线段树
线段树
目录
定义
基本结构
实现代码
树状数组
编辑本段定义
区间在[1,5]内的线段树
线段树又称区间树，是一种对动态集合进行维护的二叉搜索树，该集合中的每个元素 x 都包含一个区间 Interval [ x ]。
线段树支持下列操作：
Insert(t,x)：将包含区间 int 的元素 x 插入到树中；
Delete(t,x)：从线段树 t 中删除元素 x；
Search(t,i)：返回一个指向树 t 中元素 x 的指针。
编辑本段基本结构
线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a , b]。
长度为1的线段称为元线段。
非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a , (a + b ) / 2]，右结点代表的线段为[( a + b ) / 2 , b]。
右图就是一棵长度范围为[1 , 5]的线段树。
长度范围为[1 , L] 的一棵线段树的深度为log ( L - 1 ) + 1。
这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L)。
线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。
下面以插入为例，详细叙述，删除类似。
将一条线段[a , b] 插入到代表线段[l , r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid＝（l＋r）/2。
如果b<mid，那么将线段[a , b] 也插入到p的左儿子结点中，如果a>mid，那么将线段[a , b] 也插入到p的右儿子结点中。
插入（删除）操作的时间复杂度为O (Log N)。
上面的都是些基本的线段树结构，但只有这些并不能做什么，就好比一个程序有输入没输出，根本没有任何用处。
最简单的应用就是记录线段有否被覆盖，并随时查询当前被覆盖线段的总长度。
那么此时可以在结点结构中加入一个变量int count；代表当前结点代表的子树中被覆盖的线段长度和。
这样就要在插入（删除）当中维护这个count值，于是当前的覆盖总值就是根节点的count值了。
另外也可以将count换成bool cover；支持查找一个结点或线段是否被覆盖。
[1]
相信对算法设计或者数据结构有一定了解的人对线段树都不会太陌生。
它是能够在log(MaxLen)时间内完成线段的添加、删除、查询等操作。
但一般的实现都有点复杂而线段树应用中有一种是专门针对点的。
（点树？）它的实现却非常简单。
这种数据结构有什么用？我们先来考虑一下下面的需求（全部要求在LogN 时间内完成）：如何知道一个点在一个点集里的大小“排名”？很简单，开一个点数组，排个序，再二分查找就行了；如何在一个点集内动态增删点？也很简单，弄个平衡树就行了（本来平衡树比线段树复杂得多，但自从世界上有了STL set 这么个好东东，就……^_^）那如果我既要动态增删点，也要随时查询到一个点的排名呢？那对不起，可能就要出动到我们的“点树”了。
其实现原理很简单：每当增加（或删除）一个大小为X的点时，就在树上添加（或删除）一条(X,MaxLen)的线段（不含端点），当要查询一个点的排名时，只要看看其上有多少条线段就可以了。
针对这一需求，这里有个非常简单的实现（见以下代码，十多行，够短了吧？）其中clear()用于清空点集；add()用于添加一个点；cntLs()返回小于n的点的个数，也就是n的升序排名，类似地cntGt 是降序排名。
这个点树有什么用呢？其中一个应用时在O(NlogN)时间内求出一个排列的逆序数（/show_problem.php?pid=1484，你有更好的算法吗？欢迎交流）方法是每读到一个数x，就让逆序数+=cntGt(x);然后再
add(x)。
这个实现还可以进行一些扩展。
比如删除del(int n)，只要把add(int n)中的++size换成--size，把a[i/2]++改成a[i/2]--即可。
另外还可以通过二分查找功能在O(logN)时间内查到排名第n的点的大小。
应该也可以三四行内搞定。
补充:杨弋同学在2008年信息学奥赛冬令营上新发明了一种线段树的省空间堆式存储法,具体方法可以见08年冬令营课件.
