《正弦余弦函数的周期性》PPT课件
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正余弦函数的周期性PPT教学课件
浩大1的9“从58除年“四，可害中”持华运大续动地发。掀一展起时一”间股的，声全势 国角上度下对来老看鼠，、苍这蝇场、运蚊子动、是麻对雀展 开的大吗规模？围现剿在。被还株应连该的还开有展野吗猪、？
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
正弦余弦函数的周期性
教材内容：
人教版《全日制普通 高级中学教科书（必 修）·数学》第一册 （ 下 ） 第 四 章 4.8 节 “正弦函数、余弦函 数的图象和性质”第3 课时（周期性）
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析
一、教材分析
1.教学内容的地位和作用 理论上是重要基础 实际中是重要工具 体现数形结合思想 培养学生思维能力 简化研究过程
三、过程分析
3.讨论问题，剖析概念
(1)对于函数y=sinx,x∈R,有
,能否说
是它的一个周期?为什么?
(2)f(x)=x2是周期函数吗?为什么?
(3)给出最小正周期的定义.提问：由周期函数的定义可知,正 弦、余弦函数是周期函数,那么它们的周期是什么?最小正周期又 是什么?
结论：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z,
价
都需要野生生物。
值
美学价值：色彩纷呈的花木及神态各异
的动物都能给人以美的享受。
人们模拟苍蝇的平衡棒研制出运载火箭 的振动陀螺仪
神奇的山水配以绚丽的生物，给人 以美的感受。
间接使用价值
间接使用价值指生物多样性具有重要的生态功 能。
动物需要以特定的生物为食物，同时它的发展 又需要相应的生物来制约它；植物需要特定的动物 来为它传粉、散播种子，还需要各种微生物将不能 利用的有机物分解为无机盐以便重新利用。各种生 物共同维持生态系统的结构与功能。
正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 课件
自主学习 基础认识
|新知预习| 1．周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T ②当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝
f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23. 【答案】 D
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶 性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝ Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
方法归纳
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
|新知预习| 1．周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T ②当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝
f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23. 【答案】 D
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶 性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝ Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
方法归纳
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
高一数学《正弦余弦函数的周期性》PPT课件
……
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） ……
f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
铜仁学院数计系
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
-2π ]上的解析式.
4
铜仁学院数计系
谢谢指导！
再见
铜仁学院数计系
特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
铜仁学院数计系
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR;
2
解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π .
.
（3）的周期是2π.
3 f x sinx, xR;
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
铜仁学院数计系
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） ……
f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
铜仁学院数计系
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
-2π ]上的解析式.
4
铜仁学院数计系
谢谢指导！
再见
铜仁学院数计系
特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
铜仁学院数计系
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR;
2
解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π .
.
（3）的周期是2π.
3 f x sinx, xR;
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
铜仁学院数计系
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?
5.3.1.2正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件高一上学期数学
答案：ABC 解析：对于D，x∈(－1，1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． 故选ABC.
答案：D
答案：A
4．已知函数y＝cos (x－φ)，φ∈[0，π]是奇函数，则φ的值为 ________．
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
___2_π____
_偶___函数 对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：，k∈Z
状元随笔 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象 上，正弦曲线关于原点(0，0)对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
× × √
跟踪训练2 函数f(x)＝|sin x|＋cos x是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
答案：B
解析：∵函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R， 且f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x) ＝|－sin x|＋cos x ＝|sin x|＋cos x＝f(x) ∴f(x)是偶函数．故选B.
√
答案：D
3．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：A
解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故 选A.
4．函数f(x)＝sin x cos x是____奇____函数．(填“奇”或“偶”)
第2课时 正弦函数、余弦函数的 周期性与奇偶性
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
要点一 周期函数
1．周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在__非__零____常数T，使得当x取定 义域内每一个值时，x±T都有定义，并且_f_(x_±__T_)＝__f(_x_) ，则称这个函数 y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
答案：D
答案：A
4．已知函数y＝cos (x－φ)，φ∈[0，π]是奇函数，则φ的值为 ________．
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
___2_π____
_偶___函数 对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：，k∈Z
状元随笔 (1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象 上，正弦曲线关于原点(0，0)对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
× × √
跟踪训练2 函数f(x)＝|sin x|＋cos x是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
答案：B
解析：∵函数f(x)＝|sin x|＋cos x的定义域是R， 且f(－x)＝|sin (－x)|＋cos (－x) ＝|－sin x|＋cos x ＝|sin x|＋cos x＝f(x) ∴f(x)是偶函数．故选B.
