七年级数学湘教版下册单元测试题6.类比归纳专题：因式分解的方法
湘教版七年级下期末复习试卷(三)因式分解(含答案)
期末复习(三) 因式分解01各个击破命题点1因式分解的概念【例1】(济宁中考)下列式子变形是因式分解的是( )A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)【方法归纳】因式分解是把一个多项式由和差形式化为乘积形式的恒等变形，因式分解的结果应与原多项式相等．1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是( )A．x2＋5x－1＝x(x＋5)－1B．x2－4＋3x＝(x＋2)(x－2)＋3xC．x2－9＝(x＋3)(x－3)D．(x＋2)(x－2)＝x2－42．若多项式x2－x＋a可分解为(x＋1)(x－2)，则a的值为________．命题点2直接用提公因式法因式分解【例2】因式分解：(7a－8b)(a－2b)－(a－8b)·(2b－a)．【思路点拨】注意到(a－2b)与(2b－a)互为相反数，可把(2b－a)化为－(a－2b)，再提取公因式(a －2b)．【解答】【方法归纳】提公因式时，不能只看形式，而要看实质．对于互为相反数的项可通过提取一个“－”号后再提取公因式．3．因式分解：(1)2x2y2－4y3z；(2)3(x＋y)(x－y)－(x－y)2；(3)x(x－y)3＋2x2(y－x)2－2xy(x－y)2.命题点3直接用公式法因式分解【例3】因式分解：－(x＋2y)2＋(2x＋3y)2.【思路点拨】把原式中的两项交换位置，把两个多项式看作一个整体，用平方差公式因式分解．【解答】【方法归纳】用平方差公式因式分解时，如果其中的一项或两项是多项式，可把这个多项式看作一个整体用括号括起来，这样能减少符号出错．4．因式分解：(1)x2－25；(2)(x＋y)2－6(x＋y)＋9.命题点4综合运用提公因式法与公式法因式分解【例4】因式分解：12a2－3(a2＋1)2.【思路点拨】先提取公因式3，再用平方差公式，然后用完全平方公式因式分解．【解答】【方法归纳】因式分解的一般步骤：(1)不管是几项式，都先看它有没有公因式．如果有公因式，就先提取公因式．(2)看项数．如果是二项式，考虑能否用平方差公式；如果是三项式，考虑能否用完全平方公式．(3)检查结果．看分解后的每一个因式能不能继续分解，直到每一个因式不能再分解为止．5．因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)a3(x＋y)－ab2(x＋y)；(3)9(a－b)2－(a＋b)2.命题点5因式分解的运用【例5】先因式分解，再求值：(2x＋1)2(3x－2)－(2x＋1)(3x－2)2－x(2x＋1)(2－3x)，其中x＝3 2 .【思路点拨】首先把(2－3x)变为－(3x－2)，然后提取公因式即可将多项式因式分解，再代入数值计算即可求出结果．【解答】【方法归纳】此题考查的是整式的化简求值，化简是利用了因式分解，这样计算比较简便，遇到这类题目时主要利用因式分解简化计算．6．已知a2＋a＋1＝0，求1＋a＋a2＋…＋a8的值．7．用简便方法计算：(1)123 456 7892－123 456 788×123 456 790；(2)102－92＋82－72＋…＋42－32＋22－12.02整合集训一、选择题(每小题3分，共24分)1．从左到右的变形，是因式分解的为( )A．(3－x)(3＋x)＝9－x2B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)2．(临沂中考)多项式mx2－m和多项式x2－2x＋1的公因式是( )A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)23．下列四个多项式，能因式分解的是( )A．a－1 B．a2＋1 C．x2－4y D．x2－6x＋94．(北海中考)下列因式分解正确的是( )A．x2－4＝(x＋4)(x－4)B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．3mx－6my＝3m(x－6y)D．2x＋4＝2(x＋2)5．把－8(x－y)2－4y(y－x)2因式分解，结果是( )A．－4(x－y)2(2＋y) B．－(x－y)2(8－4y)C．4(x－y)2(y＋2) D．4(x－y)2(y－2)6．若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式因式分解，则m的值可以是( )A．4 B．－4 C．±2 D．±47．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2等于( )A．5 B．6 C．9 D．18．已知(19x－31)(13x－17)－(13x－17)(11x－23)可因式分解成8(ax＋b)(x＋c)，其中a，b，c均为整数，则a＋b＋c的值为( )A．－5 B．－12 C．38 D．72二、填空题(每小题4分，共16分)9．多项式2(a＋b)2－4a(a＋b)中的公因式是________．10．(珠海中考)填空：x2＋10x＋________＝(x＋________)2.11．(枣庄中考)若a2－b2＝16，a－b＝13，则a＋b的值为________．12．(北京中考)因式分解：5x3－10x2＋5x＝________．三、解答题(共60分)13．(16分)因式分解：(1)12a2b－18ab2－24a3b3；(2)a3－9a；(3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy；(4)16(a－b)2＋24(b2－a2)＋9(a＋b)2.14．(6分)利用因式分解说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．(8分)先因式分解，再求值：已知a＋b＝2，ab＝2，求12a3b＋a2b2＋12ab3的值．16．(10分)利用因式分解计算：(1)9992＋999；(2)6852－3152.17．(10分)已知多项式a2＋ka＋25－b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．(1)写出常数k可能给定的值；(2)针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．18．(10分)试说明：不论a，b，c取什么有理数，a2＋b2＋c2－ab－ac－bc一定是非负数．参考答案各个击破【例1】 B【例2】 原式＝(7a －8b)(a －2b)＋(a －8b)(a －2b)＝(a －2b)(7a －8b ＋a －8b)＝(a －2b)(8a －16b)＝8(a －2b)2.【例3】 原式＝(2x ＋3y )2－(x ＋2y)2＝[(2x ＋3y)＋(x ＋2y)][(2x ＋3y)－(x ＋2y)]＝(3x ＋5y)(x ＋y)．【例4】 原式＝3[4a 2－(a 2＋1)2]＝3[(2a)2－(a 2＋1)2]＝3[2a ＋(a 2＋1)][2a －(a 2＋1)]＝－3(a ＋1)2(a －1)2.【例5】 原式＝(2x ＋1)2(3x －2)－(2x ＋1)(3x －2)2＋x(2x ＋1)(3x －2)＝(2x ＋1)(3x －2)(2x ＋1－3x ＋2＋x)＝3(2x ＋1)(3x －2)，当x ＝32时，原式＝3×(3＋1)×(92－2)＝30. 题组训练1．C 2.－23.(1)原式＝2y 2(x 2－2yz)．(2)原式＝(x －y)[3(x ＋y)－(x －y)]＝(x －y)(2x ＋4y)＝2(x －y)(x ＋2y)．(3)原式＝x(x －y)2[(x －y)＋2x －2y]＝3x(x －y)3.4.(1)原式＝(x －5)(x ＋5)．(2)原式＝(x ＋y －3)2.5.(1)原式＝3a(x 2＋2xy ＋y 2)＝3a(x ＋y)2.(2)原式＝a(x ＋y)(a 2－b 2)＝a(x ＋y)(a ＋b)(a －b)．