2015年春季学期几何光学作业2
习题九 几何光学
习题九 几何光学（习题参考解答）[9-1] 将一物置于长柱形玻璃的凸球面前25cm 处，设这个凸球面曲率半径为5cm ，玻璃前的折射率n=1.5，玻璃前的媒质是空气，求：（1） 像的位置，是实像还是虚像？（2） 该折射面的焦距。
已知：5.11525====n n cm r cm u o 求：①?=v ②??21==f f 解：∵ rn n v n u n 1221-=+ ∴ 515151251-=+.v . )(25cm v = 成实像当：时∞=u 2f v =515.112-=f cm f 152=当：1f u v =∞=时55.15.111=∞+f cm f 101=答：像的位置在球面后25cm 外 为实像焦距cm f 101= cm f 152=[9-2] 有一厚度为3cm ，折射率为1.5的共轴球面系统，其第一折射面是半径为2cm 的球面，第二折射面是平面，若在该共轴球面系统前面对第一折射面8cm 处放一物，像在何处？ 已知：cm d 3= 1=o n 5.1=n cm r 21= ∞=2rcm u 81=求：?=v解：∵ rn n v n u n 1221-=+ ∴ 215151811-=+.v . cm v 121=又 ∵ ∞-=+--5.111)312(5.1v ∴ cm v 6=答：像最后成在第二折射面后6cm 处。
[9-3] 一个双凸透镜，放在空气中，两面的曲率半径分别为15cm 和30cm ，如玻璃折射率为1.5，物距为100cm ，求像的位置和大小，并作图验证之。
已知：cm r 151= cm r 302-= 5.1=n cm u 100=求：像的位置?=v 像的大小解：∵ 透镜的焦距f 为：()121111-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=r r n f ∴ 1)301151)(15.1(-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=f )(20cm =又 ∵ fv u 111=+ ∴20111001=+v )(25cm v =又 ∵ 放大率 uv m = 10025= 41=答：像的位置在透镜后20cm 外，实像且放大率为41[9-4] 一对称的双凸透镜折射率为1.5它在空气中的焦距为12cm ，其曲率半径为多大？另一双凸薄透镜置下列介质中，其左边为折射率为n 1=4/3的水，右边为空气，且右侧球面的半径与上一透镜的相同。
几何光学作业2
10. 如图所示，L1、L2分别为凸透镜和凹透镜，前面放 一小物，移动屏幕到L2后20cm的S1处接收到像。现将凹 透镜L2撤去，将屏幕移前5cm至S2处，重新接收到像， 凹透镜L2的焦距为（ ） A. -20cm C. -60cm B. -40cm D. -80cm
20cm
5cm
L1
L2
S2
S1
1 l1 1 l1 1 f 1 l1 1 12 1 6
S
l1 12cm
凸透镜右12cm，距离凹面反射镜10cm。 经凹面反射镜第二次成像
1 l2 1 l2 2 r l2 10 20 l2 5cm 在反射镜前5cm 1 1 2
C. 光线将内反射；
D.光线将全部吸收。
3. 光束由介质II射向介质I，在界面上发生全反射，则 光在介质I、II中的传播速度u1和u2的大小为（） A. u1 u 2 B. u 2 u1 C . u1 u 2
D. 无法判别 1、u 2的大小 u
4. 一薄透镜由折射率为1.5的玻璃制成，将此薄透镜放 在折射率为4/3的水中。则此透镜的焦距数值就变成原 来在空气中焦距数值的（） D：1.5/1.333倍 C. 4倍 A. 2倍 B. 3倍 5. 焦距为4cm的薄凸透镜用作放大镜，若物置于透镜 前3cm处，则其横向放大率为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
1 1.5 5
d 50cm
所以棒长50cm
3. 一平凹薄透镜，由折射率为1.50的玻璃制成，其凹 面的曲率半径为10cm，位于空气中，求它的焦距和光 焦度。如果将此透镜放在水中，水的折射率为4/3，问 透镜焦距数值变为原来在空气焦距的多少倍？ 解：(1) f
高考物理光学知识点之几何光学经典测试题及答案解析(2)
高考物理光学知识点之几何光学经典测试题及答案解析(2)一、选择题1．如果把光导纤维聚成束，使纤维在两端排列的相对位置一样，图像就可以从一端传到另一端，如图所示．在医学上，光导纤维可以制成内窥镜，用来检查人体胃、肠、气管等器官的内部．内窥镜有两组光导纤维，一组用来把光输送到人体内部，另一组用来进行观察．光在光导纤维中的传输利用了( )A．光的全反射B．光的衍射C．光的干涉D．光的折射2．华裔科学家高锟获得2009年诺贝尔物理奖，他被誉为“光纤通讯之父”．光纤通讯中信号传播的主要载体是光导纤维，它的结构如图所示，其内芯和外套材料不同，光在内芯中传播．下列关于光导纤维的说法中正确的是A．内芯的折射率比外套的小，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射B．内芯的折射率比外套的大，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射C．波长越短的光在光纤中传播的速度越大D．频率越大的光在光纤中传播的速度越大3．如图所示，将等腰直角棱镜截去棱角，使截面平行于底面，制成“道威棱镜”，可以减小棱镜的重量和杂散的内部反射。
从M点发出一束平行于底边CD的单色光从AC边射入，已知折射角γ＝30°，则A．光在玻璃中的频率比空气中的频率大B．玻璃的折射率6 nC2×108 m/sD．CD边不会有光线射出4．某单色光在真空中传播速度为c，波长为λ0，在水中的传播速度为v，波长为λ，水对这种单色光的折射率为n，当这束单色光从空气斜射入水中时，入射角为i，折射角为r，下列正确的是（）A ．v=n c ，λ=n c 0λB ．λ0=λn，v=sini csinr C ．v=cn ，λ=c v0λD ．λ0=λ/n，v=sinrcsini 5．如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球，则（ ）A ．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球B ．小球所发的光能从水面任何区域射出C ．小球所发的光从水中进入空气后频率变大D ．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大6．有一束波长为6×10－7m 的单色光从空气射入某种透明介质，入射角为45°，折射角为30°，则A ．介质的折射率是2B ．这束光在介质中传播的速度是1.5×108m ／sC ．这束光的频率是5×1014HzD ．这束光发生全反射的临界角是30°7．如图所示，O 1O 2是半圆柱形玻璃体的对称面和纸面的交线，A 、B 是关于O 1O 2轴等距且平行的两束不同单色细光束，从玻璃体右方射出后的光路如图所示，MN 是垂直于O 1O 2 放置的光屏，沿O 1O 2方向不断左右移动光屏，可在屏上得到一个光斑P ,根据该光路图，下列说法正确的是（ ）A ．在该玻璃体中，A 光比B 光的运动时间长B ．光电效应实验时，用A 光比B 光更容易发生C ．A 光的频率比B 光的频率高D ．用同一装置做双缝干涉实验时A 光产生的条纹间距比B 光的大8．a 、b 两种单色光以相同的入射角从半圆形玻璃砖的圆心O 射向空气，其光路如图所示．下列说法正确的是（ ）A．a光由玻璃射向空气发生全反射时的临界角较小B．该玻璃对a光的折射率较小C．b光的光子能量较小D．