武汉大学10-11高数A上
10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准
共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。
武汉理工大学 高数A上 2007级 A卷及答案
武汉理工大学高数A 上 2007级 A 卷及答案一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（1）设111,0()11,0x x e x f x e x ⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩ ，则0x =是()f x 的（ ）。
A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．无穷间断点。
（2）设()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）。
A. 若0()limx f x x →存在，则(0)0f =； B 、若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =C 、若0()lim x f x x →存在，则)0(f '存在；D 、若0()()lim x f x f x x→--存在，则0)0(='f 。
（3）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()(n x x n 是正整数）高阶的无穷小，而sin()n x x 是比21x e -高阶的无穷小，则n 等于（ ）。
A 、1；B 、2；C 、3；D 、4（4）设()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线的斜率为（ ）。
A 、1/2；B 、-2；C 、0；D 、-1（5）设32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点，则a 为（ ）。
A 、8；B 、6；C 、4；D 、2。
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）（1）设21lim()1a axt x x te dt x -∞→∞+=-⎰，则a = ； （2）设()f x 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，n 为大于2的整数，则()()n f x = ；（3）曲线x y xe -=的拐点坐标为 ； （4）11sin )x x dx -⎰= ；（5）已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则⎰'dx x f x )(= 。
湖北省部分校2025届高三上学期10月联考数学试题含答案
高三数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，数列，平面向量.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题“20,12a a ∃>+<”的否定为（）A.20,12a a ∃>+ B.20,12a a ∃+ C.20,12a a ∀>+ D.20,12a a ∀+ 2.已知集合{}230,{013}A xx B x x =-<=<+<∣∣，则A B ⋂=（）A.(-B.()2C.(D.()1,2-3.已知函数()()e 1x f x f x '=-，则（）A.()e12f =- B.()e 12f '=-C.()22e e f =- D.()22e ef '=-4.已知函数()*(2),n f x x n =-∈N ，则“1n =”是“()f x 是增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若对任意的,x y ∈R ，函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=+，则()4f =（）A.6B.4C.2D.06.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s （单位：百万元）与新设备运行的时间ι（单位：年，*t ∈N ）满足23225098,8,102,8,t t t s t t t t ⎧-+-<=⎨-+-⎩当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t =（）A.6B.7C.8D.97.如图，在ABC 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=== 是BC 边上靠近B 点的三等分点，E 是BC 边上的动点，则AE CD ⋅ 的取值范围为（）A.10,73⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.7,73⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.410,33⎡⎤-⎢⎣⎦ D.47,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（）A.⎡-⎣B.[]1,1-C.[]0,1D.⎡⎣二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在等比数列{}n a 中，1232,4a a a ==，则（）A.{}n a B.{}n a 的公比为2C.3520a a += D.数列21log n a ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列10.已知函数()()1tan (0,0π)2f x x ωϕωϕ=-><<的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π3ϕ=C.()f x 的图象与y 轴的交点坐标为0,3⎛- ⎝⎭D.函数()y f x =的图象关于直线7π12x =对称11.已知41log 100102,ln ,930a b c ===，则（）A.c a> B.a b >C.c b > D.b a>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量,m n 满足3m n ⋅= ，且()2m m n ⊥- ，则m = （）13.若π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α=__________.14.已知正实数,a b 满足232a b +=，则224ab a b -++的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，且5a 是2a 与14a 的等比中项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n n n b c a b ==，求数列{}n c 的前n 项和n S .16.（15分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2221a b c c b ac-=≠-.（1）证明：2B C =.（2）若点D 在边AC 上，且4CD BD ==，求a 的取值范围.17.（15分）已知函数()()2ln 1f x x a x =-+.（1）若4a =，求()f x 的极值点；（2）讨论()f x 的单调性.18.（17分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11,212n n n a S a ==-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：24212n S S S >.19.（17分）当一个函数值域内任意一个函数值y 都有且只有一个自变量x 与之对应时，可以把这个函数的函数值y 作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量x 作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由3,y x x =∈R ，得,3y x y =∈R ，通常用x 表示自变量，则写成,3x y x =∈R ，我们称3,y x x =∈R 与,3x y x =∈R 互为反函数.已知函数()f x 与()g x 互为反函数，若,A B 两点在曲线()y f x =上，,C D 两点在曲线()y g x =上，以,,,A B C D 四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y x =垂直，则我们称这个矩形为()f x 与()g x 的“关联矩形”.（1）若函数()f x =11,4A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线()y f x =上.（i ）求曲线()y f x =在点A 处的切线方程；（ii ）求以点A 为一个顶点的“关联矩形”的面积.（2）若函数()ln f x x =，且()f x 与()g x 的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S .证明：2122S ⎫>⎪⎭.1ln20--<）高三数学考试参考答案1.C 存在量词命题的否定为全称量词命题.2.A因为((),1,2A B ==-，所以(A B ⋂=-.3.C 因为()()e 1x f x f x '=-，所以()()e 1x f x f =-''，则()()1e 1f f =-''，所以()e 12f '=，则()e e 2x f x x =-，所以()()()22e e 1,2e ,2e e 22f f f '==-=-.4.A 由()(2)n f x x =-，得()1(2)n f x n x -=-'，则当21,n k k =+∈N 时，()(2)n f x x =-是增函数，故“1n =”是“()f x 是增函数”的充分不必要条件.5.D 令0y =，则由()()()2f x y f x f y +=+，可得()()20f x f =-为常数函数，令0x y ==，可得()00f =，故()40f =.6.B 由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润298250,8,102,8.t t s y t t t t t ⎧--+<⎪==⎨⎪-+-⎩ 当8t <时，98228t t + ，当且仅当7t =时，等号成立，则9825022t t--+ .当8t 时，22102(5)2314t t t -+-=--+ ，当且仅当8t =时，等号成立.故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间7t =.7.C 由222||||1cos 22AB AC BC BAC AB AC∠+-==-，解得BC = 设,01CE CB λλ= ，则()()()222221433333AE CD AC CE CD AC CB CB AC CB CB AC AB AC λλλ⋅=+⋅=+⋅=⋅+=⋅-+ 22214414410,3333333AC AB AC λλ⎡⎤=⋅-+=-+∈-⎢⎥⎣⎦.8.D 令()()313g x f x x x =-=+，则()2330g x x =+>'恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x ⎡⎤-=-+-⎣⎦，即()()sin cos g x g m x =--，从而sin cos x m x =--，即πsin cos 4m x x x ⎫⎡=--=+∈-⎪⎣⎭9.BC 设{}n a 的公比为q ，则21212,4,a q a q ⎧=⎨=⎩解得11,2,a q =⎧⎨=⎩则124352,2220n n a a a -=+=+=，21log 1n n a =-，则数列21log n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列.10.AD 由图可知，()f x 的最小正周期ππ2T ω==，则2ππ2,π,32k k ωϕ=-=+∈Z ，由0πϕ<<，得π6ϕ=，即()1πtan 226f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()06f =-.