(完整word版)5.1角的概念的推广习题课
(完整word版)角的概念的推广练习题
1、下列说法正确的是（ ）A 第一象限的角一定是锐角B 锐角一定是第一象限角C 、小于90︒的角一定是锐角D 第一象限的角一定是正角2、-50︒角是（ ）角A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、与330︒角终边相同的角是（ ）A-60︒ B390︒ C-390︒ D-45︒4、)(30360Z k k ∈-•︒︒所表示的角是（ ）角A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限5、设∂是第二象限角，则2∂是（ ）角A 一或三象限角B 二或四象限角C 一或二象限角D 二或三象限角6.在0-360︒内，与角︒-1770终边相同的角是（ ）A210︒ B ︒150 C ︒60 D30︒7、已知下列各角：︒︒︒︒--495,180,240,120，其中第二象限角是（ ）A ︒︒--240,120B ︒︒-180,120C ︒︒-180,240D ︒︒-495,2408、下列各组角中，终边相同的是（ ）A ︒︒690,390B ︒︒-750,330C ︒︒-420,480D ︒︒-840,30009、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝10、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B.－45°－4×360°C.－45°－5×360°D.315°－5×360°11、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．12、终边落在x轴上的角的集合为13、终边落在y轴上的角的集合为14、终边落在坐标轴上的角的集合为15、终边落在一、三象限角的平分线上的角的集合为16终边落在象限的角平分线上的角的集合为。
(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档
(完整word版)高中数学三角函数基础知识点及答案(2),推举文档高中数学三角函数基础知识点及答案1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一具位置旋转到另一具位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一具零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就讲那个角是第几象限的角。
假如角的终边在坐标轴上，就以为那个角别属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：(1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k kαθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角别一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，所以，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''，1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。
（答：25-o；536π-）(2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k kαθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边对于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边对于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边对于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .(6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边对于直线x y =对称，则α＝____________。
角的概念与推广
30°＋K·360°，K ∈ Z
与 终边相同的角的一般形式为
＋K · 360°，K ∈ Z 注:
（1）K ∈ Z
（2）是任意角
（3）K·360°与 之间是“+”号，如 K·360°－30 °，应看成K·360 °+（－30 °）
（4）终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同，终边相同的角有无数 多个，它们相差360°的整数倍。
Ⅱ y Ⅰ
终边
x
o
始边
终边
Ⅲ
终 边
终
Ⅳ
边
象限角
置角的顶点于原点
始边重合于X轴的非负半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
y 终边
x
o
始边
终边
坐标轴上的角
终边
置角的顶点于原点
始边重合于X轴的非负半轴
终边落在坐标轴上
例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°等都是界限角．
练习：
（1）请用集合表示下列各角;
①0°～90°间的角 ②第一象限角
③锐角
④小于90°角．
（2）分别写出： ①终边落在x轴负半轴上的角的集合； ②终边落在y轴上的角的集合； ③终边落在第一、三象限角平分线上的角 的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集 合．
小结：
1.任意角 的概念
正角：射线按逆时针方向旋转 形成的角 负角：射线按顺时针方向旋转 形成的角 零角：射线不作旋转形成的角
练习：判定下列角是第几象限的角？
30°，120°，-60°，390°， -100°， 200°，-460°