(3)原式＝(3a －3b ＋a ＋b)(3a －3b －a －b)＝(4a －2b)(2a －4b)＝4(2a －b)(a －2b)．6.原式＝(1＋a ＋a 2)＋a 3(1＋a ＋a 2)＋a 6(1＋a ＋a 2)＝(1＋a ＋a 2)(1＋a 3＋a 6)，因为a 2＋a ＋1＝0，所以原式＝0×(1＋a 3＋a 6)＝0.7.(1)原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－12)＝123 4567892－123 456 7892＋12＝1.(2)原式＝(10－9)(10＋9)＋(8－7)(8＋7)＋…＋(4－3)(4＋3)＋(2－1)(2＋1)＝10＋9＋8＋7＋…＋2＋1＝55. 整合集训1．D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.D 7.B 8.A 9.2(a ＋b) 10.25 5 11.1212.5x(x －1)2 13.(1)原式＝6ab(2a －3b －4a 2b 2)．(2)原式＝a(a 2－9)＝a(a ＋3)(a －3)．(3)原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy ＝x 2－16y 2＝(x ＋4y)(x －4y)．(4)原式＝16(a －b)2－24(a －b)(a ＋b)＋9(a ＋b)2＝[4(a －b)－3(a ＋b)]2＝(a －7b)2.14.原式＝3198×32－4×3×3198＋10×3198＝3198×(9－12＋10)＝3198×7.所以3200－4×3199＋10×3198能被7整除．15．原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab(a ＋b)2.当a ＋b ＝2，ab ＝2时，原式＝12×2×4＝4. 16.(1)原式＝999×(999＋1)＝999×1 000＝999 000.(2)原式＝(685－315)×(685＋315)＝370×1 000＝370 000.17.(1)由已知得(a 2＋ka ＋25)为一个平方项，则k 可能取的值有±10.(2)令k ＝10，则原多项式可化为(a ＋5)2－b 2，则因式分解得(a ＋5＋b)(a ＋5－b)．18.a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2ac －2bc)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)]＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2]≥0. 所以a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．。
2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解》单元测试题及参考答案二.doc
新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册单元综合检测（三）第3章(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.下列从左到右的变形,哪一个是因式分解( )A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.x2-y2+4y-4=(x+y)(x-y)+4(y-1)C.(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2D.x2+5x+4=x错误!未找到引用源。
2.若(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·A,则A表示的多项式是( )A.m2+n2B.m2-mn+n2C.m2-3mn+n2D.m2+mn+n23.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-x2+y2B.x2-(-y)2C.-m2-n2D.4m2-错误!未找到引用源。
n24.(2013·西双版纳州中考)因式分解x3-2x2+x正确的是( )A.(x-1)2B.x(x-1)2C.x(x2-2x+1)D.x(x+1)25.把代数式3x3-6x2y+3xy2因式分解,结果正确的是( )A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x2-2xy+y2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)26.若x-y=5,xy=6,则x2y-xy2的值为( )A.30B.35C.1D.以上都不对7.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是( )A.m=1,n=3B.m=1,n=-3C.m=-1,n=-3D.m=-1,n=3二、填空题(每小题5分,共25分)8.(2013·绵阳中考)因式分解:x2y4-x4y2= .9.(2013·菏泽中考)因式分解:3a2-12ab+12b2= .10.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=6,则x-y-z= .11.(2013·威海中考)因式分解:-3x2+2x-错误!未找到引用源。
= .12.(2013·杭州中考)32×3.14+3×(-9.42)= .三、解答题(共47分)13.(10分)因式分解:(1)25x2-16y2.(2)(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y).(3)a2-4ab+4b2.(4)4+12(x-y)+9(x-y)2.14.(12分)利用因式分解进行计算:(1)3.46×14.7+0.54×14.7-29.4.(2)9×1.22-16×1.42.15.(12分)观察猜想:如图,大长方形是由四个小长方形拼成的,根据此图可得x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x+p)(x+q).事实上,我们也可以用如下方法进行变形:x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).于是我们可利用上面的方法进行多项式的因式分解.例:把x2+3x+2因式分解.解:x2+3x+2=x2+(2+1)x+2×1=(x+2)(x+1).请利用上述方法将下列多项式因式分解:(1)x2+7x+12.(2)x4-13x2+36.16.(13分)先请阅读下列题目和解答过程:“已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状. 解:因为a2c2-b2c2=a4-b4①,所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)②,所以c2=a2+b2③,所以△ABC是直角三角形④.”请解答下列问题:(1)上列解答过程,从第几步到第几步出现错误?(2)简要分析出现错误的原因.(3)写出正确的解答过程.答案解析1.【解析】选C.A,B中最后结果不是乘积的形式,不属于因式分解;C中(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2,是运用完全平方公式进行的因式分解;D中不是在整式范围内进行的分解,不属于因式分解.2.【解析】选 D.因为(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·[(m+n)2-mn]=(m+n)·(m2+2mn+n2-mn)= (m+n)·(m2+mn+n2)=(m+n)·A,所以A表示的多项式是m2+mn+n2.3.【解析】选C.A中-x2+y2,两平方项符号相反,可以用平方差公式,正确;B 中x2-(-y)2=x2-y2,两平方项符号相反,可以用平方差公式,正确;C中-m2-n2=-(m2+n2),两平方项符号相同,故本选项错误;D中4m2-错误!未找到引用源。
