先验概率后验概率及贝叶斯公式

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先验概率、似然函数与后验概率

先验概率、似然函数与后验概率先验概率Prior probability在贝叶斯统计中，先验概率分布，即关于某个变量 p 的概率分布，是在获得某些信息或者依据前，对 p 的不确定性进⾏猜测。

例如， p 可以是抢⽕车票开始时，抢到某⼀车次的概率。

这是对不确定性（⽽不是随机性）赋予⼀个量化的数值的表征，这个量化数值可以是⼀个参数，或者是⼀个潜在的变量。

先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，在应⽤贝叶斯理论时，通常将先验概率乘以似然函数（likelihoodfunction）再归⼀化后，得到后验概率分布，后验概率分布即在已知给定的数据后，对不确定性的条件分布。

似然函数似然函数（likelihood function），也称作似然，是⼀个关于统计模型参数的函数。

也就是这个函数中⾃变量是统计模型的参数。

对于结果 x ，在参数集合θ上的似然，就是在给定这些参数值的基础上，观察到的结果的概率 L(θ|x)=P(x|θ) 。

也就是说，似然是关于参数的函数，在参数给定的条件下，对于观察到的 x 的值的条件分布。

似然函数在统计推测中发挥重要的作⽤，因为它是关于统计参数的函数，所以可以⽤来评估⼀组统计的参数，也就是说在⼀组统计⽅案的参数中，可以⽤似然函数做筛选。

在⾮正式的语境下，“似然”会和“概率”混着⽤；但是严格区分的话，在统计上，⼆者是有不同。

不同就在于，观察值 x 与参数θ的不同的⾓⾊。

概率是⽤于描述⼀个函数，这个函数是在给定参数值的情况下的关于观察值的函数。

例如，已知⼀个硬币是均匀的（在抛落中，正反⾯的概率相等），那连续10次正⾯朝上的概率是多少？这是个概率。

⽽似然是⽤于在给定⼀个观察值时，关于⽤于描述参数的情况。

例如，如果⼀个硬币在10次抛落中正⾯均朝上，那硬币是均匀的（在抛落中，正反⾯的概率相等）概率是多少？这⾥⽤了概率这个词，但是实质上是“可能性”，也就是似然了。

后验概率Posterior probability后验概率是关于随机事件或者不确定性断⾔的条件概率，是在相关证据或者背景给定并纳⼊考虑之后的条件概率。

朴素贝叶斯分类

朴素贝叶斯分类贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。

而朴素贝叶斯分类是贝叶斯分类中最简单，也是常见的一种分类方法。

一：贝叶斯原理朴素贝叶斯分类算法是一个典型的统计学习方法，主要的理论基础就是贝叶斯公式。

贝叶斯公式定义如下所示：先验概率：通过经验来判断事情发生的概率。

后验概率：后验概率就是发生结果之后，推测原因的概率。

条件概率：事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)，读作“在 B 发生的条件下 A 发生的概率”。

P（A|B）表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，叫做事件B发生下事件A的条件概率。

其基本求解公式为：P（AB）/P(B)。

但是在有些情况下，我们可以很容易直接得出P(A|B)，P(B|A)则很难直接得出，但是我们更想要知道P(B|A)。

例如（通信接收机检测判决）将A，B，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。

今将字母串AAAA，BBBB，CCCC 之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。

）在这个例子中，我们知道了结果，但是我们想要知道输入的概率，直接计算是非常困难的，但是通过贝叶斯公式就显得十分简单了。

换句话说，就是我们知道原因，推导结果是比较容易的，但是当我们知道结果，要反过来推导原因是十分困难的。

而贝叶斯公式就为我们知道结果后推导原因提供了一个捷径。

二：朴素贝叶斯分类在说完了贝叶斯原理之后，现在就来说朴素贝叶斯分类。

朴素贝叶斯分类之所以朴素，就是因为我们做了一个简单的假设，即类中特定特征的存在与任何其他特征的存在无关，这意味着每个特征彼此独立。

因此对实际情况有所约束，如果属性之间存在关联，分类准确率会降低。

贝叶斯后验概率公式

贝叶斯后验概率公式
《贝叶斯后验概率公式》
贝叶斯后验概率是在贝叶斯统计学中比较常用的一个概念，可以用来估计在新条件下某一事物的可能性。

公式：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)
其中，P(A|B)是我们要求的条件概率，表示A在B发生的情况下发生的概率；P(B|A)是先验概率，表示B在A发生的情况下发生的概率；P(A)是基本概率，表示A发生的概率；P(B)是标准化因子，表示B发生的概率。

