第四章 水文统计基础知识
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4第四章 水文统计基础知识
P-Ⅲ型概率密度曲线的 特点：
（1）单峰型； （2）与x轴有一交点，对应水文 变量的最小值； （3）后端与x轴不相交
P-Ⅲ 型曲线的应用
将P-Ⅲ型曲线的方程式进行一定的积分演算，就可以得到频率曲 线纵坐标值 的计算公式，即频率曲线的方程式（分布函数）为： P
x
xP (Cv 1) x K P x
3、偏态系数
偏态系数是反映随机变量系列中各随机变量对其均 值对称性的参数。 对于总体
Cs
Cs
( xi x) 3
i 1
n
n x C v3
3
对于样本
Cs
( xi x) 3
i 1
n
(n 3) x Cv3
3
频率曲线的三个参数，其中均值（ x ）一般直接采用矩 法计算值；变差系数（Cv）可先用矩法估算，并根据适线拟 合最优的准则进行调整；偏态系数（Cs）一般不进行计算， 而直接采用倍比，我国绝大多数河流可采用 Cs=(2~3)Cv。
Ki
2）.中值 x
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值
x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y y
y
o
xxx a)
x 0
xxx b)
x 0
xxx
c)
x
a）正偏态；
b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线） 设计洪水水位 设计洪水流量
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期） 经验频率曲线
公式4-18~公式4-20
第四章 水文统计
m P 100% （4-6） n 1 2. 频率与重现期的关系
重现期——随机事件平均的重现时间间隔T，如100年 一遇，指平均每100年遇到1次，并非每隔100年一定遇 到1次
·对于暴雨洪水（防洪，设计频率 P≤50%）
1 1 T （年） P P ( x p )
三峡：P=0.01%，Q0.01%=91100m3 /s，指平均每 10000 年遇到
1．经验频率公式 （1）纯经验频率公式
P
m 100% n
P—— x m 的经验频率；m——变量 xi 从大—→小排列的序号 n——观测资料的总项数
（2）数学期望公式
对于纯经验频率公式，当m=n时，p=100%，即样本的 末项就是总体的最小值，显然不合理。为了由样本比 较好的估计总体概率，我国采用数学期望公式
（五） x 、CV、CS对频率曲线的影响
1．C V、C S 固定， x 改变 如 x 2 x1 ， x 增大， 频率曲线位置抬高，且变陡。
2．x 、C S 固定， C V 变大，使频率曲线顺时针旋转 V
3．x 、CV固定，CS变大，使频率曲线上端变陡，中间曲率变大， 下端趋于水平，CS2>CS1
曲线相关
④以两变量的变化步调分
正相关
负相关
3．相关分析的内容
（1）判断变量之间是否存在相关
（2）确定相关关系的数学形式和相关的密切程度
（3）插补延长倚变量，并作误差分析。
二、简直线相关（一元线性回归）
（一）相关图解法 x、y 同期（同步）观测资料，点绘在图上，根据相关 点的分布趋势，绘出相关线，使相关点均匀分布在相 关线的两旁。可近似看出相关类型及程度 （二）相关分析法 1．建立回归方程 第一步：确定线型——直线，如图 x1，x2，…，xn y1，y2，…，yn
工程水文学 第四章水文统计基本知识
f(x)()(xa0)e(xa0) （密度分布图）
其中：
4 ； 2 ；
Cs
XCsCv
a0
X(1 2Cv Cs
)
三个参数： X，Cs，Cv
分布函数：
F(Xxp) xp f(x)dx
x p X X (C v 1 ) K pX
查值表K； p值表
如何求 X，Cs，Cv 在以后介绍
@COPY RIGHT 扬大陈平
600 500 400 300 200
0.01
1
10
50
图XX XXX站年雨量频率曲线
90 99.9%
@COPY RIGHT 扬大陈平
四、三参数对曲线的影响规律
前面配线时，如果配合不好，则改变参数，继 续求Xp值，第二次配线。
参数有3个，改变哪一个呢？无从下手。 这就需要弄清3参数对曲线的影响规律。
第四节 统计参数估计
一、样本与总体 1.总体：随机变量所有可能取值的全体。 水文总体往往是无限的。 2.样本：从总体中任意抽取的一部分。 3.样本容量：样本中包含的项数。n 4.总体与样本的关系：样本来自总体； 样本的分布基本上反映总体的分布规律。 水文的总体是无限的，所以采用样本来估计总 体；样本（实测资料）的分布反映总体分布规律。