√
答案：D
3．函数f(x)＝sin (－x)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：A
解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故 选A.
4．函数f(x)＝sin x cos x是____奇____函数．(填“奇”或“偶”)
第2课时 正弦函数、余弦函数的 周期性与奇偶性
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
要点一 周期函数
1．周期函数 一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在__非__零____常数T，使得当x取定 义域内每一个值时，x±T都有定义，并且_f_(x_±__T_)＝__f(_x_) ，则称这个函数 y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)
目标回顾
1. 从生活实际的周期现象出发，概 括抽象出周期函数的概念； 2. 运用数形结合方法探究正、余弦 函数的周期性，从而进一步推导出 正、余弦型函数的周期公式； 3. 会求一些简单三角函数的周期.
课堂小结
本节课你在 知识•方法•思想上都 有哪些收获？
课堂作业
必做：P46 习题1.A组 第3题 B组 第3题
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期
问题探究2
？？思考 ？？
y si nx,x [0,8]是不是周期函数 为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？ 换句话说，只要过的天数具有什么特征， 就会再次出现星期四？
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
y sixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
yc oxs
2
3
4
5 6x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线来解决。
解： f x Asin x
Asinx2
Asinx2
Asinx2
f
x
2
T 2
归纳总结
一般地，函数yAsin(x),xR及函 数yAcos(x),xR(其中A,,为常 数,且A0,0)的周期为:T2.
正弦函数、余弦函数的周期性PPT优秀课件
正弦函数、余弦
函数的周期性
教师：傅启峰
引入:
三角函数是刻画圆周的数学模型, 那么“周而复始”的基本特征必定蕴含 在三角函数的性质之中. 三角函数到底有那些性质呢?
由单位圆中的三角函数线可 知,正余弦函数值的变化呈现出周 期现象.每当角增加(或减少)2π,所 得角的终边与原来的终边相同.故 两角的正弦、余弦函数值也分别 相同.即有:
判断下列函数的周期性：
1 . ysin xx R
2 . y sin xx R
正弦函数 余弦函数的图象和性质 ý Ò Õ Ï º ¯ Ê ý .Ó à Ò º Ï ¯ Ê ý µ Ä Í ¼ Ï ó º Í Ð Ô Ö Ê sin x ,x R 正弦函数 y 的图象
y
正弦曲线
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
2
4
-
6
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 2 , 0 , , 4 , 2 0 ,2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
注意: 1.x及x+T都应在函数的定义域内． 2.T≠0
3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)
4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，
则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
函数的周期性
教师：傅启峰
引入:
三角函数是刻画圆周的数学模型, 那么“周而复始”的基本特征必定蕴含 在三角函数的性质之中. 三角函数到底有那些性质呢?
由单位圆中的三角函数线可 知,正余弦函数值的变化呈现出周 期现象.每当角增加(或减少)2π,所 得角的终边与原来的终边相同.故 两角的正弦、余弦函数值也分别 相同.即有:
判断下列函数的周期性：
1 . ysin xx R
2 . y sin xx R
正弦函数 余弦函数的图象和性质 ý Ò Õ Ï º ¯ Ê ý .Ó à Ò º Ï ¯ Ê ý µ Ä Í ¼ Ï ó º Í Ð Ô Ö Ê sin x ,x R 正弦函数 y 的图象
y
正弦曲线
1-
6
-
4
-
2
-
o
-1 -
2
4
-
6
-
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 2 , 0 , , 4 , 2 0 ,2 , 2 , 4 ,……与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
x
正弦、余弦函数y=sinx,y=cosx,x∈R的图象
注意: 1.x及x+T都应在函数的定义域内． 2.T≠0
3.f(x+T)=f(x)(x是定义域内任意的)
4.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，
则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
y x o 2π 4π 6π 8π 10π 12π
对于一个周期函数f(x),如果在它的所 有正周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
142正弦函数余弦函数的性质周期性
§1.4 正弦余弦函数的性质
(1)周期性
2020/3/23
2020/3/23
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义．
y
o
x
X
X+2π
X
X+2π
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的
能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性？
2020/
1 ysi,n x x R
函数y f (x)的周期.
