2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题4 突破点12 立体几何中的向量方法
→ → → 5 5 PM＝(0,2，－4)，PN＝ ，1，－2，AN＝ ，1，2 . 2 2
→ n· PM＝0， 设 n＝(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则 → PN＝0， n· 2y－4z＝0， 即 5 x＋y－2z＝0， 2 可取 n＝(0,2,1).10 分 → |n· AN| 8 5 → 于是|cos〈n，AN〉|＝ ＝ 25 . → |n||AN| 8 5 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 25 .12 分
图 126
[ 解]
(1)证明：由已知可得 AF⊥DF，AF⊥FE，
所以 AF⊥平面 EFDC. 又 AF⊂平面 ABEF，故平面 ABEF⊥平面 EFDC. (2)过 D 作 DG⊥EF，垂足为 G. 由(1)知 DG⊥平面 ABEF. → → 以 G 为坐标原点，GF的方向为 x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示 的空间直角坐标系 Gxyz.6 分 由(1)知∠DFE 为二面角 DAFE 的平面角， 故∠DFE＝60° ， 则|DF|＝2， |DG| ＝ 3，可得 A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0， 3).7 分
设平面 PBC 的法向量为 n＝(x，y，z)． → → ∵n· PB＝0，n· PC＝0， 3 1 x＋ y－z＝0， 2 ∴ 2 取 n＝( 3，3,3)， y＝z，
∴平面 PBC 的一个法向量为 n＝( 3，3,3).10 分 → 设向量 n 与PE所成的角为 θ， → n· PE 3 ∴cos θ＝ ＝－ 7 . → |n||PE| 3 ∴PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 7 .12 分
核 心 知 识 · 聚 焦
专题四
热 点 题 型 · 探 究
立体几何
突破点 12
立体几何中的向量方法
专 题 限 时 集 训
两条异面直线的夹角
π θ∈0，2 (1)两异面直线的夹角___________.
|s1· s2 | cos θ＝|cos〈s1，s2〉|＝|s |· 1 |s2| (2)设直线 l1，l2 的方向向量为 s1，s2，则____________________________.
由已知得 AB∥EF，所以 AB∥平面 EFDC. 又平面 ABCD∩平面 EFDC＝CD，故 AB∥CD，CD∥EF. 由 BE∥AF，可得 BE⊥平面 EFDC， 所以∠CEF 为二面角 CBEF 的平面角，∠CEF＝60° . 从而可得 C(－2,0， 3).8 分 → → → → 所以EC＝(1,0， 3)，EB＝(0,4,0)，AC＝(－3，－4， 3)，AB＝(－4,0,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 BCE 的法向量， → n· EC＝0， x＋ 3z＝0， 则 即 → 4y＝0， EB＝0， n·
则
P(0,0,1)，C(0,1,0)，E
3 3 1 3 1 ， A ， B ， ， 0 ， 0 ，－ ， 0 ， ， 0 2 2 2 2 2
→ → → 3 1 3 ∴PB＝ ， ，－1，PC＝(0,1，－1)，PE＝ ，0，－1 .8 分 2 2 2
图 122
[ 解]
(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示．
5分 (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，所以 AH＝10.7 分 → 以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 → → 系 Dxyz，则 A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE＝(10,0,0)，HE＝(0， －6,8).8 分
图 123
[ 解]
(1)证明：设 CF 的中点为 I，连接 GI，HI.
在△CEF 中，因为点 G，I 分别是 CE，CF 的中点， 所以 GI∥EF. 又 EF∥OB，所以 GI∥OB.3 分 在△CFB 中，因为 H，I 分别是 FB，CF 的中点， 所以 HI∥BC. 又 HI∩GI＝I， 所以平面 GHI∥平面 ABC. 因为 GH⊂平面 GHI， 所以 GH∥平面 ABC.5 分
(2)法一：连接 OO′，则 OO′⊥平面 ABC. 又 AB＝BC，且 AC 是圆 O 的直径， 所以 BO⊥AC. 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由题意得 B(0,2 3，0)，C(－2 3，0,0)． 过点 F 作 FM⊥OB 于点 M， 所以 FM＝ FB2－BM2＝3，可得 F(0， 3，3)． → → 故BC＝(－2 3，－2 3，0)，BF＝(0，－ 3，3)． 设 m＝(x，y，z)是平面 BCF 的法向量.8 分
回访 2
二面角
2．(2016· 山东高考)在如图 123 所示的圆台中，AC 是 下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O′的直径，FB 是圆 台的—条母线. (1)已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平 面 ABC； 1 (2)已知 EF＝FB＝2AC＝2 3，AB＝BC，求二面角 FBCA 的余弦值．
ABCD 是菱形，∠DAB＝60° ，PD⊥平面 ABCD，PD＝AD＝1，点 E，F 分别为 AB 和 PD 的中点．
图 125
(1)求证：直线 AF∥平面 PEC； (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【导学号：67722043】
[ 解]
(1)证明：作 FM∥CD 交 PC 于点 M，连接 EM.