由()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可得函数()y f x =的图象关于直线7π12x =对称.11.ACD 4211log log 10010110922,ln ln 10910a b =====-111ln 1,ln 1101010a b ⎛⎫⎛⎫=---=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.令()()()ln 1,0,1f x x x x =+-∈，则()()110,11x f x f x x x -=-=<--'在()0,1上单调递减，所以()10010f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即a b <.因为1030c ==10ln 9b c -=.令()()ln 1,h x x x ∞=-∈+，则()()23322111)0,22x h x h x x x x '--=-==<在()1,∞+上单调递减，所以()10109h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即b c <.因为()2m m n ⊥- ，所以()20m m n ⋅-= ，则226m m n =⋅=，所以m = 13.π12-由πcos2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得()22cos sin cos sin 2αααα-=-.因为π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，则cos sin 2αα+=，则π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得πππ,444α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，则ππ46α+=，解得π12α=-.14.126因为232a b +=，所以()2222213122423(23)3121414ab ab ab a b a b a b a b a b a b ab b a===-++-++++++++.又0,0a b >>，所以31212a b b a += ，当且仅当42,77a b ==时，等号成立，则224ab a b -++的最大值为126.15.解：（1）设{}n a 的公差为()0d d ≠，因为5a 是2a 与14a 的等比中项，所以25214,a a a =即()()()2111413a d a d a d +=++，整理得212d a d =.又11,0a d =≠，所以2d =，则()1121n a a n d n =+-=-.（2）由（1）可得()212122,212n a n n n n n n b c a b n --====-⋅，则()13521123252212n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅ ①，()357214123252212n n S n +=⨯+⨯+⨯++-⋅ ②，①-②得()()352121322222212n n n S n -+-=+⨯+++--⋅ ()32122222114n n +-=+⨯--⋅-212110652233n n n ++-=--⋅则216510299n n n S +-=⋅+.16.（1）证明：因为222a b c c b ac-=-，所以2223ab a c b c c -=-，整理得()()()2b a c c a c a c -=+-.又1a c≠，所以0a c -≠，从而22222cos b ac c a c ac B =+=+-，整理得()12cos a c B =+，则()sin sin 12cos A C B =+.由()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得sin cos cos sin sin B C B C C -=，即()sin sin B C C -=，则B C C -=，即2B C =.（2）解：如图，由CD BD =，可得ACB DBC ∠∠=，则π2BDC ACB ∠∠=-.在BCD 中，由正弦定理得sin sin BC BD BDC BCD∠∠=，整理得sin 4sin28cos sin sin BD BDC C BC C BCD C∠∠===.因为2B C =，且ABC 是锐角三角形，所以π0,2π02,2π0π3,2C C C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64C <<，则23cos 22C <<，从而8cos C <<a的取值范围为(.17.解：（1）因为4a =，所以()()24ln 1,1f x x x x =-+>-，则()()()2214211x x f x x x x +-=-=++'.当()1,1x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减；当()1,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增.故()f x 的极小值点为1，无极大值点.（2）由()()2ln 1,1f x x a x x =-+>-，得()222211a x x a f x x x x +-=-=++'.令2220x x a +-=，若480a + ，即12a - ，则方程2220x x a +-=无解或有两个相等的实数解，从而2220x x a +- 恒成立，则()f x 的单调递增区间为()1,∞-+，无单调递减区间.若480a +>，即12a >-，则方程2220x x a +-=的解为1211,22x x -+--==若0121a <+<，即102a -<<，则121x x >>-.当111,22x ∞⎛⎛⎫--+∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，当11,22x ⎛---+∈ ⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 的单调递增区间为11,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和1,2∞⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,22⎛---+ ⎝⎭.若121a + ，即0a ，则211x x -< .当1121,2x ⎛-+∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当112,2x ∞⎛⎫-+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为1,2∞⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭.18.（1）解：当2n 时，由()21n n n S a =-，得()11121n n n S a ---=-，则()()1112121n n n n n n n a S S a a ---=-=---，整理得112n n a a -=.因为112a =，所以{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，则1112nn n a a q -⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）证明：由（1）可得()21121122n n n n n n S a -=-==-，则22111111222n n n n S ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当2n 时，1121211111111111112222222n n n n n n n ----⎛⎫⎛⎫+-=-+-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则22311111111111111222222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+⨯-⨯⨯+⨯-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而242223111111111122222n S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111222222n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-⨯+>-⨯+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19.（1）解：（i ）因为点11,4A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线()f x =112y ==.由()f x =()f x '=，则114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为14y x =+.（ii ）由()f x =()()20g x x x = .根据对称性可设,A D 关于直线y x =对称，可得11,24D ⎛⎫⎪⎝⎭，则1142,111424AD AD k -====--.若AB AD ⊥，则直线AB 的方程为14y x =+，与曲线()y f x =相切，不符合题意.若AC AD ⊥，则直线AC 的方程为14y x =+，联立方程组2,1,4y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩解得122x +=或122x =（舍去），则1232242,,244C AC ⎛+++= ⎝⎭，则该“关联矩形”的面积242221448S AD AC ===.（2）证明：由()ln f x x =，得()e x g x =.显然()()0f x g x -<，根据对称性可设,A D 关于直线y x =对称，,B C 关于直线y x =对称，且AB AD ⊥.设()()()()34112234,ln ,,ln ,,e ,,e x x A x x B x x C x D x ，其中1243,x x x x <<，且4132ln ,ln x x x x ==.因为“关联矩形”是正方形.所以))212123ln ln ,AB x x x x BC x x =-=-=-..由AB BC =，得132ln x x x ==.由2123ln ln x x x x -=-，可得111e 2ln 0x x x -+=.令()e 2ln x h x x x =-+，则()11e 2120x h x x x x'=+-++-> ，则()h x 在()0,∞+上单调递增.由11ln202h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，可得112x >.()()1222211||22e x S AB x x x ==-=-.令()e x x x ϕ=-，则()e 1xx ϕ'=-，当()0,x ∞∈+时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，则()1111e 02x x x ϕ=->->，从而()122112e 22x S x ⎫=->-⎪⎭.。
2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案定稿
即有 2 | PF1 | 8 ，又椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi i
组成公差为 d 的等差数列，所以
5
.