湘教版七年级下册数学第3章 因式分解含答案(含解析)
湘教版七年级下册数学第3章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知能运用完全平方公式分解因式，则的值为（）A.12B.C.24D.2、将多项式x3﹣xy2分解因式，结果正确的是（）A.x（x 2﹣y 2）B.x（x﹣y）2C.x（x+y）2D.x（x+y）（x ﹣y）3、计算：22014﹣（﹣2）2015的结果是（）A. B. C.﹣ D.3×4、下列因式分解正确的是（）A.x 2﹣4=（x+4）（x﹣4）B.x 2+2x+1=x（x+2）+1C.3mx﹣6my=3m （x﹣6y）D.2x+4=2（x+2）5、下列多项式① ；② ；③ ;④可以进行因式分解的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6、下列各式变形中，是因式分解的是（）A. B. C.D.7、下列变形属于因式分解的是（）A. B. C.D.8、下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )A. B. C.D.9、多项式与多项式的公因式是（）A. B. C. D.10、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A.（a+3）（a﹣3）=a 2﹣9B.C.a 2﹣4a ﹣5=a（a﹣4）﹣5D.a 2﹣b 2=（a+b）（a﹣b）11、下列因式分解错误的是（）A. B. C.D.12、多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是( )A.m+2B.m﹣2C.m+4D.m﹣413、下列由左边到右边的变形中，因式分解正确的是（）A.x 2＋3x－4=x(x＋3)B.x 2－4＋3x=(x＋2)(x－2)C.x 2－4=(x＋2)(x－2) D.x 2－2xy＋4y 2=(x－y) 214、下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A.（x+1）（x-1）＝x 2-1B.x 2-2x+1＝x（x-2）+1C.a（x-y）=ax-ay D.x 2+2x+1＝（x+1）215、多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）A.3x 2yB.3xy 2C.3x 2y 2D.3x 3y 3二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：4a2－b2＝________.17、将多项式xy2-16x因式分解；其结果是________．18、多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是________．19、多项式12b3﹣8b2+4b的公因式是________．20、因式分解：3x2-12=________。
黑田铺中学湘教版七年级数学下册因式分解单元测试卷
七年级数学《因式分解》单元测试题 姓名：一、填空题1、222642abc ab c ac -+的公因式是 ；113(1)5(1)44x x x x +-+的公因式是 2、多项式42+-kx x 是一个完全平方式，则k = .3、++x x 412 =2)81(+x ， 4、已知：︱b a -︳=1，则=+-222b ab a .5、已知：21=+x x ，则=+221xx ； 6、分解因式： =+-962x x ； 3a 2-12ab+12b 2= . -3x 2+2x-= .=++-y x y x 22 . 25x 2-16y 2=9、方程230x x +=的解有两个，1x = , 2x =10、若2a b +=，1ab =，则=+22b a .的平方差是 的倍数（填自然数）13、多项式224y x -与2244y xy x ++的公因式是14、若x+y+z=2,x 2-(y+z)2=6,则x-y-z= .二、选择题1.下列从左到右的变形,哪一个是因式分解( )A.(a+b)(a-b)=a 2-b 2B.x 2-y 2+4y-4=(x+y)(x-y)+4(y-1)C.(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2D.x 2+5x+4=x2.若(m+n)3-mn(m+n)=(m+n)·A,则A 表示的多项式是( )A.m 2+n 2B.m 2-mn+n 2C.m 2-3mn+n 2D.m 2+mn+n 23.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-x 2+y 2B.x 2-(-y)2C.-m 2-n 2D.4m 2-n 24.(2013·西双版纳州中考)因式分解x 3-2x 2+x 正确的是( )A.(x-1)2B.x(x-1)2C.x(x 2-2x+1)D.x(x+1)25.把代数式3x 3-6x 2y+3xy 2因式分解,结果正确的是( )A.x(3x+y)(x-3y)B.3x(x 2-2xy+y 2)C.x(3x-y)2D.3x(x-y)26.若x-y=5,xy=6,则x 2y-xy 2的值为( )A.30B.35C.1D.以上都不对 7.满足m 2+n 2+2m-6n+10=0的是( )A.m=1,n=3B.m=1,n=-3C.m=-1,n=-3D.m=-1,n=3三、因式分解 ①2241y x - ②a b b a 334- ③412+-x x④2()()a b b a --- ⑤2244y xy x +- ⑥1)2(22-+-y xy x四、用因式分解进行简便计算① 100.799.3⨯ ② 222013402620142014-⨯+四、已知：3,1a b x y +=-=，求222a ab b x y ++-+的值（8分）。
湘教版七年级数学下册期末复习：专题03 因式分解(含答案及解析)
专题03因式分解2020-2021学年七年级数学下册期末复习精选精炼练（湘教版）一、单选题1．下列选项从左到右变形是因式分解的是（ ）A ．2(2)(2)4a a a +-=-B ．24(2)(2)a a a -=+-C ．2(1)(2)2a a a a +-=--D ．23(1)3x x x x --=--【答案】B【分析】根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，进行作答即可．【详解】解：A 、2(2)(2)4a a a +-=-是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；B 、24(2)(2)a a a -=+-右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；C 、2(1)(2)2a a a a +-=--是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；D 、23(1)3x x x x --=--右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； 故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义与形式． 2．若因式分解()()231x ax x x b +-=-+，则a 的值是（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．4【答案】C【分析】 根据因式分解的定义可直接进行求解．【详解】解：由()()231x ax x x b +-=-+可得：()2231x ax x b x b +-=+--， ∴1,3a b b =-=，∴2a =；故选C ．【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键．3．多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是（ ）A ．2(3)x x y +B ．