@COPY RIGHT 扬大陈平
二、样本统计参数的估算
1.矩法估计
X 1 n
X
；
i
(Xi X)2
n
离差系数：
Cv
X
； 偏态系数：
Cs
(Ki 1)3 (n3)Cv3
2.无偏估计
X
1 n
Xi
1
CvX
(XiX)2 (ki1)2
工程水文学水文第四章统计1
这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字， 称为随机变量的统计参数（或统计特征值）。
统计参数不仅能反映水文系列的基本规律，用简明的数字来概括 水文现象的基本特性，即具体又明确，又便于与邻近地区比较，进 行地区综合，对解决缺乏资料地区中小河流的水文计算问题具有重 要的实际意义。
1、均值
第四章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
水文现象是一种自然现象，一切自然现象都包含有必然性的一 面，也包含着随机性的一面。水文现象也是如此。
必然性——成因法来研究确定性的水文现象。
例：P，
Pa
成因分析法
汇流
———— 净雨————
Q—t（确定性水文现象）
扣损
河流中的流量Q每年不一样，看上去好象没有什么规律。因为 影响因素多且错综复杂，它具有随机性。
除此之外还研究随机变量的取值大于等于某一值的概率。
水文上习惯研究随机变量不小于某值的概率。P（X x）。
数学上习惯研究随机变量小于某值的概率。P（X<x）。
显然，P（X x）（即概率）是变量X取值 x的函数。这个函数
称为随机变量X的分布函数。
二、连续型随机变量的概率分布
F（x)=P (X x )
随机变量的概率分布能比较完整地刻划随机变量的统计规律。然 而在一些实际问题中，随机变量的分布函数不易确定。有一些实际 问题也不一定需要完整的形式来说明随机变量，只要知道某些特征 值，能说明随机变量的主要特性就行了。
例：某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定的概率 分布曲线。但若只了解该地年降水量的概括情况，那么多年平均 年降水量就是反映该地年降水量多少的一个重要指标。
权函数法的实质在于用一、二阶权函数矩来推求Cs 具体计算式如下：
统计参数不仅能反映水文系列的基本规律，用简明的数字来概括 水文现象的基本特性，即具体又明确，又便于与邻近地区比较，进 行地区综合，对解决缺乏资料地区中小河流的水文计算问题具有重 要的实际意义。
1、均值
第四章 水文统计基本原理与方法
第一节 概述
水文现象是一种自然现象，一切自然现象都包含有必然性的一 面，也包含着随机性的一面。水文现象也是如此。
必然性——成因法来研究确定性的水文现象。
例：P，
Pa
成因分析法
汇流
———— 净雨————
Q—t（确定性水文现象）
扣损
河流中的流量Q每年不一样，看上去好象没有什么规律。因为 影响因素多且错综复杂，它具有随机性。
除此之外还研究随机变量的取值大于等于某一值的概率。
水文上习惯研究随机变量不小于某值的概率。P（X x）。
数学上习惯研究随机变量小于某值的概率。P（X<x）。
显然，P（X x）（即概率）是变量X取值 x的函数。这个函数
称为随机变量X的分布函数。
二、连续型随机变量的概率分布
F（x)=P (X x )
随机变量的概率分布能比较完整地刻划随机变量的统计规律。然 而在一些实际问题中，随机变量的分布函数不易确定。有一些实际 问题也不一定需要完整的形式来说明随机变量，只要知道某些特征 值，能说明随机变量的主要特性就行了。
例：某地年降水量是一个随机变量，各年不同，有一定的概率 分布曲线。但若只了解该地年降水量的概括情况，那么多年平均 年降水量就是反映该地年降水量多少的一个重要指标。
权函数法的实质在于用一、二阶权函数矩来推求Cs 具体计算式如下：
水文统计介绍
P-III型曲线的特点： 一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线
f(x)
皮尔逊Ⅲ 型概率密度曲线
a0 M0(x)
Me(x)
xP
P f ( x)dx
xP
x
在水文计算中，一般要求出指定概率P所相应的随
机变量的取值xP，即求出的 xP满足下列等式：
P
P( X
xP )
xP
(
)
(
x
a0
)
1
e
(
x
因此，由给定的CS 及P，从P-III型曲线离均系数 值表，查出P ，再由下式求：
xP (PCV 1)x
xP即为指定概率 P 所相应的随机变量的取值。这是 水文统计分析中要求计算的一个量
如求频率P=1/100（水文学常称为百年一遇）时的径 流量QP=0.01。
【算例】