6
PF1 a c ，
1, 2,3, ，FP1 , FP2 , FP3 ,
FP1 最大值 8，B 正确；
数学答案 第 1 页（共 6 页）
⋯
5
)
5 3 ⋯ (
由①-②，得
即 :
则
，即{
5
.
，∴tan
).
，所以，
q
（Ⅱ）
（1）
，
则
4
;
所以 OS(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
（2）因为 (
an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q q 0 ，
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
) ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
，且
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3
3
⋯
19．解：因为直三棱柱 ABC A1B1C1 ，所以 AA1
因为|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
(
， )，则
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
，①
⋯
……………6 分
.
∴ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
).
3
3 ( )
所以λ
.
9
……………2 分
( : )
( : )( :3)3+1
⋯
)
………………………12 分
( :)
+ +
武汉大学高数上往届试题
武汉大学2008–2009学年第一学期《高等数学B》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算limn→∞[︃n−n3−1n(n+2)]︃.2.计算limx→0(sin x)·ln(1+2x)1−cos2x.3.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=t+sin ty=f(x−t)f二阶可导,求d2yd x2.4.计算π/2−π/2sin x(x+cos x)d x.5.设f′(ln x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1,0<x≤1x,x>1且f(0)=0,求f(x).6.计算反常积分+∞(1+2x)e−2x d x.二.(15分)已知函数y=(x−1)3(x+1)2,求:1.函数f(x)的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.三.(12分)设有点A(3,1,−2)和直线l:x−4=y+32=z1,1.试求过点A且通过直线l的平面方程;2.求点A到直线l的距离.四.(12分)设f(x)=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩e2x+b,x≤0sin ax,x>0问:1.a,b为何值时,f(x)在x=0处可导;2.若另有F(x)在x=0处可导,证明F[f(x)]在x=0处可导.五.(12分)一铅直倒立在水中的等腰三角形水闸门,其底为6米,高为3米,且底与水面相齐,求:1.水闸所受的压力(水的比重为1);2.作一水平线将此闸门分为上下两部分,使两部分所受的压力相等.六.(7分)设f(x)在区间[0,1]上连续,且1f(x)d x=0,证明:对于任意正整数k,在(0,1)内至少存在一点ξ,使kξf(x)d x=f(ξ).武汉大学2009–2010学年第一学期《高等数学B 》试题一.试解下列各题：(每题7分,共42分)1.计算lim x →0x −arctan x e x 3−12.求解微分方程y ′′−6y ′+9y =0的通解.3.计算 1−1x 2(1+√1+x 2sin x )d x4.计算 +∞0e −√x d x .5.求曲线⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩x = t 1cos u u d u y = t 1sin u u d u 自t =1到t =π2一段弧的长度.6.设y =1x 2+3x +2,求y (n ).二.(8分)已知u =e xy ,其中y =f (x )由方程y 0e t 2d t = x 20cos t d t 确定,求d u d x .三.(8分)设x 1=1,x n =1+x n 1+x n(n =1,2,···),试证明数列{x n }收敛,并求lim n →∞x n .四.(8分)证明结论:可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数,并说明此结论的几何意义.五.(15分)已知函数y =x 3+4x 2,求1.函数f (x )的单调增加,单调减少区间,极大、极小值.2.函数图形的凸性区间、拐点、渐近线.六.(12分)已知函数y =y (x )满足微分方程y ′′−y ′=2(1−x ),且x 轴为曲线y =y (x )的过原点的一条切线,在曲线y =y (x )(x ≥0)上某B 点处作一切线,使之与曲线、x 轴所围成平面图形的面积为112,试求:1.曲线y =y (x )的方程;2.切点B 的坐标;3.由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积.七.(7分)若f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )=f (b )=0及f ′(a )f ′(b )>0,则f (x )在(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)=0.武汉大学2010–2011学年第一学期《高等数学B 》试题一.计算题:(每题7分,共56分)1.求由方程ln xy =e x +y 所确定的隐函数y =y (x )的导数d y d x .2.求lim x →0√2−√1+cos x √1+x 2−1.3.求lim x →0+ x0sin t 3d tx 0cos t 2d t .4.(7分)求lim n →∞1n [︃(︃x +2n )︃+(︃x +4n )︃+···+(︃x +2n n )︃]︃.5.求不定积分 1√1+e 2xd x .6.求定积分 π/2x (1−sin x )d x .7.求方程y ′+2xy =xe −x 2的通解.8.设f ′(x )=e −x 2,lim x →+∞f (x )=0,求 +∞0x 2f (x )d x .二.(7分)证明当0<x <π2时,sin x >2πx .三.(10分)设抛物线y =ax 2+bx +c 过原点,当0≤x ≤1时,y ≥0.又已知该抛物线与x 轴及直线x =1所围成的图形的面积为13,试确定a ,b ,c 使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小.四.(7分)试判断函数f (x )=lim n →∞x 2n −1−1x 2n +1的间断点及其类型.五.(10分)设函数f (x ),g (x )满足f ′(x )=g (x ),g ′(x )=2e x −f (x ),且f (0)=0,g (0)=2,求f (x ),g (x )的表达式.六.(10分)设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (3)=1,试证:必存在ξ∈(0,3),使f ′(ξ)=0.武汉大学2011–2012学年第一学期《高等数学B》试题一.计算题:(每题8分,共56分)1.设⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x=arcsin√1−t2y=1+t2,求d2yd x2.2.求limx→0e x−e sin x(x+x2)ln(1+x)arcsin x.3.已知limx→∞(︂x−ax+a)︂x=+∞a2xe−2x d x,求常数a的值.4.计算不定积分d x√ax+b+d(a 0).5.求定积分1x(1−x4)32d x.6.求解微分方程d yd x=x3y3−xy.7.