y
-330° 390°
o
30°
x
练习,角的概念的推广
角的概念的推广一.选择题1下列角中终边与330 °相同的角是（）A. 30° B . -30 ° C . 630° D . -630 °2、—1120°角所在象限是（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3、把—1485° 转化为a + k?360°（0°< a V 360° , k € Z）的形式是（）A . 45°—4X 360°B.—45°—4X 360°C.—45°—5X 360°D. 315°—5X 360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A .{a 1 90°<a <180°}B. { a 1 90° +k?180°<a<180°+ k?180°, k€ Z}C. { a 1 —270 °+ k?180°<a <—180°+ k?180°,k€ Z}D. { a 1 —270 °+ k?360°<a <—180°+ k?360°,k€ Z}5、下列命题是真命题的是（）A .三角形的内角必是一、二象限内的角B .第一象限的角必是锐角C. 不相等的角终边一定不同D. £|a = k，360 °±90 ：k € Z ｝= Q | a = k 180 ' + 90 ：k 乏Z ｝6、已知A=｛第一象限角｝, B=｛锐角｝, C=｛小于90°的角｝，那么A B C关系是（）A. B=A P CB. B U C=C C . A C D . A=B=C7、已知角2 a的终边在x轴的上方，那么a是（）A.第一象限角 B .第一、二象限角 C .第一、三象限角 D .第一、四象限角8、若：•是第四象限的角，贝U 是180-〉.A.第一象限的角B.第二象限的角C .第三象限的角D .第四象限的角二.填空题1、写出-720 °至^ 720°之间与-1068 °终边相同的角的集合________________________ .2、与1991 °终边相同的最小正角是__________ ,绝对值最小的角是__________________ .3、若角a的终边为第二象限的角平分线，贝U a的集合为 ________________________ .4、在0°到360°范围内，与角一60°的终边在同一条直线上的角为三.解答题1、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角:（1）- 210 ; （2）-1484 37 .2、求二，使二与一900,角的终边相同，且— Li80 ,1260 13、设集合A| k 360 60 ：：： x ：：： k 360 300 ,k Z ,B = * |k 360 - 210 ：： x :：: k 360 ,k Z：',求A B A B .4、已知角〉是第二象限角，求：(1 )角二是第几象限的角；(2)角2-终边的位置。
5.1角的概念与推广
例2:在直角坐标系中判断下列各角，指出他们是否是界限角，
如果不是，说明是第几象限角。
（1）−270°； （2）280°； （3）−230°； （4）225°；
练习：在直角坐标系中，判断下列角，是第几象限角。
（1） 60°在第 一 象限；
（2） −45° 在第 四 象限；
（3） 210° 在第 三
即所有与角终边相同的角都
可以表示成角与360°的整数
倍的和。
两个终边相同的角的差，恰好
是360°的整数倍。
例如：与45°角终边相同的角
的集合可写为
| = 45° + ∙ 360°, ∈
例1 指出下列各角是否为界限角，如果不是指出其所在的象限。
（1）1070°；
（2）−230°；
【跟踪训练1】
给出下列四个命题：
①锐角是第一象限角；
②在90° ≤ < 180°范围的角一定是钝角；
③−475°是第三象限角；④700°是第四象限角。
其中真命题有（ C ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例2.已知角的终边在直线 = −上，
（1）写出角的集合.
（2）写出中适合不等式−360° ≤ ≤ 360°的元素.
第五章 三角函数
——5.1 角的概念与推广
（一）创设情境，导入新课
问题 1 ：初中对角的定义是什么呢？
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
问题 2 ：初中学习过的角有哪些？
α
α
α
锐角
0° < α < 90°
α
平角 α = 180°
钝角
90° < α < 180°
角的概念的推广习题
目录
• 角的基本概念与性质 • 推广至任意角 • 推广至平面内任意角 • 推广至空间任意角 • 习题解析与讨论
01
角的基本概念与性质
角的定义与表示方法
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形，这个共享的端点称为 角的顶点，两条射线称为角的边。
角可以用三个大写字母表示，其中中间的字母表示角的顶点，两边的字 母分别表示角的两条边。例如，角ABC可以表示为∠ABC。
解答过程
由题意可知，角α的终边经过点P(3,4)，则 OP=√(3^2+4^2)=5。根据三角函数的定义，我们有 sinα=y/r=4/5，cosα=x/r=3/5。
例题2
已知sinθ=3/5，θ为第二象限角，求cosθ和tanθ的值。
分析
本题考查同角三角函数的基本关系式。根据同角三角函 数的基本关系式，我们可以求出cosθ和tanθ的值。
02
推广至任意角
任意角的定义及表示方法
任意角定义
角是由两条射线共享一个端点而形成的几何图形，这两条射线被称为角的边， 共享的端点被称为角的顶点。
表示方法
在平面直角坐标系中，通常用希腊字母（如α、β等）表示角，顶点位于坐标原 点，一条边与x轴正半轴重合，另一条边绕顶点逆时针旋转到终边所形成的角。
任意角的三角函数关系
还有一种表示角的方法是在角的顶点处画一个小弧线，并标上数字或字 母。例如，角A可以表示为∠1或∠A。