2020/3/23
例 求下列函数的周期：
(1)y=3cosx, x∈R;
这里的周期指的 是最小正周期!
(2)y=sin2x, x∈R;
(3)y2sin(1x),xR
26 解:(1) Qcosx是以2π为周期的周期函数.
cos(x2 )cosx, 3co s(x2 )3co sx,
若 0 则 T 2
2020/3/23
练习：
(1) 求下列函数的最小正周期
(1)f(x)sin(2x)
5
(2)f(x)1cos(x)
2 32
T2 2 1 2
T
2 ||
2
4
2
2020/3/23
小结：
1.周期函数、最小正周期的定义；
2. yAsin(x)和 yAcos(x)
型函数的周期的求法。
x
o
2 3
4
-1
y 1 yco,s x x R
-2
-
o
2
3
x
-1
2020/3/23
如何用数学语言刻画周期性
2020/3/23
1、周期的定义
对于函数 f ( x ) ，如果存在一个非零常
(1)周期性
2020/3/23
2020/3/23
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义．
y
o
x
X
X+2π
X
X+2π
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的
能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性？
2020/
1 ysi,n x x R
函数y f (x)的周期.
2020/3/23
例 求下列函数的周期：
(1)y=3cosx, x∈R;
这里的周期指的 是最小正周期!
(2)y=sin2x, x∈R;
(3)y2sin(1x),xR
26 解:(1) Qcosx是以2π为周期的周期函数.
cos(x2 )cosx, 3co s(x2 )3co sx,
若 0 则 T 2
2020/3/23
练习：
(1) 求下列函数的最小正周期
(1)f(x)sin(2x)
5
(2)f(x)1cos(x)
2 32
T2 2 1 2
T
2 ||
2
4
2
2020/3/23
小结：
1.周期函数、最小正周期的定义；
2. yAsin(x)和 yAcos(x)
型函数的周期的求法。
x
o
2 3
4
-1
y 1 yco,s x x R
-2
-
o
2
3
x
-1
2020/3/23
如何用数学语言刻画周期性
2020/3/23
1、周期的定义
对于函数 f ( x ) ，如果存在一个非零常
正弦函数、余弦函数的性质 课件
类型二 三角函数奇偶性的判断
【典例】1.(沧州高一检测)函数f(x)= 的奇偶性为 ( )
sin2x2
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.判断函数f(x)=sin (3 x 3) 的奇偶性.
42
【审题路线图】1.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称 ⇒f(-x)与f(x)的关系. 2.奇偶性⇒定义域⇒是否关于原点对称⇒f(-x)与f(x)的 关系.
2
是偶函数,故选C.
2.选D.因为f(x)的最小正周期为T=π,
所以 f( 5 π)＝f( 5 π－2π)＝f(－π )，
3
3
3
又y=f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x).
所以 f( 5 π)＝f(－π )＝f( π )＝sin π＝ 3 .
3
33
32
【延伸探究】若本例2中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变,结果如何?
类型三 三角函数周期性与奇偶性的综合应用
【典例】1.下列函数中周期为 ,且为偶函数的
2
是( )
A.y=sin4x
C.y＝sin(4x＋π ) 2
B.y=cos 1 x
4
D.y＝cos( 1 x－π ) 42
2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若
f(x)的最小正周期为π,且当x∈ [0，] 时,f(x)=sinx,
4.若函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则f(5)= ________. 【解析】因为函数是以2为周期的函数,且f(3)=6,则 f(5)=f(3+2)=f(3)=6. 答案:6
5.根据函数奇偶性的定义判断函数y=lgcosx是 ________函数.(填写奇或偶)
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26
四、课堂练习:
1、求下列函数的周期：
第一组11 f x 4sin x, xR;
2 f x cos x, xR;
第二组2 1 f x sin 1 x, x R;
2
第三组31 f x 2sin(1 x ), x R;
23
2 f x sinx, xR;
2 f x 2sin(1 x 5 ), x R.