设ϕ(x)=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2xxe t2d tx,x 0a,x=0求a的值使得ϕ(x)在x=0处连续,并用导数的定义求ϕ′(0).二.(5分)设a n=(︃1+1n)︃sinnπ2,证明数列{a n}没有极限.三.(10分)设y=y(x)c满足微分方程y′′−3y′+2y=2e x,且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2−x+1在该点的切线重合,求y=y(x).四.(11分)已知函数y=x−1x2+1,求函数的增减区间，凹凸区间，极值、拐点和渐近线.五.(10分)求曲线y=e x,y=sin x,x=0,x=1所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积.六.(8分)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使f′′(ξ)=g′′(ξ).武汉大学2012–2013学年第一学期《高等数学B 》试题一.(5分)若lim x →x 0g (x )=0,且在x 0的某去心邻域内g (x ) 0,lim x →x 0f (x )g (x )=A ,则lim x →x 0f (x )必等于0,为什么？二.(8分)设f (x )=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ae x +be −x −c sin 2x ,x ∈(︁−π2,−π2)︁且x 0,1,x =0.试确定a ,b ,c 的一组值,使得f (x )在x =0处连续.三.(6分)设f (x )在x =a 处二阶可导,且f (a )=f ′(a )=0,f ′′(a )=1,求极限limx →a f (x )sin(x −a )(e x −e a )3.四.(5分)指出f (x )=11+e 1x 的间断点及其类型.五.(5分)设u ,v 均是x 的可微函数,y (x )=ln √u 2+v 2,求d y .六.(5分)求函数I (x )=x e ln t t 2−2t +1d t 在区间[e ,e 2]上的最大值.七.(5分)求 −1−2d xx √x 2−1.八.(5分)求微分方程y ′′+3y ′=cos 2x 的通解.九.(5分)若在x 0的某去心邻域内|f (x )|≤α(x ),且lim x →x 0α(x )=0,试证明:lim x →x 0f (x )=0.十.(5分)设y =y (x )由方程y =f [2x +ϕ(y )]所确定,其中f 与ϕ都是可微函数,求y ′.十一.(6分)设f (x )=lim t →∞x (︃1+1t)︃4xt ,求f ′′(x ).十二.(6分)求函数y =(x −1)3√x 2的极值.十三.(8分)求由不等式sin 3x ≤y ≤cos 3x ,0≤x ≤π4所确定的区域的面积.十四.(8分)设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) 0,证明存在c ∈(0,1)使得n f ′(c )f (c )=f ′(1−c )f (1−c ).(n 为自然数).十五.(8分)设f (x )在[0,+∞)上连续,0<a <b .若 +∞0f (x )x d x 收敛,证明 +∞0f (ax )−f (bx )x d x =f (0)ln b a.十六.(10分)设位于第一象限的曲线y =f (x )过点⎛⎜⎜⎜⎜⎝√22,12⎞⎟⎟⎟⎟⎠,其上任意一点P (x ,y )处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分.(1)求曲线y =f (x )的方程.(2)已知曲线y =sin x 在[0,π]上的弧长为l ,试用l 表示曲线y =f (x )的弧长.。
武汉大学2010年数学分析考研试题解答
+∞
0
所以 ϕ(u) = ∫ （2）
+∞
0
e−x cosuxdx
∂k f ( x, u ) ∂u k
k k
2
的定义域为 (−∞,+∞) ； 在 [0,+∞) × (−∞,+∞) 上连续，
2
f ( x, u )
− x2
，
且有 | f ( x , u ) |≤ e ， | ∂∂u
f ( x , u ) |≤ x k e − x
n →∞
二．设 a > 0 ， x1 = a ， xn +1 = a + xn ， n = 1, 2,
1
三．设 f ( x ) 在 [ 0, 2] 上可微，且 f ( 2 ) = ∫ 2 xf ( x ) dx ，求证：存在 ξ ∈ ( 0, 2 ) ，
0
使得 f (ξ ) + ξ f ′ (ξ ) = 0 . 四．设 v = v ( x, y ) 有连续的一阶偏导数， u = u ( x, y ) = xv + yϕ ( v ) + ψ ( v ) ，
1 2 ( x + y 2 ), ( x, y ) ∈ D ， a
dσ = 1 + (
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy ∂x ∂y
， ，
曲面的面积
S1 = ∫∫ 1 + (
D
∂z 2 ∂z 2 ) + ( ) dxdy = ∫∫ 2dxdy = 2π a 2 ∂x ∂y D
S 2 = ∫∫ 1 + (
2 + ； 1 n+ n
n n
2023-2024学年武汉市11中高一数学上学期10月考试卷附答案解析
2023-2024学年武汉市11中高一数学上学期10月考试卷试卷满分150分.考试用时120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．命题“R x ∃∈，使得2320x x ++<”的否定是（）A ．R x ∀∈，均有2320x x ++≤B ．R x ∀∈，均有2320x x ++≥C ．R x ∃∈，有2320x x ++>D ．R x ∃∈，有2320x x ++≤3．已知不等式20ax bx c ++>的解集是()3,2-，则不等式20cx bx a ++>的解集是（）A ．()(),23,-∞-+∞ B ．()3,2-C ．121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A ．()()21g 11x f x x x x -==-+，B ．()()g f x x ==C ．()()g f x x x =D ．()()222g 22t t f x x t t t +≥-⎧=+=⎨--<-⎩，，，5．已知1,0,0x y y x +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A ．54B ．0C ．1D ．226．设集合{},1,2A m =-，其中m 为实数．令{}3B a a A=∈，C A B = ．若C 的所有元素和为9，则C的所有元素之积为（）A ．0B ．2C ．4D ．0或47．若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞⋃+∞8．已知0x >，0y >，33x y x y +=-，则221x y -的最小值是（）A ．2B．2C2D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a <”的充分不必要条件B ．命题“若1x <，则21x <”的否定是“存在1x ≥，21x ≥”C ．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．已知非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bc<B ．2b ac>C ．11a c <D ．()()220c b a c ++>11．若关于x 的不等式()240x a x a +-+<的解集中恰有两个整数，则a 的值可能为（）A ．0B ．34C ．1D ．4312．已知0a >，0b >，下列命题中正确的是（）A ．若34318a b a b +++=，则3a b +的最大值是9+B ．若2a b +=，则45b a b +≥C ．若0a b >>，则264()a b a b +-的最小值为32D ．