图 124
[ 解]
2 (1)证明：由已知得 AM＝3AD＝2.
取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点 1 知 TN∥BC，TN＝2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN 綊 AM，所以四边形 AMNT 为平 行四边形，于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB.4 分
1 ∵点 F 为 PD 的中点，∴FM＝2CD.
1 ∵AE＝2AB，AB＝CD，∴AE＝FM. 又 AE∥FM， ∴四边形 AEMF 为平行四边形，∴AF∥EM. ∵AF⊄平面 PEC，EM⊂平面 PEC， ∴直线 AF∥平面 PEC.6 分
(2)连接 DE， ∵∠DAB＝60° ，ABCD 是菱形，∴DE⊥DC. 以 D 为坐标原点，以 DE，DC，DP 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间 直角坐标系，7 分
(2)取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 AB＝AC 得 AE⊥BC，从而 AE⊥AD， 且 AE＝ AB －BE ＝
2 2Βιβλιοθήκη AB2BC － 2 2＝
5.6 分
→ 以 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系 Axyz. 由题意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(
回访 1
直线与平面的夹角
1．(2015· 全国卷Ⅱ)如图 122，长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上， A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线 围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 AF 与平面 α 所成角的正弦值．
→ n· FE＝0， 10x＝0， 设 n＝(x， y， z)是平面 EHGF 的法向量， 则 即 → －6y＋8z＝0， HE＝0， n· 所以可取 n＝(0,4,3).10 分 → |n· AF| 4 5 → → 又AF＝(－10,4,8)，故|cos〈n，AF〉|＝ → ＝ 15 . |n||AF| 4 5 所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 15 .12 分
热点题型 2
向量法求二面角
题型分析：向量法求二面角是高考重点考查题型，此类问题求解的突破口 是建立恰当的坐标系，求解的关键是求两个平面的法向量. (2016· 6，在以 A，B，C，D， 全国乙卷)如图 12E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF＝2FD， AFE 与二面角 CBEF 都是 60° . ∠AFD＝90° ，且二面角 D(1)证明：平面 ABEF⊥平面 EFDC； (2)求二面角 EBCA 的余弦值．
向量法求线面角的一般步骤 1．建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标． 2．写出相关向量的坐标． 3．求平面的法向量． 4．求线面角的正弦值． 5．转化为几何结论． 提醒：直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的 余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．
[ 变式训练 1]
(2016· 呼和浩特二模)如图 125，在四棱锥 PABCD 中，底面
→ m· BC＝0， 由 → BF＝0， m·
－2 3x－2 3y＝0， 可得 － 3y＋3z＝0.
可得平面 BCF 的一个法向量
m＝ －1，1，
3 .10 分 3
因为平面 ABC 的一个法向量 n＝(0,0,1)， m· n 7 所以 cos 〈m，n〉＝|m|· |n|＝ 7 ， 7 所以二面角 FBCA 的余弦值为 7 .12 分
两个平面的夹角
(1)如图 121①，AB，CD 是二面角 αlβ 的两个半平面内与棱 l 垂直的直 → → 〈AB，CD〉 ． 线，则二面角的大小 θ＝_____________
② ③ 图 121 (2)如图 121②③，n1，n2 分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，
①
－cos〈n1，n2〉或 cos〈n1，n2〉 ． 则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝_____________________________
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题3 突破点6 古典概型与几何概型
利用古典概型求事件概率的关键及注意点 1．关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数． 2．注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．
[ 变式训练 1]
(2016· 广州二模)从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个，组成一个没有 )
判断几何概型中的几何度量形式的方法 1．当题干涉及两个变量问题时，一般与面积有关． 2．当题干涉及一个变量问题时，要看变量可以等可能到达的区域：若变量 在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几 何度量是面积(体积)． 提醒：数形结合是解决几何概型问题的常用方法，求解时，画图务必准确、 直观．
A．100 C．400
B． 200 图 61 D．450
(1) B
(2)C
[(1)如图，若该行人在时间段 AB 的某一时
刻来到该路口，则该行人至少等待 15 秒才出现绿灯．AB 长 度为 40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的 40－15 5 概率为 40 ＝8，故选 B.
