圆中的计算问题 华东师大
【全版】数学九年级下华东师大版圆中的计算问题课件推荐PPT
使MN=CM，
。
连结CN.△CMN是等边三角形， MA=NB，
△△MMAA？C≌△NBC？，
.
AC=BC， ∠MAC=∠NBC，B
。C
∠AMC=∠BNC，
MN
∠AMC∠=6C0M°N，=∠BAC=60°，
∠BNC=60°， △CMN是等边三角形，
8
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
A
∠AMB=60°，
。
MEM=BM=BE连=BB结，EB，E.
E
△△MMBB？C≌△EBA？， BC=BA， ∠BCM=∠BAMB，
CM=AE，
。C
M
16
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法5：在AM上截取AE=MC，连结BE.
.
B
60°。C
M
6
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
求证：MA = MB+MC.
分析： 把已知条件及可得结论
. ∠BAC=60°，A 。
标在图上：
把能表示的60°角 用圆弧表示：
.
B
。C
M
7
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
求证：MA = MB+MC.
. 分析1：补短延法长BM到N， ∠BAC=60°，A
∴MA=TA.
B
。C
∵∠AMC=∠ABC=60°， M
∴MA=MT=AT， ∴MA=MB+MC. 13
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
求证：MA = MB+MC.
华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》教学设计
华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》教学设计一. 教材分析《圆中的计算问题》这一节内容，主要让学生掌握与圆有关的一些计算公式和方法。
在本节课中，学生需要学习圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式，并能灵活运用这些公式解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握这些计算方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的计算问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的讲解和辅导。
三. 教学目标1.理解圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式。
2.能够运用这些计算公式解决实际问题。
3.提高学生的计算能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.圆的周长和面积的计算公式。
2.弧长和扇形的面积的计算公式。
3.如何运用这些公式解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解和掌握圆的计算公式和方法。
2.例题解析法：通过分析例题，让学生学会如何运用计算公式解决实际问题。
3.练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高计算能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆的计算公式和例题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，供学生课堂练习和课后巩固。
3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书和展示解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾平面几何中与圆有关的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示圆的周长、圆的面积、弧长和扇形的面积等计算公式，并简要讲解公式的推导过程。
3.操练（20分钟）教师给出一些例题，让学生运用所学知识解决问题。
学生在课堂上独立完成，教师进行讲解和辅导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生巩固所学知识。
学生在课堂上独立完成，教师进行讲解和辅导。
初三下数学课件(华东师大)-圆中的计算问题
︵ 解析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
答案：R＝40mm，n＝110°，∴A︵B的长＝n1π8R0 ＝1101×8040π ≈76.8(mm)，圆心角为60°的扇形的 半径为10厘米，求这个扇形的面积和 周长．(π≈3.14)
轨的长度吗？(精确到0.01米)如果圆心角是任意的角
度，如何计算它所对的弧长呢？
【解】铁轨的长度 l＝2×π4×100＝50π≈157.08 米
【探究】设圆的半径为r，
1．圆的周长可以看作________度的圆心角所对的弧长．
2．1°的圆心角所对的弧长是________，
2°的圆心角所对的弧长是________，
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的
长度。
解：l n 2r nr
360
180
= 50 cm
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
扇形：
定义：如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形．
提问：
1.将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇 形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关．圆 心角越大，扇形的面积也越大．怎样计算圆心角为n° 的扇形面积呢？ 2.我们知道，如果设圆的面积为S，圆的半径为r，那么 圆面积的计算公式为S＝πr2，半径为r的扇形的面积与半 径为r的圆的面积有没有关系呢？圆心角为1°的扇形面 积以及圆心角为n°的扇形面积分别是圆面积的几分之 几？
结论：
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么
扇形的面积为： S nr 2 nr r 1 lr
华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》说课稿
华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》这一节主要讲述了圆中的计算问题，包括弧长、扇形的面积等计算。
这部分内容是圆的基础知识的进一步拓展，对于学生来说，掌握这部分内容对于理解圆的性质和解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对圆的概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆中的计算问题，他们可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以引导学生理解圆中的计算问题为主线，通过实例分析和练习，帮助学生掌握计算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积等计算方法。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习圆的性质和计算问题的兴趣，培养学生的耐心和细心。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法。
2.教学难点：如何引导学生理解圆中的计算问题，并能够运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法和练习法，引导学生主动探究圆中的计算问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和板书，生动形象地展示圆中的计算问题。
六. 说教学过程1.导入：通过复习平面几何的基本知识，引导学生回顾圆的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.新课讲解：讲解圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法，并结合实例进行分析。
3.课堂练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。
4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：1.圆中的计算问题–弧长计算公式：弧长 = 半径 × 圆心角–扇形面积计算公式：扇形面积 = 1/2 × 半径² × 圆心角2.实例分析–通过具体的实例，展示弧长和扇形面积的计算过程。