若111123a b +=++，则14ab a b ++≥+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某年级先后举办了数学、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，有61人听了音乐讲座，有12人同时听了数学、音乐讲座，则听了讲座总人数为人．14．已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围．15．已知非空集合A ，B 同时满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5A B =U ；②A B ⋂=∅；③()card A A∉；④()card B B∉.注：其中()card A 、()card B 分别表示A 、B 中元素的个数.如果集合A 中有3个元素，则有序集合对(),A B 的个数是.16．若两个不相等的正数a ，b 满足220ab a b ++-=，则1222a b a b +++的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合2511x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}21B x k x k =-<<+.(1)若A B A = ，求实数k 的取值范围；(2)已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数k 的取值范围.18．已知R m ∈.(1)若x ∈R 时，不等式210mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围；(2)求解上述不等式：210mx mx --<.19．已知二次函数2y ax bx c =++.(1)若1a b c =-=，不等式0y ≥对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若22c a ==，存在[1,5]x ∈使不等式32y bx<成立，求实数b 的取值范围.20．培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，则t （[]0,24t ∈）小时后，水中含有物质N 的浓度增加ymol/L ，y 与t 的函数关系可近似地表示为164,012,46,1224.4t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪+=⎨⎪-<≤⎪⎩根据经验，当水中含有物质N 的浓度不低于2mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用．(1)若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；(2)若0=t 时在水中首次投放1个单位的物质N ，16t =时再投放1个单位的物质N ，试判断当[]16,24t ∈时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L ，并说明理由．21．已知关于x 的不等式()()2440kx k x --->，其中k ∈R ；(1)当1k =-，求不等式的解集A ；(2)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(3)对于不等式的解集A ，满足Z A B ⋂=.试探究集合B 能否为有限集，若能，求出使得集合B 中元素最少的k 的所有取值，并用例举法表示此时的集合B ，若不能，说明理由.22．已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .(1)若[]1,1x ∃∈-，方程()0f x m -=有解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；(3)设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[]0,1上的最大值，求()M a 的最小值.1．B【分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：由题意可知，命题“∃x ∈R 使得x2+3x+2<0”是存在量词命题，所以其否定是∀x ∈R,均有x2+3x+2≥0，故选：B.3．C【解析】根据已知不等式的解集利用韦达定理得到b 、c 与a 的关系，代入所求不等式求出解集即可.【详解】由不等式20ax bx c ++>的解集是()3,2-可知，a<0，且方程20ax bx c ++=的两个根分别为3,2-.由韦达定理可得：1,6b ca a ==-，代入所求不等式得：260ax ax a -++>化简得：2610,x x -->即()()31210x x +->，解得13x <-或12x >所以不等式20cx bx a ++>的解集为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选:C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，确定出a 、b 、c 的关系是解本题的关键，属于中档题.4．D【分析】依次判断各选项的两个函数的定义域和对应关系是否一致，即可得结果.【详解】A 选项，()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，()g x 的定义域为R ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.B 选项，()f x 的定义域为{|2}x x ≥，()g x 的定义域为{|2x x ≥或}2x ≤-，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.C 选项，()f x x==，()g x x=，两个函数的定义域都为R ，但对应关系不同，故不是同一函数.D 选项，两个函数的定义域都为R ，对应关系相同，故是同一函数.故选：D 5．A【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.【详解】1x y += ，12x y ∴++=，1(1)11221441x y x y x x y x y +++∴+=+++，0,0y x >> ，10,041y x x y +∴>>+，111152144144x y x x y x y +∴+=++≥+=++，当且仅当141y x xy +=+，即23x =，13y =时等号成立，故选：A6．A【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之和求出参数，然后在求元素之积【详解】根据集合中元素的互异性，1m ≠-且2m ≠.由题意，{}{}33,1,8B a a A m =∈=-.情况一：若3=m m 时当0m =时，{}0,1,2A =-，{}0,1,8B =-，{}0,1,2,8C A B ==- ，C 的所有元素和为9，符合题意，此时C 的所有元素之积为0；当1m =时，{}1,1,2A =-，{}1,1,8B =-，{}1,1,2,8C A B ==- ，C 的所有元素和为10，不符题意；情况二：若32m =时，此时m =，}1,2A =-，{}2,1,8B =-，但C A B =，不可能元素之和为9；情况三：若1m ≠±，2m ≠，m ≠0m ≠时，则,A B 中只有唯一重复元素1-，则{}3,1,2,,8C A B m m ==- ，由题意31289m m-+++=，即320(1)m m m m +==+，此时0m =，矛盾.综上所述，0m =时符合题意，此时C 的所有元素之积为0.故选：A 7．B【分析】由题意，即不等式224mx mx ++>0的解集为R ，分0m =，0m <，0m >三种情况讨论，即得解【详解】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R（1）当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；（2）当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故解集为R 不可能．