1 所以当 b＝1 时，有 a≥3，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数； 4 当 b＝2 时，有 a≥3，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数；
当 b＝3 时，有 a≥3，故 a 可取 3,4，共 2 个数； 16 当 b＝4 时，有 a≥ 3 ，故 a 无可取值． 综上，事件 A 包含的基本事件有 4＋3＋2＝9(种)． 又 a，b∈{1,2,3,4}，所以(a，b)共有 4×4＝16(种)． 9 故所求事件 A 的概率为 P(A)＝16.故选 A.]
4．(2014· 全国卷Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一 行，则 2 本数学书相邻的概率为________． 2 3 [两本不同的数学书用 a1，a2 表示，语文书用 b 表示，则 Ω＝{(a1，a2，
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和
12 分
给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2) 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an. 提醒：在利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证 n＝1 时的情形．
n－1
2 1 [当 n＝1 时，S1＝3a1＋3，∴a1＝1.
1 2 2 1 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋3－3an－1＋3＝3(an－an－1)， an ∴an＝－2an－1，即 ＝－2， an－1 ∴{an}是以 1 为首项的等比数列，其公比为－2， ∴an＝1×(－2)n 1，即 an＝(－2)n 1.]
[ 变式训练 1]
(1)(2016· 合肥三模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an
－2n ，则 Sn＝__________. (2)已知数列{an}的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn， 且 2Sn＋2＝3an(n∈N*)， 则 an＝__________.
(1)n· 2n(n∈N*) (2)2×3n－1(n∈N*) [(1)由 Sn＝2an－2n 得当 n＝1 时，S1＝a1
n＋1
an {bn}其中bn＝qn，得
1 p bn＋1＝q· bn＋q，接下来用待定系数法求解．
m (6)取对数法： 形如 an＋1＝pan (p>0， an>0)， 先在原递推公式两边同时取对数，
再利用待定系数法求解.
数列求和
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相 消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相 减法是常用的两种方法．
2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分 专题6 突破点18 导数的应用酌情自选
(1)可导函数__________________，但导数为 0 的点_________________，如
函数极值的判别注意点 函数 f(x)＝x3，当 x＝0 时就不是极值点，但 f′(0)＝0.
(2)极值点______一个___， 而是一个______， 当 x＝x0 时， 函数取得极值． 在
(2016·山东高考)设 f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)由 f′(x)＝ln x－2ax＋2a，1 分 可得 g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 所以 g′(x)＝1x－2a＝1－x2ax.2 分 当 a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增；3 分 当 a>0，x∈0，21a时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增， x∈21a，＋∞时，函数 g(x)单调递减.5 分 所以当 a≤0 时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)； 当 a>0 时，g(x)的单调增区间为0，21a，单调减区间为21a，＋∞.6 分
故 f(x)为增函数； 当 x＞x2 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0， 故 f(x)为减函数． 由 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知 x2＝6－a＋6 a2＋36≤3，解得 a≥－92， 故 a 的取值范围为－92，＋∞.12 分
热点题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题 题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以 解答题的形式考查，难度较大.
不符合题意，排除 A、C.
(1)
当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈－∞，－32时， f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f－32 ＝－54，则 f(x)的大致图象如图(2)所示．
(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题6函数与导数突破点16函数的图象和性质课件理
(4) 若 __f(_a_＋__x_)＝__－__f_(_x)__或__f_a_＋__x_＝__f_1_x__(a_≠__0_)___ ， 则 函 数 y ＝ f(x) 是 以 ___2_|a_|为__周__期______的周期性函数．
(2)令 g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数 g(x)图象如图．
由yx＝＋lyo＝g22x，＋1， 得xy＝ ＝11.， ∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．]
热点题型 2 函数性质的综合应用
题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性
回访 1 函数的性质
1．(2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，f(x)＝x3－1；当－
1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12.则 f(6)＝(
)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
D [由题意知当 x>12时，fx＋12＝fx－12， 则当 x>0 时，f(x＋1)＝f(x)． 又当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)， ∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)． 又当 x<0 时，f(x)＝x3－1， ∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选 D.]
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x ＋1<0⇔13<x<1.故选 A.
