数学与猜想. 第一卷. 数学中的归纳和类比((美)G.波利亚著;李心灿等译)思维导图
《名案中的司法智慧与方法》教学大纲
《名案中的司法智慧与方法》教学大纲一、基本信息二、教学目标及任务通过对《名案中的司法智慧与方法》课程的学习，开阔学生的知识视野，增加学生的学习兴趣，提高本科生的综合素质，在古今名案的赏析中对司法方法与智慧有一个系统的了解与认识，并初步具备借鉴其中的一些方法来解决司法问题与实际问题的能力。
二、学时分配四、教学内容及教学要求导论本章教学目的：对课程的基本内容进行概要介绍，了解司法方法的核心是司法论证方法，主要涉及事实、法律与事实和法律的匹配三个领域，并通过几个重要案例，对这些领域的司法方法予以介绍。
本章主要内容：司法方法的涵义与事实、法律等领域的论证方法。
本章重点难点：重点与是司法方法的涵义，难点是司法方法与司法智慧以及司法论证方法的关联。
本章参考文献：1．[德]罗伯特·阿列克西：《法律论证理论》，中国法制出版社2002年版。
2．[荷]伊芙琳·T·菲特丽丝：《法律论证原理——司法裁决之证立理论概览》，商务印书馆2005年版。
3．梁慧星：《裁判的方法》，法律出版社2003年版。
4．[德]卡尔·拉伦茨：《法学方法论》，商务印书馆2003。
本章思考题：1．司法方法与司法智慧的关系？2．司法论证与司法推理的关系？1．司法方法的涵义、内容与地位（1）涵义（2）内容（3）地位2．案件事实前提的法律论证方法（1）证据的真实性（2）证据的相关性（3）证据的充分性3．案件法律前提的论证方法（1）见义勇为的凶手（2013）（2）北京“刻章救妻”案（2012）（3）女王诉杜德利与斯蒂芬案（1884）4．案件法律适用于事实的论证方法5．其他的司法论证方法第一章案件事实前提的论证方法本章教学目的：对证据进行的事实证明进行介绍，通过具体案例介绍在事实证明过程中所涉及的证据相关性、真实性与充分性。
本章主要内容：事实证明中证据的相关性、真实性与充分性本章重点难点：重点事实证明中证据的相关性、真实性与充分性，难点是相关性、充分性的涵义本章参考文献：1．［美］麦考密克著：《麦考密克论证据》，汤维建等译，中国政法大学出版社2004年版。
sx1211数学与猜想
专题11 数学与猜想一、什么是数学猜想数学猜想，是根据某些已知的事实材料和数学知识，以已有的数学理论和方法为指导，通过理论思维的能动作用，对某些特定的数学对象及其关系作出的一种猜测性的论断。
数学猜想是数学研究的一种科学方法，也是数学发展的一种重要形式。
也许可以说，数学猜想的提出、发展与解决，是数学发展的最本质的过程之一。
与之相应的另一个重要方面，则是对已有知识的整理与综合，使之成为系统严密的理论。
理解了数学猜想的提出、发展与解决，也就从根本上理解了什么是数学、数学精神。
一个美妙的但是尚未证明的猜想，对数学的影响远胜过不少有相当名气的定理的证明。
数学猜想的特点：1.假设性：数学猜想是建立在不够充分的事实、经验材料和不够完善的理论的基础上的，它还没有对所研究的对象的性质、规律性或结构等具备确切的、可靠的知识，有待于用严格的数学理论与方法去判定。
2.一定的科学性：数学猜想既以一定的事实和经验材料为依据，又有一定的理论与方法为指导，因此，它是在一定的真知的土壤中生长和发展起来的，是人们洞察数学规律的敏锐智慧的表现。
3.形式较为简单，解决相当困难。
二、数学猜想是怎样提出与发展的1．不完全归纳根据某类数学对象中一些个别现象具有某种属性而猜测该类全体都有该属性。
有时以具体计算或试验为基础，有时以某种特殊的理论推断为基础。
范例：⑴哥德巴赫猜想 (1742)1742年6月7日，哥德巴赫 (Christian Goldbach，1690～1764，德)在致欧拉（L.Euler ，1707—1783，瑞士) 的信中提出：除了 2以外，每个偶数都是两个素数的和；每个奇数或者是素数，或者是三个素数的和。
他问：“能否证明之，或者以反例否定之? ”1742年 6月30日，欧拉在复信中指出：“任何大于 6的偶数都是两个奇素数之和。
虽然我还不能证明它，但我确信无疑认为这是完全正确的定理。
”⑵华林 (Waring) 问题 (1770)1621年，法国数学家巴切特（M.C.-G.Bachet ，1581—1638）出版了丢番图 (Diophantus）《算术》的拉丁文与希腊文对照本。
类比思想在小学数学几何中的应用
类比思想在小学数学几何中的应用程玲玲女数学与信息科学系 2011本一 1114070110数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些标面上看似复杂困难的问题。
就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂类比思想在科学发展中占有十分重要的意义，例如：著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的。