(3)x x y +C ．(3)xy x y +D ．(3)x x y -【答案】B【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．【详解】解：∴322+6+9x x y xy ()2269x x xy y =++()23x x y =+， 339x y xy -()229xy x y =-()()33xy x y x y =+-，∴多项式322+6+9x x y xy 与339x y xy -的公因式是(3)x x y +．故选：B ．【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键．4．4x 2y 和6xy 3的公因式是（ ）A ．2xyB ．3xyC ．2x 2yD ．3xy 3【答案】A【分析】提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．【详解】24x y 和36xy 的公因式是2xy ，故选：A ．【点睛】本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．5．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．21x +B ．21x --C ．21x -+D ．2(1)1x +- 【答案】C【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可．【详解】解：A 、是x 2与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；B 、两项的符号相同，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；C 、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确；D 、去括号后结果为x 2，不是二项式，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．6．下列运算正确的是（ ）A ．23235m m m +=B ．32m m m ÷=C ．()326m m m ⋅=D ．()()22m n n m n m --=-【答案】B【分析】根据同类项的定义，幂的运算法则以及完全平方式逐项计算即可判断．【详解】A. 2m 和23m 不是同类项不能合并．故该选项错误，不符合题意．B. 3232m m m m -÷==．故该选项正确，符合题意．C. ()32236167m m m m m m m m ⨯+⋅=⋅=⋅==．故该选项错误，不符合题意．D. ()()()2222m n n m m n m mn n --=--=-+-．故该选项错误，不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查同类项的定义，幂的运算法则以及完全平方式．熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 7．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-； ③()23242x x x +-=+； ④22111142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭． 其中因式分解正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：①()()2422x x x -=-+，此项错误； ②()()2111x x x -+=+-，此项正确； ③()23242x x x +-≠+，此项错误； ④22111142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，此项正确． 故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．二、填空题8．分解因式：26a a -=__________；【答案】(6)a a -【分析】找出公因式，直接提取分解因式即可．【详解】解：a 2-6a =a （a -6）．故答案为：a （a -6）．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．9．若224x y -=-，则236x y -+的值为________．．【答案】12【分析】先将236x y -+提取公因式再整体代入求解即可．【详解】∴223632x y x y -+=--（）且224x y -=- ，∴2363412x y -+=-⨯-=（），故答案为：12．【点睛】此题考查代数式求值，利用提取公因式法因式分解再整体代入求解，难度一般．10．分解因式：a 2﹣4＝_____________．【答案】（a +2）（a ﹣2）．【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可；【详解】a 2﹣4＝(a +2)(a ﹣2)．故答案为：(a +2)(a ﹣2)．【点睛】本题考查了平方差公式进行因式分解，正确掌握知识点是解题的关键；11．分解因式：2363x x ++=__________．【答案】()231x +【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，即可得到答案．【详解】解：2363x x ++， ()2321x x =++，()231x =+．故答案为：()231x +．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法进行分解因式，正确运用分解因式的方法是解题关键． 12．分解因式：a 3－4a 2＋4a ＝_________．【答案】a (a －2)2【分析】先提公因式，再运用完全平方公式．【详解】解：原式2(44)a a a =-+ 2(2)a a =-．故答案为：2(2)a a -．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和因式分解的完全平方公式是解决本题的关键．13．若3ab =，1a b +=-，则代数式22a b ab +的值等于__．【答案】-3【分析】直接提取公因式ab ，进而分解因式，把已知数据代入得出答案．【详解】解：∴ab =3，a +b =-1，a 2b +ab 2=ab （a +b ）=3×（-1）=-3．故答案为：-3．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，正确分解因式是解题关键．三、解答题14．因式分解（1）29x - （2）2(1)22x x --+【答案】（1）()()33x x +-；（2）()()13x x --【分析】（1）直接利用平方差分解因式得出答案；（2）将括号展开，合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【详解】解：（1）29x -=()()33x x +-；（2）2(1)22x x --+=21222x x x +--+=243x x -+=()()13x x --【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．15．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．如①和②：①ax by bx ay +++()()ax bx ay by =+++()()x a b y a b =+++()()a b x y =++②2221xy y x +-+()2221x xy y =++-()21x y =+-()()11x y x y =+++-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：22a a b b +--；（2）两个不相等的实数m ，n 满足2240m n +=．若26m m k -=，26n n k -=，求m n +和k 的值．