《棋盘中的数学》

棋盘中的数学————封闭图形中的植树问题清水塘小学江滨校区张凌云教学内容：人教版小学数学第八册第八单元《数学广角》P120例3内容分析1．教学主要内容理解封闭图形的植树问题中棵数（点数）与间隔数（段数）之间的关系2．教材编写特点：植树问题是“奥数”中的经典问题，新教材将其编入《数学广角》单元，目的让学生是通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用。

培养学生在解决问题的分析、思考过程中，逐步发现隐含于不同的情形中的规律，找出解决问题的有效方法的能力。

让学生经历抽取出数学模型的过程。

本单元共有3个例题，例1、例2教学了一条线段中的植树问题（在线段的两端都栽、两端都不栽或只栽一端的情况下，棵数与间隔数的关系），例3是借助围棋盘来探讨封闭曲线中的植树问题。

3．教学内容的数学核心思想：将“复杂的问题简单化”、“一一对应”是本课的数学核心思想。

教学目标：知识与技能：让学生用多种方法解决围棋盘中的数学问题，展示方法的多样化；并引导学生解决封闭图形中的植树问题，理解封闭图形的植树问题中点数与段数之间的关系。

过程与方法：让学生经历提问、猜想、验证、得出结论等数学探索的过程，初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决较复杂问题的有效方法的能力，同时能将这种规律应用到解决类似的问题之中。

情感、态度、价值观：让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，使学生感受到数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。

（课堂实录）教学过程：一、谜语引入猜谜：黑白两对手，不在格中走。

有眼看不见，无眼难活久。

（打一棋类名称）谈话：同学们喜欢下棋吗？下过围棋吗？围棋是一项培养思维能力的活动，围棋的棋盘里还蕴含了有趣的数学问题。

今天我们一起来探究围棋棋盘中的数学问题。

（板书：棋盘中的数学）二、复习铺垫1、出示围棋棋盘图：围棋盘最外边是正方形，棋子下在两条线交叉的地方（动画演示两颗棋子）问：棋盘最外层的边长为54厘米,每相邻两颗棋子间的距离3厘米,一条边可以摆多少颗棋子?生:54÷3＋1﹦19（个）段数师：为什么要加1？生：这就是一个植树问题，是属于两端都要栽的情况。

小结：起点和终点都摆，棋子的个数=段数+1，18段应该有19个棋子。

这实际上就是一个什么问题？（植树问题）是属于植树问题中的哪一种情况？（两端都要栽）三、探索规律1、出示问题一：棋盘最外层每边摆19个棋子，那么围棋盘最外层4条边一共可以摆多少个棋子？生：19×4=76（颗）师：是摆76颗吗？（学生有的答是，有的说不是）师：那最外层到底是摆多少颗棋子呢？请同学们拿出这张纸（纸上有一个棋盘图），请你们用自己的办法算一算到底可以摆多少个棋子？看看谁找到的方法多。

（1）生独立思考，将解题方法写在图纸上。

（2）汇报交流：学生上台操作课件，并说明算法及理由，师板书其算式。

师：每边有19个棋子，四边就有19×4＝76（个）。

大家同意他的想法吗？生1：我不同意，四个角上的棋子重复算了，因此还要减去重复的这4个棋子，应该是19×4－4＝72（个）再将4个角上重复的棋子变成红色并闪烁）；生2：上面一排是19个棋子，下面这排也是19个；因为上、下各选了一个棋子了，左边只剩17个，同样右边也是；生3：我的算法17×4＋4＝72（个）。

我先将角上的4个棋子不看，那么每边还剩17个棋子，四条边用17×4，再加上角上的4个，一共也是72个。

（动画演示图，圈出每边中间的17个棋子，再将角上的4生4：我是这样想的，每条边起点的这个不圈，那么每边正好18个，四条边就有（19-1）×4＝72（个）生5：上面这排是19个，左、右两边就只剩18个，最下边因为少了两个，所以只有17个。

所以我的算式是19+18+18+17=72（个）师：还有其它的想法吗？（静静等待一会，没有学生再举手）老师这里向同学们介绍一种方法。

（介绍的这种方法属于方阵问题的解题思路，学生很难自行找到，在课后的练习中又发现有必要让学生了解这种方法，所以这里我选择主动向学生提出。

）师：将整个棋盘摆满需要多少个棋子？（19×19）横是19个，纵也是19个，一共就有19×19个。

（动画演示棋盘摆满棋子）题目要求的是最外层有多少个棋子，我们只要怎么办？（减去中间的部分）对了，减去中间这部分。

（动画演示中间部分的棋子消失）那中间这部分又一共有多少个棋子呢？（17×17）现在你知道这种方法怎么列式吗？生：19×19-17×17小结：同学们非常不错，在这么短的时间内就找到这么多的方法。

