一元二次方程解决动点问题
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一元二次方程的应用（6）
班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面 Ⅰ卷 错题重现（20分）
1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元
某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯
Ⅱ卷 当堂检测（80分）
一、选择题（每题3分，共15分）
1.【王沛青】配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是（ ）
A ．2
(2)2x -=
B ．2
(2)2x +=
C ．2
(2)2x -=-
D ．2
(2)6x -=
2.【马雪爱】一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动（ ）
A 851
B 851516 D 651 3.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（ ） A 17 B 26
C 30
D 13
4．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A 20％
B 27％
C 28％
D 32％
5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x = ）
A 123,1x x ==
B 123,1x x ==-
C 123x x ==121x x ==- 二、填空题（每空3分，共15分）
6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。
7.【杨阳】当m 时，关于x 的方程5)3(7
2
=-+-x x m m
是一元二次方程；
8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x ，根据题意列出的方程是 ．
9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有 人．
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10.【宋玉珍】如果21x x 、是方程0632
=--x x 的两个根，那么2
21)(x x -= __.
三、解答题
11. 【马雪爱20分】解一元二次方程
（1） 0152
=+-x x （2）052222
=--x x ；
（3）2
3(5)2(5)x x -=- （4）24120x x +-= (用配方法)
12.【孙萌10分】在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始以2cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,过点D 做DE 平行于BC,DF 平行于AC,点分别在AC,BC 上,问：点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm ²
13.【杨阳10分】在△ABC 中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q 由C 点以3cm/s
的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, △PCQ 的面积等于450cm ²
14．【王沛青10分】在直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后PQ 距离等于42厘米。
v1.0 可编辑可修改3初三数学第5页 (共4页) 初三数学第6页 (共4页)。
九上数学1.3用一元二次方程解决问题(4)动点问题
D
C
Q
A
P
B
才艺展示
1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，
AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C
出发，点P以3cm/s的速度
A
D
向点B移动,一直到达B为止； P
E
点Q以2cm/s的速度向点D移动. Q
经过多长时间P、Q两点之间的 B
C
距离是10cm？
才艺展示
2.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，
点D从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向B点移
动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，
问：点D出发多少秒后，四边形DFCE的面积为
20cm2？
C
F
E
AD
B
拓展延伸
3.如图，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点 开始ＡＢ边向点Ｂ以1cm/s速度移动，点Ｑ从Ｂ点 开始沿ＢＣ边向点Ｃ以2cm/s的速度移动.如果P、Q 分别从A、B同时出发， (1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？ (2)P到B点后又继续在BC边上前进， Q到C点后又继续在CA边上前进. 经几秒钟S△PCQ=12.6cm²？
x(11 x) 30
整理得 x2 11x 30 0
解得 x1 5, x2 6
当 x1 5 时， 11 x 6;
当 x2 6 时， 11 x 5;
答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。
(2) 如果矩形的面积是32cm2,那么
x(11 x) 32
整理得 x2 11x 32 0
一元二次方程的应用（4）
情景创设 一根长为4m的绳子能否围成一个
面积是1m2的矩形？
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
九年级数学上一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题3几何动点问题习题苏科
探究培优·拓展练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日上午11时56分28秒11:56:2822.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月上午11时56分22.3.2011:56March 20, 2022
当∠BPQ＝90°时，BP＝12BQ，即 3－t＝12t，t＝2. 答：当 t＝1 或 t＝2 时，△PBQ 是直角三角形．
8 等腰直角三角形ABC的直角边AB＝BC＝10 cm，点 P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1 cm/s的相同 速度进行直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边 BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，连接 PC，设P点运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2. (1)求出S关于t的函数关系式．
cm，∴△PBQ 的面积＝12×153× 53＝13503.
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 解：由题意，得 AP＝t cm，BQ＝t cm，△ABC 中， AB＝BC＝3 cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t)cm. 若△PBQ 是直角三角形， 则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°.
当∠BQP＝90°时，BQ＝12BP，即 t＝12(3－t)，t＝1.