【答案】（1）()()1a b a b -++；（2）6m n +=，2k =．【分析】（1）先分组得()22a b a b -+-，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知26m m k -=，26n n k -=两式相减得到22660m m n n --+=，左边分解后可得到6m n +=，再由已知26m m k -=，26n n k -=两式相加结合2240m n +=即可求得k 的值．【详解】解：（1）22a a b b +--()22a b a b =-+-()()()a b a b a b =+-+-()()1a b a b =-++；（2）∴26m m k -=，26n n k -=，两式相减得22660m m n n --+=，∴22660m n m n --+=，即()()()60m n m n m n +---=，因式分解得()()60m n m n -+-=，∴m n ≠，∴60m n +-=即6m n +=，∴26m m k -=，26n n k -=，两式相加得22662m m n n k -+-=，即()2262m n m n k +-+=， ∴2240m n +=，6m n +=，∴240664k =-⨯=，∴2k =．【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键． 16．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小矩形，且 m n >．（以上长度单位：cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以因式分解，请写出因式分解的结果；（2）若每块小矩形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为288cm ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m +2n ）（2m +n ）；（2）48cm【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m 2+5mn +2n 2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10cm 2，得出等式求出m +n ，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．【详解】解：（1）2m 2+5mn +2n 2可以因式分解为（m +2n ）（2m +n ）；故答案为：（m +2n ）（2m +n ）；（2）依题意得，2m 2+2n 2=88，mn =10，∴m 2+n 2=44，∴（m +n ）2=m 2+2mn +n 2，∴（m +n ）2=44+20=64，∴m +n ＞0，∴m +n =8，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m +6n =6（m +n ）=48cm ．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．17．先化简：22121(1)24x x x x ++-÷+-，再从不等式216x --<的负整数解中选一个适当的数代入求值． 【答案】21x x -+；x 取-3，原式值为52． 【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数，即分式不为零的值，即可解题．【详解】 解：22121(1)24x x x x ++-÷+- 22214221x x x x x +--=⨯+++ 21(2)(2)2(1)x x x x x ++-=⨯++ 21x x -=+ 216x --<72x ∴>-72x ∴>-的负整数解有：-3，-2，-1， 2,1x x ≠-≠-3x ∴=- 原式21x x -=+ 3231--=-+ 52=． 【点睛】本题考查分式的混合运算、分式的化简求值，涉及完全平方公式、平方差公式进行因式分解，解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：23111111111111;;()333623231535235-==-==-==-⨯⨯等． （问题解决）利用上述材料中的方法，解决下列问题：（1）求111111261220342380++++++的值； （2）求11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+的值； （3）求211111315356341n +++++-的值． 【答案】（1）1920；（2）22n n +；（3）21n n +． 【分析】 （1）根据题目中的式子特点，先分解，然后裂项，再计算即可解答本题； （2）先提出12，然后裂项计算即可解答本题； （3）根据题目中式子的特点，先裂项，然后计算即可解答本题．【详解】解：（1）111111261220342380++++++＝111223+⨯⨯+134⨯+…+1118191920+⨯⨯ ＝1﹣1111122334+-+-+…+111118191920-+- ＝1﹣120＝1920； （2）11111141224402(1)2(1)n n n n ++++++-+ ＝12×[1112612+++…+1n(n 1)+] ＝12×[111223+⨯⨯+134⨯+…+1n(n 1)+] ＝12×（1﹣1111122334+-+-+…+111n n -+） ＝12×（1﹣11n +） ＝12×111n n +-+ ＝22n n +； （3）211111315356341n +++++-＝111335+⨯⨯+157⨯+…+1(21)(21)n n -+ ＝12×（1﹣1111133557+-+-+…+112121n n --+） ＝12×（1﹣121n +） ＝12×221n n + ＝21n n +． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．。
湘教版七年级下册数学第3章 因式分解含答案
湘教版七年级下册数学第3章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、把代数式分解因式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.2、下列各式，分解因式正确的是（）A.a 2﹣b 2=（a﹣b）2B.a 2﹣2ab+b 2=（a﹣b）2C.D.xy+xz+x=x（y+z）3、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A. B. C.D.4、若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）A.-1B.0C.1D.25、小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2， a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A.我爱美B.宜昌游C.爱我宜昌D.美我宜昌6、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.（x+1）（x﹣1）＝x 2﹣1B.x 2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）C.m 2﹣2m﹣3＝m（m﹣2）﹣3D.m（a+b+c）＝ma+mb+mc7、下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（）A. B. C. D.8、若a*b=a2+2ab，则x2*y所表示的代数式分解因式的结果是（）A.x 2（x 2+2y）B.x（x+2）C.y 2（y 2+2x）D.x 2（x 2﹣2y）9、计算：1252﹣50×125+252=（）A.100B.150C.10000D.2250010、下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（）A.a（4﹣y 2）=4a﹣ay 2B.