角的大小比较和运算
角的大小可以用度数、弧度或其 他度量单位来衡量。在几何学中， 通常使用度数作为角的度量单位。
两个角如果它们的大小相等，则 称它们为等角。等角具有相同的
度数或弧度。
角的运算包括角的加法、减法、 乘法和除法。这些运算遵循与数
§5.1角的概念推广
例 1 写出与下列各角终边相同的角的集合：
（1） 75
（2） 200
分析
思考解答
例 2 找出 0 ～ 360 内与下列各角终边相同的角，并判断它们
是第几象限角。
（1） 120 （2） 640 （3） 950
分析
例 3 已知角 与 240 的终边相同，判断角 2 是第几象限角。
思考解答
教学过程与内容
3、 与角 终边相同的角的集合
﹛ k 360, k Z ﹜
例1 例2 例3
教学札记
教学过程与内容
教法、学法
一、引言：
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世界上的许多现象，如四季的更替，时钟分针的圆周运动，
潮汐的起起落落……都表现出一定的周期性。本章将要学习的三
角函数，就是刻画这种周期性的重要数学模型。
（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数多个，它们相差 360 的整数倍。
观察 理解
2、新知：
一般地，所有与角 终边相同的角（连同角 在内），可组成一 个集合﹛ k 360, k Z ﹜，即任一与角 终边相
同的角，都可以表示成角 与周角整数倍的和的形式。
不足一周的角加上或减去若干个周角，就是它的大小。
如： 750 = 30 2360 750 = - 30 2360
高一数学必修第一册 第5章 第一节 课时1 角的概念的推广(解析版)
第5章 第一节 课时1 角的概念的推广一、单选题1．如图，圆O 的圆周上一点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈，24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角是（ ）A ．864-B ．432C ．504D ．864【答案】D【分析】求出点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以24即可求解. 【详解】因为点P 以A 为起点按逆时针方向旋转，10min 转一圈， 所以点P 逆时针方向旋转一分钟转的度数为3603610=， 设24min 之后OP 从起始位置OA 转过的角为3624864⨯=， 故选：D ．2．下列各角中与60终边相同的角是（ ）A ．300-B ．240-C ．120D ．390【答案】A【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.【详解】30060360-=-，24060300-=-，0106602=+，39060330=+， 因此，只有A 选项中的角与60终边相同. 故选：A.3．下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是A ．37-B ．143C ．379D ．143-【答案】D【分析】根据与37角的终边在同一直线上的角可表示为()37180k k Z +⋅∈，然后对k 赋值可得出正确选项.【详解】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +⋅，k Z ∈，当1k =-时，37180143-=-，所以，143-角的终边与37角的终边在同一直线上. 故选D ．【点睛】本题考查终边在同一直线上的两角之间的关系，熟悉结论：与角α的终边在同一直线上的角为()180k k Z α+⋅∈，属于基础题. 4．若角2α与240角的终边相同，则α= A ．120360,k k Z +⋅∈ B ．120180,k k Z +⋅∈ C ．240360,k k Z +⋅∈ D ．240180,k k Z +⋅∈【答案】B【分析】由题意得出()2240360k k Z α=+⋅∈，由此可计算出角α的表达式. 【详解】因为角2α与240角的终边相同，所以()2240360k k Z α=+⋅∈， 则120180k α=+⋅，k Z ∈. 故选B.【点睛】本题考查终边相同的角之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5．若角αβ、的终边相同，则αβ-的终边在． A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上 【答案】A【分析】可用终边相同的公式表示,αβ，再作差根据范围判断即可【详解】设122,2,αa k πβa k πk Z =+=+∈，则()122,k k k Z -=-∈αβπ，终边在x 轴的非负半轴上 故选A【点睛】本题考查任意角的概念，终边相同的角的表示方法，属于基础题 6．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α A ．是第三象限角 B ．是第四象限角 C ．是第三或第四象限角 D ．不是象限角 【答案】D【分析】根据点P 的位置，可判断出角α终边的位置.【详解】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选D.【点睛】本题考查根据角的终边上的点判断出角的终边的位置，考查对任意角概念的理解，属于基础题.7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【答案】C【详解】分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果. 详解：若α是第一象限角，则：90α︒-位于第一象限， 90α︒+位于第二象限， 360α︒-位于第四象限， 180α︒+位于第三象限，本题选择C 选项.点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度. 8．