编辑本段实现代码
template < int N > // 表示可用区间为[0,N)，其中N必须是2的幂数;
class PointTree {
int a[ 2 * N];
int size;
void clear() { memset( this , 0 , sizeof ( * this ));}
void add( int n) {
int i = N + n; ++ size;
for ( ++ a[i]; i > 1 ; i /= 2 )
if ( ~ i & 1 ) a[i / 2 ] ++ ;
}
int cntLs( int n) { // 统计小于
int i = N + n,c = 0 ; // 若统计小于等于则c=a;
for (; i > 1 ; i /= 2 )
if (i & 1 ) c += a[i / 2 ];
return c;
}
int cntGt( int n) { return size - a[N + n] - cntLs(n); } } ;
void del(int n){
if(!a[n+=N])return;
--size;
for(--a[n]; n>1; n/=2)
if(~n&1)--a[n/2];
}
/**//* 解决：求点集中第i小的数(由0数起)
* 注意：如果i>=size 返回N-1
*/
int operator[](int n){
int i=1;
while(i<N){
if(n<a) i*=2;
else n-=a, i=i*2+1;
}
return i-N;
}
};
//附一个测试程序
#include<iostream.h>
T<8192> t;
int main(){
char c; int n;
while(cin>>c){
if(c=='c') t.clear();
else{
cin>>n;
if(c=='a') t.add(n);
if(c=='d') t.del(n);
if(c=='q') cout<<t[n]<<endl;
}
}
return 0;
}
编辑本段树状数组
另一种功能上比较类似的数据结构：“树状数组”。
它们有不少相似之处：针对点集的处理（添加、删除、查找）；
相似的时空复杂度（logN时间，2N空间）；
相似的编程复杂度（都比线段树简短得多）；
因此，所有可以用树状数组解决的问题都可以用这个“点树”来解决，另外它还有以下好处：
更直观的转移；
同时支持自下而上和自上而下两种方向的查找和更新，而后者树状数组不支持，所以树状数组不提供某些功能，比如说O(logN)求点集中第k小数。
线段树及其应用场景
线段树及其应用场景一、引言线段树（Segment Tree）是一种基于树状数组（Binary Indexed Tree）的数据结构，用于高效地处理区间查询问题。
它在许多算法和数据结构问题中都有广泛应用，如区间最值查询、区间修改和区间统计等。
二、线段树的定义和构建线段树是一种二叉树结构，每个节点代表一个区间。
叶子节点表示原始数据的单个元素，而非叶子节点则表示区间的合并结果。
线段树的构建过程可以通过递归或迭代的方式完成。
3、线段树的应用场景3.1 区间最值查询线段树的一个常见应用是区间最值查询。
给定一个数组，我们希望能够快速找到指定区间内的最大或最小值。
线段树能够在O(log n)的时间复杂度内完成单次查询，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间修改操作。
3.2 区间修改线段树还可以用于区间修改问题。
例如，给定一个数组，我们需要对指定区间内的元素进行加法或乘法操作。
线段树可以在O(log n)的时间复杂度内完成单次修改，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间查询操作。
3.3 区间统计线段树还可以用于区间统计问题。
例如，给定一个数组，我们需要统计指定区间内满足某种条件的元素个数。
线段树可以在O(log n)的时间复杂度内完成单次统计，并且支持O(log n)的时间复杂度的区间修改操作。
4、线段树的实现和优化4.1 线段树的存储结构线段树可以使用数组或链表来实现。
数组实现简单高效，但需要额外的空间；链表实现节省空间，但查询和修改操作的时间复杂度会增加。
4.2 线段树的查询和修改算法线段树的查询和修改算法可以通过递归或迭代的方式来实现。
递归实现简洁直观，但可能会导致函数调用过多；迭代实现效率较高，但代码复杂度较高。
4.3 线段树的优化技巧线段树的性能可以通过一些优化技巧来提升。
例如，使用延迟标记（Lazy T ag）来延迟区间修改操作的执行，减少递归或迭代次数；使用预处理技巧来提前计算一些中间结果，减少查询或修改的时间复杂度。
线段树中的操作方法
线段树中的操作方法
线段树是一种二叉树结构，用于高效地处理区间查询问题。
线段树常用于解决范围最值查询、区间修改等问题。
线段树的操作方法主要包括以下几点：
