一元二次方程方程专项训练 ---------动点问题
一元二次方程应用题动点问题
拓展与创新
例3如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个
动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿 AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点 到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒 （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
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课外延伸
4．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR
＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q
两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方
向匀速运动，
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5
新知探究
Rt△ABC中,AB=BC=12cm,动点P从A点出发,以2cm/s的速 度沿AB向B移动,通过点P作PR//BC,PQ//AC，求P出发几 秒时,四边形PQCR的面积等于20cm2?
∵0＜x＜6
2X
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2X
12-2X
例2 如图,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm，
BC=3cm，点P以1的速度从点B开始沿
边BC向点C移动.如果点P、Q同时出发，几秒后
PQ之间的的距离等于 cm? 4 2
C
(2t)2(6t)2(42)2
↑ Q
t2 t2 5
A P→
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B t=2不符合题意，舍去
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在
，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．
一元二次方程与动点相结合的应用题
一元二次方程与动点相结合的应用题1. 一元二次方程的基础1.1 什么是它？首先，一元二次方程其实就是一个简单的数学公式，通常看起来像这样：( ax^2 + bx + c = 0 )。
听起来复杂，但别担心，简单几何图形就是它的代表，像一座优雅的抛物线。
你想象一下，抛物线就像你在公园滑滑梯，越滑越快，越滑越高，哈哈。
1.2 现实生活中的应用那么，这个方程有什么用呢？其实，它在我们的生活中无处不在。
比如说，建筑师在设计桥梁时，得考虑到材料的强度和形状，常常用到这种方程。
而且，当你打篮球时，投篮的轨迹也可以用它来描述。
是不是觉得这些数学知识跟你生活中的每一秒都有关系？2. 动点的神奇之旅2.1 动点是什么？接下来，让我们聊聊动点。
动点就像公园里那只自由自在的小鸟，随心所欲地在空中飞翔。
动点在数学中，通常指的是在某个规律下运动的点，位置会随着时间变化。
比如说，一个小球从高处掉下，位置就是不断变化的。
2.2 动点与一元二次方程的结合想象一下，小球从高处掉下，它的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
这个时候，你就能感受到数学的魅力了！当小球落地的瞬间，那一刹那就像是电影中的慢动作，让人无比期待。
你会发现，动点和一元二次方程就像是亲密无间的小伙伴，互相依赖，缺一不可。
3. 实际案例3.1 小朋友的投篮让我们来个实例。
想象一个小朋友正在公园里投篮，他抬起手，球在空中划出一个优美的弧线。
这个弧线的形状，正好可以用一元二次方程来描绘。
小朋友投篮时，势头和角度决定了球的飞行轨迹，而这一切都能用方程来算出来，真是太神奇了！3.2 从方程到答案假设小朋友投篮的方程是 ( y = x^2 + 4x )，这时候，我们可以通过解这个方程来知道，球在最高点时的高度有多高。
然后，利用这个高度，我们就可以知道这个小球是否能进篮筐。
就像在做一道美味的菜，得先调好配方，才能品尝到美味。
最后，结合一元二次方程与动点的故事，我们可以看到，数学不再是枯燥无味的，而是充满了生活的乐趣和探索的意义。
一元二次方程应用题动点问题2021完整版PPT
c（m1；）t秒后一正方样形AB时CD与间等腰三内角形，PQR假重合设部分的B面Q积=为x5，c求m时〔间t；x≠0〕，那么AP=2xcm，
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从
CM=3xcm， 点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0<t<5）后，四边形ABQP的面积为S米2,（1）求面积S与时间t的关系式；
一样时间内，假设BQ=xcm〔x≠0〕，那么AP=2xcm，CM=3xcm，
解决有关“动点”的问题”方法
DN=x2cm． 一样时间内，假设BQ=xcm〔x≠0〕，那么AP=2xcm，CM=3xcm，
〔1〕用含x的代数式表示BQ、PB的长度；
〔2〕当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
〔3〕是否存在x的值，使得四边A形APQC的面积等于
20cm2？假设存在，请求出此时x的值；假设不存在
，请说明理由．
P
B
Q
C
自主完成
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发 沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向 以2cm/S的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t〔s〕．
〔1〕当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的四分之一？ 〔2〕△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？假设能，求出t的值
； 假设不能，说理由．
A
Q
C PB
自主完成
2、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，
九年级中考《一元二次方程与实际问题》(面积问题 动点问题)经典题型专题提升练习
《一元二次方程与实际问题》（面积问题+动点问题）经典题型专题提升练习题型一：面积问题1. 直角三角形的面积为24，两直角边长的和为14，则斜边长为( )A.2√37B.10C.2√38D.142.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( )A.2-√3B.2+√3C.2+√5D.√5-23.如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为( )A.1米B.2米C.3米D.4米4. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是。
5.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为xm，若要求出未知数x，则应列出方程________________.(列出方程，不要求解方程).6.如图所示，使用墙的一边(墙长7m)，再用13m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20m2的矩形，设与墙相对的边长为xm，可得长、宽分别为。
7. 如图，已知点A是一次函数y=x-4的图象上的一动点，且矩形ABOC面积等于3，则点A的坐标为____________.8.如图,有一块矩形硬纸板,长30 cm,宽20 cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200 cm2?9. 在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发：(1)经过多长时间，S△PQB =12S△ABC？(2)经过多长时间，P，Q间的距离等于4√2cm？题型二：动点问题1.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于( )A.0.5 cmB.1 cmC.1.5 cmD.2 cm2. 如图，过点A(2，4)分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是点M，N.若点P 从点O出发，沿OM做匀速运动，1min可到达M点.同时点Q从M点出发，沿MA 做匀速运动，1min可到达点A.若线段PQ的长度为2，则经过的时间为( )A.0minB.0.4minC.0.4min或0minD.以上都不对3. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm.动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.下列瞬时间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是( )A.2 sB.3 sC.4 sD.5 s4. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发________s时，四边形DFCE的面积为20cm2.5. 如图，已知点A是一次函数y=x-4的图象上的一动点，且矩形ABOC面积等于3，则点A的坐标为____________.6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=√2cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B；点P出发秒后，点P，A的距离是点P，C距离的√3倍？7. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处.若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置.8. 小岛A在码头B的正西方向，A，B相距40n mi l e.上午9点，一渔船和一游艇同时出发，渔船以20n mi l e/h的速度从B码头向正北出海作业，游艇以25n mi l e/h的速度从A岛返回B码头.一段时间后，渔船因故障停航在C处并发出信号.游艇在D处收到信号后直接向渔船驶去，上午11点到达C处.游艇在上午几点收到信号？9. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q 分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动，一直到点D为止.(1)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？(2)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P，点Q间的距离是10cm？10. 如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，动点P，Q分别从A，B 两点同时出发.分别沿AB，BC方向匀速移动；它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s).求t 为多少时，△PBQ为直角三角形.。