﹣4x 2+12xy﹣9y 2=﹣（2x﹣3y）2C.x 2+3x﹣1=x（x+3）﹣1D.x 2+y 2=（x+y）2﹣2xy11、把代数式mx2-6mx+9m分解因式，下列结果中正确的是（）A.m（x+3）2B.m（x+3）（x-3）C.m（x-4）2D.m（x-3）212、多项式8m2n+2mn的公因式是（）A.2 mnB. mnC.2D.8 m2n13、把多项式x2-6x+9分解因式,结果正确的是( )A.(x-3) 2B.(x-9) 2C.(x+3)(x-3)D.(x+9)(x-9)14、下列变形是分解因式的是（）A. B. C.D.15、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A.x 2+x+1B.x 2+2x﹣1C.x 2﹣1D.x 2﹣6x+9二、填空题(共10题，共计30分)16、分解因式：x2－4x=________ ．17、分解因式：8（a2+1）﹣16a=________．18、因式分解：ax2﹣4axy+4ay2=________．19、分解因式4（a﹣b）+a2（b﹣a）的结果是________．20、因式分解:4x-x3=________.21、分解因式：________；22、分解因式：4m2﹣12mn+9n2=________．23、分解因式：ab2﹣a=________．24、在实数范围内因式分解：=________25、下列从左到右的变形中，是因式分解的有________．①24x2y=4x•6xy ；②（x+5）（x﹣5）=x2﹣25 ；③x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）；④9x2﹣6x+1=3x（3x﹣2）+1 ；⑤x2+1=x（x+）；⑥3x n+2+27x n=3x n（ x2+9）三、解答题(共5题，共计25分)26、因式分解：a2 (x − y) + b2 (y − x)27、分解因式：（1）ax﹣ay；（2）x2﹣y4；（3）﹣x2+4xy﹣4y2．28、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）a（x+y）=ax+ay（2）x2+2xy+y﹣1=x（x+2y）+（y+1）（y﹣1）（3）ax2﹣9a=a（x+3）（x﹣3）（4）x2+2+=（5）2a3=2a•a•a．29、已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是，求m、n的值．30、分解因式：3x2+6xy+3y2．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、B3、C4、B6、B7、C8、A9、C10、B11、D12、A13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、30、。
最新湘教版七年级数学下册第三章《因式分解》单元测试卷(带答案)
七年级数学下册第三章《因式分解》单元测试卷满分：150分考试用时：120分钟班级姓名得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A. a(x−y)=ax−ayB. a2−b2=(a+b)(a−b)C. x2+2x+1=x(x+2)+1D. (x+1)(x+3)=x2+4x+32.对于①x−3xy=x(1−3y)，②(x+3)(x−1)=x2+2x−3，从左到右的变形，表述正确的是()A. 都是因式分解B. 都是乘法运算C. ①是因式分解，②是乘法运算D. ①是乘法运算，②是因式分解3.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是A. x(x−2)=x2−2xB. (x+1)2=x2+2x+1C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x+2=x(1+2x)4.下列分解因式正确的一项是()A. x2−9=(x+3)(x−3)B. 2xy+4x=2(xy+2x)C. x2−2x−1=(x−1)2D. x2+y2=(x+y)25.下列因式不能整除多项式4x3y+4x2y2+xy3的是()A. xyB. 2x+yC. x2+2xyD. 2xy+y26.任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t(s、t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F(n)=p q.例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F(18)=36=12，给出下列关于F(n)的说法：①F(2)=12；②F(48)=13；③F(n2+n)=nn+1；④若n是一个完全平方数，则F(n)=1，其中正确说法的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 17.已知a−b=b−c=2，a2+b2+c2=1，则ab+bc+ac的值是()A. −22B. −11C. 7D. 118.已知正整数a,b,c满足a2−6b−3c+9=0，−6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为()．A. 424B. 430C. 441D. 4609.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4−b4+b2c2−a2c2=0，则△ABC的形状是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形10.计算20212−20202−2020的值为()A. 20202B. 2020C. 2021D. 2019二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.因式分解(a+b)(a+b−1)−a−b+1的结果为______．12.多项式9abc−6a2b2+12abc2各项的公因式是______．13.因式分解：xy2+2xy+x=______．14.长和宽分别是a，b的长方形的周长为16，面积为9，则a2b+ab2的值为____．15.阅读理解：对于x3−(n2+1)x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3−(n2+1)x+n=x3−n2x−x+n=x(x2−n2)−(x−n)=x(x−n)(x+n)−(x−n)=(x−n)(x2+nx−1)．理解运用：如果x3−(n2+1)x+n=0，那么(x−n)(x2+nx−1)=0，即有x−n=0或x2+nx−1=0，因此，方程x−n=0和x2+nx−1=0的所有解就是方程x3−(n2+1)x+n=0的解．解决问题：求方程x3−5x+2=0的解为______．16.已知a=12019+2018，b=12019+2019，c=12019+2020，则代数式a2+b2+c2−ab−bc−ac的值为______．17.若整式x2+my2(m为常数，且m≠0)能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是______(写一个即可)．18.若多项式x2+2(m−2)x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.（10分）分解因式：(1)−3x2+9xy+3x(2)12a3−12a2b+3ab220.（10分）利用因式分解计算：(1)3412−1592;(2)225−15×26+132;(3)99.92+19.98+1 10021.（10分）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：(1)a2b+ab2；(2)a2+b2+ab22.