b光在该玻璃中传播的速度较大9．明代学者方以智在《阳燧倒影》中记载：“凡宝石面凸，则光成一条，有数棱则必有一面五色”，表明白光通过多棱晶体折射会发生色散现象．如图所示，一束复色光通过三棱镜后分解成两束单色光a、b，下列说法正确的是A．若增大入射角i，则b光最先消失B．在该三棱镜中a光波速小于b光C．若a、b光通过同一双缝干涉装置，则屏上a光的条纹间距比b光宽D．若a、b光分别照射同一光电管都能发生光电效应，则a光的遏止电压高10．如图所示半圆形玻璃砖，圆心为 O，半径为 R．某单色光由空气从 OB 边界的中点 A 垂直射入玻璃砖，并在圆弧边界 P 点发生折射，该折射光线的反向延长线刚好过B点．则（）A．该玻璃对此单色光的折射率为1.5B．光从 A 传到 P 的时间为（c为空气中的光速）C．该玻璃对此单色光的临界角为45°D．玻璃的临界角随入射光线位置变化而变化11．已知单色光a的频率低于单色光b的频率，则（）A．通过同一玻璃三棱镜时，单色光a的偏折程度小B．从同种玻璃射入空气发生全反射时，单色光a的临界角小C．通过同一装置发生双缝干涉，用单色光a照射时相邻亮纹间距小D．照射同一金属发生光电效应，用单色光a照射时光电子的最大初动能大12．光在真空中的传播速度为c ，在水中的传播速度为v 。
2015年春季学期几何光学作业2
M B D A B’’ M A’’
12、名词解释： （1）光学间隔
（2）光楔Leabharlann （3）镜像（4）共轭距
4
4、曲率半径为 50mm，折射率为 1.5 的双凹薄透镜， 位于空气中的像方焦距和光焦度分别为多少？浸入 折射率为 1.33 的水中时的像方焦距是多少？
2
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
6、试以两个薄透镜组按下列要求组成光学系统： （1） 8、图中的正透镜对实物成实象。请根据物 两透镜组间间隔不变， 物距任意改变而倍率不变； （2） 的坐标系给出最后像的坐标系，并说明理 物距不变，两透镜组间间隔任意改变，而倍率不变。 由。 问该两薄透镜组焦距间关系，求组合焦距的表达式。
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
1、由正、负两薄透镜组合成 f’=1.2m 的光学系统， 2、一个薄透镜对某一物体成一实像，垂轴 该系统对无限远物体成像，像面离正透镜 700mm，离 放大率为－1，今以另一个薄透镜紧贴在第 负透镜 400mm,。求正、负透镜的焦距，并在光路图中 一透镜上，则见像向透镜方向移动 20 毫米， 标出该系统的像方主点 H’ 、焦点 F’和焦距 f’ 。 放大率为原先的 3／4，求两块透镜的焦距。
9、请描述道威棱镜的旋转特性，并运用棱 镜系统的成像方向判断方法对其进行图解。 7、给出二次反射等腰直角棱镜的展开图，并计算光 轴长度和棱镜常数。
3
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
10、一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图。平面 11、试以图解方式说明远摄型光组与反远距 镜 MM 与透镜光轴垂直交于 D 点，透镜前方离平面镜 型光组的区别。 600mm 有一物体 AB，经透镜和平面镜后，所成虚象 A//B//至平面镜的距离为 150mm， 且象高为物高的一半， 试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并 画出光路图。
2015届高三二模理科数学分类汇编(立体几何)
北京各区二模理科数学分类汇编立几(2015届西城二模) 8．在长方体，点M 为AB 1 的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP ＋PQ 的最小值为（ ）(2015届西城二模) 17．（本小题满分14 分） 如图 1，在边长为4 的菱形ABCD 中，AB DE BAD⊥=∠,600于点E ，将△ADE 沿DE折起到△A 1D E 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图 2．⑴ 求证：A 1E ⊥平面BCDE ；⑵ 求二面角E —A 1B —C 的余弦值；⑶ 判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥A 1BC ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为DE BE ⊥,//BE DC ,所以DE DC ⊥, ……………… 1分 又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ,所以DC ⊥平面1A DE ， ……………… 2分所以1DC A E ⊥. ……………… 3分又因为1A E DE ⊥,DC DE D =I ,所以1A E ⊥平面BCDE .……………… 4分（Ⅱ）解：因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1,,A E DE BE 两两垂直，以1,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分易知23DE=,则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ， EA 1BCD所以1(2,0,2)BA =-u u u r,(2,0)BC =u u u r.平面1A BE 的一个法向量为0,1,0n =r（）， ……………… 6分 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r,由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r ,得220,20.x z x -+=+=⎧⎪⎨⎪⎩令 1y =,得(m =u r. ……………… 8分所以cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅u r r u r ru u r r .由图，得二面角1E A B C --的为钝二面角，所以二面角1E A B C --的余弦值为7-. ……………… 10分（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 11分 解：假设在线段EB 上存在一点P ，使平面1A DP⊥平面1A BC .设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r,1(0,2)A D =-u u u r，…………… 12分设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得111120,20.z tx z -=-=⎧⎪⎨⎪⎩令 12x =，得所以)p t =u u r. ……………… 13分 因为平面1A DP⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0=，解得3t =-. 因为02t ≤≤，所以在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC . ……………… 14分(2015届海淀二模)A 1B EC答案：C(2015届海淀二模)（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结OM.因为//AB CD，2AB CD=，所以2BO ABDO CD==.