请求出此时x的值；若不存在说 面积等于21cm2？若存在，请求出此时 明理由。 x的值；若不存在，请说明理由。 B Q C 变式：经过几秒，∆PBQ和∆ABC相似？ 变式：经过几秒，∆PBQ∽∆ABC相似？
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
一元二次方程的应用题型归类
一元二次方程的应用题型归类一、动点（面积）问题1、如图，在边长为12cm的等边△ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP=______ cm，BQ=______cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于10 3 cm22、已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．3、如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D。
设点P的横坐标为a；（1）当点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？（2）矩形OCPD的面积是否存在最大值，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
二、营销问题1、某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，若销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个，定价每减少1元，销售量将增加10个．商店若准备获利2000元，则定价为多少元？应进货多少个？2、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？3、东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？4、水果批发市场有一种高档水果,如果每千克盈利（毛利润）10元,每天可售出500千克．经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销量将减少20千克．（1）若以每千克能盈利18元的单价出售,问每天的总毛利润为多少元?（2）现市场要保证每天总毛利润6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元?（3）现需按毛利润的10%交纳各种税费,人工费每日按销售量每千克支出0．9元,水电房租费每日102元,若剩下的每天总纯利润要达到5100元,则每千克涨价应为多少?5、某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？6、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请你回答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
(完整版)一元二次方程解决动点问题
24.4 一元二次方程的应用(6)班级：姓名：小组：【学习目标】1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程；2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系；3. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程；4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程；5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根.【重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程.【导学流程】（一）了解感知：认真阅读下面一段话，然后完成练习1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
2. 完成课本56页C组1题(写在书上)（二）深入学习：分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解:1.等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²? 2.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
（三）迁移运用：用一元二次方程的相关知识解决下列问题：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）(1)经过几秒后，PQ的长度等于5？(2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？(3)经过几秒后，DP=DQ？QPD CBA。
一元二次方程动点问题讲解
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
C
当L位于CD的左侧时,与AC L
Q
交于点Q,则PQ=X
p
A·
∴S△APQ=½×x×x=½x²
DB
(0＜x≤2)
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
解：设x秒后，三角形的面积为8 D
C
则AP=Xcm PB=6-X
Q
BQ=2X 依题意列方程：½2x(6-x)=8
整理 得到 x2 6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
∵0≤x≤6
A· P
·B
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于8cm²
n--5
例3：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A
B
Q
C
P
A
练习2:在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D
从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点
ＤD做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC
上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为
20cm2？
Ｃ
F Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
·A
R
பைடு நூலகம்
P
∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
