全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
全概率公式是概率统计学中的重要概念，它系统地表达了事件发生的
几率，它建立在一定的概率论假设和条件概率的基础上。
全概率公式由它
的发明者布朗定理提出，它以下简称为B-公式，它定义了一个事件发生
条件的概率可以由该事件发生的总概率和该事件发生条件概率之间的关系
表示出来，具体地说，就是：
P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+···+P(A，Bn)P(Bn)
其中：P(A)是A发生的概率，P(B1)~P(Bn)是相互独立的事件B1~Bn
发生的概率；P(A，B1)~P(A，Bn)是A在B1~Bn发生后发生的条件概率，
以上关系可以看作是在n个事件B1~Bn中，A发生的概率就是在所有这些
事件发生时A发生的条件概率乘以其各自发生的概率，再相加，而本质上
它是一个分母的二项式展开。
贝叶斯公式是概率统计学中的重要概念，它描述了在已知其中一种情
况的概率后，观察到其中一种事件后，该情况发生的可能性，它利用事件
的先验概率和事件发生后的后验概率进行推断，它有一下公式发挥着作用：P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)
其中：P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率；P(A，B)是事件B发生后A发生的条件概率；P(B，A)是事件A发生后B发
生的条件概率。
全概率事件和贝叶斯公式解释
全概率事件和贝叶斯公式解释设A1,A2,...,An是一组互斥的事件，它们也是一组全概率事件。
那么对于任意一个事件B，可以通过全概率事件来计算B的概率。
全概率事件公式如下：P(B)=P(B，A1)P(A1)+P(B，A2)P(A2)+...+P(B，An)P(An)其中，P(B，Ai)是在给定事件Ai发生的条件下事件B发生的概率，P(Ai)是事件Ai的概率。
全概率事件的一个重要应用是用于计算复杂事件的概率。
当一个事件B无法直接计算其概率时，我们可以找到一组全概率事件A1,A2,...,An，然后计算B在每个全概率事件下的条件概率以及每个全概率事件的概率，最终通过全概率事件公式计算B的概率。
下面通过一个例子来说明全概率事件的应用。
假设手机制造商生产了两个型号的手机A和B，且每个型号的销售比例为60%和40%。
根据过去的统计数据，我们知道手机A发生故障的概率为5%，手机B发生故障的概率为3%。
问一些顾客购买的手机发生故障的概率是多少？解决这个问题的关键是找到一组全概率事件。
设事件A为顾客购买手机A，事件B为手机发生故障。
根据题目中给出的数据，我们可以计算事件B在事件A和事件B的补事件的条件下的概率，以及两个全概率事件的概率：P(B，A)=5%P(B，A')=3%P(A)=60%P(A')=40%根据全概率事件公式，我们可以计算事件B的概率：P(B)=P(B，A)P(A)+P(B，A')P(A')=5%*60%+3%*40%=3.8%所以一些顾客购买的手机发生故障的概率为3.8%。
贝叶斯公式是基于全概率事件的基础上，进一步计算后验概率的公式。
贝叶斯公式如下：P(A，B)=(P(B，A)P(A))/P(B)其中，P(A，B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的概率。
贝叶斯公式的一个重要应用是进行信息更新，即根据新的观察结果来更新对一些事件的概率估计。
全概率公式与贝叶斯公式
ห้องสมุดไป่ตู้
B4 B3 A
B2
P A P B P A B . i i i 1
n
3
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例1 考卷中一道选择题有4个答案，仅有一 个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道 而乱猜是等可能的. 如果这个学生答对了，求它 确实知道正确答案的概率. 解 样本空间可以划分为事件A:知道正确答案与 A:不知道.以B表示事件:学生答对，则A B， P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣A )＝ 1／4. 由全概率公式 P(B)＝P(A)P(B∣A)+P( A )P(B∣ A )=5／8， 故 P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．
11
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⑵由贝叶斯公式
P(B1 A) P(B2 A) P(B3 A) P( A B1 )P(B1 ) P( A) P( A) P( A B3 )P(B3 ) P( A) 0.02 0.15 0.24 0.0125 0.01 0.80 0.64 0.0125 0.03 0.05 0.12 0.0125
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解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l,2,3) 表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.易 知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有 P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)＝0.05， P(A∣B1)=0.02，P(A∣B2)=0.01，P(A∣B3)=0.03. ⑴由全概率公式 P(A)= P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2) +P(A∣B3)P(B3)=0.0125.
叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;
叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要概念，它们都可以用来计算概率。
全概率公式是概率论中最基本的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决条件概率之和。
全概率公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公式为：P(A)=∑P(A|B)P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。
例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。
根据全概率公式，我们可以得出：P(正面)=P(正面|硬币1)P(硬币1)+P(正面|硬币2)P(硬币2)，其中P(正面|硬币1)和P(正面|硬币2)分别表示硬币1和硬币2抛出正面的概率，P(硬币1)和P(硬币2)分别表示硬币1和硬币2被抛出的概率。
贝叶斯公式是概率论中另一个重要的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决概率，再除以它发生的先决概率之和。
贝叶斯公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公式为：P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。
例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。
根据贝叶斯公式，我们可以得出：P(正面|硬币1)P(硬币1)/P(硬币1)=P(正面|硬币1)，其中P(正面|硬币1)表示硬币1抛出正面的概率，P(硬币1)表示硬币1被抛出的概率。
总之，全概率公式和贝叶斯公式都可以用来计算概率，它们的公式分别为：P(A)=∑P(A|B)P(B)和P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)。
以上就是全概率公式和贝叶斯公式的概述，以及两个公式的求法。
1.3.3全概率公式与贝叶斯公式
1.3.3 全概率公式与贝叶斯公式在分析计算较为复杂事件的概率时，通过将较为复杂事件分解为有限多个或可列多个互不相容的较为简单事件的和，从而将复杂事件的概率表示为简单事件的概率之和。
该思想是贯穿概率论学科的基本思想。
在有些随机试验中，一个较为复杂的结果A可能与另外若干个不同时发生的结果B,B2,…等相联系，即一次试1验中A只能与B,B2,…中某一个同时发生，且二者同时发1生的概率容易计算，此时计算P(A)可以用下面给出的全概率公式，还可以用贝叶斯(Bayes)公式计算P(B|A),i=1,2,…。
i定理1.3.1(全概率公式)设(Ω,F ,P )为概率空间，111()=()=()(),()0,1,2,,,,i i i i i i i j i i i B F P B i B B i j A P A P AB P B B P A B ∞∞∞>==Φ≠⊂∑∑∈===| 且, 则21112111()=()()i i i i i i i i i i i i i A B A A B AB B B AB AB P A P AB P AB P B P A B ∞∞∞∞∞∞⎛⎫⊂ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑1===1=== 由， 知==。
由,,互不相容,,,也互不相容。
根据概率的可列可加性有=()=|证121,,,,, ,nn i i B B B B ==Ω全概率公式中 是样本空间的划分 即1212 ,,,,,, nn A B B B B B B 将导致事件发生的原因（因素、背景）全部列出：就作为划分例1.3.3袋中装有a只白色乒乓球，b只黄色乒乓球。
现从中无放回地摸取两次，每次摸出1球。
试求第二次摸得黄球的概率。
解记A={第二次摸得黄球}。
由于无放回摸取，所以第一次摸取的结果会引起第二次摸取时袋中白球和黄球个数的变化，从而影响到第二次摸取的结果。
所以想到根据第一次摸取的结果来分别计算A的概率。
记B1={第一次摸得白球}，B2={第一次摸得黄球}，则B1和B2互不相容，，用全概率公式得12=ΩB B121122()()()()(|)()(|)111P A P AB P AB P B P A B P B P A B a b b b a a b a b a b a b a b=++-=⋅+⋅=++-++-+ =例1.3.4某工厂有四条生产线制造同一种产品，已知各生产线的产量占总产量的比例分别为15%，20%，30%和35%，并且已知各生产线的产品不合格品率分别为0.05，0.04，0.03和0.02。
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
第7节 全概率公式和贝叶斯公式
0.4825.