（3）当0m >时，二次函数224y mx max =++开口向上，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点，即24160m m ∆=-<，即(4)0m m -<，解得04m <<；综上，a 的取值范围为[)0,4故选：B 8．D【分析】依题意可得331x y x y +=-且x y >，则222111x y x x y y ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=-，令1x t y =>，()211t f t t +=-，()1t >，利用基本不等式求出()f t 的最小值，即可得解.【详解】0x >，0y >，330x y x y ∴+=->，即有331x y x y +=-且x y >，将331x y x y +=-代入221x y -得2222222233111x x y x x y x y y xy y y x y x y⎛⎫+-⎪-+⎝⎭==-+-=-，令1xt y =>，()211t f t t +=-，()1t >，∴()221(2221(1)21111)1t t f t t t t t t t ++===++=-++-----，1t >Q，2(1)221t t ∴-++≥-当且仅当211t t -=-，即1t 时等号成立，所以()211t f t t +=-()1t >的最小值2+，即221x y -的最小值是2.故选：D.9．AD【分析】对于B ，根据全称量词命题的否定形式可判断其正误，A ，C ，D 根据充分必要条件的定义以及不等式的性质可判断.【详解】对A ，1110a a a -<⇔>，得到：1a >或0a <，由1a >可以得到11a <，但是，若a<0，11a <显然成立，但1a >不成立，故A 正确；由全称量词命题的否定易知B 错误；对C ，由“2x ≥且2y ≥”，显然可以得出“224x y +≥”，故C 错误；对D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则由0a ≠无法得到0ab ≠，但是由0ab ≠可以得到0a ≠，故D 正确.故选：AD.10．AD【分析】根据题意知0c >故可判断A ，取特殊值判断BC ，由不等式的性质判断D.【详解】A 选项，由于,0a b c a b c <<++>，故0c >，所以ac bc <，正确；B 选项，取10,2,1c b a ===知不成立，错误；C 选项，取10,2,1c b a ===知不成立，错误;D 选项，由于2c a b b >-->-得20c b +>，而20a c a b c +>++>，故(2)(2)0c b a c ++>，正确.故选：AD 11．BC【分析】原不等式可化为()214a x x x+<-+，根据一次函数和二次函数的图象可知1x =和2x =为原不等式的两个整数解，由此列不等式组求a 的范围即可.【详解】()240x a x a +-+<可化为()214a x x x+<-+，因为关于x 的不等式()240x a x a +-+<的解集中恰有两个整数，由一次函数()1y a x =+和二次函数24y x x =-+的图象可知1x =和2x =为不等式()240x a x a +-+<的解集中的两个整数，所以()()014042409340a a a a a a a >⎧⎪+-+<⎪⎨+-+<⎪⎪+-+≥⎩解得3443a ≤<，故选：BC12．ACD【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】对于A ，设3t a b =+，则3418ta b +=-.()()3494183151527b a t t a b a b a b ⎛⎫-=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当23a b =时取等号.所以218270t t -+≤，解得99t -≤≤+，即3a b +的最大值是9+，当且仅当23a b =，即323a b ==+时取等号.故A 正确；对于B ，由2a b +=，得42222222 2b b a b b a a b a b a b ++=+=+=+≥=，当且仅当2b aa b =，即2,4a b =-=-时，等号成立，故B 错误；对于C ，因为0a b >>，所以0a b ->，所以()()2224b a b a b a b +-⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦≤，当且仅当b a b =-时等号成立，所以()264256b a b a ≥-，所以()2226425632a ab a b a +≥+≥=-，当且仅当22256b a b a a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即4,2a b ==时，等号成立，所以264()a b a b +-的最小值为32.故C 正确；对于D ，由111123a b +=++，得3(2)3(1)(1)(2)b a a b +++=++，化简整理，得27ab a b =++，解得271b a b +=-，因为0,0a b >>，所以1b >，所以()4141823737311411b ab a b a b b b b b +++=++=++=-++--1414≥=，当且仅当()18311b b -=-，即1b时，等号成立，所以14ab a b ++≥+，故D 正确.故选：ACD.13．124【分析】分别求出只听了数学讲座和英语讲座的人数，从而可得出答案.【详解】解：∵75人听了数学讲座，有61人听了音乐讲座，有12人同时听了数学、音乐讲座，∴只听了数学讲座有75－12=63（人），只听了音乐讲座有61－12=49（人），∴听了讲座总人数为12+63+49=124（人）.故答案为：124.14．[3,3]-【分析】利用待定系数法设23()()a b a b a b λμ+=++-，得到方程组，解出,λμ，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.15．3【分析】根据题意结合集合间的关系分类讨论即可.【详解】由题意可得3A ∉，则集合A 有四种可能：{}{}{}{}1,2,4,1,2,5,1,4,5,2,4,5A A A A ====,当{}1,2,4A =时，{}3,5B =，符合题意；当{}1,2,5A =时，{}3,4B =，符合题意；当{}1,4,5A =时，{}2,3B =，不符合题意；当{}5,2,4A =时，{}3,1B =，符合题意；综上(),A B 有3种可能。
MK_10-11(1)高数A(三)试卷
安徽大学2010—2011学年第一学期 《高等数学A （三）》考试试卷（B 卷） 院/系 年级 专业 姓名学号 答 题 勿 超 装订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（闭卷 时间120分钟） 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设A 为矩阵,齐次线性方程组n m ×0=Ax 仅有零解的充分条件是( ). (A )A 的列向量线性无关 (B )A 的列向量线性相关 (C )A 的行向量线性无关 (D )A 的行向量线性相关 2. 设n 阶矩阵A 非奇异,是)2(≥n *A A 的伴随矩阵,则( ). (A )A A A n 1**)(−= (B ) A A A n 1**)(+= (C )A A A n 2**)(−= (D ) A A A n 2**)(+= 3.三个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码能被破译出的概率是（ ）. (A )601 (B ) 6059 (C ) 52 (D ) 53 4. 设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和，则下列结论中正确的是（ ）. ()1,1N (A ) ()210=≤−Y X P (B ) ()211=≤−Y X P (C ) ()211=≤+Y X P (D ) ()210=≤+Y X P 5. 