著名的生物学家达尔文把植物的自花授精与近亲结婚相类比，从而发现自己子女体弱多病的原因。
1、类比方法目前，小学数学教材中类比思想的内容很多，杂志上发表得较多的某些定理，问题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求教师去发掘去实施，如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b （h）÷2。
类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说："我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。
"例如：几何形体数量关系的类比在圆的学习中，我们已经知道怎样求长方形周长，知道长方形周长=（长加宽）×2 正方形周长=边长×2，我们可以得到他们的共同点：都是封闭的平面图形，它们的周长都与图形中的某些线段有关。
平面图形圆是不是也一样呢？我们用一些方法测量一下一个圆形物体的周长，进行整理：通过表格中的数据，我们很容易看出：圆的周长总是直径的三倍多一些。
推理2.6大胆猜想小心求证善待归纳法【最新】
2.6 大胆猜想小心求证善待归纳法猜想是数学家创造发明的法宝，也是数学学习中的一个重要思想方法. 你所看到的构思奇妙的数学定理、简明精巧的数学公式，大多数是先由数学家猜想得到结论，然后经过证明确认为真的. 正如波利亚所说：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的. ”如果没有猜想，纯洁梦幻的数学巨轮将搁浅海滩；如果没有猜想，巍峨瑰丽的数学大厦将不复存在.在数学猜想中，归纳、类比是获得猜想的两个重要的方法．波利亚说：“猜想是合情推理的最普遍、最重要的一种，归纳也好，类比也好，都包含着猜想的成分. ”法国数学家、天文学家拉普拉斯也说过：“在数学里，发现真理的主要工具就是归纳和类比. ”数学解题与数学发现一样，通常都是在通过归纳、类比等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．一．枚举归纳猜想归纳猜想是通过对特例进行观察与综合以发现一般规律的渠道. 它是由特殊向一般的推理，它所得出的结论是或然的，但这种方法的重要性不容忽视，正如数学王子高斯所强调的：“用归纳法可萌发出极漂亮的新的真理”.枚举归纳是不完全归纳的一种. 枚举归纳是以对某些对象的重复验证作为归纳根据的，前面提到的找规律大都是枚举归纳. 这种归纳可以发现问题，但可靠性有一定问题. 比如，17世纪，法国数学家费马曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果p为素数，a为任意自然数，那么a p-a是p的倍数. 上述定理的逆命题是否成立呢？费马之后，研究者数不胜数. 德国数学家莱布尼兹就曾提出：如果p不是素数，那么2p-2就不是p的倍数. 因此，在莱布尼兹看来，费马定理的逆命题是成立的：如果a p-a是p的倍数，那么p必为素数. 无独有偶，我国清代数学家李善兰也通过不完全归纳得到了类似的结论. 不幸的是，数学家萨吕斯发现了反例，彻底否定了莱布尼兹和李善兰的猜想：尽管2341-2，是341的倍数，但341=11×31却是一个合数！后来人们又相继发现了更多的反例：561，645，1105，1387，1729，1905，2407，…….因此，由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确，必须给予严格的逻辑证明.正是由于归纳法的重要性和结论的或然性，波利亚提出要有科学的“归纳的态度”，他特别提出了下述三原则：第一，“理智上的勇气”：我们应当随时准备修正我们的任何一个猜测或信仰.第二，“理智上的诚实”：把事实摆在优先地位，如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念. 坚持自己那个显然与经验相抵触的猜想，就因为它正是我的猜想而坚持它，那将是不诚实的.第三，“明智的克制”：如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念. “不轻信任何事情，只探索那些值得探索的问题”.著名数学家克莱因也说过：“最初建立某一个假设的人所做的归纳工作，跟最初证明这个假设的人所做的演绎法的工作，当然具有同样的价值，因为这个和那个是同样必要的. ”就是说，我们可以大胆的猜想，但是必须谨慎小心的证明. 下面，我们举例说明归纳—猜想—证明的全过程.例求出所有公差为8，且由三个素数组成的等差数列.