已知: 某地年平均降雨量 x =1000 mm, CV =0.5, CS =1.0,若年降雨量符合P - III型分布 试求：P=1% 的年降雨量。
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
正态分布曲线的特点：
料中出现大于或等于某一值 x 的次数。
注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进
行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项 为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修 正，常采用下面的公式进行计算：
经验频率的计算公式： P m n1
第四章水文统计
7.7 15.4 23.1 30.8 38.5 46.2 53.8 61.5 69.2 76.9 84.6 92.3
由此得到经验分布曲线:
X（年降雨量：mm）
1400
1300
1200
验频率分布 900
是否80符0 合实际？ 700
600
P (Xx)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
量及其过程，以确定工程的规模。
对未来长期径流情势（属随机变量）的估计，只能依 据其统计规律，利用数理统计方法进行概率预估。 所谓“概率预估”，即分析水文变量出现超过某个数 值的可能性为多少。
水文统计的任务
（1）频率计算 根据已有的资料（样本），应用概率理论和频率 计算，推求指定频率的水文特征值。
水文统计的任务
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
g(x)
G(x)(%)
100
g(x)
0 xP
x
(a) xp
p(x xp ) G(xp ) g(x) dx
G(xp) 0 xP
G(x)
x (b)
2. 水文统计与概率论和数理统计的主要差别
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
水文上通常称概 率分布曲线为累 积频率曲线
G(X) p(X x)
水文学上，习惯研究随机变量的取值等于或大于某 个值的概率，采用超过制累积概率形式：
由此得到经验分布曲线:
X（年降雨量：mm）
1400
1300
1200
验频率分布 900
是否80符0 合实际？ 700
600
P (Xx)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
其反映年降雨量(Xx)的经验频率P(Xx)和x的关系。随
着样本容量n的增加，频率P就非常接近于概率，而该经 验分布曲线就非常接近于总体的分布曲线。
三、理论曲线线型
1．正态分布
x
式中， x ：均值（平均数）；
：均方差（标准差）。 许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
量及其过程，以确定工程的规模。
对未来长期径流情势（属随机变量）的估计，只能依 据其统计规律，利用数理统计方法进行概率预估。 所谓“概率预估”，即分析水文变量出现超过某个数 值的可能性为多少。
水文统计的任务
（1）频率计算 根据已有的资料（样本），应用概率理论和频率 计算，推求指定频率的水文特征值。
水文统计的任务
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
g(x)
G(x)(%)
100
g(x)
0 xP
x
(a) xp
p(x xp ) G(xp ) g(x) dx
G(xp) 0 xP
G(x)
x (b)
2. 水文统计与概率论和数理统计的主要差别
（2）概率密度曲线和分布曲线画法习惯不同
水文上通常称概 率分布曲线为累 积频率曲线
G(X) p(X x)
水文学上，习惯研究随机变量的取值等于或大于某 个值的概率，采用超过制累积概率形式：
第四章 水文统计基本原理与方法 工程水文学
lim W(A) P(A)
n
五、概率的加法定理与乘法定理
1、概率的加法定理
互不相容（互斥）：P(A1+A2+…An)= P(A1)+P(A2)+……P(Ai)
非互斥事件 ： P(A1+A2)= P(A1)+P(A2)- P(A1A2)
式中：P(A1+A2+……An)为它们中任一个出现的概率
目估外延。 2、理论累积频率曲线
四．理论累积频率曲线
1.频率密度
正态分布：
1 ( x x )2 f ( x) exp 2 2 2
P
x
x
1 ( x x )2 exp dx 0.683 2 2 2