1. 构建线段树：线段树的构建方法一般是采用递归的方式，将待处理区间一分为二，构建左右子树，然后将左右子树的值合并到根节点。
2. 查询区间最值：对于一个区间查询问题，可以从根节点开始递归地向下查询。
如果当前节点表示的区间与待查询区间完全不重叠，则返回一个无效值。
如果当前节点表示的区间完全包含待查询区间，则返回当前节点的值。
如果当前节点表示的区间与待查询区间相交但不完全包含，则将查询问题分为左右两个子问题，然后将子问题的结果进行合并。
3. 区间修改：对于一个区间修改问题，可以从根节点开始递归地向下修改。
如果当前节点表示的区间与待修改区间完全不重叠，则不需要修改。
如果当前节点表示的区间完全包含待修改区间，则直接将当前节点的值修改为新值。
如果当前节点表示的区间与待修改区间相交但不完全包含，则将修改问题分为左右两个子问题，然后将子问题的结果进行合并。
4. 更新节点：在线段树中，如果某个节点的值发生了变化，则需要更新该节点
以及其父节点的值。
可以从叶节点开始递归地向上更新。
线段树的操作方法可以根据具体问题的需求进行扩展和优化。
以上是线段树的基本操作方法，具体实现时需要根据具体问题进行适当的调整和改进。
线段树 区间最大值 模板
线段树区间最大值模板一、引言线段树是一种在区间求最大值的算法，常常用于处理一些涉及区间最大值的问题。
下面我们将介绍线段树的基本概念，并给出使用线段树解决区间最大值问题的模板。
二、线段树的基本概念线段树是一种将线段划分为若干个小区间，并使用树状结构来表示这些区间的划分方式。
在每个节点处，我们可以记录该节点覆盖的区间最大值，这样就可以方便地通过遍历树状结构来求出某个区间的最大值。
三、区间最大值问题的模板模板一：问题描述给定一个区间[a,b]，请使用线段树来求出该区间的最大值。
模板二：代码实现假设线段树的节点类型为Node，其中Node包含一个整数值val和两个指向子节点的指针left和right。
以下是使用Python实现的线段树代码：```pythonclassNode:def__init__(self,val=None,left=None,right=None):self.val=valself.left=leftself.right=rightdefbuild_segment_tree(arr,start,end):ifstart>end:returnNonemid=(start+end)//2root=Node(arr[mid])root.left=build_segment_tree(arr,start,mid-1)root.right=build_segment_tree(arr,mid+1,end)returnrootdefquery(root,start,end):ifrootisNone:returnNoneifstart<=root.val<=end:returnroot.valreturnmax(query(root.left,start,end),query(root.right,start,end)) ```使用方法：首先构建线段树，然后通过查询节点来获取区间[a,b]的最大值。
线段树
对于线段树中的每个结点， 其表示一个区间，我们可以记录和这个区间相关 的一些信息（如最大值、最小值、和等） ，但要满足可二分性，即能直接由其子
结点的相关信息得到。 对于询问区间信息和修改区间信息的操作，线段树一般在能 O(log n) 的时间 内完成，而且常数相对较小（和后面的伸展树比较） ，算是一种高效实用的数据 结构。 （2）线段树的基本操作——查询区间信息 使用线段树的目的就是能高效地查找和修改区间信息， 下面先介绍第一个操 作——查询操作。 对于当前要查询的区间 a, b ，我们从线段树的根结点开始，如果当前结点 表示的区间被查询区间完全包含，那么更新结果，否则分别考察左右子结点，如 果查询区间与某个子结点有交集（也可能两个都有） ，那么就递归考察这个子结 点。代码框架如下1：
对于任意一个区间，会被划分成很多在线段树上存在的区间，可以证明，划 分出来的区间在线段树的每层最多有两个，又因为线段树的深度为 O(log n) ，因 此查询操作的时间复杂度为 O(log n) 。
（3）线段树的基本操作——修改区间信息 相对于查询区间信息，修改区间信息显得稍微复杂一些。
1
本文中的代码均使用 C++语言描述
（4）线段树特点总结 利用线段树， 我们可以高效地询问和修改一个数列中某个区间的信息，并且 代码也不算特别复杂。 但是线段树也是有一定的局限性的， 其中最明显的就是数列中数的个数必须 固定，即不能添加或删除数列中的数。对于这个问题，下面介绍的伸展树就可以 完美的解决。
(7,10]
(0,1] (1,2] (2,3] (3,5] (5,6]
(6,7] (7,8]
(8,10]
(3,4]
历史区间最值线段树
历史区间最值线段树
历史区间最值线段树是一种数据结构，用于在一个固定的区间上进行最值查询，同时支持历史版本查询。