2017高考数学理山东专用二轮课件：2-4 导数的简单应用
'=
������'(������)������(������)-������(������)������'(������) [g(x)≠0]. ������2 (������)
-4-
3.定积分 运用微积分基本定理求定积分 ������ f(x)dx 值的关键是逆向用求导 公式求出 f(x)的原函数,应熟练掌握以下几个公式: (1) (2) (3) (4) (5)
-ln������ , ������2
-8-
6.(2016江西师大附中期末,理3)若 ( B ) A.-1 B.1 C.2 D.4
2 1
(x-a)dx=
0
π 4
cos 2xdx ,则a等于
解析:
(1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex, 1 1 1 (ln x)'= , '=- 2. ������ ������ ������ (2)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
2.4
导数的简单应用及定积分
-2-
命 题 规 律
题试 题 型统 计 (2012 山东, 理 15) (2014 山东, 理 6) (2016 山东, 理 10)
复 习 策 略 抓住考查的主要题目类 型进行训练,重点有三 个类型的题目,一是利 用导数求函数的单调区 间或判断函数的单调 性,进而求函数的极值 或最值;二是利用导数 探求参数的取值范围; 三是利用导数解决不等 式问题及函数的零点、 方程根的问题
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题6突破点17函数与方程Word版含解析
突破点17 函数与方程(对应学生用书第167页)(1)f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.已知函数零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．回访1 函数零点个数的判断1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]2．(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．2 [当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.]回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]5．(2014·山东高考改编)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.](对应学生用书第167页)热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( )【导学号：67722062】A ．8B ．10C ．12D ．16(1)A (2)C [(1)因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝2k ＋1，k ∈Z ，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的大致图象如图所示，由图易得直线y ＝1与函数f (x )的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x ＝1和x ＝5对称，所以方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F (x )有5个零点．(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(0，2)∪(2，＋∞)(2)(名师押题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ≥0，1＋4x cos (2π－πx )，x ＜0，g (x )＝kx ＋1(x ∈R)，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，113 B ．(22，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤22，113 D ．(23，4](1)C (2)C [(1)令f (x )＝0，得a －x 2＝2－|x |， 令y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2＋x ，x ＜0.由y ＝a －x 2，得x 2＋y 2＝a (y ≥0)，在同一坐标系中分别画出y ＝2－|x |和y ＝a －x 2的图象． 如图所示：要使函数f (x )没有零点，则a ＜|0－0＋2|2＝1或a ＞2，即0＜a ＜1或a ＞2.(2)当x ＝0时，显然有f (x )≠g (x )，即x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点． 当x ≠0时，y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－2≤x ≤3)的实根的个数．当0＜x ≤3时，有kx ＋1＝x 2＋3，即k ＝x ＋2x ； 当－2≤x ＜0时，有kx ＋1＝1＋4x cos πx ，即k ＝4cos πx .则y ＝f (x )－g (x )(－2≤x ≤3)的零点个数等价于函数y ＝k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，0＜x ≤3，4cos πx ，－2≤x ＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知22＜k ≤113，故选C.]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：67722063】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)(2016·汕头一模)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0， 所以f (x )＝f (－x )， 所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点， 所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎨⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分(2)由f (x )＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n(x)＝x ln x－x2n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n(x)的零点个数．[解](1)因为f1(x)＝x ln x－x2，所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x －1)，即y＝－x.4分(2)令f n(x)＝0，得x ln x－x2n＝0(n∈N*，x＞0)，所以n ln x－x＝0.令g(x)＝n ln x－x，则函数f n(x)的零点与函数g(x)＝n ln x－x的零点相同．因为g′(x)＝nx－1＝n－xx，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝n ln n－n.8分①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝n ln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0，因为g(e2n)＝n ln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0， 所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13 C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图17-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图17-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图17-1A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.]二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.] 三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a＝1时，则t＝－34不合题意；②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝34或－3.若a＝34，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝1 2；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a－1＜0，解得a＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第2部分 技法篇：4大思想提前看渗透整本提时效
π π 而此图象关于 y 轴对称，则 4m－3＝kπ＋2(k∈Z)， 1 5π 5π 解得 m＝4kπ＋24(k∈Z)．又 m＞0，所以 m 的最小值为24.]
思想 2
数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 .其应用 包括以下两个方面： 1“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思 维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质. 2“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.
1 解得 k＞2.