该公式表明，要想正确地计算出某一条件下某一事物发生的概率，除了需要知道其先验概率P(B|A)和基本概率P(A)之外，还必须对标
准化因子P(B)有所了解。

贝叶斯后验概率的优势在于，可以运用先验知识来修正新信息带来的概率改变，从而更精确地估计某一事物的可能性。

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贝叶斯先验概率

贝叶斯先验概率贝叶斯先验概率指的是贝叶斯定理中的先验概率，指在进行后续实验或事件时先有的概率估计。

在统计学和机器学习中，贝叶斯先验概率是非常重要的一种概率估计方法。

本文将详细介绍贝叶斯先验概率的定义、性质和应用。

一、贝叶斯先验概率的定义在贝叶斯公式中，先验概率是指在进行后续实验或事件之前，我们已经有了一些关于实验或事件发生概率的估计。

这个估计可以是基于以往经验、观察结果或领域知识等来确定的。

对于后续实验或事件，我们可以通过观察结果获取到后验概率。

贝叶斯先验概率是基于先验信息来计算后验概率的重要一环。

贝叶斯先验概率的表示方式如下：P(A)：表示事件A发生的概率P(B)：表示事件B发生的概率P(A|B)：表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率P(B|A)：表示事件A已经发生的前提下，事件B发生的概率在贝叶斯公式中，先验概率指的是P(A)，也就是在进行后续实验或事件之前，我们已经有了关于事件A发生的概率估计。

二、贝叶斯先验概率的性质1. 先验概率相对重要性在实际应用中，先验概率的重要性往往比后验概率更高。

因为先验概率是基于以往经验、观察结果或领域知识等得出的。

在没有其他数据时，先验概率可以帮助我们估计事件发生的概率。

2. 先验概率可更新先验概率在进行实验或事件后可以被更新和修订。

因为实验或事件得到的结果可以进一步影响我们对事件发生概率的估计，因此可以更新先验概率。

3. 先验概率影响后验概率先验概率会影响到后验概率的结果。

当先验概率越接近真实概率时，后验概率的准确性就会更高。

三、贝叶斯先验概率的应用贝叶斯先验概率广泛应用于统计学和机器学习等领域。

例如，在分类问题中，我们可以利用先验概率来估计一个新样本属于某一类的概率。

又例如，在人脸识别中，可以利用先验概率来提高识别效率和准确性等。

在实际应用中，我们需要根据实际情况来确定先验概率，以便得到更准确的后验概率。

如果先验概率过于模糊或不准确，那么即使通过实验或事件得到了高质量数据，最终得到的后验概率也会受到限制。

先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数

先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数⼀、先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数在机器学习中，这些概念总会涉及到，但从来没有真正理解透彻他们之间的联系。

下⾯打算好好从头捋⼀下这些概念，备忘。

1、先验概率先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，先验概率就是没有经过实验验证的概率，根据已知进⾏的主观臆测。

如抛⼀枚硬币，在抛之前，主观推断P（正⾯朝上） = 0.5。

2、后验概率后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的。

是“执果寻因”问题中的”果”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。

解释下来就是，在已知果（B）的前提下，得到重新修正的因（A）的概率P（A|B)，称为A的后验概率，也即条件概率。

后验概率可以通过贝叶斯公式求解。

3、贝叶斯公式贝叶斯公式，⽤来描述两个条件概率（后验概率）之间的关系，⽐如 P(A|B) 和 P(B|A)。

按照乘法法则：P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)如上公式也可变形为：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) P(B)为标准化常量贝叶斯法则表述如下：⼀般公式其中A1,,,,,,An为完备事件组，即举⼀个简单的例⼦：⼀⼝袋⾥有3只红球、2只⽩球，采⽤不放回⽅式摸取，求：⑴第⼀次摸到红球（记作A）的概率；⑵第⼆次摸到红球（记作B）的概率；⑶已知第⼆次摸到了红球，求第⼀次摸到的是红球的概率。

解：⑴ P(A)=3/5，这就是A的先验概率；⑵ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A逆)P(A逆)=3/5 此称为准化常量，A与A逆称为完备事件组⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，这就是A的后验概率。

4、似然函数1）概念在数理统计学中，似然函数是⼀种关于统计模型中的参数的函数，表⽰模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重⼤作⽤，如在最⼤似然估计和费雪信息之中的应⽤等等。

