第六节理想流体动力学(1)

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若已知平面势流的复势，则流场中任意点处的速度就可求出。 根据复变函数求导公式：
dW z
dz
f z
x
i
x
y
i
y
vx
ivy
V
即：
dW z
dz vx ivy V
V称为复速度，其意义是复势的导数的实部为流速的X轴（实 轴）分量，而其虚部则为流速的Y轴（虚轴）分量的负值。
复速度的模等于速度的绝对值：
各点的速度，而且可以绘制流线，更加直观地表达流场。
2．两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚
度的流体流量
如图所示，在流函数值为 1， 2的 y
两条流线间任作一曲线AB，ds为AB线
上的微元线r 段，过r 微元线段处的速度
ds dy
dx
B
vx vy
v 2
为 v vxi vy j ，则通过ds的单位
函数作为虚部，即
W z i f z
（6-18）
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W z i f z
则 W z 必为一解析的复变函数，称此W z为该平面势流的复
势。此时自变量为： z x iy
对于极坐标： z rei r cos i sin
其中： r x2 y2
arctan
y x
反之，若有一个复变函数是解析的，即其实部与虚部满 足柯西—黎曼条件，则其实部代表某一理论上存在的平面势 流的速度势函数，而其虚部则代表那个流动的流函数。
不可压缩流体的连续方程为：
vx vy vz 0 x y z
对于有势流动：
vx
x
;vy
y
; vz
z
2 x2
2 y2
2 z 2
0
（6-8）
式（6-8）说明任何不可压缩流体无旋运动的势函数，必 满足拉普拉斯（Laplace）方程。满足拉普拉斯方程的函 数为调和函数，其解具有可叠加性。
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拉普拉斯方程实质上是连续方程的一种特殊形式。这 样，求解有势流动的问题，归结为求解满足一定边界条 件的拉普拉斯方程。拉普拉斯方程为二阶线性偏微分方 程，已有多种成熟的求解方法。求解这一方程，比用求 解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程来确定 要简单得多。
v dL vxdx vydy vzdz
dx dy dz d
o
dL
x y
z
因为d为沿dL势函数的增量 , dL在等势面上 ,故d 0 v dL 0
上式说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的。 又因为速度矢量与流线平行，所以等势面与流线正交。
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4、对于不可压缩流体，势函数是调和函数
等流函数线上， x, y 常数 ，即
d vydx vxdy 0
由此得： dx dy
vx vy
将
x
vy
y
代入上式
vx
这就是流线方程！
d dx dy 0
x y
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即
d 0
所以沿着流线： x, y,t const
因此找到流函数 x, y,t 后，不但可以知道流场中
d
x
dx
y
dy
vydx vxdy
aydx axdy
积分得： 2axy C1
所以流线方程为： xy C
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（2）检验流动是否无旋
wz
vy x
vx y
0
可见，该流动是无旋的，存在势函数：
d
x
dx
y
dy
vxdx
v y dy
axdx
aydy
积分得：
a 2
x2 y2
C2
所以等势线方程为：
y
vx
（6-12）
符合上式条件的函数 x, y,t 称为二维不可压缩流
场的流函数。不可压缩流体的平面流动，无论其是无旋流动
还是有旋流动，以及流体有、无粘性，均存在流函数，可见
流函数比速度势更具普遍性。
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流函数 x, y,t 有下列特点：
1．等流函数线是流线
即沿同一条流线，流函数值为常数。
r
r
vr
r
r
v
显然，流网的正交性与坐标系的选取无关。
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例6-3：某定常平面流动为： vx ax vy ay
求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。
解：（1）检验该流动是否满足平面运动的连续方程
vx vy a a 0 x y
可见，该流动满足平面运动的连续方程，存在流函数：
设任意曲线S上一点M(x,y,z)处
zv