一元二次方程几何应用之动点问题专题复习 专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第03讲一元二次方程几何应用之动点问题专题复习1．（2019秋•沈北新区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．2．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．3．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6＝33，解方程可得解；（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6＝33，解之得x＝5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE＝AD＝6，PQ＝10，∵P A＝3t，CQ＝BE＝2t，∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62＝102，解得t1＝4.8，t2＝1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．4．（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【分析】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH＝BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．∴DH＝AB＝6cm．根据题意，得﹣×（12﹣2t）﹣×（24﹣4t）×6﹣×2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．5．（2021•越秀区校级一模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的Δ与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．6．（2021•红谷滩区校级模拟）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为cm？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【分析】（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，根据勾股定理列式求解即可；（2）设经过y秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由三角形的面积公式列式并求解即可；（3）分三种情况列方程求解即可：①点P在线段AB上，点Q在射线CB上；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上；点P在射线AB上，点Q在射线CB上．【解答】解：（1）设经过x秒，点P，Q之间的距离为cm，则AP＝x（cm），QB＝2x（cm），∵AB＝6cm，BC＝8cm∴PB＝（6﹣x）（cm），∵在△ABC中，∠B＝90°∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6化简得：5x2﹣12x+30＝0∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0∴点P，Q之间的距离不可能为cm．（2）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，由题意得：（6﹣x）•2x＝8解得：x1＝2，x2＝4检验发现x1，x2均符合题意∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2．（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上设经过m秒，0＜m≤4，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1∴m2﹣10m+23＝0解得；m1＝5+（舍），m2＝5﹣∴m＝5﹣符合题意；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上设经过n秒，4＜n≤6，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1∴n2﹣10n+25＝0解得n1＝n2＝5∴n＝5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上设经过k秒，k＞6，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1解得k1＝5+，k2＝5﹣（舍）∴k＝5+符合题意；∴经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．7．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．8．（2021秋•玄武区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2＝4PQ2，然后再代入相应数据可得方程82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，再解即可；（2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积﹣△DPQ的面积＝周围三个三角形面积和列方程即可．【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，∴PD＝2PQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2，∵PD2＝4PQ2，①0＜t≤5时，∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]，解得：t1＝3，t2＝7；∵t＝7时10﹣2t＜0，∴t＝3，②5＜t≤8时，PD＝＝2，∵PD＝2PQ，∴PQ＝，∵点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，∴t＝，答：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）不存在，理由如下：设x秒后△DPQ的面积是22cm2，∵S△DPQ＝S四边形ABCD﹣S△ADP﹣S△BQP﹣S△DCQ．∴×8×2x+（10﹣2x）•x+（8﹣x）×10＝80﹣22，整理得x2﹣8x+18＝0，∵该方程无解，∴不存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2．9．如图，直线l1：y1＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2＝x+b过点P．（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出t为多少时，△APQ的面积小于3；③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把P（m，3）的坐标代入直线l1上的解析式即可求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得b；（2）根据直线l2的解析式得出C的坐标，①根据题意得出AQ＝9﹣t，然后根据S＝AQ •|y P|即可求得△APQ的面积S与t的函数关系式；②通过解不等式﹣t+＜3，即可求得t＞7时，△APQ的面积小于3；③分三种情况：当PQ＝P A时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当AQ＝P A时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2，当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，即可求得．【解答】解；（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝；（2）∵b＝，∴直线l2的解析式为y＝x+，∴C点的坐标为（﹣7，0），①由直线l1：y1＝﹣x+2可知A（2，0），∴当Q在A、C之间时，AQ＝2+7﹣t＝9﹣t，∴S＝AQ•|y P|＝×（9﹣t）×3＝﹣t；当Q在A的右边时，AQ＝t﹣9，∴S＝AQ•|y P|＝×（t﹣9）×3＝t﹣；即△APQ的面积S与t的函数关系式为S＝﹣t+或S＝t﹣；②∵S＜3，∴﹣t+＜3或t﹣＜3解得7＜t＜9或9＜t＜11．