因为2BM MP=，所以2BMPM=.所以BM BOPM DO=.所以//OM PD. ………………2分因为OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC，所以//PD平面MAC. ………………4分（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AD AB⊥，平面PAD I平面ABCD AD=，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. ………………6分因为PA⊂平面PAD，所以AB PA⊥. ………………7分同理可证：AD PA⊥.因为AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD AB A=I，所以PA⊥平面ABCD. ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由MBD COAPEFA22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =u u u r，(0,2,2)PB =-u u r.由（Ⅱ）得：PA ⊥平面ABCD .所以 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r. ………………10分设PMPBλ=(01)λ≤≤，即PM PB λ=uuu r uu r .所以(0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r.设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r ur uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1x λ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以(1,22,2)m λλλ=---u r. ………………12分因为 二面角B AC M --的余弦值为23，所以23=，解得12λ=. 所以 PM PB的值为12. ………………14分(2015届东城二模)（17）（本小题共14分） 如图，三棱柱ABC DEF -的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC ⊥侧面ADEB ，4AB =，60DEB ∠=o ，G 是DE 的中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面AGF ；（Ⅱ）求证：GB ⊥平面BEFC ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使二面角P GE B --为45o，的长；若不存在，说明理由．（17）（共14分） （Ⅰ）证明：连接CD 与AF 相交于H ，则H 为CD 的中点，连接HG ．因为G 为DE 的中点， 所以HG ∥CE ． 因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ，A所以CE ∥平面AGF ． ………4分（Ⅱ）证明：1BE =，2GE=，在△GEB 中，60GEB ∠=o ，BG =因为222BGBE GE +=，所以GB BE ⊥． 因为侧面BEFC⊥侧面ADEB ，侧面BEFC I 侧面ADEB BE =，GB ⊂平面ADEB ，所以GB ⊥平面BEFC ． ………8分（Ⅲ）解：,,BG BE BC 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -．二面角P GE B --为45．假设在线段BC 上存在一点P ，使平面BGE 的法向量(0,0,1)=m，设(0,0,),[0,1]P λλ∈．G (0,1,0)E ．所以()GP λ=u u u r ，(GE =u u u r．设平面PGE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.GP GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u uu r u u u rn n 所以0,0.z y λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z=，得y λ=，x =， 所以PGE 的法向量为,1)λ=n ．因为1⋅=m n ， 所以112=，解得[]0,12λ=，故2BP =． 因此在线段BC 上存在一点P ，使二面角P GE B --为45o， 且BP =………14分(2015届昌平二模) 6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.B.C.D.(2015届丰台二模) 5(A) 6(B)29(C) 3 (D)23(2015届丰台二模)17.（本小题共14分）如图所示，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥1AA 底面ABCD，BD AC⊥于O,且124AA OC OA ===，点M 是棱1CC 上一点．（Ⅰ）如果过1A ，1B ，O 的平面与底面ABCD 交于直线l ，求证：//l AB ；（Ⅱ）当M 是棱1CC 中点时，求证：1AO DM ⊥；（Ⅲ）设二面角1A BD M--的平面角为θ，当cos 25θ=时，求CM 的长．（Ⅲ）原题：设二面角1A BD M--的余弦值为25，求CM 的长．（要舍一解）17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以BAB A 11是平行四边形．所以AB B A //11．侧 视图俯视图俯视图正视图OMD 1C 1B 1A 1DCBA因为⊄11B A 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以//11B A 平面ABCD ．因为平面IO B A 11平面ABCD l =，所以11//B A l ． 所以AB l //．………………4分（Ⅱ）因为DB AC ⊥于O ，如图建立空间直角坐标系．因为41=AA ，且24OC AO ==，所以(0,0,0)O ，(4,0,0)C ，(2,0,0)A -，1(2,0,4)A -．因为M 是棱1CC 中点，所以(4,0,2)M ．设(0,,0)D b ，所以(4,,2)DM b =-u u u u r，1(2,0,4)OA =-u u u r ．所以08081=++-=⋅OA DM ．所以1AO DM ⊥． ……………………8分（Ⅲ）设(0,,0)D b ，(0,,0)B c ，平面BD A 1的法向量为),,(z y x =，又因为1(2,,4)A D b =-u u u u r ，1(2,,4)A B c =-u u u r ，所以1102402400m A D x by z x cy z m A B ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⋅=⎩⎪⎩u r u u u u r u r u u u r． 因为c b ≠，所以0=y ，令1z =，则2x =，所以(2,0,1)m =u r． 设),0,4(h M ，所以(4,,)MD b h =--u u u u r ，(4,,)MB c h =--u u u r．设平面MBD 的法向量为111(,,)n x y z =r，所以 111111400400x by hz n MD x cy hz n MB ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩r u u u u r r u u u r． 