九年级数学 圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学 圆中的计算问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§28.3 圆中的计算问题二. 重点、难点： 1. 重点：⑴弧长和扇形的面积； ⑵圆锥的侧面积和全面积 2. 难点：弧长和扇形面积公式的推导三. 知识梳理：（一）弧长和扇形的面积 1. 弧长的计算公式如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为：2360180n n rl r ππ=⋅=． 2. 扇形的面积公式如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形面积为213602n r S S lr π==或 说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．⑵在应用弧长公式180n rl π=或扇形面积公式2360n r S π=进行计算时，要注意公式中的n的意义，n 表示1°的圆心角的倍数，因此不带单位．⑶扇形的另一个面积公式12S lr =与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．（二）圆锥的侧面积和全面积如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．说明：⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．⑵若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇形的面积，122r l rl ππ⋅⋅=Ｓ＝；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是2rl r ππ+．另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角．【典型例题】例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转到ADEF 的位置，则顶点C 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 16 ；B. 162 ；C. 8π ；D. 42π分析：在旋转过程中，AC 的长度保持不变，所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长是以A 为圆心，AC 长为半径的90°的弧长，因为AC ＝82，所以，ππ241802890=⋅⋅=l ，故选D ．例2. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）A. 2π；B.π；C.32π ； D. 21π分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B ．例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ．分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形CAB 的弧长，再利用弧长公式2360180n n rl r ππ=⋅=即可求扇形的圆心角的度数． 解：∵圆锥底面圆的半径是8，∴BC l r C ==⋅=ππ162 ∵母线长为15∵180Rn l BC ⌒π=∴1801516⋅=ππn 192=n∴圆心角的度数为192°．例4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为17cm ，则贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）分析：扇形面积公式有两个，一是2360n r S π=，另一个是12S lr =，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积：2212025120(2517)360360ππ⋅⋅⋅⋅--＝187π（cm 2）．例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A. R ＝2rB. R ＝94r C. R ＝3r D. R ＝4r分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr ＝90180πR∴R ＝4r ∴答案选D例6. 如图所示，半径是10cm 的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．解：如答图中的甲、乙图，∵n ＝360°－120°＝240°，R ＝10cm ，如图（甲）所示，24010401801803OAmB n r l πππ⨯===扇形（cm ） 如图乙中连结O ′P ，则O ′P ⊥CD ，设⊙O ′半径为r ， ∵'',2OAmB O O C l C r π==扇形，∴4023r ππ=，∴r ＝203（cm ） ∴ O ′P ＝22'22201010533PD O D ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭（cm ）例7. 已知矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径作41圆弧交AD 于F ，交BA 的延长线于E ，求阴影部分面积．分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF ，ABF BFE S S S △扇形阴-=解：连结BF∵BC ＝2，F 点在以B 为圆心，BC 为半径的圆上 ∴BF ＝2∵矩形ABCD ，AB ＝1，BF ＝2 ∴∠ABF ＝60° ∴ππ323602602=⋅⋅=BFES 扇形3BA BF AF ,BAF Rt 22=-=∆中231321=⨯⨯=ABF S △∴ABF BFE S S S △扇形阴-= ＝2cm )2332(-π 答：阴影部分面积为2cm )2332(-π．例8. 如图已知圆锥的底面半径r ＝10cm ，母线长为40cm ．⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；⑵若一只甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B ，它所走的最短路程是多少？SAB分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA 展开，如图 则⋂'AA 的长为2πr ＝20π，SA ＝40 所以20π＝40180n π⋅所以n ＝90°所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°S 表面＝S 侧＋S 底＝29040360π⋅＋π·102＝500π（cm 2）⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B 所走的最短路程是线段AB 的长在Rt △ASB 中，∠ASB ＝90°，SA ＝40，SB ＝20所以AB ＝22SA ＋SB ＝205cm答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π2cm ，甲虫所走的最短路程长205cm ．例9. 如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个封闭图形的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A. P ＝Q ；B. P ＞Q ；C. P ＜Q ；D. 无法确定．分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为M ，再设OA ＝2r ，由图形可得M ＋Q ＝221r ⋅π，2M ＋P ＋Q ＝2r ⋅π，解得P ＝Q ，故选A ．[方法探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．例10. 如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？解析：由题意要求圆弧BF 的长，只要求得圆心角∠BAF 的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC 置于一个直角三角形中来计算其度数．过点B 作BE ⊥地面于点E ，作BG ⊥AD 于点G ，则有GD ＝BE ＝2，又AD ＝AC ＋CD ＝3.5，所以AG ＝1.5，则在Rt ΔABG 中，AB ＝3，AG ＝1.5，所以∠BAC ＝60°，所以∠BAF ＝120°．则弧BF 的长＝1203180π⋅⋅＝2π≈6.3（米）．例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道BC 的长为86.96米，跑道的宽为1米（π＝3.14，结果精确到0.01米） ⑴求第一条跑道的弯道部分⋂AB 的半径；⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F 与圆心O 的连线FO 与OA 的夹角∠FOA 的度数．解析：⑴弯道的半圆周长为400286.962-⨯＝113.04（米），由圆周长L ＝2πr ，所以半圆弧线长'l r π=，则第一道弯道部分的半径r ＝'113.043.14l π=＝36.00（米）⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，即2π（r ＋1）－2πr ＝2π＝6.28（米）．