③存在；设Q（t﹣7，0），当PQ＝P A时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（2+1）2+（0﹣3）2∴（t﹣6）2＝32，解得t＝3或t＝9（舍去），当AQ＝P A时，则（t﹣7﹣2）2＝（2+1）2+（0﹣3）2∴（t﹣9）2＝18，解得t＝9+3或t＝9﹣3；当PQ＝AQ时，则（t﹣7+1）2+（0﹣3）2＝（t﹣7﹣2）2，∴（t﹣6）2+9＝（t﹣9）2，解得t＝6．故当t的值为3或9+3或9﹣3或6时，△APQ为等腰三角形．10．（2020秋•西山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，∠C＝30°，点D 从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）DF＝；（用含t的代数式表示）（2）求证：△AED≌△FDE；（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）．【分析】（1）根据题意求出DC，根据含30°的直角三角形的性质用t表示出DF；（2）根据平行线的性质得到∠AED＝∠FDE，利用SAS定理证明△AED≌△FDE；（3）根据等边三角形的三边相等列式计算；（4）分∠AED＝90°、∠ADE＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列方程，解方程得到答案．【解答】（1）解：由题意得，DC＝2t，在Rt△CFD中，∠C＝30°，∴DF＝DC＝t，故答案为：t；（2）证明：∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AB∥DF，∴∠AED＝∠FDE，由题意得，AE＝t，∴AE＝DF，在△AED和△FDE中，，∴△AED≌△FDE（SAS）；（3）解：∵△AED≌△FDE，∴当△DEF是等边三角形时，△AED也是等边三角形，∴AE＝AD，∴t＝8﹣2t，解得，t＝；（4）∵AE＝DF，AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴当△DEF为直角三角形时，△EDA也是直角三角形，当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即8﹣2t＝2t，解得：t＝2；当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（8﹣2t），解得：t＝，综上所述，当t＝2或时，△DEF为直角三角形．11．（2020秋•青羊区校级期末）如图，已知点D（﹣1，0），直线l1的解析式为y＝﹣x+6，经过点C（2，n），与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，若直线l2经过点D，与直线l1交于点C，求直线l2的解析式；（2）点M是x轴上一动点，若△CDM为等腰三角形，求点M的坐标；（3）如图2，已知点E为直线l1上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°到DF，若CF＝5，求此时点F坐标．【分析】（1）对于l1：y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），再求出点C的坐标为（2，4），进而求解；（2）分MC＝CD、MC＝MD、CD＝MD三种情况，利用勾股定理列出方程，分别求解即可；（3）证明△FND≌△DME（AAS），求出点F的坐标为（a﹣7，a+1），由FC2＝（a﹣7﹣2）2+（a+1﹣4）2＝25，即可求解．【解答】解：（1）对于l1：y＝﹣x+6，令y＝﹣x+6＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝6，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，6），当x＝2时，y＝﹣x+6＝﹣2+6＝4＝n，故点C的坐标为（2，4），设直线l2的表达式为y＝kx+b，将点C、D的坐标代入上式得，解得，故直线l2的解析式为y＝x+；（2）设点M（x，0），过点C作CH⊥x轴于点H，则MC2＝CH2+HM2＝（x﹣2）2+42，同理可得：CD2＝32+42＝25，MD2＝（x+1）2，当MC＝CD时，即（x﹣2）2+42＝25，解得x＝5或﹣1（舍去﹣1）；当MC＝MD时，同理可得x＝；当CD＝MD时，同理可得x＝4或﹣6，故点M的坐标为（5，0）或（，0）或（4，0）或（﹣6，0）；（3）设点E的坐标为（a，6﹣a），分别过点E、F作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵∠EDF＝90°，∴∠EDM+∠DEM＝90°，∵∠EDM+∠FDN＝90°，∴∠FDN＝∠DEM，∵∠FND＝∠DEM＝90°，DE＝DF，∴△FND≌△DME（AAS），∴FN＝DM，ND＝EM，即FN＝DM＝a+1，ND＝EM＝6﹣a，故点F的坐标为（a﹣7，a+1），而点C（2，4），由（2）知：FC2＝（a﹣7﹣2）2+（a+1﹣4）2＝25，解得a＝，∵点F的坐标为（a﹣7，a+1），∴点F的坐标为（﹣1﹣，7﹣）或（﹣1+，7+）．12．（2021秋•顺德区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为ts．（1）运动几秒时，△CPQ为等腰三角形？（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．【分析】（1）根据PC＝CQ列方程求解即可；（2）根据△CPQ的面积等于△ABC面积的，列出关于t的方程，解方程即可；（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ的长度能否为1cm．【解答】解：经过t秒后，PC＝（4﹣2t）cm，CQ＝tcm，（1）若△CPQ为等腰三角形，则PC＝CQ，即4﹣2t＝t，解得：t＝，∴运动秒时，△CPQ为等腰三角形；（2）当△CPQ的面积等于△ABC面积的时，即×（4﹣2t）•t＝××3×4，整理得：4t2﹣8t+3＝0，解得：t1＝，t2＝，∴经过或秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的；（3）∵∠C＝90°，∴（4﹣2t）2+t2＝1，整理得：5t2﹣16t+15＝0，∵Δ＝162﹣4×5×15＝256﹣300＝﹣44＜0，∴此方程无实数解，∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．13．（2021秋•佛山校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D 从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．（1）根据题意知：CE＝cm，CD＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的？（3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由．【分析】（1）根据动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出发以3cm/s的速度向点B移动，可以得出CE＝3t，CD＝8﹣4t；（2）先确定当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，再列方程求出t的值；（3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，则说明DE的长不可以是8cm．【解答】解：（1）∵动点D、E同时出发，动点E从C出发向点B移动，∴CE＝3tcm，∵动点D从点A出发向点C移动，∴CD＝（8﹣4t）cm，故答案为：3tcm，（8﹣4t）cm．（2）当△CDE的面积等于四边形ABED的面积的时，则△CDE的面积等于△ABC的面积的，根据题意得×3t（8﹣4t）＝××8×6，整理得t2﹣2t+1＝0，解得t1＝t2＝1，答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的．（3）不可以，理由如下：如果可以，则由勾股定理得（3t）2+（8﹣4t）2＝42，整理得25t2﹣64t+48＝0，∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0，∴该方程没有实数根，∴DE的长不可以是4cm．。