已知角2α是第一象限角，则α的终边位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第一或第二象限D ．第一或第二象限或y 轴的非负半轴上【答案】D【分析】由象限角可得到角2α的范围,进而可求得α的范围,即可得出α的终边所在位置. 【详解】∵由角2α是第一象限角,∴可得π2π2π,22k k k α<<+∈Z ,∴4π4ππ,k k k α<<+∈Z .即α的终边位于第一或第二象限或y 轴的非负半轴上. 故选:D.【点睛】本题考查了象限角,熟练利用角的范围是解题的关键,属于基础题.9．集合(){}180190,nA x x n n Z ==⋅+-⋅∈与{}36090,B x x m m Z ==⋅+∈之间的关系是 A ．ABB ．B AC ．A B =D ．A B =∅【答案】C【分析】对集合A 中的整数n 分偶数和奇数两种情况讨论，并将集合A 中的等式化简，由此可判断出集合A 与集合B 之间的关系.【详解】对于集合A ，当n 为偶数时，设()2n k k Z =∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+；当n 为奇数时，设()21n k k Z =+∈，()180********nx n k =⋅+-⋅=⋅+.所以，集合{}36090,A x x k k Z ==⋅+∈，因此，A B =. 故选C.【点睛】本题考查角的两个集合之间包含关系的判断，解题的关键就是对整数n 进行分类讨论，并将集合A 中的等式化简，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 10．若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则集合{|}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分k 为偶数和奇数讨论，即可容易判断选择. 【详解】当k 取偶数时，2,k n n Z =∈，2π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈，故角的终边在第一象限. 当k 取奇数时，21,k n n Z =+∈，532π2π,n Z 42n n ππα+≤≤+∈， 故角的终边在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查图形中阴影部分对应角度的集合，属简单题.二、多选题11．（多选）下列四个选项中正确的是（ ） A ．-75°角是第三象限角 B ．225°角是第二象限角 C ．475°角是第二象限角 D ．-315°是第一象限角【答案】CD【分析】根据象限角的定义结合图像逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，如图1所示，-75°角是第四象限角，故A 错误；对于B ，如图2所示，225°角是第三象限角，故B 错误；对于C ，如图3所示，475°角是第二象限角，故C 正确；对于D ，如图4所示，-315°角是第一象限角，故D 正确．12．下列命题中，假命题的是（ ） A ．终边在x 轴的非正半轴上的角是零角 B ．第二象限角一定是钝角 C ．第四象限角一定是负角D ．若()360k k βα=+⋅︒∈Ζ，则α与β终边相同 【答案】ABC【解析】角的概念和辨析，按照概率逐一进行判断即可.【详解】终边在x 轴负半轴上的角是2,k k αππ=+∈Z ，零角是没有旋转的角，所以A 为假命题；第二象限角应表示为2,2,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，是由无数多个区间的并集构成，所以B为假命题；第四象限角表示为32,22,2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k ≥时，就是正角，所以C 为假命题；若()360k k βα=+⋅︒∈Z ，则α与β终边相同，所以D 为真命题. 故选：ABC.13．（多选）已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】AC【分析】由角2α的终边的位置，可得角2α的范围：3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，即得角α的范围：18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，再对k 分奇数和偶数讨论可得解. 【详解】因为角2α的终边在x 轴的上方，所以3602360180k k α⋅<<⋅+，k Z ∈，则有18018090k k α⋅<<⋅+，k Z ∈.故当2k n =，n Z ∈时，36036090n n α⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第一象限角； 当21k n =+，n Z ∈时，360180360270n n α⋅+⋅<<⋅+，n Z ∈，α为第三象限角.【点睛】本题考查角2α和角α的终边的位置关系，关键在于由角的终边的位置得角的范围，再分k 为奇数和偶数讨论，属于基础题.14．下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（ ）． A ．540αβ+=︒ B ．360αβ+=︒ C ．180αβ+=︒ D ．90αβ+=︒【答案】AC【解析】假设α，β为0180内的角，可得180αβ+=，再由终边相同角的表示即可求解.【详解】假设α，β为0180内的角，如图所示：由α和β的终边关于y 轴对称，所以180αβ+= 根据终边相同角的概念，可得()36018021180,k k k Z αβ+=+=+∈， 所以满足条件的为A 、C 故选：AC三、填空题15．将90︒角的终边按顺时针方向旋转30︒所得的角等于________． 