线段树是一种二叉树，其中每个节点代表一个区间，左子节点表示左半区间，右子节点表示右半区间。
每个节点保存了该区间的最值信息。
通过将整个区间递归地划分成子区间，可以构建出一棵线段树。
历史区间最值线段树基于线段树的基本思想进行扩展。
除了保存每个区间的最值信息外，它还保存了每个区间的历史版本信息。
在每次更新操作时，会复制一份当前区间的最值信息，然后在新版本中进行更新。
这样就可以记录每个区间每个版本的最值信息。
对于查询操作，可以通过二分法在历史版本上进行查找，找到指定版本的最值信息。
同时可以通过二分法在每个版本上进行查找，找到某个区间范围内的最值。
历史区间最值线段树主要用于解决一些需要查询历史版本最值信息的问题，比如求解一段时间范围内的最大或最小值。
它在某些场景下可以提供更高效的查询性能，但是也需要额外的空间来保存历史版本信息。
线段树ppt课件
•
else Count := 0; 连接处颜色相同并且
非底色，则总数减1
统计算法
最左边的颜色
• end • else if r – l > 1 then
最右边的颜色
• begin
最左颜色=最右颜色=本身
•
result := Count(p * 2, l,非(底l +色则r)统d计iv数加2,1 lc, tl) +
•
else if a >= m then Insert(p * 2 + 1, m, r, a, b, c)
•
else begin
•
Insert(p * 2, l, m, a, m, c);
•
Insert(p * 2 + 1, m, r, m, b, c);
•
end;
•
end;
• end;
• end;
示例
• 初始情况 0 0 0 0 0
• [1，2]
10000
• [3，5]
10110
• [4，6]
10111
• [5，6]
10111
4个1
缺点
• 此方法的时间复杂度决定于下标范围的平 方。
• 当下标范围很大时（[0,10000]），此方法 效率太低。
离散化的做法
• 基本思想：先把所有端点坐标从小到大排 序，将坐标值与其序号一一对应。这样便 可以将原先的坐标值转化为序号后，对其 应用前一种算法，再将最后结果转化回来 得解。
Wall
分析
• 这道题目是一个经典的模型。在这里，我 们略去某些处理的步骤，直接分析重点问 题，可以把题目抽象地描述如下：x轴上有 若干条线段，求线段覆盖的总长度。
线段树的概念与应用
线段树的概念与应用线段树（Segment Tree）是一种用于解决区间查询问题的数据结构。
它可以高效地支持以下两种操作：区间修改和区间查询。
线段树的应用非常广泛，在离线查询、区间统计、区间更新等问题中有着重要的作用。
一、概念线段树是一颗二叉树，其中每个节点代表了一个区间。
根节点表示整个待查询区间，而叶子节点表示的是单个元素。
每个内部节点包含了其子节点所代表区间的并集。
二、构建线段树线段树的构建过程是自底向上的。
将待查询数组划分成一颗满二叉树，并将每个区间的和存储在相应的节点中。
对于叶子节点，直接存储对应元素的值。
而非叶子节点的值可以通过其子节点的值计算得到。
三、线段树的查询对于区间查询操作，可以通过递归方式实现。
从根节点开始，判断查询区间和当前节点所代表的区间是否有交集。
若没有交集，则返回当前节点的默认值。
若查询区间包含当前节点所代表的区间，则返回当前节点存储的值。
否则，将查询区间分割成左右两部分继续递归查询。
四、线段树的更新对于区间更新操作，也可以通过递归方式实现。
与查询操作类似，首先判断查询区间和当前节点所代表的区间的关系。
若没有交集，则无需更新。
若查询区间包含当前节点所代表的区间，则直接更新当前节点的值。
否则，将更新操作分割成左右两部分继续递归更新。
五、应用案例：区间最值查询一个常见的线段树应用是求解某个区间的最值。
以查询区间最小值为例，可以通过线段树来高效地解决。
首先构建线段树，然后进行区间查询时，分为以下几种情况处理：若当前节点所代表的区间完全包含于查询区间，则直接返回该节点的值；若当前节点所代表的区间与查询区间没有交集，则返回默认值；否则，将查询区间分割成左右两部分继续递归查询，最后返回两个子区间查询结果的较小值。
六、总结线段树是一种非常有用的数据结构，能够高效地解决区间查询问题。
通过合理的构建和操作，线段树可以应用于多种场景，如区间最值查询、离线查询等。
熟练掌握线段树的概念和应用方法，对解决问题具有重要意义。
线段树求解区间最大公约数
线段树求解区间最大公约数好了，今天我们聊聊线段树和区间最大公约数（GCD）。
听起来有点学术对吧？别担心，别一听这名字就往头上顶，来，咱们慢慢聊，肯定能让你觉得其实这玩意儿挺简单。
先说说，区间最大公约数是什么？大白话就是，给你一段数，问你这段数里面，能整除所有数的最大的那个数到底是多少。
比方说，给你一段数，求这三者的最大公约数。
你说，12能整除24，能整除36，24和36互相之间也能整除，那最大公约数就是12。
是不是挺简单的？但是要是给你一大堆数，这个问题可就复杂了。