解：观察素数数列：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…….我们从头开始，一个一个的检验，发现公差为8的三个素数唯有3，11，19. 由于素数列是无穷数列，此外还会有其他的公差为8的三个素数成等差数列吗？直觉告诉我们，可能没有了. 这是猜想，需要证明.显然，符合要求的三个素数一定都是奇数. 若首项为2n+1，则此数列的三项为2n+1，2n+9，2n+17 (n N×).以下讨论n被3除的所有可能情况：当n=3k时，2n+9=6k+3=3(2k+3)，为非素数；当n=3k+1时，2n+1=6k+3=3(2k+1)，除k=0以外，2n+1为非素数.当n=3k+2时，2n+17=6k+21=3(2k+7)，为非素数.所以，只有当k=0，即n=3k+1=1时，所设三项2n+1=3，2n+9=11，2n+17=19都是素数.也就证明了除3，11，19外，没有其他公差为8的三个素数成等差数列了. 这里的演绎证明采用分类讨论，是完全归纳法.二. 因果归纳猜想因果归纳猜想是先观察现象再进一步分析现象背后一类事物中部分对象内在的因果关系，并以这些因果关系作为猜想前提的不完全归纳猜想.例平面上有n条直线，最多能把平面分割成多少个区域?解：要使区域分割成最多，那么就要求n条直线中没有两条平行，也没有三条经过同一点.设平面上n 条直线，最多能把平面分割成f(n)个区域. 我们还是从枚举开始，画图试验，可以发现：f(1)=2，f(2)=4，f(3)=7，f(4)=11，…….我们再进一步观察，发现f(2)-f(1)=2，f(3)-f(2)=3，f(4)-f(3)=4，继续下去还有f(5)-f(4)=5，f(6)-f(5)=6，……. 就是说，我们还发现了前后分割之间的因果关系.一般地，假设平面上的n-1条直线分平面为f(n-1)块. 当新添上第n 条直线时，这条直线被原来的n-1条直线分截成n 段，每段都把所在平面区域一分为二，因此会增加n 个区域，即有递推关系式f(n)=f(n-1)+n ，且f(1)=2，所以f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)+(n-1)+n=……=f(1)+2+3+…+n=2+2+3+…+n=1+21n(n+1). 类似的问题还有：平面上有n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都不相交于同一点，这n 个圆把平面分成多少部分?因果归纳与枚举归纳的不同在于，枚举归纳是直接猜测结论，而因果归纳是先猜测一个因果关系，比如一个递推关系式，然后再推测结论. 正因为因果归纳猜想是建立在因果关系基础上产生的结论，比枚举归纳显然进了一步，因而可靠性更大些. 但由于仍然只考察了部分对象，猜想还不一定正确，还是要给予证明. 一般都可以应用这个因果关系给予数学归纳法的证明.三．类比猜想用类比联想的方法猜想，称为类比猜想.例 空间有n 个平面最多能把空间分成多少个区域？解：就是在没有两个平面平行，也没有三个平面相交于同一条直线，没有四个平面过同一点的条件下，n 个平面能够把空间分成多少个区域？这个“空间问题”比较困难，我们可以降维处理，类比直线分平面的“平面问题”. 刚才，我们已经得到f(n)=1+21n(n+1). 假设n 个平面把空间分成F(n)个区域. F(1)=2，F(2)=4，F(3)=8. 下面，F(4)=16吗？我们不要急于下这个结论，因为我们可以利用因果关系来分析. 当新添上第n 个平面时，这平面与原来的n-1个平面有n-1条交线，这些交线把新添的平面分成f(n-1)块，每块都把所在的空间区域一分为二，因此会增加f(n-1)个区域，于是有递推关系式F(n)=F(n-1)+f(n-1)，且f(1)=2，分别以n-1,n-2,…,3,2代入上式：F(2)=F(1)+f(1)， F(3)=F(2)+f(2)， ………………… F(n)=F(n-1)+f(n-1).将上面各式相加，得到F(n)=F(1)+f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)=2+∑-=11)(n k k f =2+∑-=++11]1)1(21[n k k k=2+(n-1)+21∑-=+11)1(n k k k=(n+1)+61∑-=+--++11)]1()1()2)(1([n k k k k k k k=(n+1)+61(n-1)n(n+1) =61(n+1)(n 2-n+6). 所以，n 个平面把空间分成F(n)=61(n+1)(n 2-n+6)个区域.注意F(4)=61(4+1)(42-4+6)=15，可见4个平面把空间分成15个区域，而不是原来猜测的24=16个区域.四．猜测结论由归纳产生的猜想主要有两种类型：一种是猜测结论的，一种是猜测解题方法、途径的. 