的速度分量为Vx, Vy, Vz，则取 速度势的方向导数：
vs
dx dy dz s x ds y ds z ds
o
M
x 其中：
x
Hale Waihona Puke vx ,yvy ,
z
vz
y
dx coss, x, dy coss, y, dz coss, z
ds
ds
ds
y
;
vz
z
x, y, z,t —速度势函数。
（6-4）
由式（6-4）可知，当流动有势时，流体力学的问题将会
得到很大简化，只要求出 x, y, z,t ，即可求出速度分
布，再根据能量方程进而求出流场中的压强分布。
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势函数x, y, z,t有下列特点：
1、势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影
2
第一节 平面势流
首先定义平面流动。
平面流动是指对任一时刻，流场中所有决定运动的函数
仅与两个坐标及时间有关，亦称为二元或二维流动。
特点:
Vz 0, z 0
流场中，若任意流体质点的旋转角速度向量 ω 0 ，这
种流动称为有势流动或无旋流动。
z
平面有势流动的定义:
在有势质量力的作用下，理想不
可压缩流体在相互平行的平面内 作定常无旋流动，称该流动为平
流量只取决于A、B处的流函数值，
而与曲线AB的形状无关。
o
ds dy
dx
B
vx vy
v 2
ds
A
1
x
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3、在有势流动中，流函数也是调和函数
对于平面有势流动有:
z
1
2
vy x
vx y
0
vy vx
将
x
vy
y
vx
x y
代入上式
得:
2
x2
2
y 2
0
所以在平面有势流动中，流函数也是调和函数，也满足 拉普拉斯方程。这样，解平面有势流动问题也可变为解满足 一定初、边条件的流函数的拉普拉斯方程问题。
厚度流量为:
o
ds
A
1
x
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dq
vxdy
vydx
y
dy
x
dx
d
沿AB线段积分，可得通过AB的流量：
B
B
q
dq
A
A d B A
由于沿流线流函数值为常数，所以有：
q 2 1
（6-13）
y
即平面流动中，通过任意两条
流线间单位厚度的流量，等于这两
条流线上的流函数值之差。 同时，
流经任意柱面AB（单位厚度）的
qAB B A
3
3
m3 / s 0
m3 / s
y
即通过AB连线的流量为零。
实际AB在同一条流线上。
o
x
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三、流函数和势函数的关系
1、等流函数线簇与等势线簇正交
在平面有势流动中，同时存在流函数和速度势，有：
vx
x
y
vy
y
x
两式交叉相乘得到：
0
x x y y
这是等势线簇 x, y C和流线簇 x, y C 相互正交
z
z
y
0
同理： y z 0
所以流动无旋的充要条件是流场有速度势函数存在。
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3、等势面与流线正交
在任意瞬时，速度势函数取相同值的那些点构成流动空间
的一个连续曲面，叫等 势面。过等 势面上一点A并在该面
上矢任量取v一微vx元i矢v量y j dLvzkd的xi标量d积yj ： dzk，求它与c该点V速度
arctan
vy vx
arctan
3 600 1
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通过AB的流量应等于A与B两点处的流函数的差，即
qAB B A
B 3xB yB 3 2 3 m3 / s 3 m3 / s
A 3xA yA 3 1 0 m3 / s 3 m3 / s
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例6-1：有一个速度大小为V（定值），沿X轴方向均
匀流动，求其速度势函数。
解：首先判断流动是否有势：
x
1 2
vz y
vy z
0
y
1 2
vx z
vz x
0
z
1 2
vy x
vx y
0
v, （1） 0,
x
y
流动无旋，故 为有势流动。
（2） 0 （3） z
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由（1）式积分可得：
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第二节 速度势函数和流函数
一、速度势函数
在无旋流动中，任一流体微团的角速
度都为零，即：
xi
y
j
z
k
0
或者：vz vy ; vx vz ; vy y z z x x
x
y
z
vx y
1 2
vz y
1 vx 2 z
1 2
vy x
（6-1）
vy z
vz x
vx y
由数学分析可知，式（6-1）三个微分关系式的存在正是