贝叶斯估计法推出概率估计公式

贝叶斯估计法推出概率估计公式
贝叶斯估计法（Bayesian estimation）是一种使用贝叶斯统计推断来进行概率估计的方法。

它结合了先验知识和现有观测数据，通过贝叶斯定理推导出后验概率估计公式。

在贝叶斯估计法中，我们假设已经观测到了一些数据X，并想要估计一个未知参数θ 的概率分布。

我们用θ̂表示对参数θ 的估计。

贝叶斯估计的基本思想是，通过联合概率分布P(θ, X) 对参数θ 进行建模，然后通过贝叶斯定理，将先验知识P(θ) 与观测数据X 的似然函数P(X|θ)结合起来，得到后验概率分布P(θ|X)。

根据贝叶斯定理，我们可以得到贝叶斯估计的公式：
P(θ|X) = (P(X|θ) * P(θ)) / P(X)
其中，P(θ|X) 是参数θ 在观测数据X 下的后验概率分布，
P(X|θ) 是观测数据 X 在给定参数θ下的似然函数，P(θ) 是参数θ 的先验概率分布，P(X) 是观测数据 X 的边缘概率。

贝叶斯估计的关键是先验概率分布P(θ) 和似然函数P(X|θ) 的选择。

先验概率分布反映了我们对参数θ 的先验知识和信念，似然函数表示了在给定参数θ 下观测数据 X 出现的可能性。

通过贝叶斯估计，我们可以得到参数θ 的后验概率分布，然后可以根据后验概率分布进行概率估计，如计算期望值、置信区间等。

需要注意的是，贝叶斯估计法的应用需要根据具体的问题
和数据进行模型的设定，并进行合理的先验概率和似然函数的选择，以得到准确和可靠的概率估计结果。

贝叶斯定理

贝叶斯定理不难想象，数据并不是总体或待建模系统的唯一可用的信息资源。

贝叶斯方法提供了一套将这些外部信息融入数据分析过程的原理方法。

这个过程先给出待分析数据集的概率分布。

因为这个分布在给出时没有考虑任何数据，所以称为先验分布(prior distribution)。

新的数据集将先验分布修正后得到后验分布(posterior distribution)。

进行这个修正的基本工具就是贝叶斯定理。

贝叶斯定理为解决归纳-推理分类问题的统计方法提供了理论背景。

下面首先解释贝叶斯定理中的基本概念，然后再运用这个定理说明朴素贝叶斯分类过程(或称为简单贝叶斯分类)。

设X是一个类标号未知的数据样本，H为某种假定：数据样本X属于某特定的类C。

要求确定P(H/X)，即给定了观测数据样本X，假定H成立的概率。

P(H/X)表示给出数据集X后，我们对假设H成立的后验概率。

相反，P(H)是任何样本的先验概率，不管样本中的数据是什么。

后验概率P(H/X)比先验概率P(H)基于更多的信息。

贝叶斯定理提供了一种由概率P(H)、P(X)和P(X/ H)计算后验概率P(H/X)的方法，其基本关系是：P(H/X) = [ P(X/ H) · P(H)] / P(X)现在假设有m个样本S = {S1, S2, …, Sm} (训练数据集)，每个样本Si都表示为一个n维向量{x1, x2, …, xn}。

xi 值分别和样本属性A1，A2,，…,An相对应。

还有k个类C1, C2, …, Ck，每个样本属于其中一个类。

另外给出一个数据样本X(它的类是未知的)，可以用最高的条件概率P(Ci/X) 来预测X的类，这里i= 1,…,k。

这是朴素贝叶斯分类的基本思想。

可以通过贝叶斯定理计算这些概率：P(Ci/X) = [ P(X / Ci) · P(Ci)] / P(X)因为对所有的类，P(X)都是常量，所以仅需要计算乘积P(X / Ci) · P(Ci)的最大值。

贝叶斯的先验概率和后验概率的计算

贝叶斯的先验概率和后验概率的计算贝叶斯定理是概率论中一个重要的定理，它描述了在已知某些先验概率的情况下，如何根据新的证据来更新我们对事件发生概率的估计。

本文将介绍贝叶斯的先验概率和后验概率的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。

在贝叶斯定理中，先验概率指的是在没有任何新的证据或信息之前，我们对事件发生概率的初始估计。

这个估计通常是基于以往的经验或领域知识得出的。

后验概率则是在获得新的证据或信息后，根据先验概率和证据的关系来更新事件发生概率的估计。

贝叶斯定理的数学公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知B发生的条件下，A发生的概率；P(B|A)表示在已知A发生的条件下，B发生的概率；P(A)表示A发生的先验概率；P(B)表示B发生的先验概率。