大多数问题都是猜测结论的，再举一个猜测结论的例子，并给出数学归纳法的证明.例 斐波那契数列1,1,2,3,5,8,……中，连续n(n>2)项相加，会是斐波那契数列的某一项吗？解：从试验、观察开始枚举归纳. 1+1+2在斐波那契数列中没有，1+2+3在斐波那契数列中也没有，…；1+1+2+3在斐波那契数列中没有，1+2+3+5在斐波那契数列中还是没有，…，于是我们自然地会产生猜想：当n >2时，斐波那契数列的连续n 项相加，不可能是斐波那契数列的某一项.这仅仅是一个猜想，必须要经过严格的演绎证明，一般可以采用数学归纳法.第一步，我们先对n=3，n=4的情形作出证明.当n=3时，由于a k +a k+1+a k+2=a k+2+a k+2<a k+2+a k+3=a k+4， 且a k +a k+1+a k+2>a k+1+a k+2=a k+3,即有a k+3<a k +a k+1+a k+2<a k+4.所以,a k +a k+1+a k+2不是该数列的任何一项.当n=4时，由上面的结果可知a k +a k+1+a k+2+a k+3<a k+4+a k+3=a k+5, 且a k +a k+1+a k+2+a k+3>a k+2+a k+3=a k+4，可见，任意连续四项之和仍然不是该数列的另一项.由上述n=3，4的讨论，我们很自然会猜测：当n ≥3时，对任意的k ∈N ×，都有a k+n <a k +a k+1+…+a k+n-1<a k+n+1. ① 我们再证明第二步:设a k+m <a k +a k+1+…+a k+m-1<a k+m+1，则a k +ak+1+…+ak+m-1+ak+m<ak+m+1+ak+m= ak+m+2，且ak +ak+1+…+ak+m-1+ak+m>ak+m-1+ak+m=ak+m+1故①式对所有的n≥3成立.综合这两步，根据数学归纳原理，我们就完成了演绎推理的全过程. 证明了我们猜想的结论正确.五．猜测解题方法在对未知结论大胆作出合乎情理猜想的同时，再根据这个猜测去考虑相应的解题方法，这是猜想的另一种类型.例已知f1(n)=1+2+…+n=21n(n+1)，由此出发能递推出f m(n)=1m+2m+…+n m(m∈N)的结果吗？解：先考虑最简单的m=2情形，f2(n)=12+22+…+n2.23 = (1+1)3=13+3×12+3×1+1,33 = (2+1)3=23+3×22+3×2+1,43 = (3+1)3=33+3×32+3×3+1,……………………………n3 =(n-1+1)3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,(n+1)3 =n3+3n2+3n+1.将这n个等式相加，容易得到(n+1)3 =1+3f2(n)+3f1(n)+n即有f2(n)=31[(n+1)3-1-3f1(n)-n]=61n(n+1)(2n+1)所以由f1(n)可推知f2(n). 进一步地利用(n+1)4=n4+4n3+6n2+4n+1,类似上面进行推导，又可得到(n+1)4=1+4f3(n)+6f2(n)+4f1(n)+n,即有f3(n)=41[(n+1)4-1-6f2(n)-4f1(n)-n]至此，我们已猜想出从f1(n)出发，对任意的m∈N,可以递推地得出f m(n).证明：当m=2时，f2(n)=31[(n+1)3-1-3f1(n)-n].设m≤k时，f m(n)可由f1(n)出发递推地求出.当m=k+1时，由于2K+2=(1+1)k+2=1k+2+12+kC×1k+1+22+k C×1k+…+12++k k C×1+1,3K+2=(2+1)k+2=2k+2+12+kC×2k+1+22+k C×2k+…+12++k k C×2+1,4K+2=(3+1)k+2=3k+2+12+kC×3k+1+22+k C×3k+…+12++k k C×3+1,…………………………………………(n+1)k+2=n k+2+12+kC×n k+1+22+k C×n k+…+12++k k C×n+1.将这n个等式相加，不难得到(n+1)k+2=1+12+kC f k+1(n)+22+k C f k(n)+…+12++k k C f1(n)+n.于是有 fk+1(n)=121+kC[(n+1)k+2-1-22+kC f k(n)-…-12++k k C f1(n)-n].由归纳假设知f2(n)，f3(n)，…fk(n)都可从f1(n)出发递推地求出，所以fk+1(n)也可由f1(n)出发递推地求出. 从而f m(n)(m∈N)可由f1(n)出发递推地求出.在这个例题中，我们通过分析(n+1)3、(n+1)4的展开式，归纳出了利用(n+1)m(m∈N)的二项展开式进行证明的方法. 一般性的证明方法产生于特殊的问题的证明方法，这正是归纳所起的作用.领会到了吧，猜想的缘由，归纳的方法；体验到了吧，猜想撞击了创造的火花，扣开了发现的大门. 归纳，类比，联想，猜想，……交织在一起，谱写了一篇又一篇成功探索的乐章.正是：长风破浪会有时，直挂云帆济沧海. .以下是附加文档，不需要的朋友下载后删除，谢谢班主任工作总结专题8篇第一篇:班主任工作总结小学班主任特别是一年级的班主任，是一个复合性角色。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==数学与猜想读后感篇一：数学与猜想读后感《数学与猜想》读后感《数学与猜想》这本书是美国G . 波利亚的写的，由国人翻译而来的一本书。