因为c b ≠，所以10y =，令11z =，则14h x =-，所以(,0,1)4hn =-r ．又因为cos 25θ=，B所以25 cos ,25m n<>=u r r，即21252255116hm nn m h-⋅==⨯+u r rr u r．解得3h=或76h=．所以点(4,0,3)M或7(4,0,)6M．所以3CM=或76CM=．……………………14分(2015届昌平二模) 17. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCD中，1//,2,2AD BC AB AD BC E===是BC的中点，AE I BD M=，将BAE∆沿着AE翻折成1B AE∆，使平面1B AE⊥平面AECD.（I）求证：1CD B DM⊥平面；（II）求二面角1D AB E--的余弦值；（III）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.17. (本小题满分14分)( I ) 由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以MEAM=，故AEMB⊥1.又因为,AB BE M AE=为的中点,所以BM AE⊥,即.DM AE⊥AD//BC又因为, 2.AD CE==所以四边形ADCE是平行四边形.所以//.AE CD故CD DM⊥.因为平面⊥AEB1平面AECD, 平面IAEB1平面AEAECD=,1B M⊂平面AECD所以⊥MB1平面AECD.1.B M AE⊥因为⊂CD平面AECD, 所以⊥MB1CD.因为MMBMD=1I, MD、⊂MB1平面MDB1,所以⊥CD平面MD B 1. ……………5分(II) 以ME 为x 轴, MD 为y 轴, 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C , )3,0,0(1B , )0,0,1(-A ,)0,3,0(D .平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD .设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→, 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ,⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x , 令1=z 得, )1,1,3(-=→m .所以55,cos>=<→→MD m , 因为二面角E AB D --1为锐角, 所以二面角E AB D --1的余弦值为55. ……………10分(III) 存在点P ,使得//MP 平面1B AD . ……………11分 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ . 则//PQ CD ，且1=2PQ CD . 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD .因为M 为AE 的中点，则//AM PQ .所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ .又因为AQ ⊂平面1AB D ,所以//MP 平面1AB D .所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B . ……………14分 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1,设11B P B C λ=u u u r u u u u r,(10≤≤λ),(2,3,0)C ，因为11MP MB B P =+u u u r u u u u r u u u r .所以(2,3,33)MP λλλ=-u u u r.xyAE CDMB 1z因为//MP 平面AD B 1, 所以0MP m ⋅=u u u r u r, 所以033332=-++-λλλ, 解得21=λ, 又因为MP ⊄平面AD B 1, 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．……………14分。
几何光学练习
几何光学练习（一）1、有一直径为4cm 的实心玻璃球，球内有一小气泡，当观察者的眼睛与球心、气泡在同一条直线上时，气泡似相距球面1cm ，试求此气泡距球面的真实距离。
玻璃的折射率为1.5。
2、如图所示，一个半径为R 的球型玻璃鱼缸放置在直立的平面镜前，缸壁很薄，其中心距镜面3R ，缸中充满水，观察者在远处通过球心并与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼以速度v 0射率n=4/3。
3、某人将折射率n=1.50、半径为10cm的玻璃球放在书上看字。
试求：（1）看到的字在什么地方？放大率为多少？（2）若将玻璃球切成两半并取其一，令其平面向上，而让球面和书面接触，这时看到的字在何处？放大率等于多少？4、如图所示，凸透镜焦距为f=15cm ，OC=25cm ，以C 点为圆心，r=5cm 为半径的发光圆环与主轴共面，试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。
5、若一会聚透镜在空气中的焦距为5cm ，平置于离水箱底面40cm 高处，水箱充水至60cm ，试问：（1）水箱底面经过这一系统成像于何处？设透镜的折射率为1.52，水的折射率为1.33。
（2）假定水面以2cm/s 的速率向下降至透镜处，求这段时间内像的变化情况。
6、如图所示，一个小会聚透镜紧靠在凹面镜上，遮住面镜反射面的中央部分，当物体位于面镜前某一位置时，此光具组成两个实像。
一个像到面镜的距离为v 1=50cm ，另一个像到面镜的距离为v 2=10cm 。
求透镜的焦距。
7、平面镜M 1与凸透镜L 的主光轴的夹角α=45°，L 的焦距f=15cm ，AO=24cm ，BO=32cm ，N 是一挡光板，发光点P 在A 点正上方16cm 处，但发出的光线不能直接射到凸透镜上，如图所示，求发光点P 通过此光学系统最终成像的位置。
2 2题图 4题图几何光学练习题（二）1、平行光束垂直射在等腰棱镜的底面上，如图所示。
如果在离棱镜距离L=100cm 处放一个屏M ，在屏幕中央形成宽为2d=1cm 的暗纹，求棱镜的折射角α。
光学作业答案
I = 0.37% ，此时接近消反射。 I0
2π λ0 λ0 = π ， λ0 = 500nm λ 2 λ
（2）反射两光束相位差
δ=
2π
λ
2n 2 h =
将 λ = 400nm 和 λ = 700 nm 分别代入上式，得到相位差分别是 1.375πrad 和 0.7857πrad 20.砷化镓发光管制成半球形，以增加位于球心的发光区对外输出功率，减少反射损耗，已 知砷化镓发射光波长 930nm，折射率为 3.4，为了进一步提高光输出功率，常在球形表面涂 一层增透膜。 （1）不加增透膜时，球面的强度反射率多大？ （2）增透膜折射率和厚度应取多大？ （3）如果用氟化镁（1.38）作为增透膜，能否增透？强度反射率多大？ （4）如果用硫化锌（2.35） ，情况又如何？ 解：
此光学系统成像在 L1 之右 10cm 处。
, s1, s2 10 10 = − = −1 ， V2 = − = − = 2， 横向放大率分别为 V1 = − −5 s1 10 s2