1 ( x x )2 P exp dx 0.997 2 x 3 2 2 1 ( x x )2 P exp dx 1 2 2 2
若求百年一遇的洪水
,m=1 ，得,n=99年。即
是说，在推求百年一遇的洪水时，至少需要99年的实测资料。
2.经验累积频率曲线绘制步骤
1)将实测水文特征值如水位、流量或降雨量不论年序，按大小 排序，对于洪水资或大于某特征值 x≥xi，的
例4-1：江河中出现的最高水位或最大流量，每年的实测值 各不相同，为互斥事件。某水文站观测到一河段50年的洪 水水位资料如下表4-2，求小于258m水位出现的频率。
水位高程Hi(m) 出现的频数 fi(年) 频率w(Hi)%
250 3 6
255 7 14
258 9 18
265 16 32
268 15 30
均系数表。后经雷布京等人的修正，成为专用水文计算表。
1961年中国科学院水文研究所又对此离均系数ФP计算表进行 修正扩展，加密点据，将ФP值补充到Cs=6.4。 x K p 1 pCv；xP KP x 理论累计频率曲线的坐标值：令 K
工程水文第4章水文统计的基本知识
样本抽样误差的均方值称为均方误，是衡
量抽样误差的大小的常用指标。
皮尔逊Ⅲ型分布参数矩法估计的均方误公式：
X
n
2n 1 3 2 cs 4 3 2 CS 2C V C S 4
Cv
Cv 2n
6
2 1 2cv
Cs
n
(1
3 5 2 4 CS CS 2 16
第四章
第一节
水文统计的基本知识
水文现象
第二节
第三节 第四节 第五节 第六节
概率的基本概念
随机变量及其概率分布 水文常用频率曲线 统计参数估算 适线法估计水文分布参数
第一节
水文现象
水文现象是自然现象的一种，在其发生和
演变过程中，包含着必然性的一面，也包着偶
然性的一面。
必然现象是在一定条件下，必然出现或不
样本参数的均方误（相对误差，%）
参数
EX
100 50 25 10 100 50
CV
25 10 100 50
CS
25 10
n Cv
0．1 0．3 0．5 0．7 1．0
1 3 5 7 10
1 4 7 10 14
2 6 10 14 20
3 10 12 22 23
7 7 8 9 10
50 10 11 12 14
F（x）
概率分布函数与密度函数关系
三、随机变量的分布参数
概率分布曲线完整地刻划了随机变量的
统计规律。但在一些实际问题中，有时只要 知道概率分布某些特征数值。这种以简便的 形式显示出随机变量分布规律的某些特征数 字称为随机变量的分布参数。
均值
x
x i pi i
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对于总体 对于样本
重现期 2
5 10 20 50 100 200 1000 10000 CCvS==2C2Cs V
CCvS==2.25.C5CV s CCvS==3C3Cs V
CCvS==3.35.C5CV s CCvS==4C4Cs V
采样点
300
200
100
00.01 0.050.10.2 0.5 1 2
5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 95 98 9999.5 99.899.9 频率(%)
频率曲线（ P-Ⅲ 型曲线）
工程设计标准
设计洪水频率 （洪水重现期）
设计洪水水位 设计洪水流量
频率曲线
公式4-18~公式4-20
经验频率曲线 曲线选用（P- Ⅲ曲线）
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
统计参数（x，Cv，Cs）（P37~40）
适线方法
求矩适线法 三点适线法
问题启发
• 1、如何由工程设计标准（设计洪水频率或重 现期）推求设计洪水流量（设计洪水水位）？
2300~2101
1
2100~1901
2
1900~1701
3
…
…
700~501
1
合计
62
1.6
0.008
1
1.6
3.2
0.016
3
4.8
4.8
0.024
6
9.6
…
…
…
…
1.6
0.008
62
100
100
年降水量
年降水量
2）绘制频率直方图 3）绘制累积频率曲线
概率密度曲线
2300 2100 1900 1700 1500 1300 1100 900 700
99.99
水文特征值的选取：年最大值法
流量（m3/s） 180
潮白河流域下会站流量（m3/s）
160
140
120
100
80
60
40
20
0 1973年 1975年 1978年 1981年 1983年 1986年 1989年 1992年 1994年
水文现象的特性 一、随机性
水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程 中，包含着必然性的一面，也包含着偶然性的一面。