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
一元二次方程(动点问题)
7.动点问题例1：如图：在Rt △ACB 中，∠C=90°，点P 、Q 同时由A 、B 两点 出发分别沿AC 、BC 方向向 点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，几秒后△PCQ 的面积为 Rt △ACB 面积的一 半？变式练习： 1、 如图：在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8平方厘米？AB C P Q 6cm 8cm2、如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm 动点D 从A 点出发到B 点为止，运动的速度为1cm/秒；同时动点E 从C 点出发到A 点为止，点E 运动的速度为2cm/秒那么当点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发，沿CA 向点A 运动；点Q 同时以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AB 向点B 运动,设P 、Q 两点移动t 秒（1）求△APQ 与△ABC 相似时t 的值（2）求四边形BCPQ 面积S 与时间t 的关系式（3）求△APQ 为等腰三角形时t 的值B CE D A例2：一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区10域(包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风?若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.变式练习：某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。
(完整版)一元二次方程动点问题
一元二次方程动点问题息县五中敖勇1、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D作DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm²？2、在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q由C点以3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后, △PCQ的面积等于450cm²?3、在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s 的速度移动，若P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PQ距离等于42厘米。
4、如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt △ACB面积的一半？变式训练1、在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。
若点P、Q分别从点A、B同时出发，经过多少时间，使△PBQ的面积等于8cm2？变式训练2.△ABC中，∠C=90°AB=10cm,AC=8cm,点P从点A开始出发，向点C 以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动。
若P、Q分别同时从A、B出发，几秒后四边形APQB是△ABC面积的32。
5、已知：如图①，在Rt ACB△中，90C∠=o，4cmAC=，3cmBC=，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t<<），解答下列问题：设AQP△的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；当t为何值时y是△ABC面积的53AC BPQ6c8c6、如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题：当点Q在B、E之间运动时，当t为何值时，PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？7、等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与 AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²?8、如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
一元二次方程中的动点问题
B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm
点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移 动. • （2）如果P,Q分别从A,B同时出发，那么几秒后， PQ的长度等于5cm？
• 1、已知：如图3-9-3所示，在△ABC中，
其它类型应用题：
5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°， BC=16，AD=21，DC=12，动点P从点D出发，沿 线段DA方向以每秒2个单位长度的速度运动， 动点Q从点C出发，沿线段CB 以每秒1个单位 长度的速度向点B运动. 点P、Q分别从点D、C 同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止 运动，设运动时间为t秒. 问:当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？ P D A 分类讨论思想
• 点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，
你还行吗
• 1、已知，如图所示，在三角形ABC中， B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm • 点P从A点开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动,点Q从点 B开始沿BC边向点C 以每秒2cm的速度移动。 • (3) 如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长 等于5cm.
Q C
B
2、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点， AB=16cn,AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一 直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动。 （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q 的距离是10cm？
A P D
Q
B
C
B 90 , AB 5 cm, BC 7 cm
点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移 动. • 在（1）中，△PQB的面积能否等于7?说明理由
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一元二次方程方程专项训练---------动点问题
D1．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．
D2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，若P点沿AB向B以lcm/s的速度移动，点Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动，问几秒后，△PBQ的面积为8cm2？
D3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从C点出发沿CD以1cm/s的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．（1）经过多长时间P、Q两点之间的距离是6cm？
（2）经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
D4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟，使S△QPC＝8cm2？
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，经过几秒钟后S△QPC＝4cm2？
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？。