总放大率 V = V1 • V2 = −2 27.用作图法求本题各图中的 Q 像。 （a）
（b）
（c）
（d）
35.（1）用作图法求图中光线 1 共轭线 （2）在图上标出光具组节点 N，N’位置
与屏幕交点（零级）随之移动，即以 M 为中心转了角 β ≈ δs / B ，反映在屏幕上零级位移
C δs ，即幕上条纹总体发生一个平移。 B （5）设扩展光源 b，即其边缘两点间隔 δs = b ，若这两套条纹错开的距离（零级平移量） δx = Δx ，则幕上衬比度降为零，据此有， B+C C δx = b ， Δx = λ 2aB B 令 δx = Δx ，
36.已知 1-1’是一对共轭光线，求光线 2 的共轭线。
2015年高三二模汇编——立体几何
CBAC 1B 1A 12015年高三二模汇编——立体几何一、 填空题1.（2015黄浦二模理10文10）已知AB 是球O 的一条直径，点1O 是AB 上一点，若14OO =，平面α过点1O 且垂直AB ，截得圆1O ，当圆1O 的面积为9π时，则球O 的表面积是 ．【答案】1002.（2015静安、青浦、宝山二模理11文11）把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．【答案】9.63.（2015浦东二模理9文9）已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm ．【答案】4.（2015普陀二模理8）一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 ． 【答案】45.（2015普陀二模文9）一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】46.（2015徐汇、松江、金山二模理10）如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为 ．【答案】4π二、选择题1.（2015崇明二模理17）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的 全面积与体积分别为（ ）A．,B．100(1,πC．D．100(1,π【答案】B2.（2015奉贤二模理18）如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S 圆和S 圆环，那么（ ）A ．S 圆＞S 圆环B ．S 圆＜S 圆环C ．S 圆=S 圆环D ．不确定3.（2015虹口二模理17）如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ） A.线段 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一部分 【答案】D4.（2015黄浦二模理15文15）在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若两直线,a b 与直线l 所成的角相等，那么//a bB ．空间不同的三点A 、B 、C 确定一个平面C. 如果直线//l 平面α且//l 平面β，那么//αβ D ．若直线a 与平面M 没有公共点，则直线//a 平面M 【答案】D5.（2015闵行二模理18文18）如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,22BC AC AB ===，点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件 作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为( )(A) 2. (B) 22. (C) 15+. (D) 10. 【答案】C6.（2015浦东二模理16文16）平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为（ ）)(A 平行 )(B 相交 )(C 平行或重合 )(D 平行或相交【答案】D7.（2015普陀二模理15文15）a b c 、、表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A ．若//,//αa b a ，则//αb B ． 若,α⊥⊥a b b ，则α⊥a C ．若,⊥⊥a c b c ，则//a b D ．若,αα⊥⊥a b ，则//a b 【答案】D8.（2015闸北二模理11文11）下列命题中，正确的个数是【 】① 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行； ② a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个； ③ 直四棱柱是直平行六面体；βαP B A DC ABlC αN P O④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B9.（2015长宁、嘉定二模理18文18）在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为（ ） A ．6:1 B ．5:1 C ．4:1 D ．3:1【答案】C三、解答题1.（2015崇明二模理20）（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π．【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，11(1,0,1),(0,0,0),(0,0,1)A D D设(1,,0)([0,2])E y y ∈ 则11(1,,1),(1,0,1)D E y DA =-=…所以110D E DA ⋅=……所以11D E A D ⊥…… （2）方法一：设(,,)n u v w =为平面1D CE 的一个法向量由1100n CD n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200v w u yv w -+=⎧⎨+-=⎩，所以(2)2u y v w v =-⎧⎨=⎩…因为二面角1D EC D --的大小为4π，所以cos |42π===又[0,2]y ∈，所以2y =2AE =时二面角1D EC D --的大小为4π2.（2015崇明二模文20）（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）当E 为AB 的中点时，求四面体1E ACD -的体积； （2）证明：11D E A D ⊥．【答案】解：（1）1122ACE S AE BC ∆=⋅=… 因为1D D ACE ⊥平面，所以1111136E ACD D ACE ACE V V S D D --∆==⋅=…x D 1C 1A 1AEDB 1B C（2）正方形11ADD A 中，11A D AD ⊥……因为11AB ADD A ⊥平面，所以1AB A D ⊥…所以11A D AD E ⊥平面…所以11D E A D ⊥……3.（2015奉贤二模理20文20）三棱柱111C B A ABC -中，它的体积是315，底面ABC ∆中，090=∠BAC ，3,4==AC AB ,1B 在底面的射影是D ，且D 为BC 的中点． （1）求侧棱1BB 与底面ABC 所成角的大小；(7分) （2）求异面直线D B 1与1CA 所成角的大小．