在实际应用中，贝叶斯定理可以用来解决一些复杂的问题，例如医学诊断、垃圾邮件过滤、机器学习等。

下面我们将以医学诊断为例来说明贝叶斯定理的应用。

假设有一种罕见疾病，发病率为0.1%。

同时，有一种医疗测试可以检测出该疾病，但它也有一定的错误率。

已知在患者患有该疾病的情况下，该测试能够正确诊断出疾病的概率为99%。

而在患者没有该疾病的情况下，该测试也会错误诊断出患有疾病的概率为1%。

现在，如果一个人接受了这个测试，并且结果显示他患有该疾病，那么他真正患有该疾病的概率是多少？根据贝叶斯定理，我们可以通过先验概率和后验概率的计算来得出答案。

我们可以计算先验概率P(A)。

已知发病率为0.1%，因此P(A) = 0.001。

我们可以计算后验概率P(B|A)。

已知在患者患有该疾病的情况下，该测试能够正确诊断出疾病的概率为99%，因此P(B|A) = 0.99。

然后，我们可以计算先验概率的补集P(A')。

已知发病率为0.1%，因此P(A') = 1 - P(A) = 0.999。

我们可以计算后验概率P(B|A')。

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先验概率、后验概率及全概率公式、贝叶斯公
式
2011-11-15 16:04:24| 分类：数理统计|举报|字号订阅
先验概率与后验概率
事情还没有发生,要求这件事情发生的可能性的大小,是先验概率.
事情已经发生,要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小,是后验概率.
一、先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现。

后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的，是“执果寻因”问题中的“因”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。

二、A prior probability is a marginal probability, interpreted as a description of what is known about a variable in the absence of some evidence. The posterior probability is then the conditional probability of the variable taking the evidence into account. The posterior probability is computed from the prior and the likelihood function via Bayes' theorem.
三、先验概率与后验概率通俗释义
事情有N种发生的可能，我们不能控制结果的发生，或者影响结果的机理是我们不知道或是太复杂超过我们的运算能力。

新发一个物种，到底是猫,还是小老虎呢（朱道元的经典例子）？是由于我们的无知才不能确定判断。

先验概率 ( Prior probability)
先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；而后验概率是在考虑了一个事实之后的条件概率。

先验概率通常是经验丰富的专家的纯主观的估计。

比如在
法国大选中女候选罗雅尔的支持率 p,在进行民意调查之前, 可以先验概率来表达这个不确定性。

后验概率 ( posterior probability)
Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.
后验概率可以根据通过贝叶斯公式，用先验概率和似然函数计算出来。

四、一道经典概率题的终极解法——后验事实与先验概率的关系
经典题目：
有三个门，里面有一个里有汽车，如果选对了就可以得到这辆车，当应试者选定一个门之后，主持人打开了另外一个门，空的。

问应试者要不要换一个选择。

假设主持人知道车所在的那个门。

经典解法：
第一次选择正确的概率是1/3，因此汽车在另外两个门里的概率是2/3。

主持人指出一个门，如果你开始选错了(2/3概率)，则剩下的那个门里100%有汽车；如果你第一次选对(1/3)了，剩下那个门里100%没汽车。

所以主持人提示之后，你不换的话正确概率是1/3*100%+2/3*0=1/3，你换的话正确概率是1/3*0+2/3*100%=2/3。

对于这个解法的诘问就在于，现在主持人已经打开一个空门了（而且主持人是有意打开这个门的），在这一“信息” 出现后，还能说当初选错的概率是2/3吗？这一后验事实不会改变我们对于先验概率的看法吗？答案是会的。

更具体地说，主持人打开一扇门后，对当初选择错误的概率估计不一定等于2/3。

从头说起。

假设我选了B门，假设主持人打开了C门，那么他在什么情况下会打开C门呢？
若A有车（先验概率P=1/3），那主持人100%打开C门（他显然不会打开B）；若B有车（先验概率P=1/3），那此时主持人有A和C两个选择，假设他以K的概率打开C（一般K=1/2，但我们暂把它设成变量）；
若C有车（先验概率P=1/3），那主持人打开C的概率为0（只要他不傻。

也就是一般情况下。

但如果主持人有偏好，比方说他就是喜欢打开右边的门（假设C 在右边），设K=3/4，那么B有车的概率就变成了 3/5，不再是1/3，后验事实改变了先验概率的估计！
但这并不改变正确的选择，我们仍然应该改选A门，解释如下：
P（A有车|C打开）= P（C打开|A有车）* p（A有车）/P（C打开）
P（C打开|A有车）* p（A有车）
= ------------------------------------------------------------
P（C打开|A有车）* p（A有车）+ P（C打开|B有车）* p（B有车）
= 1 * 1/3/1 * 1/3 + K * 1/3
=1/k+1
而K < 1（假设主持人没有极端到非C不选的程度），所以永远有 P(B有车|C 打开) < P( A有车|C打开).A有车的概率永远比B大，我们还是应该改变选择。

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