一元二次方程解决动点问题
九上数学1.3用一元二次方程解决问题(4)动点问题
D
C
Q
A
P
B
才艺展示
1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，
AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C
出发，点P以3cm/s的速度
A
D
向点B移动,一直到达B为止； P
E
点Q以2cm/s的速度向点D移动. Q
经过多长时间P、Q两点之间的 B
C
距离是10cm？
才艺展示
2.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，
点D从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向B点移
动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，
问：点D出发多少秒后，四边形DFCE的面积为
20cm2？
C
F
E
AD
B
拓展延伸
3.如图，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,点P从A点 开始ＡＢ边向点Ｂ以1cm/s速度移动，点Ｑ从Ｂ点 开始沿ＢＣ边向点Ｃ以2cm/s的速度移动.如果P、Q 分别从A、B同时出发， (1)经过几秒，△ PBQ的面积等于8cm2 ？ (2)P到B点后又继续在BC边上前进， Q到C点后又继续在CA边上前进. 经几秒钟S△PCQ=12.6cm²？
x(11 x) 30
整理得 x2 11x 30 0
解得 x1 5, x2 6
当 x1 5 时， 11 x 6;
当 x2 6 时， 11 x 5;
答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。
(2) 如果矩形的面积是32cm2,那么
x(11 x) 32
整理得 x2 11x 32 0
一元二次方程的应用（4）
情景创设 一根长为4m的绳子能否围成一个
面积是1m2的矩形？
一元二次方程的应用——动点问题
点Q的运动方向是由B 运动速度都是1cm⁄s C C
运动时间未定
运动距离
点P的运动距离即 AP的长度 点Q的运动距离即 BQ的长度
例：在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8,BC=6.点P由A点出发沿AC方向向点C 匀速移动，点Q由B点出发沿BC方向向点C匀 速移动，它们的速度都是1cm⁄s，几秒后 △PCQ的面积为△ABC面积的一半？
设时间为x，, 则可表示出CP=2x，BQ=x，QC=25-x
等量关系：P、Q两点相距25cm
解：设x秒后P、Q两点相距25cm.
在Rt△QCP中 QC2+PC2=PQ2
（25-x）2+（2x）2=252
5x2-50x=0
x1=0 （舍） ，x2=10 答：10秒后PQ相距25cm。
答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm， BC=25cm，动点P沿CA方向运动，速度是 2cm⁄s；动点Q从B点出发，沿BC方向运动， 速度是1cm⁄s，几秒后P、Q两点相距25cm？
分析
运动 点P的运动方向是由C 方向
A问题需要注意几个问题： 1、有几个动点？
2、怎样运动？即向哪儿运动？
3、运动的速度、时间、距离分别是多少？
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6. 点P由A点出发沿AC方向向点C匀速移动，点Q 由B点出发沿BC方向向点C匀速移动，它们的速 度都是1cm⁄s，几秒后△PCQ的面积为 △ABC面积的一半？
若设时间为x， 则可表示出AP=x，BQ=x 所以PC=8-x， QC=6-x
等量关系：△PCQ的面积为△ABC面积的一半
九年级数学上一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题3几何动点问题习题苏科
探究培优·拓展练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日上午11时56分28秒11:56:2822.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月上午11时56分22.3.2011:56March 20, 2022
当∠BPQ＝90°时，BP＝12BQ，即 3－t＝12t，t＝2. 答：当 t＝1 或 t＝2 时，△PBQ 是直角三角形．
8 等腰直角三角形ABC的直角边AB＝BC＝10 cm，点 P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1 cm/s的相同 速度进行直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边 BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，连接 PC，设P点运动时间为t s，△PCQ的面积为S cm2. (1)求出S关于t的函数关系式．
cm，∴△PBQ 的面积＝12×153× 53＝13503.
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 解：由题意，得 AP＝t cm，BQ＝t cm，△ABC 中， AB＝BC＝3 cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t)cm. 若△PBQ 是直角三角形， 则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°.
当∠BQP＝90°时，BQ＝12BP，即 t＝12(3－t)，t＝1.
解：设经过 x 秒，以 P、B、O 为顶点的三角形面积占矩
形积的17，根据题意，得12×2x×(7－x)＝10×7×17， 整理，得 x2－7x＋10＝0， 解得 x1＝2，x2＝5. 答：经过 2 秒或 5 秒，以 P、B、O 为顶点的三角形面积
占矩形面积的17.