(6分)【答案】解：（1）依题意，⊥D B 1面ABC ，BD B 1∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ 2分111111431532ABC A B C ABC V S B D B D -∆=⋅=⨯⨯⨯= 4分1532B D = 5分计算25=BD ，θθtan 25tan 1==BD D B ， tan 3,3πθθ=∴= 7分（2）取11C B 的中点E ，连E A EC 1,，则1ECA ∠（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 ⊥D B 1面ABC ，D B 1‖CE ，面ABC ‖面111C B A ⊥∴CE 面111C B A ，E A CE 1⊥∴ 11分33325tan 251===∠EC AE CE A 12分 所求异面直线D B 1与1CA 所成的角6π13分4.（2015虹口二模理20）（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形， 且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，2PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ； （2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.【答案】解：（1）如图，设CP 与M 的交点为N ，连接MN ．易知点N 是CP 的中点，又M 为PA 的中点，故//AC MN ．…4分 于是，由MN ∉平面DMQ ，得//AC 平面DMQ ．……………6分 （2）如图，以点D 为原点，分别以DA DB DC 、、为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ．易知1(0,1,0)n =为平面PAD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量．则220220n BC x y n PC y z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩2x y z y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，令1y =，得2(1,1,2)n =．…………………10分 1A ABCQP DM(第20题图）D 1C 1B 1BCDA 1A设平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角为θ，则12121cos 2n n n n θ==，…………………12分 故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为3π．………………………………………14分5.（2015虹口二模文20）(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的 菱形，且60,BAD ∠=︒1 4.AA =（1）求直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；（2）求异面直线11AD BA 与所成角的大小．【答案】解：（1）因菱形ABCD 的面积为2sin 60AB ⋅︒=……2分故直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为：14ABCD S AA ⋅==底面……6分（2）连接111BC A C 、，易知11//BC AD ，故11A BC ∠等于异面直线11AD BA 与所成角. ……8分由已知，可得1111,A B BC AC === ……10分则在11A BC ∆中，由余弦定理，得 222111111117cos .210A B BC AC A BC A B BC +-∠==⋅ ……12分 故异面直线11AD BA 与所成角的大小为7cos .10arc……14分6.（2015黄浦二模理19）（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -.（1）若11A C 的中点为1O ，求求异面直线1BO 与11A D所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点D 到平面11A BC 的距离d ．【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D(0,0,0)、(2,2,0)B 、1(0,0,3)D 、1(2,0,3)A 、1(0,2,3)C ． 由1O 是11A C 中点，可得1(1,1,3)O . 于是，111(1,1,3),(2,0,0)BO A D =--=-． 设异面直线1BO 与11A D 所成的角为θ，则111111cos ||||2BO A D BO A D θ⋅===因此，异面直线1BO 与11A D 所成的角为arccos 11． (2)设(,,)nx y z =是平面ABD 的法向量． ∴110,0.n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩又11(0,2,3),(2,0,3)BA BC =-=-，∴230,230.y z x z -+=⎧⎨-+=⎩取2z =， 可得3,3,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面11BA C 的一个法向量是(3,3,2)n =． ∴||n DB d n⋅=11=．7.（2015黄浦二模文19）(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的 一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -．（1）求几何体111ABCD AC D -的体积，并画出该几何体的左视图(AB 平行主视图投影所在的平面)； （2）求异面直线1BC 与11A D 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】解： 2AB BC ==，13AA =，11111=2232231032ABCD A D C V V V-∴=-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=长方体三棱锥．左视图如右图所示． (2)依据题意，有11,A D AD AD BC ，即11A D BC ． ∴1C BC ∠就是异面直线1BC 与11A D 所成的角． 又1C C BC ⊥，∴113tan 2C C C BC BC ∠==．∴异面直线1BC 与11A D 所成的角是3tan 2arc ． 8.（2015静安、青浦、宝山二模理19） (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -的体积； （2）求二面角111C C A B --的大小．【答案】解：（1）因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分A B C D 1A 1C 1D A 1A 1四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯=…………………………4分 （2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2）， B 1（0，0，2），C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴BM C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A AC …8分,0222,02111=-+-=⋅=-=⋅∴z y x C A n x B A n令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴n ， …………………………………………9分 设法向量n 与BM 的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．