又 M 为线段 AB 的中点，所以 x0＝x1＋x2＝ －8k 2， 2 3＋4k y1＋y2 6 y0 ＝ 2 ＝ 2. 3 ＋ 4 k 由 P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线， 6 ＋2 3＋4k2 0－－2 所以 ＝ ， －8k a－0 3＋4k2
(2)(2015· 吉林模拟)若不等式 4x －logax<0 对任意 的取值范围为(
1 A.256，1 1 C.0，256
2
1 x∈0，4恒成立， 则实数
a
)
1 B.256，1 1 D.0，256
(1)C
|PF1| 7 ∴|PF |＝2. 2 若∠F2PF1＝90° ， 则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， |PF1| ∴|PF |＝2. 2 |PF1| 7 综上所述，|PF |＝2 或2.] 2
分类讨论思想在解题中的应用 1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、 指数函数、对数函数等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是 分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数 的单调性等．
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 突破点3 平面向量
数量积常见的三种应用
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2 2 a· a x ＋ y 1 1 (2)求向量的长度：|a|＝_______＝________.
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y |a||b| 1 1 2 2 (3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝_______＝_______________.
平面向量解题中应熟知的常用结论
→ → → (1)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且
λ＋μ＝1 _________.
→ 1 → → OC＝2(OA＋OB) (2)C 是线段 AB 中点的充要条件是_________________ ． → → → GA＋GB＋GC＝0 ，若△ABC 的三个 (3)G 是△ABC 的重心的充要条件为__________________
[ 变式训练 2]
π x∈0，2.
(2016· 德州模拟)设向量 a＝(sin x， 3sin x)， b＝(sin x， cos x)，
(1)若|a|＝|b|，求 x 的值； π (2)设函数 f(x)＝a· b，将 f(x)的图象向左平移6个单位得到函数 g(x)的图象， 求 g(x)的最大值及此时相应的 x 的值．
核 心 知 识 · 聚 焦
专题一
热 点 题 型 · 探 究
三角函数与平面向量 平面向量
突破点 3
专 题 限 时 集 训
平面向量共线、垂直的两个充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
x1x2＋y1y2＝0 . (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔______________
2017高考数学理山东专用二轮课件：1-3 函数与方程思想
-4考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
函数与方程思想在解三角形中的应用 例1在四边形PABQ中,A,B为定点,且 AB= 3 ,P,Q为动点,满足 AP=PQ=QB=1. (1)写出cos A与cos Q的关系式; (2)设△PAB和△PQB的面积分别为S和T,求S2+T2的最大值.
-11考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
-9-
故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 函数与方程思想在不等式中的应用 1+4-3 此时有 a ≤ f ( x ) = 2 . 4x+3≥0恒成立,则实数a的取值 min 例2当x∈[-2,1]时 ,不等式ax3=-x2 + -1 [ 6, 2] 范围是 . . 当 x=0 时,不等式恒成立
2 2
2 2
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2 -4������-3 ������ 考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三 当 -2 ≤ x<0 时,不等式转化为 a≤ , ������3 ������2-4������-3 -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 令 f(x)= (-2≤x<0),则 f'(x)= = , 4 4 3 ������ ������ ������
������2-4������-3 ������2-4������-3 当 0<x≤1 时,a≥ ,令 g(x)= (0<x≤1), 3 3 ������ ������ -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 则 g'(x)= = , 4 4 ������ ������ 1-4-3 故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥f(x)max= 1 =-6.
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题6 突破点16 函数的图象和性质
与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则 ∑ (xi＋yi)＝(
i＝1
)
A．0 C．2m
B．m D．4m
(1)D
(2)B [(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[ －2,2] 是偶函数，
又 f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除 A，B. 设 g(x)＝2x2－ex，则 g′(x)＝4x－ex. 又 g′(0)＜0，g′(2)＞0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.
函数的图象
化简函数解析式 ， 利用函 (1)由解析式确定函数图象． 此类问题往往需要_________________ _______ 数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断 ，常用________ 排除法 ． ________________________________________
(2)已知函数图象确定相关函数的图象． 此类问题主要考查_______________ 函数图象的变换
关于原点成中心对称 ， 关于y轴对称 ． (4)奇函数的图象____________________ 偶函数的图象________________ 单调性相同 ，偶函数在关于原点 (5)奇函数在关于原点对称的区间上的______________ 单调性相反 对称的区间上的______________.
－x＋x f－x＋fx (2)因为 f(－x)＝2－f(x)，所以 f(－x)＋f(x)＝2.因为 2 ＝0， ＝ 2 x＋1 1 1，所以函数 y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数 y＝ x ＝1＋x ，故其图象也 x＋1 关于点(0,1)对称．所以函数 y＝ x 与 y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，„， m (xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以 ∑ xi＝0， ∑ yi＝2× 2 ＝ i ＝1 i ＝1