26
三、例题与练习分析：
第一组1 1 f x 3cos x, xR; 2 f x 4sin x,xR; 3 f x cos x, xR;
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR; 3 f x sinx, xR;
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
——周期性
江西省永丰县永丰中学：徐冬发
问题1: 今天是11月18日，星期三，那么7天后是星期几？30天 后呢？为什么？
问题2:类似的，这样现象在我们的生活中有没有？试举例说明.
以星期为例，来构造一个函数：
用自变量x来表示“x天后”，实数1表示星期一、实数2表 示星期二……以此类推，实数7表示星期日.
？那么余弦函数是不是周期函数？如果是，多少
是它的周期？
正弦函数 y sin x ,余弦函数 y cos x 都是周期函
数，且2π是它们的周期.
对于函数f (x),如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x)，那么函数f (x) 就叫做周期函数.
2 解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π . .
（3）的周期是2π.
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
26
2 f x 2sin(1 x ), x R; 3 f x 2sin(1 x 5 ), x R.
23
26
解：他们的周期都是4π.
归纳：这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗？ 与x前面的系数有关
结论:
y Asin( wx ), y Acos(wx )(其中 A, w, 为常数，
且 A 0, w 0 )的周期T与解析式中的 “ w ”有关.
四、小结： 问题：你觉得你这节课学习了哪些知识？有什么收获？
二、探究
（1）函数 y sin x 有
2
,则 3
_不__是__它的周期
（填“是”或“不是”），为什么？
（2）2π 是函数f(x)= sinx, x∈R的周期，则-2π 是这个函数的周期 吗？4π 呢？-4π 呢? 从这个问题里，你能归纳出什么结论？
都是的；结论是：2k k Z,k 0 都是正弦函数的周期.
……
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） …… f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
（3）函数 y=sinx, x∈[0,12π] 是不是周期函数？为什么？ 不是
最小正周期
如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正 周期.
正弦函数 y sin x ,余弦函数 y cos x 都是周期函数，
且最小正周期等于2π.
注意：
-2π ]上的解析式.
4谢谢指导！ 再见Fra bibliotek特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?
2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f (x 2 ) f (x), 且x∈[0，2π ]
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
今后我们谈到函数周期时，如果不加特别说 明，一般都是指此函数的最小正周期.
正弦函数 y sin x、余弦函数y cos x 的周期都是2π.
三、例题分析：
例1、求下列函数的周期.
1 f x 3cos x, x R;
2 f x sin 2x, xR;
3 f x 2sin(1 x ), x R;
x … -1 0 1 f(x) … 2 3 4
2 34 5 6 7 8 5 6 71 234
9… 5…
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
f(x) … 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 …
我们可以发现： f（-1）=2= f（6） …… f（ 0 ）=3= f（7） …… f（ 1 ）=4= f（8） …… f（ 2 ）=5= f（9） ……
思考: 我们刚学习过的正弦、余弦函数是不是周期函数？
f (x)=sinx(x∈R)
y
x0
x+2π
x
-2π
2π
4π
6π
结合图像:在定义域内任取一个x，那么x +2π ∈R
由诱导公式可知： 有sin(x+2π) = sinx 即 f (x+2π) = f (x)
正弦函数 y sin x, x R.是周期函数，且2π是它的周期.
1、本节课我们学习了周期函数以及正余弦函数的周期性. 要注意最小正周期的概念.
2、掌握利用最基本的函数：正弦函数、余弦函数的周期
是2π，来求形如： y Asin( wx ), y Acos(wx )
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10
四、课堂练习:
1、求下列函数的周期：
第一组11 f x 4sin x, xR;
2 f x cos x, xR;
第二组2 1 f x sin 1 x, x R;
2
第三组31 f x 2sin(1 x ), x R;
23
2 f x sinx, xR;
2 f x 2sin(1 x 5 ), x R.
26
三、例题与练习分析：
第一组1 1 f x 3cos x, xR; 2 f x 4sin x,xR; 3 f x cos x, xR;
解：他们的周期都是2π.
第二组2 1 f x sin 2x, x R; 2 f x sin 1 x, xR; 3 f x sinx, xR;
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
——周期性
江西省永丰县永丰中学：徐冬发
问题1: 今天是11月18日，星期三，那么7天后是星期几？30天 后呢？为什么？
问题2:类似的，这样现象在我们的生活中有没有？试举例说明.