解：设经过 x 秒，以 P、B、O 为顶点的三角形面积占矩
形积的17，根据题意，得12×2x×(7－x)＝10×7×17， 整理，得 x2－7x＋10＝0， 解得 x1＝2，x2＝5. 答：经过 2 秒或 5 秒，以 P、B、O 为顶点的三角形面积
占矩形面积的17.
4 如图，四边形 ABCD 是矩形，AD＝16 厘米，AB＝6 厘米， 动点 P、Q 分别同时从 A、C 出发，点 P 以 3 厘米/秒的 速度向 D 移动，直到 D 为止，点 Q 以 2 厘米/秒的速度向 B 移动． (1)P、Q 两点从出发开始，经过几秒时，四边形 ABQP 的
一元二次方程动点问题的解题技巧
一元二次方程动点问题的解题技巧
关于二次函数动点问题的解答方法：
1、求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
2、求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
3、根据图象的位置判断二次函数ax+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
4、二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。
5、与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
一元二次方程解决动点问题
24.4 一元二次方程的应用（6）班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面Ⅰ卷错题重现（20分）1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯？Ⅱ卷当堂检测（80分）一、选择题（每题3分，共15分）1.【王沛青】配方法解方程2420x x-+=，下列配方正确的是（）A．2(2)2x-=B．2(2)2x+=C．2(2)2x-=-D．2(2)6x-=2.【马雪爱】一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动（）A 851B 851C 516D 6513.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（）A 17B 26C 30D 134．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（）A 20％B 27％C 28％D 32％5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x=）A123,1x x== B123,1x x==- C123x x==121x x==-二、填空题（每空3分，共15分）6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。
7.【杨阳】当m 时，关于x的方程5)3(72=-+-xxm m是一元二次方程；8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x，根据题意列出的方程是．9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参这次聚会的同学共有人．10.【宋玉珍】如果21xx、是方程0632=--xx的两个根，那么221)(xx-= __.三、解答题11. 【马雪爱20分】解一元二次方程（1）0152=+-xx（2）052222=--xx；（3）23(5)2(5)x x -=- （4）24120x x +-= (用配方法)12.【孙萌10分】在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始以2cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,过点D 做DE 平行于BC,DF 平行于AC,点E.F 分别在AC,BC 上,问：点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm ²？13.【杨阳10分】在△ABC 中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q 由C 点以3cm/s 的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, △PCQ 的面积等于450cm ²?14．【王沛青10分】在直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后PQ 距离等于42厘米。
一元二次方程的应用动点问题(共8张PPT)
（3）当点P、Q出发几秒后，
PQ的长度为 4 2 cm？
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动把动的点进行转换,
2)方法—— 时间变路程
变为线段的长度,
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m， 如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端 滑动xm，可列方程为:__________
：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，点P的速度为1cm/s,点Q的 速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 停顿运动，设点P的运动时间为t〔s〕，解答 以下问题： 〔1〕当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (2)△PBQ能否为等边三角形？假设能，请求出t 的值，假设不能，说明理由.
点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边 向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平 一元二次方程的应用动点问题
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动； 有关“动点”的运动问题”
一元二次方程的应用动点问题
3）常找的数量关系——面积，勾股定理等； （3）当点P、Q出发几秒后，
F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？ 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动；
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
一元二次方程的应用之动点问题
飞机航线问题
一架飞机以速度v0从机场起飞，以角度θ和速度v1改变航向，最终飞向位于d距离处的目的地。
集训队掉队问题
两个集训队进行长跑训练，已知甲队每分钟跑400米，乙队每分钟跑300米， 求甲队领先乙队的时间和距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程的应用之动 点问题
了解一元二次方程在动点问题中的应用。介绍动点问题的概念和常见场景， 回顾一元二次方程的概念和求解方法，以及解决动点问题的思路。探讨各种 实际问题，从车辆行驶到射击训练。
