高中数学命题与条件

原命题若p 则q 否命题
若┐p 则┐q 逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否
互逆否互为逆
否
互
互逆
否
互浦东新王牌高一数学第02讲 命题与条件（学案）
教学目标：
1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；
2. 理解四种命题及其相互关系；
3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；
教学重点：命题的四种基本形式，充分性与必要性 教学难点：否定词与等价命题
一. 知识点总结
1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、常用正面词语的否定如下表：
3、四种命题的形式：
原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；
否命题：若p 则q ； 逆否命题：若q 则p .
4、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题⇔逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

5、如果已知p ⇒q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

若p ⇒q 且q ⇒p ,则称p 是q 的充要条件，记为p ⇔q . 辩一辩：p 是q 的充分不必要条件；q 的充分不必要条件是p
二. 例题讲解
例1. 写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：
（1）若a =0，则ab =0；
（2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形； （3）全等三角形的对应边相等； （4）四条边相等的四边形是正方形。

例2. 判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数；
（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若>0x ，>0y ，则0xy > 。

（4）若A B ,A C ,≠∅≠∅则B C ≠∅。

例3. 已知命题：若>1,>-1x y 且，则+>0x y ，写出它的四种形式并判断真假。

例4. 已知(){}
(){}1,|
|1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A B （选填，刭）；
例5. |1|0,:11y x y αβ+===-且，则α β（选填⇒⇔⇐，,）
例6. 设{}(){}
22|20,,|20,M x x ax b c R N x bx a x b x R =-+=∈=+++=∈,则12M N ⎧⎫
=⎨⎬
⎩⎭
的充要条件是 ．
例7. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空： （1）“四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的 ； （2）“A =∅”是“A B B =”的 ； （3）设1O O ，2O O 的半径为1r ，2r ，则“1212O O r r =+”是“两圆外切”的
．
例8.对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数
()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 ．
例9. x R ∈，()()1||1x x -+是正数的充要条件是（ ） A 、||1x < B ．1x <
C ．1x <-
D ．1x <且1x ≠-
例10.若非空集合M N Þ，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
例11. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
.A 充分条件 .B 必要条件
.C 充分必要条件 .D 既非充分也非必要条件
例12. 某个命题与自然数n 有关，若k =n (k N ∈）时该命题成立，那么可推得当1n +=k 时该命题也成立，现已知当5n =时，该命题不成立，那么可推得（ ） A.当6n =时该命题不成立 B.当6n =时该命题成立 C.当4n =时该命题不成立
D.当4n =时该命题成立
例13. 已知a b R ∈、，求证：44221a b b --=成立的充分条件是22
1a b -=。

例14. 已知p 是r 的充分条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，那么：
（1）s 是p 的什么条件？ （2）r 是q 的什么条件？
（3）在,,,p q s r 中，哪几对互为充要条件？
例15. 命题A :不等式|||2|x x m +->的解集为R ，命题B ：1m <.若A 或B 为真命题，A 且B 为假命题，求实数m 的取值范围．
例16. 已知α：()()()()2
2
2
2
1
234,:14
x y x y a β-++≤-+-≤，若β是α的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
例17. 已知命题p ：57,a -<<命题q ：(){}
2|210,A x x a x x R =+++=∈，{}|0B x x =>，且A B =∅，若,p q 中有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
例18. 已知p ：1
123
x --
≤，q ：(1)(1)0(0)x m x m m -+--≤>且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
例19. 判断“若a 与b 的积不是有理数，则,a b 至少有一个不是有理数”的真假.
例20. 已知命题p ：方程2
10x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程
244(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．
三．巩固练习
1、(1) 已知集合2
{|440}M x x x =-+>,集合N=｛22
69
{|
0}2)x x M x x -+=>-（,则x M ∈是x N ∈的________________条件
(2)已知条件p:|x+1|>2,条件q:5x-6> 2
x ,则q 是p 的______________________条件。

2、设非空集合{}
S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2
x S ∈，给出如下三个命题： ①若1,m =则{}1S =；②若1
,2
m =-则114n ≤≤；③若1,2n =
则02m -≤≤． 其中正确的命题的个数为（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
3、已知111222,,,,,a b c a b c 都是非零实数，不等式21110a x b x c ++<和不等式2
2220a x b x c ++<的
解集分别是M 和N ，则“
111
222
a b c a b c ==”是“M N =”成立的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件按
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
4、写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。

5、已知关于x 的方程：222440,(2)44450,x mx m m m Z -+=-+--=∈（1）mx x , 求使的方程（1）（2）的根都是整数的充要条件
6、设{
}{
}
01)1(2|04|2
22
=-+++==+=a x a x x B x x x A ，，其中R x ∈，如果B B A = ，求实数a 的取值范围。

7、已知集合21=2
A ｛(x,y)|y=
x ｝, 22
B=｛(x,y)|x +(y-a)=9,a>0｝,如果A B ⋂≠∅，那么05a <≤.
(1) 证明它是真命题；（2）写出他的逆命题，并证明它的真假。

8、已知条件2
2
2
:320,:0(40p x x q x ax b a b -+=++=-条件≥）,若q 是p 的充分非必要条件，求实数a,b 的值。

9、设全集{}
(,),U x y x y R =∈,集合2(,)
12y M x y x ⎧+⎫
==⎨⎬-⎩⎭
，{}(,)4N x y y x =≠-, 求：()
()U U C M C N
10、若A 是B 的必要而不充分条件，C 是B 的充要条件，D 是C 的充分而不必要条件，判断D 是A 的什么条件。