设总体已知，为取自22),,(~σσμN X n x x ,,1"X 的样本观测值，如果在显著性水平05.0=α下接受了.:00μμ=H 若将α改为0.01时，下面结论中正确的是（ ）.(A )必拒绝 (B )必接受0H 0H (C )犯第一类错误概率变大 (D ) 犯第二类错误概率变小得分 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6.设矩阵A 满足，其中042=−+E A A E 为单位矩阵，则 =−−1)(E A .7.若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为51,41,31,21，则行列式=−−E B 1 .8. 设随机变量X 的概率密度为20()01x x f x <<⎧=⎨⎩其他，Y 表示对X 的三次独立重复观察中 事件1{出现的次数，则}2X ≤(2)P Y == .9. 设随机变量X 服从参数为)0(>λλ的Poisson 分布,且,利用Chebyshev 不等式估计概率((1)(2))1E X X −−=(2)_______P X EX −<≥.10. 从一批零件中抽取9个零件，测得其平均直径为20.01x =mm.设零件的直径服从正态分布2(,)N u σ，且已知0.21σ=mm，则这批零件直径的置信度为0.95的置信区间为______________. (四舍五入到小数点后两位,Φ=）.(1.645)0.95,(1.96)0.975Φ=三、计算题（本大题10分） 得分11.计算阶行列式n m a a a a m a a a a m a D n nn n −−−="""""""212121的值.得分 四、分析题（本大题共6小题，共62分） 12.（本小题12分）讨论取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解，当方程组有无穷多解时,求其通解. a答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧−=++=++=++211321321321ax x x x ax x x x ax 13.（本小题12分）已知二次型 323121232221321244),,(x ax x x x x x x x x x x f +−−++= 通过正交变换X QY =化成标准形.23222132133),,(by y y y y y f ++=（1）求参数的值;b a ,（2）求正交矩阵Q .14.（本小题10分）甲、乙二人之间经常用e-mail联系，他们约定在收到对方邮件的当天即n给回复（即回一个e-mail），由于线路问题，每份e-mail中会有1份不能在当天送达收件人.甲在某日发了1份e-mail给乙，（1）试求甲在当天收到乙的回复的概率；（2）如果已知甲在当天未收到乙的回复，试求乙在当天收到甲发出的e-mail的概率.15．（本小题8分）设随机变量X 和Y 独立同分布，且X 的分布律为：()()121,233P X P X ==== （1） 求()P X Y =; 答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------（2） 求Y X Z +=的分布律. 16.（本小题12分）已知二维连续型随机向量(,)X Y 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上服从均匀分布. （1） 求(,)X Y 关于,X Y 的边缘概率密度； （2） 判断,X Y 的独立性； （3） 判断,X Y 的相关性.17.（本小题8分）设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.0,10,)1(),(其它，x x x f θθθ 其中1−>θ是未知参数，12,,,n X X "X 是来自于X 的一个简单随机样本，求θ的极大似然估计量.得分五、证明题（本大题共8分）18.设向量组t ααα,,,21"是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系,β不是的解，证明：向量组0=Ax t αβαβαβ+++,,,21"线性无关.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∫
+∞
−1
f (x )dx =
∫
1
−1
( 1 − x 2 + x cos5 x )dx + ∫
+∞
1
五、 （12 分）解：1、V = π ∫ (1 + y 2 )dy =
−1
0
六、 （10 分）解:设切点坐标为
(t,
t ，由 y =
)
4π ⇒t =4 3
2、W = π g ∫ (1 + y 2 )(1 − y )dy =
阶导数连续,但二阶导数不存在。
⎧ 1 − x 2 + x cos5 x ⎪ 四、 （12 分）设函数 f (x ) = ⎨ arctan x ⎪ x2 ⎩
−1 ≤ x ≤ 1 x >1
,求积分:
∫
+∞ −1
f (x )dx
五、 （12 分）已知一容器的侧面是由曲线 L : x 2 − y 2 = 1 轴旋转而成，容器中装有其一半容量的水若以每分钟 1、需要多少分钟才能抽完？ 2、需要做多少功？ 六、 （10 分）求曲线 y =
x →3 x →3 x →∞
而 lim f (x ) = ∞ ,所以没有水平渐近线。 5、 解： y = ln(x + 1)(x + 2) = ln(x + 1) + ln(x + 2) y ′ = 6、解： 定义域为 (−∞, +∞)
y′ =
1 1 + x +1 x +2
2
y (n +1) = (−1)n n ![(1 + x )−(n +1) + (2 + x )−(n +1) ]
4、解:由 a = lim
f (x ) x2 − 5 x 2 − 5 − x 2 + 3x = 1 , b = lim[ f (x ) − ax ] = lim[ − x ] = lim =3 x →∞ x x →∞ x →∞ x − 3 x →∞ x −3 故有斜渐近线: y = x + 3 ,又 lim f (x ) = +∞, lim f (x ) = −∞ ,所以 x = 3 为垂直渐近线. + −
1 F (x ) = f [ g 2 (4x − a )] ,求 F ′(a ) . a
2 ⎧ ⎪ax + b tan x + c x ≤ 0 三、 （10 分）设函数 f (x ) = ⎨ ,试问 a, b, c 为何值时, f (x ) 在 x = 0 处一 + > ln(1 x ) x 0 ⎪ ⎩
武汉大学数学与统计学院 2010—2011 第一学期《高等数学 A1》期末考试试题 A
一、 （42 分）试解下列各题： 1、计算 lim [e x − 1]ln x
x →+ ∞ 1 1
2、求解微分方程 y ′′′ − y ′′ + 2y ′ − 2y = 0 的通解。 3、判断函数 f (x ) =
λ =1 , 故 原 方 程 的 通 解 为 ：
x (x − 1) 1 + x 2 知， x = 0; x = 1; x = −1 是间断点， (x + 1)(x − 1) | x | x (x − 1) 1 + x 2 lim f (x ) = = 1 所以 x = 0 是 x → 0+ (x + 1)(x − 1) | x |
x2 − x 1 1 + 2 的间断点,并说明是可去间断点、跳跃间断点、无穷 2 x −1 x
间断点还是振荡间断点。 4、求曲线 y =
x2 − 5 的渐近线方程. x −3
(n )
5、设 y = ln(x 2 + 3x + 2) ，求 y
6、讨论函数 y = ln(x 2 + 1) 的单调性和曲线 y = ln(x 2 + 1) 的凹凸性， 并求函数 y = ln(x 2 + 1) 的极值和曲线 y = ln(x 2 + 1) 的拐点。 二、 （8 分）设函数 y = f (x ) 与 y = g(x ) 互为反函数, f (x ) 可导,且 f ′(x ) ≠ 0 ， f (a ) = 3a ,
f (c ) < 0 ( a < c < b) . 试证：在 (a, b) 内至少存在两点 ξ1，ξ 2 使 f ′′(ξ1 ) > 0，f ′′(ξ 2 ) > 0 .