||1cos |cos |,.23||||n BM n BM πθφθ⋅====⋅解得 111.3B AC C π∴--二面角的大小为………………………………………………12分9.（2015静安、青浦、宝山二模文19） (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知16AA =， 三棱柱111C B A ABC -的体积为183． （1）求正三棱柱111C B A ABC -的表面积； （2）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小.【答案】解：（1）因为三棱柱的体积为18316AA =，从而23334ABC S BC ∆== 因此23BC =. ………………………2分 该三棱柱的表面积为2+=63+363423ABC S S S ∆=⋅=全侧………4分（2）由（1）可知23BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分 在Rt 1BC C ∆中，1233tan BC C ∠==， 所以1BC C ∠=6π.B异面直线1BC与1AA所成的角6π……………………………………………12分10.（2015闵行二模理19文19）（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r=，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA点．若直线PQ与SO所成的角为4π，求此圆锥的表面积．【答案】解：取OA的中点M,连接PM,又点P为母线SA的中点所以//PM OS，故MPQ∠为PQ与SO所成的角． (2)在Rt MPQ△中，4MPQπ∠=，PM QM=，………………………4分由点Q为半圆弧AB的中点知OQ AB⊥，在Rt MOQ△中，10,5OQ OM MQ==⇒=故PM=，所以OS=SA所以2S100rππ==底，10S r SAππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分100100(1S S Sππ=+=+=+全底侧．…………………………………12分11.（2015浦东二模理20）（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面正方形ABCD为边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为．（1）求异面直线AE与PD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B到平面PCD的距离．【答案】解：方法１,（1）因为底面ABCD为边长为2的正方形，⊥PA底面ABCD,则⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥CDAPAADPACDADCD平面PAD，所以CPD∠就是CP与平面PAD所成的角．………………2分在CDPRt∆中，由22tan==∠PDCDCPD，得22=PD，…………………………3分在PADRt∆中，2=PA．分别取AD、PA的中点M、N，联结MC、NC、MN，PAB CDP则NMC ∠异面直线AE 与PD 所成角或补角．……………4分 在MNC ∆中，2=MN，MC =，3NC =，由余弦定理得，2223cos 10NMC +-∠==-， 所以arccos10NMC π∠=-，………6分 即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos ．……7分（2）设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为BCD P PCD B V V --=，…………………………9分 所以，11113232CD PD h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得h =14分 方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得2=PA ，……………3分 则有关点的坐标分别为()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,0,0P所以()2,1,0AE =，()2,2,0-=．设θ为异面直线AE 与PD 所成角， 则()101085202102cos =⨯-⨯+⨯+⨯=θ，所以，1010arccos =θ，即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos（2）因为()2,2,0-=，()0,0,2=，()0,2,0=，设()w v u ,,=， 则由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅w v u u w v 002022，………………………………………………11分 可得()1,1,0=，所以2n BC d n⋅===14分12.（2015浦东二模文20）（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为边长为2的正方形， ⊥PA 底面ABCD , 2=PA ．（1）求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PBD 的距离．【答案】解：（1）联结AC 与BD 交于点M ，取PA 的中点N ，联结MN ，则CP MN //， 所以NMB ∠为异面直线PC 与BD 所成角或补角．……………………2分 在BMN ∆中，由已知条件得，5=BN ，2=BM ，3=MN ，…………5分yPAB DED 1C 1A 1B 1CDBA 所以222MN BM BN +=，2π=∠BMN ，所以异面直PC 与BD 所成角为2π．…7分 （或用线面垂直求异面直线PC 与BD 所成角的大小）（2）设点A 到平面PBD 的距离为h ，因为ABD P PBD A V V --=，……………9分 所以，11113232BD PM h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅， 得332=h ．（或在MAN Rt ∆中求解）………14分13.（2015普陀二模理20）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点． （1）求直线BE 与平面11ABB A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//B F 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置；若不存在，说明理由． 【答案】解：（1）以A 为坐标原点，以射线1AB AD AA 、、分别为x y z 、、轴，建立空间 直角坐标系，如图所示.