（10分）对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成(a+3)2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8=a2+6a+9−9+8=(a+3)2−1=[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：(1)x2−6x−16；(2)x2+2ax−3a2．23.（12分）阅读：平方差公式、完全平方公式的逆用，恒等变形和“整体代入”是解决数学问题的一种比较简洁的方法．例如：已知a+b=−4，ab=3，求a2+b2的值．解：∵a+b=−4，ab=3，∴a2+b2=(a+b)2−2ab=(−4)2−2×3=10请你根据上述解题思路解答下面问题：已知a−b=−6，ab=−8，求(1)a2+b2；(2)(a+b)(a2−b2)的值．24.（12分）已知A=2a−8，B=a2−4a+3，C=a2+10a−28．(1)求证：B−A>0，并指出A与B的大小关系；(2)阅读对B因式分解的方法：解：B=a2−4a+3=a2−4a+4−1=(a−2)2−1=(a−2+1)(a−2−1)=(a−1)(a−3)．用上述方法分解因式：x2−12x+32；25.（14分）若在一个三位自然数中，十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和，则称这个三位数为“特异数”.例如，在自然数132中，3=1+2，则132是“特异数”；在自然数462中，6=4+2，则462是“特异数”．(1)请直接写出最大的“特异数”和最小的“特异数”，并证明：任意一个“特异数”一定能被11整除；(2)若有“特异数”能同时被3和8整除，求出这样的“特异数”．答案1.B2.C3.C4.A5.C6.B7.B8.C9.D10.C11.(a+b−1)212.3ab13.x(y+1)214.7215.x=2或x=−1+√2或x=−1−√216.317.−118.7或−319.解：(1)原式=−3x(x−3y−1)；(2)原式=3a(4a2−4ab+b2)=3a(2a−b)2．20.解：(1)原式=(341+159)(341−159)=500×182=91000；(2)原式=152−15×13×2+132=(15−13)2=4．(3)原式=(100−110)2+(20−0.02)+1100=10000−2×100×110+1100+20−150+1100=10000−20+20−150+1100+1100=10000．21.解：(1)∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab(a+b)=70；(2)a2+b2=(a+b)2−2ab=72−2×10=29，∴a2+b2+ab=29+10=39．22.解：(1)x2−6x−16=x2−6x+9−9−16=(x−3)2−25=(x−3+5)(x−3−5)=(x+2)(x−8)；(2)x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2=(x+a)2−(2a)2=(x+a+2a)(x+a−2a)=(x+3a)(x−a)．23.解：(1)当a−b=−6，ab=−8时a2+b2=(a−b)2+2ab，=36−16=20．(2)原式=(a+b)2(a−b)=[(a−b)2+4ab](a−b)当a−b=−6，ab=−8时，原式=(36−32)×(−6)=−24．24.解：(1)∵A=2a−8，B=a2−4a+3，B−A=a2−4a+3−2a+8=a2−6a+11=(a−3)2+2>0，∴B>A；(2)x2−12x+32=x2−12x+36−4=(x−6)2−22=(x−6+2)(x−6−2)=(x−4)(x−8)；25.解：(1)最大的“特异数”是990；最小的“特异数”是110；证明：设任意一个“特异数”百位数字为a，个位数字为b，十位数字为a+b(其中b为整数且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤a+b≤9)，任意一个“特异数”可以表示为100a+10(a+b)+b=110a+11b=11(10a+b)，所以任意一个“特异数”一定能被11整除；∴最大的“特异数”是990；最小的“特异数”是110；(2)要使该数可以被3整除，则a+b+c为3的倍数，∵b=a+c，∴a+b+c=2b，∴b=3，6，9;∵100a+10b+c可以被8整除，当b=3时，有330，132，231，均不能被8整除，当b=6时，有660，561，165，462，264，363；264可以被8整除，当b=9时，有990，891，198，297，792，693，396，594，495；792可以被8整除，综上所述，这样的“特异数”有264，792．。
湘教版数学七年级下册第3章 因式分解 测试题
初中数学试卷第3章因式分解测试题（时间: 满分：120分）（班级：姓名：得分：）一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．下面从左到右的变形属于因式分解的是（）A．x+2y=（x+y）+y B．p（q+h）=pq+phC．4a2-4a+1=4a（a-1）+1 D．5x2y-10xy2=5xy（x-2y）2．将m2（a-2）+m（2-a）分解因式，正确的是（）A．（a-2）（m2-m） B．m（a-2）（m+1） C．m（a-2）（m-1） D．m（2-a）（m-1）3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2+4y2 B．x2-2y2+1 C．-x2+4y2 D．-x2-4y24．若多项式x2+mxy+9y2能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A．2 B．-4 C．±3 D．±65．对于任意整数a，多项式（3a+5）2-4都能（）A．被9整除 B．被a整除 C．被a+1整除 D．被a-1整除6．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是（）A．3 B．-3 C．1 D．-17．如图1，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2-ab的值为（）A．70 B．60 C．130 D．1408．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC图1的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形二、细心填一填（每小题4分，共32分）9．多项式6a2b-3ab2的公因式是__________.10．已知a=3，b-a=1，则a2-ab=____________.11．请你写一个能先提公因式，再运用公式法来分解因式的二项式：____________，写出分解因式的结果___________．12．将一块边长为a cm的正方形图片各边缩小相同的长度，若缩小后的正方形边长比原正方形少了2 cm（a＞2），则缩小后的图片面积减少了．13．图2有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片4张，边长为b的正方形卡片4张，若用这9张卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为____________.14．两个长方形的面积分别是9a2-4b2，9a2+12ab+4b2，它们有一边长相同，则这条相同的边的长为_________________.15．已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b=___________.16．观察填空：图3所示各块图形之和为a2+3ab+2b2，分解因式为________.三、耐心解一解（共64分）图3 17．（每小题4分，共12分）因式分解：（1）ax2-4ax+4a；（2）n2（m-2）-n（2-m）；（3）（x-1）（x-3）+1．