假如这段数的长度是10万，你可不可能一个个去算？太浪费时间了，对吧？这时候线段树就登场了。
线段树啊，听起来很酷，其实它就是一个用来处理区间问题的二叉树。
就像是一个能高效处理大量数据的“小帮手”，一旦有了它，我们就可以瞬间把问题解决，别看它名字生疏，其实好用得很！你可以把线段树想象成一个超级有条理的仓库。
仓库里面分了好多格子，每个格子里都有一段数据。
你想要查哪一段的最大公约数，就可以直接找过去，根本不用一项一项地查看。
这就像你去超市，想找番茄酱，直接去酱料区，而不是一瓶一瓶地在每个货架上找。
是不是立马让你感到轻松多了？不过，问题来了，如何在这么复杂的结构中找到每一段数据的最大公约数呢？其实很简单，线段树的每个节点代表的是一个区间，而每个节点存储的是它所管辖区间的最大公约数。
比如，节点代表的是的最大公约数，线段树就会把你指向包含这个区间的最小几个节点，快速把答案给你。
所以，我们通过查询，能很快知道某一段区间的最大公约数。
简直是秒杀所有传统方法。
你可能会想，既然查起来这么方便，那更新数据是不是也很麻烦？其实也不难！线段树的更新也是基于树的结构进行的。
比如说，某个数发生了变化，更新操作就会沿着树的路径向上走，更新每一个与这个数相关的节点。
这种操作类似你换灯泡：换一个，然后每次走回去检查一遍，确保没问题。
就这么简单，效率超高。
想象一下，我们的线段树就像一位经验丰富的工匠，手里拿着工具箱，每当遇到问题时，总能快速拆解，不拖泥带水。
线段树入门(一)
线段树入门OI中经常能碰见统计类型的题目。
要求出某些时刻、某种情况下，状态是怎样的。
这类问题往往比较简单明了，也能十分容易地写出模拟程序。
但较大的数据规模使得模拟往往不能满足要求。
一、线段树的结构：线段树是一棵二叉树，其结点是一条“线段”——[a,b]，它的左儿子和右儿子分别是这条线段的左半段和右半段，即[a, (a+b)/2]和[(a+b)/2,b]。
线段树的叶子结点是长度为1的单位线段[a,a+1]。
下图就是一棵根为[1,10]的线段树：【1,10】/ \【1,5】【5,10】 / \/ \【1,3】【3,5】【5,7】【7,10】/ \ / \ /\ / \【1,2】【2,3】【3,4】【4,5】【5,6】【6,7】【7,8】【8,10】 / \【8,9】【9,10】易证一棵以[a,b]为根的线段树结点数是2*(b-a)-1。
由于线段树是一棵平衡二叉树，因此一棵以[a,b]为根的线段树的深度为log2(2*(b-a))。
一般采用静态完全二叉树来表示线段树。
（但有时有一些缺点）struct segtree{int a,b,left,right;};其中分别表示线段的左端点和右端点，Left，Right 表示左儿子和右儿子的编号。
因此我们可以用一个一维数组来表示一棵线段树：segtree tree[MaxN];根据实际需要，我们可以增加其它的域，例如cover域来计算该线段被覆盖的次数，或是其它一些形式的域。
二、建立线段树：void build(int step, int s, int t){a[step].a = s;a[step].b = t;a[step].cn = 0;if (t-s>1){int mid=(s+t)/2;build(step*2, s, mid);build(step*2+1, mid, t);}}建立以step为根结点，范围从s到t的线段树。
这里应用了完全二叉树的特点：step 的左孩子结点编号为2*step，右孩子结点编号为2*step+1。
统计的力量-线段树
清华大学 张昆玮
21
2019年10月17日
清华大学 张昆玮
*堆式存储是关键
指针退休了？ 后面再讲……
22
2019年10月17日
*N 的左儿子是 2N *N 的右儿子是 2N + 1 *N 的父亲是 N >> 1 *…… *不就是个堆存储么？不用讲了吧？
清华大学 张昆玮
*一些简单的问题
清华大学 张昆玮
*线段树？
3
2019年10月17日
*POJ上的某题，时限很紧…… *大家都用树状数组，但是有人只会用线段树呢？ *而且我可以轻易改出一道不能用树状数组的题 *在线段树一次次TLE后，有一个ID发帖抱怨 *“下次写一个汇编版非递归线段树，再超时？” *可是大家都知道，超时的代码已经2k了。
*因为查询是连续的？
清华大学 张昆玮
12
2019年10月17日
*为什么用线段树？
功利点说，没啥用的东西咱不学……
清华大学 张昆玮
13
2019年10月17日
*且慢
区区区间和，用的着线段树？
*直接把原数组处理成前缀和 *For i=2 to n do
* A[i] += A[i-1]
*Ans(a,b) = A[a] - A[b-1]
*Warning
32
2019年10月17日
*如果需要查询 0 就整个向后平移一下 *所有下标加一！
*如果需要在[0,1024)中查询1023结尾的区间？ *慢！你的数据规模不是 1000 么？ *…… *如果真的要到1023，直接把总区间变成[0,2048) *就是这么狠！
*不要紧张
清华大学 张昆玮