【答案】60︒【分析】顺时针旋转所得角为负角，即903060︒︒︒-=．【详解】因为按顺时针方向旋转所得的角为负角，所以所求的角为90(30)60︒︒︒+-=． 【点睛】此题考查角定义逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，属于简单题目． 16．已知角α为钝角，角4α与角α有相同的始边与终边，则角α=______．【答案】120【分析】由题意得出()4360k k Z αα=⋅+∈，可得出120k α=⋅，再由90120180k <⋅<求出整数k 的值，即可得出角α的值.【详解】若角4α与角α有相同的始边与终边，则()4360k k Z αα=⋅+∈，即()120k k Z α=⋅∈．又角α为钝角，则90120180k <⋅<，所以1k =，所以120α=． 故答案为120.【点睛】本题考查利用终边相同求角的值，解题的关键就是利用两角终边相同这一条件得出角的表达式，根据题中条件列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.四、双空题17．如图，花样滑冰是冰上运动项目之一．运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．运动员顺时针旋转两圈半所得角的度数是______，逆时针旋转两圈半所得角的度数是______．【答案】 900-︒ 900°【分析】根据正角和负角及任意角的定义即可得出答案.【详解】解：顺时针旋转两圈半所得角的度数是236018()0900-⨯︒+︒=-︒，则逆时针旋转两圈半所得角的度数为900°． 故答案为：900-︒；900°五、解答题18．在与530°角终边相同的角中，找出满足下列条件的角β． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)720360β-︒≤<-︒． 【答案】(1)190β=-︒ (2)170β=︒(3)550β=-︒【分析】（1）写出与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，再根据3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒，即可的解；（2）根据0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒，即可的解； （3）根据720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒，即可的解.【详解】(1)解：与530°角终边相同的角为360530k ⋅︒+︒，k ∈Z ，由3603605300k -︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得2k =-，故所求的最大负角190β=-︒； (2)解：由0360530360k ︒<⋅︒+︒<︒且k ∈Z ，可得1k =-，故所求的最小正角170β=︒； (3)解：由720360530360k -︒≤⋅︒+︒<-︒且k ∈Z ，可得3k =-，故所求的角550β=-︒． 19．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Zαα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Zαα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈{}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.20．如图，半径为1的圆的圆周上一点A 从点()1,0出发，按逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A 在1min 内转过的角度为1(080)θθ︒<<︒，2min 到达第三象限，15min 回到起始位置，求θ．【答案】96θ=︒或120°．【分析】由题意列出关于θ的关系式，直接求解即可【详解】由题意，得()0180180227015360k k θθθ⎧︒<<︒⎪︒<<︒⎨⎪=⋅︒∈⎩Z ，即()9013524k k θθ︒<<︒⎧⎨=⋅︒∈⎩Z ，解得96θ=︒或120°．。
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第17-19课时
【教学题目】 角的概念及终边相同的角习题课
【教学目标】
1、理解角的概念、角的三要素、象限角及界限角；
2、理解终边相同角的概念；
2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；
3、会寻找在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学内容】
1、角的概念、角的三要素、象限角及界限角；
2、终边相同角的概念；
2、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；
3、计算在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学重点】计算在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学难点】计算在指定范围内与已知角终边相同的角.
【教学过程】
一、知识梳理，归纳小结
1、终边相同的角的概念：如果当角α与角β的始边重合（X 轴非负半轴）时，它们的终边也重合，那么我们称角α与角β是终边相同的角.
2、终边相同的角之间的关系：
所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：
{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
即：α与β终边相同⇔0360k βα-=⋅⇔α 与β相差0360的整数倍
⇔0360,k k Z βα=+⋅∈.