⑶从第一道200米，是以A 点为始点，第六道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，即弧长为113.04米，又第六道弯道半圆的半径为41米， 由弧长与半圆、圆心角的关系得n ＝，所以∠FOA ＝180°°°．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240π2cm ，则扇形的半径是（ ）A. 6cmB. 21cmC. 24 cmD. 62 cm2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°3. 底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是（ ）A. 7. 5π2cmB. 12π2cmC. 15π2cmD. 24π2cm4. 扇形的半径OA ＝20cm ，∠AOB ＝135 ，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（ ）A. B. C. 15cm D. 30cm5. 如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（ ）A.12π2cm B.8π2cm C. 6π2cm D.4π2cm6. 一个圆锥的底面积是25π2cm ，母线长13cm ，则这个圆锥的侧面积是 ．7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________． 8. 如图所示，已知⊙1O 内切于扇形AOB ，切点为C 、D 、E ，⊙1O 的面积为16π，∠AOB ＝60°，求扇形AOB 的周长和面积．9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于A 、B 两点，测量结果为AB ＝30cm ， 求管道阴影部分的面积为多少？【试题答案】1. C2. C3. C4. B5. B6. 65π2cm7.12π8. 24π提示：连结O 1C ，OO 1并延长OO 1，则必过切点E ，设⊙O 1的半径为r ∴1O S 圆21,16r S O ππ==圆，∴216r ππ=，r ＝4， ∴O 1C ＝4， ∵OA ，OB 切圆1O 于C ，D ，∠AOB ＝60°， ∴∠AOE ＝30° ∵∠COO 1＝30°，O 1C ＝4，∴O 1O ＝8， ∴R ＝OE ＝OO 1＋O 1E ＝8＋4＝12 ∴24412242,41801260+=⨯+=+==⨯=⋂⋂ππππr l l lAOB OAB AOB扇形∴224360OABn R S ππ==扇形． 9. 解：设钢尺AB 与管道内圆相切于C 点，连结OC 、OA ，则OC ⊥AB ，设OC ＝r ，OA ＝R ，∵AB ＝30cm ，OC ⊥AB ，∴AC ＝152AB=， ∴222222()15225S OA OC R r AC ππππππ=⋅-⋅=-=⨯=⨯=阴影（cm 2）。
九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。
2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。
【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。
【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。
【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。
（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。
（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。
2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。
（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。
②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。
③注意二个公式的区别。
如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。
已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。
④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。
3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。
华东师大初中数学九下《27.3圆中的计算问题》word教案 (1)
27.3 实践与探索教材：华东师大版九年级下1.教学目标1）知识目标：①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；④能运用并合理解释二次函数模型。
2）能力目标：①数学思考能力：联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
②解决问题的能力：结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。
能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。
2.教学重点——建立并合理解释数学模型3.教学难点——实际问题数学化过程4.教学过程1）教学思路实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。
——体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
——合理解释相应的数学模型2）教学环节分析环节一：抛砖引玉，点明主旨环节二：自主探索，实践新知环节三：拓展转化，加深理解环节四：合作探索，学以致用环节五：反思小结，形成新知环节六：布置作业，巩固新知用活几1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？(x-2最大高度为－教榜样启发、同伴启发在三份获奖作品中任选一份，模仿问题计题。
反思和发表对本堂课时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m离开3)一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？让学生充分探究各种AE D学§27.3 二次函数的实践与探索 课堂卷例1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
九年级下册数学课件(华师版)圆中的计算问题
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
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圆柱的母线长 与高是相等的
S侧面积＝2 rl
四、练习
2、用一张面积为900平方厘米的正方形硬纸 片围成一个圆柱的侧面,则这个圆柱的底 面直径约为__9_._6_c_m__。(精确到0.1厘米)
圆
柱
的
圆柱底面的周长
高
生活中的圆锥
设置情境
如图，一只蚂蚁从底面圆周上一点B出发沿圆锥的 侧面爬行一周后回到点B，请你帮助它找到最短的 路线。
360
180
2
360
45
（3）圆心角是45°，占整个周角的___3_6_0____，因此它所对
的弧长_______； 45 • 2r 45 r 1 r
360
180 4
1
（4）圆心角是1°，占整个周角的____3_6_0____，因此它所对
的弧长_______；
1 • 2r 1 r
360
180
n
结论：
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么
扇形的面积为： S nr 2 nr r 1 lr
360 180 2 2
因此扇形面积的计算公式为
nr 2
S 360
或
S 1 lr 2
小试牛刀：
1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的面积
等于这个扇形所在圆的面积的____________；
探索
图 23.3.4
（是11）80°如的图扇，形圆面心积角是是圆18面0°积，的占__整__个__周_角__的；138600，因此圆心角
（2） 圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角 是90°的扇形面积是圆面积的________； （3） 圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角 是45°的扇形面积是圆面积的________； （4） 圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的_________； （5） 圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是 n°的扇形面积是圆面积的_________．
B’
A
B.