书的英文名字叫做《Mathematics and plausible reasoning》,也可以译作《数学与合情推理》，译者为了更加通俗一点直接是把本书译作《数学与猜想》，当然合情推理本身就是猜想。
这是第一次看这本书，全书不仅涉及到了数学的很多方面，同时还有部分物理数学，古今中外，旁征博引，通俗易懂。
作为一个教师，不仅要教书还要育人。
而现在这个浮躁的社会，育人这一块比以往显得更加的重要，作为一个数学老师，在育人这一块其实也可以有非常大的作为。
像归纳的态度这样一种非常独特、不同一般的态度同样也可以在教学中渗透给学生，从而潜移默化的影响学生的实际生活以及学习，甚至在未来成长的道路上给学生带来巨大的帮助。
在归纳的态度中，有三点比较重要：第一，我们应当随时准备修正我们的任何一个信念；第二，如果有一种理由非使我们改变信念不可，我们就应当改变这一信念；第三，如果没有某种充分的理由，我们不应当轻率地改变一个信念。
用数学思维上这种严谨有条理又不乏变通的态度武装自己，虽然不能够一步到位的指明方向，但是却能一点点慢慢的修正我们的方向往正确的结果靠近。
这三点看上去虽然很简单很平凡，但是真正养成这种归纳的态度却不容易。
数学的优势之处在于学生及老师会有很多接触题目的机会，而每一个题目都为学生提供了学习这种优良的科学家品质的机会。
在做题的过程中每个人都需要有胆量修正自己的信念，而就因为是自己的猜想而坚持那将是不诚实的，不经过认真的思考，仅仅为了追求时髦轻易的相信他人，很随便的改变一个方向，那将是非常愚蠢的。
“当我们没有时间也没有力量去认真考察时，因此明智的态度就是继续做我们该做的事情，暂时先保留我们的问题，只对那些有足够理由可能改变的信念，才去积极的对它质疑，考察。
数学书目
Б[1].П.吉米多维奇数学分析习题集题解（费定晖、敖学圣 著）第六册.pdf
Б[1].П.吉米多维奇数学分析习题集题解（费定晖、敖学圣 著）第四册.pdf
【数学】伽罗华理论（E[1]. Artin 著）.pdf
【数学】常微分方程Βιβλιοθήκη B?И? 阿诺尔德 著）.pdf
数学与猜想（第二卷）：合情推理模式（G[1]. 波利亚）.pdf
数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）第一册.pdf
数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）第二册.pdf
数学分析八讲（A[1].я.辛钦）.pdf
数学分析原理（Rudin 著）第一册.pdf
数学分析原理（Rudin 著）第二册.pdf
数理哲学导论（罗素）.pdf
数论入门（Introduction to the Theory of Numbers，Hardy Wright，Simon Plouffe 著）.pdf
新英汉数学词汇（科学出版社名词室 著）.pdf
无穷的艺术：数学的乐趣（The Art of the Infinite - The Pleasures of Mathematics，Robert Kaplan、Ellen Kaplan 著）.pdf
从微分观点看拓扑（J?W?米尔诺）.pdf
信息论与编码理论.pdf
具体数学：计算机科学基础（Graham、Knuth、Patashnik 著）.pdf
几何原本（欧几里得 著）.pdf
几何基础（D[1]. Hilbert 著）.pdf
几何（笛卡尔 著）.pdf
北大版《高等代数》附册：习题答案与提示.pdf
波利亚及其解题理论
执行计划
13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号, 图形,式子表述出来. 14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方 案. 15)解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
16)你能拟定其它解题方案吗? 17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用 它的方法吗? 18)你能找到什么方法检验你的结果吗?