动点问题的基本概念介绍
动点问题是指描述运动中物体位置随时间变化的数学问题。通过一元二次方 程模型，我们能够分析和解决各种动点问题。
动点问题的常见场景
某车辆行驶问题
人跑步问题
分析车辆的位移和速度随时间的变
研究人的速度和位置关系，解决跑
化，解决关于车辆行驶距离的问题。 步速度和时间的关联问题。
弹射问题
探讨弹射物的抛射高度与发射角度、 速度之间的关系。
某车辆行驶问题
一辆车以匀减速行驶，在t=0时刻开始减速，当速度减至0时停下。已知车辆 总行程为S，求车辆的减速度和总的减速时间。
人跑步问题
一个人跑步以恒定速度v1从起点出发，在t1时刻以恒定速度v2超过位于d距离 处的另一个人，求v1和v2之间的关系。
弹射问题
如果我们以速度v和角度θ把一个抛射物发射到水平面上某一目标点，求v和θ之间的关系。
抛物线下落问题
一个物体从某一高度h以速度v0抛出，求该物体抛出后的落地点和落地时间。
九年级数学上册复习专题05一元二次方程围栏问题与动点问题(1)
专题05围栏问题与动点问题【1】围栏问题解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步骤为：①根据题意，列等量关系式；②设未知数；（一般设垂直于墙的边为x，另一半为总长减去垂直于墙的边数乘以x）③列方程；④求解方程；⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围；（0＜水平墙的长度≤墙长）⑥根据未知数的取值范围，确定答案。
【2】动点问题解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段或几何关系，从而建立方程或函数关系。
方法：①首先找出动点的路程所表示线段；②设时间为x（或t）；③表示出动点的路程（路程=动点速度×时间x）；④表示出剩下的线段长；⑤由题目中的等量关系列方程（面积或者勾股定理列方程）；1．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．【答案】详解见解析；不能，理由见解析【解析】【分析】设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】解：设垂直于墙的一边AB长为xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．围成一面靠墙，其它三边分别为5m，10m，5m的矩形．答：不能围成面积52m2的矩形ABCD场地．理由：若能围成，则可列方程x（20﹣2x）＝52，此方程无实数解．所以不能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地．【点睛】本题主要考查了一元二次方程及其实际应用，其中根据题目信息列出相应的方程式是解题的关键．2．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【解析】【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．3．如图，要建一个面积为150平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇3米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库与墙垂直的一边应长多少米？【答案】10米【解析】【分析】设垂直于墙的一边长为x 米，结合题意可得到平行于墙的一边长为3223x -+米，再通过面积150平方米列出等式，从而计算得到答案．【详解】设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为()3223x -+米，由题意得()3223150x x ⨯-+=∴22351500x x -+= ∴1152x =，210x = 当10x =时，32231518x -+=＜ 当152x =时，32232018x -+=＞（152x =不符合题意，舍去） ∴这个仓库与墙垂直的一边应长10米．【点睛】本题考察了二元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程并运用到实际问题的求解过程中，即可得到答案．4．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【解析】【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可．（2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米．（2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜ ∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析． 5．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的长方形花圃．（1）设花圃的一边AB 为xm ，则BC 的长可用含x 的代数式表示为______m ；（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？【答案】（1）30－3x ；（2）7【解析】【分析】（1）由AB 的长为xm ，结合长为30m 的篱笆即可表示出BC 的长为：（30﹣3x ）m ；（2）根据AB 及BC 的长可表示出花圃的面积，令该面积等于63，求出符合题意的x 的值，即是所求AB 的长．【详解】解：（1）由题意得：BC ＝30﹣3x ，故答案为：30﹣3x ；（2）由题意得：﹣3x 2+30x ＝63．解此方程得x 1＝7，x 2＝3．当x ＝7时，30﹣3x ＝9＜10，符合题意；当x ＝3时，30﹣3x ＝21＞10，不符合题意，舍去；故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．6．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD ），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD ）的宽为a 米（1）饲养场的长为________米（用含a 的代数式表示）（2）若饲养场的面积为2882m ，求a 的值【答案】（1）603a -；（2）12【解析】【分析】（1）用总长减去3a 后加上三个1米宽的门即为所求；（2）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可，注意a 的范围讨论．【详解】（1）∵如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，∴饲养场的长为57133603a a +⨯-=-，故答案为：603a -；（2）根据（1）的结论，饲养场面积为()603288a a -=，解得12a =或8a =；当8a =时，60360243627a -=-=>，故8a =不全题意，舍去，当12a =时，6032427a -=<，则12a =；答：a 的值为12．【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。