1
武汉大学数学与统计学院 2010—2011 第一学期《高等数学 A1》期末考试试题参考答案
一、 （42 分）试解下列各题：
1
ex
1
1、解：原极限= e
ln(e x − 1) lim ln x x →+∞
=e
1 x2 x lim e − 1 1 x →+∞
(−
1
) − lim
x
=e
x →∞ 1
1 x
lim
x
= e −1 或原极限= e x →+∞ ln x = e −1
ln
1 x
2、解：齐次方程 y ′′′ − y ′′ + 2y ′ − 2y = 0 的特征方程为 λ 3 − λ 2 + 2λ − 2 = (λ − 1)(λ 2 + 2) = 0 ，它 有 复 数 根 为 : λ = ± 2i ， 实 特 征 根 为 : y = C 1e x + C 2 cos 2x + C 3 sin 2x ) 3、解：由 f (x ) =
当 2a ≠ −1 时 f (x ) 在 x = 0 处二阶导不存在。
arctan x dx x2 1 +∞ 1 = 2∫ 1 − x 2 dx − ∫ arctan xd ( ) 0 1 x π π 1 1 + cos 2t π = sin x t 2 2 ∫0 1 − x dx ∫02 cos tdt = ∫02 2 dt = 4 +∞ arctan x +∞ +∞ 1 1 arctan x +∞ 1 ∫1 x 2 dx = ∫1 arctan xd(x ) = x |1 −∫1 x 1 + x 2 dx +∞ 1 π 1 x 2 +∞ π 1 π x = + ln |1 = + ln 2 = +∫ ( − ) dx 1 4 x 1 + x2 4 2 1 + x2 4 2 +∞ 1 +∞ arctan x 3π 1 故 ∫ f (x )dx = ∫ ( 1 − x 2 + x cos5 x )dx + ∫ dx = + ln 2 2 −1 −1 1 x 4 2
ax 2 + b tan x − 0 =b f−′ (0) = lim − x →0 x 所以有： b = 1 故有
ln(x + 1) − 0 =1 f+′ (0) = lim x → 0− x
⎧2ax + sec2 x ⎪ ⎪ 1 ′ f (x ) = ⎨ ⎪ 1 ⎪ ⎩ 1+x
四、 （12 分）解：
x <0 x =0 x >0
2ax + sec2 x − 1 ⎧ lim = 2a ⎪ x → 0− x f ′(x ) − f ′(0) ⎪ f ′′(0) = lim =⎨ 1 x →0 −1 x ⎪ −x 1 + x lim = lim = −1 ⎪x → 0 + x → 0+ x (1 + x ) x ⎩
曲线 y =
x 在 t,
(
25 πg 12
t 处的切线方程
)
(x + t ) ．因此所求旋转体的体积为 2 t 2 2 ⎧⎡ 1 π 8 dV π ⎛ 8 2⎫ ⎞ ⎤ ⎞ − ( x ) ⎬ dx = ⎛ V = π ∫ ⎨⎢ (x + t )⎥ 得 ⎜ − 4 + 2t ⎟ 所以， = ⎜ − 2 + 2 ⎟ = 0 ． 4 ⎝ 3t 2 t dt 4 ⎝ 3t ⎠ ⎦ ⎠ 0 ⎩⎣ ⎭ d 2V π 16 2 2 2 ，舍去 t = − ．由于 2 = ⋅ 2 > 0 ，因而函数 V 在 t = 处达 驻点 t = ± dt t = 2 4 3t t = 2 3 3 3
x (x − 1) 1 + x 2 f (x ) = = −1 又 lim x → 0− (x + 1)(x − 1) | x |
跳跃间断点； lim f (x ) =
x →1
x (x − 1) 1 + x 2 2 = 所以 x = 1 是可去间断点； (x + 1)(x − 1) | x | 2
x (x − 1) 1 + x 2 lim f (x ) = = −∞ 所以 x = −1 是无穷间断点；没有振荡间断点。 x →−1 (x + 1)(x − 1) | x |
为y− t =
1
2 t
(x − t ) ，或 y =
1
3
3
到极小值，而且也是最小值．因此所求切线方程为 y =
七、 (6 分)证明:法一： 由 f ( a ) = f (b) ≥ 0 , f (c ) < 0 ,根据零点值定理知,至少存在一点 η1 ∈ (a, c) , 使得 f (η1 ) = 0 ,至少存在一点 η2 ∈ (c, b) ,使得 f (η2 ) = 0 ,在 [η1, c ] 与 [c,η2 ] 上,由拉格朗日中值定理 f (c) − f (η1 ) < 0 ,由拉格朗日中值定理知,至少存在一 知,至少存在一点 ς 1 ∈ (η1, c) ,使得 f ′(ς 1 ) = c − η1 f (η2 ) − f (c) > 0 ,再在区间 [ς 1 , ς 2 ] 上,运用零点值定理知，至少存在一 点 ς 2 ∈ (c,η2 ) ,使得 f ′(ς 2 ) = η2 − c 点 η ∈ (ς 1, ς 2 ) 使 得 f ′(η ) = 0 , 又 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知 , 至 少 存 在 一 点 ξ1 ∈ (ς 1,η ) , 使 得 f ′(η ) − f ′(ς 1 ) > 0 , 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 知 , 至 少 存 在 一 点 ξ2 ∈ (η, ς 2 ) , 使 得 f ′′(ξ1 ) = η − ς1