拟定计划
• 例4 已知k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k + ab +bc+ ca ＞ 0
①
拟定计划
• 抛物线y=x2－(a＋b＋c) x＋ab＋bc＋ca开口向 上．如果二次多项式 x2－(a＋b＋c) x＋ab＋bc＋ca ② 的判别式 △=(a＋b＋c) 2－4(ab＋bc＋ca) ③ 满足△＜0 ④ 那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有 x2 －(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0． ⑤ 于是①成立． • 故，原问题化为证明④成立． • 这一计划也很清楚，但是无法证明④一定成立．
解题必须实践
• 解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑 雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学 到它……你想学会游泳，你就必须下水，你 想成为解题的能手，你就必须去解题． ——波利亚 • 学习数学要做到熟练化．熟能生巧，进而 出神入化．而要这样，就必须练。 ——华罗庚
问题的种类
• 按数学内容来分，可以分成几何、代数、数 论(算术)、组合数学等． • 按问题的结论来分，可以分为计算题、求解 题、证明题． • 从形式上分，有选择题、填充题、综合题． • 从与已有经验关系分，有固定模式、没有或 较少固定模式．
12条解题要诀——单撙
1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好． 2．要有充足的信心． 3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力． 4．要做100道有质量的题目． 5．反复探索，大胆地跟着感觉走． 6．从简单的做起． 7．从不同的角度看问题． 8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想 法”． 9．设法创造条件，不断变更问题． 10．引入适当字母，向基本量靠拢． 11．力求简单自然，直剖核心． 12．注意总结．
数学归纳法的思想精髓
数学归纳法的思想精髓作者：王智勇来源：《教育教学论坛》2020年第34期[摘要] 科学原理和科学方法必然蕴含着与之相适应的科学思想。
通过“归纳思维方法”与“数学归纳法”的分析解读了数学归纳法的思想精髓——“无限递推思想”，揭示了无限递推思想模式的教学演绎规律，用生活中的案例和生活化的语言加以直观描述，用图式化的语言加以提炼，再用数学化的符号语言准确表达，促使学生对这一数学思想模式的直观感受、理解、感悟、过程参与、事后升华，形成无限递推的数学思想模式，直到掌握并应用到微积分学的教学实践中。
[关键词] 数学归纳;演绎规律;无限递推;数学思想模式[作者简介] 王智勇（1963—），男，四川内江人，本科，内江职业技术学院素质教育部讲师，经济师，主要从事高等数学教育、数学应用与企; ; ; 业管理和企业创新研究。
[中图分类号] G712 ; ;[文献标识码] A ; ;[文章编号] 1674-9324（2020）34-0124-04 ; ;[收稿日期] 2020-03-10著名数学家拉普拉斯提出：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。
”又在《概率的分析理论》中论述到“分析與自然哲学中最重大发现都应归功于这种丰富多产的方法，也就是所谓的‘归纳’方法，牛顿万有引力原理，就是归纳的成果。
”[1]著名数学家欧拉认为：“观察所得的知识，通常用归纳所得的，然而我们已经看到过单纯的归纳曾导致过错误。
因此，我们不要轻易地把观察所得的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真。
诚然，我们应该把这种发现当成一种机会，去更精确地研究所发现的性质，以便证明它或推翻它;在这两种情况中，我们都可以学到一些有用的东西。
”[2]著名数学家拉普拉斯论述了“归纳”在“最重大发现”的重要作用，而著名数学家欧拉把“归纳”的“发现当成一种机会”，但更重视“归纳”得出的知识与结论的验证，用“更精确地研究”进行“证明它或推翻它”。
验证和证明“归纳”结论的有效方法之一——“数学归纳法”，蕴含着“无限递推”的数学思想。