一元二次方程解决动点问题
九上数学1.3用一元二次方程解决问题(4)动点问题
D
C
Q
A
P
B
才艺展示
1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，
AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C
出发，点P以3cm/s的速度
A
D
向点B移动,一直到达B为止； P
E
点Q以2cm/s的速度向点D移动. Q
经过多长时间P、Q两点之间的 B
C
距离是10cm？
才艺展示
2.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，
点D从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向B点移
动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，
问：点D出发多少秒后，四边形DFCE的面积为
20cm2？
C
F
E
AD
B
拓展延伸
3.如图，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点 开始ＡＢ边向点Ｂ以1cm/s速度移动，点Ｑ从Ｂ点 开始沿ＢＣ边向点Ｃ以2cm/s的速度移动.如果P、Q 分别从A、B同时出发， (1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？ (2)P到B点后又继续在BC边上前进， Q到C点后又继续在CA边上前进. 经几秒钟S△PCQ=12.6cm²？
x(11 x) 30
整理得 x2 11x 30 0
解得 x1 5, x2 6
当 x1 5 时， 11 x 6;
当 x2 6 时， 11 x 5;
答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。
(2) 如果矩形的面积是32cm2,那么
x(11 x) 32
整理得 x2 11x 32 0
一元二次方程的应用（4）
情景创设 一根长为4m的绳子能否围成一个
面积是1m2的矩形？
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
一元二次方程动点问题的解题技巧
一元二次方程动点问题的解题技巧
关于二次函数动点问题的解答方法：
1、求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
2、求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
3、根据图象的位置判断二次函数ax+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
4、二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。
5、与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
完整版)一元二次方程解决动点问题
完整版)一元二次方程解决动点问题研究目标】1.回顾几何图形中动点的行走路程；2.理解等量关系；3.掌握列出关于动点的一元二次方程；4.灵活选用适当的方法解一元二次方程；5.合理舍掉其中一个根。
重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程。
导学流程】一）了解感知：一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
完成课本56页C组1题。
二）深入研究：1.在等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²？2.在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
三）迁移运用：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）1)经过几秒后，PQ的长度等于5？DC2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？3)经过几秒后，DP=DQ？XXX学生课堂导学提纲编号：SXTG-025使用时间：2014-9-21编制人：XXX一、知识点梳理本节课我们将研究三角函数的相关概念和性质，包括正弦、余弦、正切等基本概念，以及它们的定义和性质。
二、课堂讲解1.三角函数的定义三角函数是一类最基本的函数，它们的定义涉及到三角形的角度和边长。
一元二次方程解决动点问题
24.4 一元二次方程的应用（6）班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面Ⅰ卷错题重现（20分）1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯？Ⅱ卷当堂检测（80分）一、选择题（每题3分，共15分）1.【王沛青】配方法解方程2420x x-+=，下列配方正确的是（）A．2(2)2x-=B．2(2)2x+=C．2(2)2x-=-D．2(2)6x-=2.【马雪爱】一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动（）A 851B 851C 516D 6513.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（）A 17B 26C 30D 134．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（）A 20％B 27％C 28％D 32％5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x=）A123,1x x== B123,1x x==- C123x x==121x x==-二、填空题（每空3分，共15分）6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。
7.【杨阳】当m 时，关于x的方程5)3(72=-+-xxm m是一元二次方程；8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x，根据题意列出的方程是．9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参这次聚会的同学共有人．10.【宋玉珍】如果21xx、是方程0632=--xx的两个根，那么221)(xx-= __.三、解答题11. 【马雪爱20分】解一元二次方程（1）0152=+-xx（2）052222=--xx；（3）23(5)2(5)x x -=- （4）24120x x +-= (用配方法)12.【孙萌10分】在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始以2cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,过点D 做DE 平行于BC,DF 平行于AC,点E.F 分别在AC,BC 上,问：点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm ²？13.【杨阳10分】在△ABC 中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q 由C 点以3cm/s 的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, △PCQ 的面积等于450cm ²?14．【王沛青10分】在直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后PQ 距离等于42厘米。
一元二次方程的应用动点问题(共8张PPT)
（3）当点P、Q出发几秒后，
PQ的长度为 4 2 cm？
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动把动的点进行转换,
2)方法—— 时间变路程
变为线段的长度,
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m， 如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端 滑动xm，可列方程为:__________
：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，点P的速度为1cm/s,点Q的 速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 停顿运动，设点P的运动时间为t〔s〕，解答 以下问题： 〔1〕当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (2)△PBQ能否为等边三角形？假设能，请求出t 的值，假设不能，说明理由.
点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边 向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平 一元二次方程的应用动点问题
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动； 有关“动点”的运动问题”
一元二次方程的应用动点问题
3）常找的数量关系——面积，勾股定理等； （3）当点P、Q出发几秒后，
F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？ 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动；
一元二次方程——动点问题
2
整理，得 x26x80
解这个方程，得 x1 2,x2 4
Q
0x6 所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面
积等于8cm2
A
B
P
例2：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A 点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的 直线及AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米 时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?
A
D
P
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，
点P和点Q的距离是10cm？
Q
B
C
4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm， BC=6cm.点P沿AB边从点A开始向点B以 2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始 向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时 出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）. 那么当t为何值时，ΔQAP的面积等于8cm2？
一元二次方程——动点问题
（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大， 最大面积是多少？
2．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制 作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小 正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB=_______cm，宽BC=__________cm （用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容 积．
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x
根据题意得：x8-x 16
整理得：x2 8x 16 0 解这个方程得：x1 x2 4 答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
CQ
A
R
P
B
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（三）迁移运用： 用一元二次方程的相关知识解决下列问题:
【导学流程】
（一）了解感知：
认真阅读下面一段话，然后完成练习
24.4 —元二次方程的应用（6） 班级： 姓名： 小组：
【学习目标】
1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程；
2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系；
3•借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程；
4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程;
5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根
【重点难点】
重点：用一元二次方程解决动点问题；
难点：分析动点的运动，列出一元二次方程
2.如图所示，已知在厶 ABC 中，/ B=90° AB=BC=5cm 点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若一动点运动 到终点，则另一个也随之停止。
（1）如果P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，那么几秒后，△ （2）在（1）中，△ PBQ 的面积能否等于 7cm2?说明理由。
PBQ 的面积等于4cm2?
1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
2. 完成课本56页C组1题（写在书上）
（二）深入学习：分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解
1.等腰直角厶ABC中,AB=BC=8cm动点P从A点出发,沿AB向
B移动，通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、
Q.当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR勺面积等于16cm2?
1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B移动,
点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动，如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5 ）
（1）经过几秒后，PQ的长度等于5?
（2）经过几秒后，△ BPQ的面积等于4?
⑶经过几秒后，DP=DQ
C Q。