随机变量
离散随机变量
连续随机变量
水文统计法就是将流量、水位、降雨量等实测水文资料作 为随机变量，通过统计分析和计算，推求水文现象（随机事 件）客观规律性的方法。
1、随机变量：随机试验取值随机的变量，分为离散型、连 续型随机变量。 2、概率P：随机变量出现某取值的可能性。 3、频率P：随机变量某取值在试验中出现的比率。
X（日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(%) 2 4 6 8 10 13 15 17 13 8 4 100
例4-2 1）计算频率密度及累积频率
年降水量组距 发生在组距中 区间频率
Dx(=200mm)
的次数Dm
Dp=Dm/n(%)
频率密度 累积次 累积频率 Dp/Dx(%) 数m P=m/n(%)
保持幽默感
要能处乱不惊
第四章 水文统计基础知识
本章重点：
1、理解随机变量及概率分布的概念，掌握常用概率分布曲线； 2、理解总体、样本与抽样误差的概念及统计参数的估计； 3、掌握现行频率计算的方法——适线法，理解频率计算中
几个特殊问题的处理； 4、掌握二元相关分析法。
本章学习思路：
表5.1~5.3 工程设计标准
• 2、设计洪水频率和重现期之间是什么关系？ • 3、理论频率曲线的形式是什么样的？ • 4、如何求理论频率曲线的三个参数？ • 5、求矩适线法中，如何选取水文资料？
经验频率曲线
理论频率曲线
QP (Cv 1)Q KP Q
10000 1000 200 100 50 20 10 5 800 700 600 500 400
2、均方差 和变差系数 Cv
均方差和变差系数都是反映随机变量系列对其均值离
散程度的参数。
x 系列中各随机变量
对其均值
i
的x差称为离差，用
Di 表示，Di xi。 x
n
n
方差是离差的平方和
D2 i
(x，i 可x)以2 用来表示系列总
的离散程度。
i 1
i 1
均方差 表达各随机变量对其均值的平均离散程度。
0
f(x)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 频率密度
2500 2000 1500 1000 500
0 0
频率直方图
概率分布曲线
F(x)
20
40
60
80
累积频率
累积频率曲线
100
120
x
P(x xP ) F(xP )
f (x)dx
xP
>
P xP x
Ki
xi x
中值的大小能反映系列中间项和密度曲线的位置。
3）.众值 x
众值的大小能反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。
4）.均值、中值、众值的位置关系
y
y
y
o xxx a)
x0
xxx
x0
b)
xxx x c)
a）正偏态； b）正态； 密度曲线图
c）负偏态
水文现象为不对称分布，年洪峰流量频率分布多为正偏。
F(x)=∫
∞
xp
f
(x)dx
(分布曲线)
f (x)
(密度曲线)
f (x)dx 1
P(%)
分布曲线与密度曲线的关系
三、随机变量的分布参数
一个随机变量系列的频率密度曲线和频率分布曲线的形状 和方程，都可以用几个数值特征值来反映，这些数值特征值 称为统计参数（特征参数，分布参数） 。
水文计算中常用的统计参数有均值 、x变差系数 和Cv
偏态系数 。Cs
1.位置特征参数
1）.均值 x
x
x1 x2 xn n
1 n
n
xi
i 1
均值反映了系列在数值上的大小（系列总体水平的高低），
可以作为系列之间数值大小（水平高低）的比较标准。
系列中各个变量与均值的比值，称为模比系数（或变率），
以K 表示。对任一变量 x，则有：
2）.中值 x
必然现象是在一定条件下，必然出现或不出现的现 象。偶然现象是在一定条件下，可能出现也可能不出现 的现象，也称随机现象。
二、确定性规律 1、周期性：年周期，多年周期。 2、地区性：气候及下垫面相似地区的水文现象规律 相似。 3、相关性：水文现象之间存在一定的因果关系。
第一节 随机变量及其概率分布
一、随机变量 随机变量系列：x1, x2,…, xn
P(A) m n
掷币试验出现正面的频率表
试验者 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
掷币次数 ４０４０ １２０００ ２４０００
出现正面次数 ２０４０ ６０１８
１２０１４
频率 ０.５０８０ ０.５０１６ ０.５００６
在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概 率是十分接近的。
二、随机变量的概率分布
概率分布
例 4-1