4 如图，四边形 ABCD 是矩形，AD＝16 厘米，AB＝6 厘米， 动点 P、Q 分别同时从 A、C 出发，点 P 以 3 厘米/秒的 速度向 D 移动，直到 D 为止，点 Q 以 2 厘米/秒的速度向 B 移动． (1)P、Q 两点从出发开始，经过几秒时，四边形 ABQP 的
一元二次方程动点问题的解题技巧
一元二次方程动点问题的解题技巧
关于二次函数动点问题的解答方法：
1、求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
2、求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
3、根据图象的位置判断二次函数ax+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
4、二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。
5、与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数。
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
一元二次方程解决动点问题
24.4 一元二次方程的应用（6）班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面Ⅰ卷错题重现（20分）1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯？Ⅱ卷当堂检测（80分）一、选择题（每题3分，共15分）1.【王沛青】配方法解方程2420x x-+=，下列配方正确的是（）A．2(2)2x-=B．2(2)2x+=C．2(2)2x-=-D．2(2)6x-=2.【马雪爱】一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动（）A 851B 851C 516D 6513.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（）A 17B 26C 30D 134．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（）A 20％B 27％C 28％D 32％5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x=）A123,1x x== B123,1x x==- C123x x==121x x==-二、填空题（每空3分，共15分）6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。
7.【杨阳】当m 时，关于x的方程5)3(72=-+-xxm m是一元二次方程；8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x，根据题意列出的方程是．9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参这次聚会的同学共有人．10.【宋玉珍】如果21xx、是方程0632=--xx的两个根，那么221)(xx-= __.三、解答题11. 【马雪爱20分】解一元二次方程（1）0152=+-xx（2）052222=--xx；（3）23(5)2(5)x x -=- （4）24120x x +-= (用配方法)12.【孙萌10分】在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始以2cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,过点D 做DE 平行于BC,DF 平行于AC,点E.F 分别在AC,BC 上,问：点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm ²？13.【杨阳10分】在△ABC 中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q 由C 点以3cm/s 的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, △PCQ 的面积等于450cm ²?14．【王沛青10分】在直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后PQ 距离等于42厘米。
一元二次方程的应用动点问题(共8张PPT)
（3）当点P、Q出发几秒后，
PQ的长度为 4 2 cm？
有关“动点”的运动问题”
1)关键—— 以静代动把动的点进行转换,
2)方法—— 时间变路程
变为线段的长度,
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端距地面的垂直距离为8m， 如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端 滑动xm，可列方程为:__________
：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，点P的速度为1cm/s,点Q的 速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点 停顿运动，设点P的运动时间为t〔s〕，解答 以下问题： 〔1〕当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ (2)△PBQ能否为等边三角形？假设能，请求出t 的值，假设不能，说明理由.
点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边 向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平 一元二次方程的应用动点问题
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于AC,点E. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动； 有关“动点”的运动问题”
一元二次方程的应用动点问题
3）常找的数量关系——面积，勾股定理等； （3）当点P、Q出发几秒后，
F分别在AC,BC上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？ 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s的速度移动；
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
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一元二次方程的应用（6）
班级___________ 姓名__________ 小组__________ 分数____________ 卷面 Ⅰ卷 错题重现（20分）
1.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元
某商场经销的太阳能路标，标价为4000元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买数量超过80个，每多买1个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不能低于3200元/个，若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元，则该顾客实际购买了多少个路灯
Ⅱ卷 当堂检测（80分）
一、选择题（每题3分，共15分）
1.【王沛青】配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是（ ）
A ．2
(2)2x -=
B ．2
(2)2x +=
C ．2
(2)2x -=-
D ．2
(2)6x -=
2.【马雪爱】一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. 若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端滑动（ ）
A 851
B 851516 D 651 3.【宋玉珍】直角三角形的面积是30，两直角边长的和是17，则斜边长为（ ） A 17 B 26
C 30
D 13
4．【杨阳】某种衬衣价格经过两次降价后，由每件150元降至96元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A 20％
B 27％
C 28％
D 32％
5．【王沛青（改编）】方程(3)3x x x = ）
A 123,1x x ==
B 123,1x x ==-
C 123x x ==121x x ==- 二、填空题（每空3分，共15分）
6.【宋玉珍】两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是____________。
7.【杨阳】当m 时，关于x 的方程5)3(7
2
=-+-x x m m
是一元二次方程；
8.【马雪爱】某果农2006年的年收入为8万元，由于暴雨，2008年年收入减少到5万元，设平均每年的降低率为x ，根据题意列出的方程是 ．
9.【宋玉珍】在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了45次手，参加这次聚会的同学共有 人．
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10.【宋玉珍】如果21x x 、是方程0632
=--x x 的两个根，那么2
21)(x x -= __.
三、解答题
11. 【马雪爱20分】解一元二次方程
（1） 0152
=+-x x （2）052222
=--x x ；
（3）2
3(5)2(5)x x -=- （4）24120x x +-= (用配方法)
12.【孙萌10分】在直角三角形ABC 中,AB=BC=12cm ，点D 从点A 开始以2cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,过点D 做DE 平行于BC,DF 平行于AC,点分别在AC,BC 上,问：点D 出发几秒后四边形DFCE 的面积为20cm ²
13.【杨阳10分】在△ABC 中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度移动, 同时另一点Q 由C 点以3cm/s
的速度沿着CB 边移动,几秒钟后, △PCQ 的面积等于450cm ²
14．【王沛青10分】在直角三角形ABC 中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后PQ 距离等于42厘米。
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