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A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
PN D
B QM
C
课外延伸
1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝ 16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出 发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为 止，点Q以2 cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ 的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的 距离是10cm．
开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q
分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于
8cm2？
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
D
C
1 2x (6 x) 8
2
x2 6x 8 0
(X-2)(X-4)=0
Q
x1 2, x2 4
2X
A
B
∵0＜x＜6
X P 6-X
x 6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于 8cm2
课外延伸
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米， 动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移 动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB 向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0<t<5）后，四 边形ABQP的面积为S米2,（1）求面积S与时间t的 关系式；（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形 ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时 点P的位置；若不能，请说明理由．
积为7，求时间t；A
D
P
B
Q
C
l R
一元二次方程应用题动点问题
①若一个直角三角形的三边长为连续的偶数，则这个直角 三角形的斜边的长为 ．
②若直角三角形的一条直角边的长为4cm，斜边与另一条 直角边的长度之比为5∶3，则这个直角三角形的面积 ．
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开
始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B
开始沿边BC向点C移动.如果点P、Q同时出发，
几秒后PQ之间的的距离等于4 2cm?
C
(2t)2 (6 t)2 (4 2)2
↑ Q
t2 t2 5
A P→
B t=2不符合题意，舍去
拓展与创新
例3如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点 C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设 动点运动时间为x秒 （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若 存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
解决有关“动点”的问题”方法
1)关键—— 以静代动
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
3）常依据的数量关系——面积，勾股定理，
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
新知探究
Rt△ABC中,AB=BC=12cm,动点P从A点出发,以
课外延伸
4．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，
PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直
线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的
速度沿直线l按箭头方向匀速运动，
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的
面积为5，求时间t；
（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面
2cm/s的速度沿AB向B移动,通过点P作
PR//BC,PQ//AC，求P出发几秒时,四边形PQCR的
面积等于20cm2?
∵0＜x＜6
A
2X
RP
C 2XQ 12-2X B
例2 如图,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm，
BC=3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿
边AB向点B移动,点Q以2cm/s的速度从点B
若不能，说明理由．
A
Q
C PB
自主完成
2、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C， D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一 个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在 相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm， DN=x2cm． 当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
课外延伸
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
AB＝4cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A
出发，沿边AD向点D以2cm/s的速度移动，点Q从
点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动，P、Q
同时出发，若有一点运动到端点时，另一点也随之
停止．则①CD＝ cm；
②经过
秒后，PQ＝CD．
A
P
B
Q
C
自主完成
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发 沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向 以2cm/S的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的四分之一？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；