不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a （0a >），则(,0,0),(0,,)2aB a E a ，于是(,,)2a BE a a =- 3分 根据正方体的性质，可知11DA ABB A ⊥平面,故11AD ABB A 是平面的一个法向量且AD =(0,,0)a 4分设直线BE 与平面11ABB A 所成的较为θ，则22sin 0332BE AD a BE ADa a θ===>⨯ 5分 所以2arcsin3θ=，故直线BE 与平面11ABB A 所成的角的大小为2arcsin 3. 6分（2）假设在棱11C D 上是存在一点F ,使得11//B F A BE 平面,设(,,)F x a a （其中0x a ≤≤）111(,0,0),(0,0,),(,0,),(,,0)B a A a BA a a B F x a a =-=- 8分根据（1）可知，(,,)2aBE a a =- 9分设(,,)n x y z =平面1A BE 的一个法向量，则100n BA n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即002ax az aax ay z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 10分 取2z =，则(2,1,2)n =，由于直线11//B F A BE 平面,所以10B F n = 11分即(,,0)(2,1,2)0x a a -=，化简得2()0x a a -+=，解得2ax = 12分 故在棱11C D 上是存在一点F ，使得11//B F A BE 平面,且点F 是棱11C D 的中点. 14分14.（2015普陀二模文19） (本题满分12分)在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点． 求直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；【答案】解：设正方体的棱长为a ，根据正方体的性质可得：四棱锥E ABCD -的底面积2ABCD S a =，高2aED =2分21143323ABCD a V S ED a =⨯⨯=⨯=，解得2a = 5分因为11//AB A B ,所以ABE ∠即为异面直线BE 与11B A 所成角或其补角， 8分 在ABE中，2,3AB AE BE ===,由余弦定理可得4952cos 02233ABE +-∠==>⨯⨯，即2arccos 3ABE ∠= 11分所以异面直线BE 与11B A 所成的较的大小为2arccos 3ABE ∠=. 12分15.（2015徐汇、松江、金山二模理19文19）(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】解：（1）在Rt AOB ∆中，2OB =，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．则(0,0,(2,0,0),A C D(0,0,23),(AO CD ∴=-=-………………..8’设AO 与CD 所成角为θ，则cos 42AO CD AO CDθ⋅===-⋅ED 1C 1A 1B 1CDBA∴异面直线AO 与CD所成角为arc cos4………………..12’ 解法二：过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角………………..8’AO OBC ⊥平面 DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥在Rt AOB ∆中，AO=DM ∴=D 是AB 的中点 M ∴是的中点 1OM=CM ∴=在Rt CDM ∆中，tan CDM ∠==，………………..10’ CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’16.（2015杨浦二模理20）（本题满分14分，其中第一小题7分，第二小题7分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ;（2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数表示）. 【答案】解：（1）如图建系，设 ),10(≤≤=x x DF 1分 则)0,1,()0,21,1()1,1,0()1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(11x F E D B D B A 2分)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11x AF AB E D ==--=∴, 3分1111,011AB E D AB E D ⊥∴=-=⋅ 4分 由AF E D F AB E D ⊥∴⊥111,平面 5分21,01=⇒=⋅∴x AF E D 6分)0,1,21(F ∴，即F 为CD 中点时F AB E D 11平面⊥。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M B D A B’’ M A’’
12、名词解释： （1）光学间隔
（2）光楔
（3）镜像
（4）共轭距ຫໍສະໝຸດ 42015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
1、由正、负两薄透镜组合成 f’=1.2m 的光学系统， 2、一个薄透镜对某一物体成一实像，垂轴 该系统对无限远物体成像，像面离正透镜 700mm，离 放大率为－1，今以另一个薄透镜紧贴在第 负透镜 400mm,。求正、负透镜的焦距，并在光路图中 一透镜上，则见像向透镜方向移动 20 毫米， 标出该系统的像方主点 H’ 、焦点 F’和焦距 f’ 。 放大率为原先的 3／4，求两块透镜的焦距。
9、请描述道威棱镜的旋转特性，并运用棱 镜系统的成像方向判断方法对其进行图解。 7、给出二次反射等腰直角棱镜的展开图，并计算光 轴长度和棱镜常数。
3
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
10、一光学系统由一透镜和平面镜组成，如图。平面 11、试以图解方式说明远摄型光组与反远距 镜 MM 与透镜光轴垂直交于 D 点，透镜前方离平面镜 型光组的区别。 600mm 有一物体 AB，经透镜和平面镜后，所成虚象 A//B//至平面镜的距离为 150mm， 且象高为物高的一半， 试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并 画出光路图。
1
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
3、近视镜片前后表面的光焦度分别为 6D 和－11D， 5、一薄透镜焦距为 100 毫米，和另一焦距 折射率为 1.5，按薄透镜考虑，求该镜片的焦距和曲 为 50 毫米的薄透镜组合，其组合焦距仍为 率半径。 100 毫米，问两薄透镜的相对位置，并求基 点位置，以图解法校核之。
4、曲率半径为 50mm，折射率为 1.5 的双凹薄透镜， 位于空气中的像方焦距和光焦度分别为多少？浸入 折射率为 1.33 的水中时的像方焦距是多少？
2
2015 年春季学期《几何光学》作业（二）姓名：
学号：
班级：
6、试以两个薄透镜组按下列要求组成光学系统： （1） 8、图中的正透镜对实物成实象。请根据物 两透镜组间间隔不变， 物距任意改变而倍率不变； （2） 的坐标系给出最后像的坐标系，并说明理 物距不变，两透镜组间间隔任意改变，而倍率不变。 由。 问该两薄透镜组焦距间关系，求组合焦距的表达式。