3、关于终边相同的角的几条重要结论
⑴关于终边相同的角中的最大负角和最小正角：与α终边相同的角{}|360,k k Z ββα=+⋅∈有无数个，其中β有最大负角和最小正角. ⑵x 轴上角的集合：{}|180,n n Z ββ=⋅∈；
⑶y 轴上角的集合：{}{}00|90180,|36090,n n Z k n Z ββββ=+⋅∈⇔=⋅±∈； ⑷第一象限角的集合： {}000|36090360,k k k Z ββ⋅<<+⋅∈；
⑸第二象限角的集合：{}0000|90360180360,k k k Z ββ+⋅<<+⋅∈； ⑹第三象限角的集合：{}0000
|180360270360,k k k Z ββ+⋅<<+⋅∈； ⑺第四象限角的集合：
{}{}0000000|270
360360360,|270360360,k k k Z k k k Z ββββ+⋅<<+⋅∈⇔+⋅<<⋅∈.
二、习题讲解，指点迷津——练习册P62-65—角的概念推广
练习册 A 组
1、选择题
⑴下列角中终边与0330角相同的是（ B ）
A 、030
B 、030-
C 、0630
D 、0630-
⑵01120-角所在的象限是（ D ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
⑶把01485-转化为000360(0360)k k z αα+⋅≤<∈的形式是（ D ）
A 、00454360-⨯
B 、00454360--⨯
C 、00455360--⨯
D 、003155360-⨯ ⑷终边在第二象限的角的集合可以表示为（ D ）
A 、
{}0090180αα<< B 、{}000090180180180,k k k z αα+⋅<<+⋅∈ C 、{}0000270180180180,k k k z αα-+⋅<<-+⋅∈
D 、{}0000270360180360,k k k z αα-+⋅<<-+⋅∈
⑸下列命题是真命题的是（ D ）
A 、三角形的内角必是第一、第二象限的角
B 、第一象限的角必是锐角
C 、不相等的角终边一定不同
D 、{}{}000036090,18090,k k z k k z αααα=⋅±∈==⋅+∈
⑹已知集合A={第一象限的角} B={锐角} C={小于900的角}那么A 、B 、C 的关系是（ D ）
A 、B=A ∩C
B 、B ∪C=A
C 、A=B=C
D 、以上关系均不正确
2、填空题
⑴写出0720-到0720之间与01068-角终边相同的角的集合（ ）；
⑵若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为（ ）；
⑶在00到0360的范围内，与060-角的终边在同一条直线上的角为（ ）．
3、解答题
⑴求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角和最大负角； ①0210-； ②0'148437-．
⑵已知角α是第二象限的角，求 ①角
2
α是第几象限的角； ②角2α终边的位置．
练习册 B 组
1、选择题
⑴下列命题中正确的是（ B ）
A 、终边在y 轴非负半轴上的角是正角
B 、第二象限的角一定是钝角
C 、第四象限的角一定是负角
D 、若0360()k k z βα=+⋅∈则α与β的终边相同
⑵若α是第一象限的角，则是第四象限的角是（ ）
A 、090α-
B 、090α+
C 、0360α-
D 、0180α+
⑶若角α与β终边相同，则一定有（ ）
A 、αβπ+=
B 、0αβ+=
C 、2()k k z αβπ-=∈
D 、k αβπ+= ⑷下面各角中与0330角的终边相同的角是（ ）
A 、0150
B 、0390-
C 、0510
D 、0150-
⑸M={锐角}，N={小于090的角} ，p={第一象限的角} Q={小于090的正角}则下列等式成立的是（ ）
A 、M=N
B 、N=P
C 、M=P
D 、M=Q
2、填空题
⑴若角2α与0240角的终边相同，则α=（ ）；
⑵角α是0180到0360的范围内的一个角，若角5α与角α有相同的始边且又有相同的终边则角α为（ ）；
⑶若角α是第三象限的角，则
2
α角的终边在（ ），2α角的终边在（ ）． 3、解答题
⑴写出终边在直线y =上所有角的集合，并指出在下列集合中，最大负角是多少？
⑵有小于0180的正角，这个角的9倍角的终边与这个角的终边重合，求这个角的度数．
二、课堂小结，知识升华
1、角的概念、角的三要素、象限角及界限角；
2、终边相同角的概念；
2、与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；
3、计算在指定范围内与已知角终边相同的角．
三、作业布置，学情反馈
P习题5.1A组第2题、第3题．
课本
104。