练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别 为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求 他迟到的概率．
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。
易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红 球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求
(1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。
解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2, A3 两两互斥，且A1+A2+A3=Ω, 所以
i 1
i 1
i 1
3. 全概率公式的应用
如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成， E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种 可能的结果，如果求与E2的结果有关事件的概率，可 以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了 完备事件组．
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
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解：
第二次取球时，盒中有几个新球是未知，这是与第 一次取球的各种可能结果有关，故可设
A=“第二次取出3球全是新球” Bk=“第一次取出3球中有k个新球”k=1,2,3，
按全概率公式，有
3
P(A) P(Bk )P(A | Bk ) k 0
式中各项可直接计算，有
P(B 0 )
3 3
132
P(A | B1) 0.05 P(A | B2 ) 0.04 P(A | B3 ) 0.03 P(A | B4 ) 0.02
将这些数据代入公式，得
P(A) 0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.0315
6.3.3.2 贝叶斯公式
若用A表示“第2次摸得黄球”的事件，则用全概率公式， 得
P(A) P(AB1) P(AB2 )
P(B1)P(A | B1) P(B2 )P(A | B2 )
a
a
b
•
a
a 1 b 1
a
b b
•
a
a b
1
a a b
例24
盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的。 第一次比赛时，从中任意地取出了3个来用，用完后 仍放回盒中（新球用后成了旧球）。第二次比赛时 再从盒中取出3个球来用，求第二次取出的3个球均 为新球的概率。
k 1
则对任一事件A，有
P(A) P(Bk )P(A | Bk ) k 1
P(A) P(Bk )P(A | Bk ) k 1
证： 因
A A A( B k ) AB k
k 1
k 1
由概率的完全可加性及乘法定理（已知P(Bk)>0）得
P(A) P( ABk ) P(ABK ) P(Bk )P(A | BK )
1 220
P(B1 ) P(B 2 ) P(B 3 )
19
3 2
132
27 220
9 2
13
132
108 220
9 3
132
84 220
9
P(A | B 0 )
3 12
84 220
3
8
P(A | B1 )
3 12
56 220
3
7
P(A | B 2 )
3 12
B1 B2
Ω
A
Bk
B3
…
例23
袋中有大小相同的a个黄球，b个白球。 现不放回地摸球两次，问第2次摸得黄 球的概率是多少？
解：
第2次摸球是在第1次摸过以后再进行，但第1次摸球 的结果未知，但只有两种可能的结果：
B1=“第1次摸球，得到的是黄球” B2=“第1次摸球，得到的是白球”
现有 B1B2 ,B1 B2
k 1
k 1
k 1
常称公式P(A)为全概率公式（total probability formula）。
从证明过程可以看出，并不一定要 Bk ， 而只
要成立 Bk A,即能使A • 就Bk可以A了。
这个公式在从已知的一些较简单事件的概率去推算 未知的复杂事件的概率中有着重要作用。常用的做 法就是将一个复杂事件分解成若干个互不相容的较 简单事件之和（如图所示，A被分解成AB1、AB2、… 等若干部分之和），在通过分别计算这些较简单事 件的概率并利用概率的可加性得到所要的结果。
6.3.3 全概率公式和贝叶斯公式
用条件概率为工具计算事件的概率，主要涉及三个定理：乘法 定理、全概率公式和贝叶斯公式。
6.3.3.1 全概率公式 6.3.3.2 贝叶斯公式
6.3.3.1 全概率公式
定理6
设B1、B2、…为一列（有限或无限个）两两互不相 容的事件，有
Bk ,P(Bk ) 0,k 1,2,...,
解：
根据问题与已知条件可设 A=“任取一件这种产品，结果是不合格品” BK=“任取一件这种产品，结果是第k条流水线的产品”，
k=1,2,3,4， 可用全概率公式，有
4
P(A) P(Bk )P(A | Bk ) k 1
根据已知条件，可得
P(B1) 0.15,P(B2 ) 0.20,P(B3 ) 0.30,P(B4 ) 0.35
35 220
3
P(A | B 3 )
6 3
132
20 220
代入公式，得
P(A)
1
108 220
35 220
84 220
20 220
0.1458
例25
某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流 水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%。 又知，这四条流水线的产品不合格率依次为0.05, 0.04, 0.03及0.02. 现从该厂的这一产品中任取一件， 问抽到不合格品的概率是多少？