这些方法都是将棋子分成几个部分。

如果重复了、多算了，就减去这部分棋子；如果少算了，就加上少算的棋子。

2、探索点数与段数的关系：师：除了这些方法外，上次上课时，四（二）班有一个同学的算式让我都觉得非常新奇，怎样列式呢？54×4÷3=72（课件演示算式）你能看懂这个算式吗？54×4是什么意思？（边长×4等于周长）那周长÷3，3是什么？（相邻两颗棋子间的距离）问：周长除以每两颗棋子间的距离应该得到的是什么？生：一共有多少段。

（板书：54×4÷3=72）师：这个算式求出来的是72段，而最外层的棋子恰好也是72颗。

72段是段数（板书段数），72颗我们称之为点数（板书点数）。

这里点数和段数都是72。

那是不是在正方形的四周摆棋子，点数就等于段数呢？（课件演示这个问题）生1：咦，这好像个植树问题。

生2：一定是相等的，我奥数课学过，正方形它是封闭的，只要是封闭图形，它们就相等。

师：其它同学同意他的说法吗？（生有的摇头，有的不敢肯定）师：大家意见不一致，怎么办？生：验证师：好，如果你认为是相等的想办法法验证你的想法，如果你认为不相等也想办法验证你的想法。

生开始在练习本上画图验证，师巡视。

反馈：生上台展示自己的的验证过程：比较：谁的方法更简单？我们有没有必要画72个点？（生齐答：没有必要）（因为在上本课前，我已经向学生渗透过“将复杂问题简单化”的思想，所以学生中没有画整个72个点的）没有必要，我们可以将复杂的问题转化成简单的问题来研究，即老师多次强调过的“复杂问题简单化”（板书：复杂——转化—→简单）总结：（动态演示点与段的对应关系）一个棋子对应一段，最后没有多余的棋子，也没有多余的段数了，棋子和段数一一对应了。

那正方形四周摆棋子，棋子的颗数和段数有什么关系？（相等）同学们通过画图，举个简单的例子，验证了在正方形棋盘四周摆棋，棋子的个数=段数3、拓展：探索所有封闭图形中点数与段数的关系师：正方形是一种封闭图形，你还知道哪些平面图形也是封闭图形？师：通过研究，我们发现在正方形四周摆棋，棋子的个数正好等于段数。

那么，是不是所有的封闭图形周围摆棋都有这个规律呢？所有的封闭图形的植树问题中点数都正好等于段数生1：是的。

生2：我觉得圆和椭圆不是的。

师：你为什么会觉得这两个图形不是的呢？生2：因为这两个图形的线条是弯的（弧线），而其它图形的线条是直的。

师：那是不是所有封闭图形中点数就等于段数呢？会不会像这位同学所说的：直的就等于，弯的就不等于呢？同学们任选其中2种自己最喜欢的图形来验证一下。

学生画图验证，师巡视检查。

师：你们验证的结果是什么？（封闭图形中点数等于段数）有没有不等于的？生3：张老师，我不知道这种图形是不是的？我数了有3点，却只找出两段（这位学生到黑板上画出图形）师：什么是段数？段数就是指间隔数，即每两个点之间的线就是一个间隔。

这条弧线也是一段。

那这个图形中有几段？（3段）有几个点？（3个点）图形中点数和段数有什么关系？（相等）师：通过刚才的画图，你发现封闭图形上段数和点数有什么关系？（相等）想想看，今天我们所学的知识就是我们以前学过的哪个内容？（植树问题）（板书：植树问题）4、谈话：封闭图形的植树问题与线段中的植树问题的关系：师：前面学的植树问题都是在一条线段上种树，而我们今天研究的封闭图形的植树问题与在一条线段上的植树问题有什么联系吗？生：跟只栽一端的规律是相同的。

（结合课件动画动态演示：成展开和还原两种方向演示）小结：今天我们通过研究围棋中的数学，发现其中包含了植树问题——封闭图形中的植树问题，而封闭图形中的植树问题跟只栽一端的规律是相同的。

通过学习，我们发现了知识间是有密切联系的，同学们学习时如果能找到这种联系，你的学习将会容易很多、轻松很多。

四、应用规律1、圆形滑冰场的一周全长是150米。

如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？ （150÷15=10段=10盏）2、抢答题：（1）一个正方形花圃周长68米，在它周围每隔1米放1盆花,一共可以放多少盆花？3、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆放？最少需要几盆花？4、思考：48名学生在操场上做游戏。

大家围成一个正方形，每边人数相等。

四个顶点都有人，每边各有多少名学生？五、全课总结通过今天的学习，你有什么收获与体会？板书设计：棋盘中的数学————封闭图形中植树问题复杂——转化—→简单1、19×4－4＝72 54×4÷3＝72（段）————72（颗）2、19×2＋17×23、18×4 段数＝颗数4、17×4＋4 点——————段4、19+18+18+175、19×19－17×17。