B
C
圆锥的再认识
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它 的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
高
连结圆锥顶点与底面圆心的线 段叫做圆锥的高
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一
ha
点的线段叫做圆锥的母线
母线 (母线有无数条,母线都是相等的 )
nR 2
3601 lR 2Fra bibliotek圆 柱
一．圆柱的直观特征
圆柱是由两个底面和一个 侧面围成的．
底面是两个等圆;
侧面是一个曲面, 可以展开铺在平面上。
两个底之间的距离 是圆柱体的高．
二、圆柱的侧面展开图
侧面展开图是__矩__形__.
矩形的两边圆与柱圆柱体 有何S关侧系=？c·h=2πrh
矩形的S一表边=长S等侧+于_2圆_S_柱__的__高___(_即__圆__柱__的__母__线__长__)_;
27.3 圆中的计算问题
（第1课时）
问题情景：
如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100 米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（π 取3.14 ）
分析：我们容易看出这段铁轨是圆周
长的四分之一，所以铁轨的长度 ≈ 23100 =157.0（米）.
4
图 23.3.1
问题探究
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆心角为n0， 如何计算它所对的弧长呢？
长度。
解：l n 2r nr
360
180
= 50 cm
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
扇形：
定义：如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形．
提问：
1.将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇 形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关．圆 心角越大，扇形的面积也越大．怎样计算圆心角为n° 的扇形面积呢？ 2.我们知道，如果设圆的面积为S，圆的半径为r，那么 圆面积的计算公式为S＝πr2，半径为r的扇形的面积与 半径为r的圆的面积有没有关系呢？圆心角为1°的扇形 面积以及圆心角为n°的扇形面积分别是圆面积的几分 之几？
长是圆柱的母线长;它的另一边长是圆柱的
底面圆周长。
2.圆柱的侧面积是母线与圆柱的底面圆周 长围成的矩形面积。
3.圆柱的全面积=侧面积+底面积
三、练习
S侧=2πrh
1.如果圆柱侧面积60πcm2，母线长为10cm， 则圆柱底面半径为_________r_＝.3cm
设圆柱底面半径为r， 则有60π＝2πr·10
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、900、450、 10、n0所对的弧长。
A
O
B
图 23.3.2
探索：
（1）圆心角是180°，占整个周角的180，因此它所对的弧长
_______； 180 • 2r r
360
360
（2）圆心角是90°，占整个周角的 90 ，因此它所对的弧长
_______； 90 • 2r 90 •r 1 r
另一边底是_底__面__圆__的__周__长____. 圆柱的侧面积应等于_底__面__圆__的__周__长__乘__以__圆__柱__的__高____.
圆柱的表面积是_上__下__两__底__面__圆_的__面__积__与__侧__面__面__积__之__和__.
回顾
圆柱侧面展开图
1.圆柱的侧面展开图是一个矩形,它的一边
（5）圆心角是n°，占整个周角的____3_6_0____，因此它所对
的弧长_______．
n • 2r n r
360
180
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长 的计算公式为：
l n 2r nr
360
180
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的
解：因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
S nr 2 60 3.14 10 2 =52.33(平方厘米)；
360
360
扇形的周长为
图 23.3.5
l
nr
180
2r
60 3.1410 180
20
＝30.47（厘米）。
27.3 圆中的计算问题
（第2课时）
回顾
nR
l 180
R
图S23扇.3形.2
2
2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆
心角的度数是_________°.
3
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是 _____________ ；
23
2s
答案：
36
240°，
r
例题讲解
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这 个扇形的面积和周长（π≈3.14）．