18．（6分）先因式分解，再求值：已知a+b=5，ab=3，求a3b+2a2b2+ab3的值．19.（8分）给出三个多项式：①2x2+4x-4；②2x2+12x+4；③2x2-4x.请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．20.（8分）若n为自然数，求证：（4n+3）2-（2n+3）2能被24整除．21.（10分）请观察以下解题过程：分解因式：x4-6x2+1.解：x4-6x2+1=x4-2x2-4x2+1=（x4-2x2+1）-4x2=（x2-1）2-（2x）2=（x2-1+2x）（x2-1-2x）.以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4-7a2+9．22.（10分）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）；（2）x2-y2-2y-1=x2-（y2+2y+1）=x2-（y+1）2=（x+y+1）（x-y-1）．试用上述方法分解因式：（1）a2+2ab+ac+bc+b2；（2）4-x2+4xy-4y2．23.（10分）有一系列等式：1×2×3×4+1=（12+3×1+1）2；2×3×4×5+1=（22+3×2+1）2；3×4×5×6+1=（32+3×3+1）2；4×5×6×7+1=（42+3×4+1）2；（1）根据你的观察，归纳，发现规律，写出9×10×11×12+1的结果；（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1的结果？（3）证明你的猜想．参考答案一、1．D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．C二、9．3ab 10．-3 11．答案不唯一，如a3-ab2 a（a+b）（a-b） 12．（4a-4）cm2 13．a+2b14．3a+2b 15．-31 16．（a+b）（a+2b）三、17．解：（1）原式=a（x2-4x+4）=a（x-2）2；（2）原式=n2（m-2）+n（m-2）=n（m-2）（n+1）；（3）原式=x2-4x+3+1=x2-4x+4=（x-2）2．18．解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2.将a+b=5，ab=3，代入原式=3×52=75．19. 解：①+②，得2x2+4x-4+2x2+12x+4=4x2+16x=4x（x+4）；①+③，得2x2+4x-4+2x2-4x=4x2-4=4（x+1）（x-1）；②+③，得2x2+12x+4+2x2-4x=4x2+8x+4=4（x2+2x+1）=4（x+1）2．20. 证明：（4n+3）2-（2n+3）2=[（4n+3）+（2n+3）][（4n+3）-（2n+3）]=2n（6n+6）=12n（n+1）. ∵ n为正整数，∴ n，n+1中必有一个是偶数.∴n（n+1）是2的倍数.∴ 12n（n+1）必是24的倍数，即（4n+3）2-（2n+3）2一定能被24整除．21. 解：a4-7a2+9=a4-6a2-a2+9=（a4-6a2+9）-a2=（a2-3）2-a2=（a2-3+a）（a2-3-a）．22. 解：（1）a2+2ab+ac+bc+b2=a2+2ab+b2+ac+bc=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）；（2）4-x2+4xy-4y2=4-（x2-4xy+4y2）=4-（x-2y）2=（2+x-2y）（2-x+2y）．23. 解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到9×10×11×12+1=（92+3×9+1）2=1092；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2；（3）证明：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．。
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类比归纳专题：因式分解的方法
◆类型一一步(提公因式或套公式)
1．(自贡中考)多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)
C．a (a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
2．把下列多项式因式分解：
(1)(台州中考)x2－6x＋9；
(2)(a－b)2－4b2.
◆类型二两步(先提后套或需多次分解)
3．(常德澧县期末)把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是( ) A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)
C．y(x－y)2D．y(x＋y)2
4．因式分解：【易错6】
(1)2a3－8a2＋8a；
(2)(邵阳县校级期中)16x4－81y4；
(3)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.
◆*类型三特殊的因式分解法
5．阅读下列材料并解答问题：
将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：
am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．
(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝____________＝____________________；
(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.
6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
(1)分解因式：x2＋7x－18＝________________；【方法12】
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________．
7．阅读：分解因式x2＋2x－3.
解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x ＋3)(x－1)．
上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：
(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.
参考答案与解析
1．A
2．解：(1)原式＝(x－3)2.
(2)原式＝(a－b－2b)(a－b＋2b)＝(a－3b)(a＋b)．
3．C
4．解：(1)原式＝2a(a2－4a＋4)＝2a(a－2)2.
(2)原式＝(4x2＋9y2)(4x2－9y2)＝(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．
(3)原式＝(y2－1－3)2＝(y＋2)2(y－2)2.
5．解：(1)x2－(y＋1)2(x＋y＋1)(x－y－1)
(2)原式＝(a2－2ab＋b2)－(ac－bc)＝(a－b)2－c(a－b)＝(a－b)(a－b－c)．
6．解：(1)(x＋9)(x－2)
(2)7，－7，2，－2 解析：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值分别是－8＋1＝－7；－1＋8＝7；－2＋4＝2；－4＋2＝－2.
7．解：(1)原式＝x2－4x＋4－4＋3＝(x2－4x＋4)－1＝(x－2)2－1＝(x－2＋1)(x－2－1)＝(x－1)(x－3)．
(2)原式＝4x2＋12x＋9－9－7＝(4x2＋12x＋9)－16＝(2x＋3)2－16＝(2x＋3＋4)(2x＋3－4)＝(2x＋7)(2x－1)．。