以星期为例，来构造一个函数：
用自变量x来表示“x天后”，实数1表示星期一、实数2表 示星期二……以此类推，实数7表示星期日.
？那么余弦函数是不是周期函数？如果是，多少
是它的周期？
正弦函数 y sin x ,余弦函数 y cos x 都是周期函
数，且2π是它们的周期.
对于函数f (x),如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x)，那么函数f (x) 就叫做周期函数.
2 解：（1）的周期是π .
（2）的周期是4π . .
（3）的周期是2π.
第三组3 1 f x 2sin(1 x ), xR;
26
2 f x 2sin(1 x ), x R; 3 f x 2sin(1 x 5 ), x R.
23
26
解：他们的周期都是4π.
归纳：这些函数的周期与解析式中的那些量有关吗？ 与x前面的系数有关
结论:
y Asin( wx ), y Acos(wx )(其中 A, w, 为常数，
且 A 0, w 0 )的周期T与解析式中的 “ w ”有关.
四、小结： 问题：你觉得你这节课学习了哪些知识？有什么收获？
二、探究
（1）函数 y sin x 有
2
,则 3
_不__是__它的周期
（填“是”或“不是”），为什么？
（2）2π 是函数f(x)= sinx, x∈R的周期，则-2π 是这个函数的周期 吗？4π 呢？-4π 呢? 从这个问题里，你能归纳出什么结论？
都是的；结论是：2k k Z,k 0 都是正弦函数的周期.
……
f（-1）= f（-1+7） …… f（0）= f（ 0+7 ） …… f（1）= f（ 1+7 ） …… f（2）= f（ 2+7 ） ……
……
那么，对定义域内任意一个 x 都有 f（x+7） = f（x）
一、周期函数：
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
（3）函数 y=sinx, x∈[0,12π] 是不是周期函数？为什么？ 不是
最小正周期
如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正 周期.
正弦函数 y sin x ,余弦函数 y cos x 都是周期函数，
且最小正周期等于2π.
注意：
-2π ]上的解析式.
4谢谢指导！ 再见Fra bibliotek特别提醒：
（1）常数T不为0； （2）x的任意性；
（3） x∈A, x+T ∈A.(A是函数的定义域).
解：（一）∵f (x)=sin(-x)=sin(-x+2π) =sin[-(x-2π)]=f(x-2π)
1、判断函数 f(x)=2 , x∈ R是不是周期函数？若是，则4是不是它的 周期？0.5是不是?0.001是不是?0.00001是不是?从这里你能得到 什么结论?
2、已知定义在R上的函数f(x)满足 f (x 2 ) f (x), 且x∈[0，2π ]
.
时,有
f
x sin 3 x, 求f (x)在[-4π ,
今后我们谈到函数周期时，如果不加特别说 明，一般都是指此函数的最小正周期.
正弦函数 y sin x、余弦函数y cos x 的周期都是2π.
三、例题分析：
例1、求下列函数的周期.
1 f x 3cos x, x R;
2 f x sin 2x, xR;
3 f x 2sin(1 x ), x R;
x … -1 0 1 f(x) … 2 3 4
2 34 5 6 7 8 5 6 71 234
9… 5…
x … -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
f(x) … 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 …
我们可以发现： f（-1）=2= f（6） …… f（ 0 ）=3= f（7） …… f（ 1 ）=4= f（8） …… f（ 2 ）=5= f（9） ……
思考: 我们刚学习过的正弦、余弦函数是不是周期函数？
f (x)=sinx(x∈R)
y
x0
x+2π
x
-2π
2π
4π
6π
结合图像:在定义域内任取一个x，那么x +2π ∈R
由诱导公式可知： 有sin(x+2π) = sinx 即 f (x+2π) = f (x)
正弦函数 y sin x, x R.是周期函数，且2π是它的周期.
1、本节课我们学习了周期函数以及正余弦函数的周期性. 要注意最小正周期的概念.
2、掌握利用最基本的函数：正弦函数、余弦函数的周期
是2π，来求形如： y Asin( wx ), y Acos(wx )
（其中 A, w, 为常数，A 0）的周期.
五：课后作业与思考题
课本 p36 练习2 p46 A组10