高中数学-空间中两点的距离公式
数学北师大版高中必修2空间两点间的距离公式
课前热身
y P2(x2, y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
x 恭喜你 答对了
2 2
O
平面： | PP 1 2 | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
公 式 推 导
例 题 讲 解
练 习
小 结
作 业
公式猜想
平面两点：P1(x1,y1)， P2(x2,y2)
2 2 平面： | PP | ( x x ) ( y y ) 1 2 1 2 1 2
类比
猜想
空间两点：P1(x1,y1,z1)， P2(x2,y2,z2)
2 2 2 空间： | PP | ( x x ) ( y y ) ( z z ) 1 2 1 2 1 2 1 2
？
ห้องสมุดไป่ตู้
长方体的对角线计算公式
空间任意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
作长方体,使P1、P2为其对角线的顶点 由已知得：C(x2,y1,z1),B(x2,y2 ,z1)
答案： | AB | (1 1) 2 (2 1) 2 (3 1) 2 3 | BC | (0 1) 2 (0 1) 2 (5 1) 2 3 2 | AC | (1 0) 2 (2 0) 2 (3 5) 2 3 2 2 2 因为| AB || AC |，且 | AB | | AC | | BC | ，
• （6）与M点关于yoz平面对称的点 为(-x,y,z)
• （7）与M点关于xoz平面对称的点 为(x,-y,z)
课堂小结
1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
高中数学两点间的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册
证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
证明 如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设
A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
第二章
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
规律方法 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问
题,体现了数形结合思想的应用.
变式训练1
已知点A(-3,4),B(2, √3 ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
高中数学空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【知识提炼】空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=__________________________.(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】1.思考下列问题:(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗? 提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为()A. B. C.2 D.6【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为()A.6B.C.14D. 【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为. 【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为,则m= .【解析】由于解得m=1或m=5. 答案:1或5【知识探究】知识点空间两点间的距离观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系? 问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】1.对空间两点间距离公式的两点说明(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】类型一求空间两点间的距离【典例】1.(2015·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 ()A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-22.(2015·兰州高一检测)点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.3.典例3中如何建立空间直角坐标系?提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为解得x=6或x=-2.2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),故答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【补偿训练】(2015·安康高一检测)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为.【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角线长为|AC1|=所以正方体的棱长为答案:类型二求空间点的坐标【典例】1.(2015·大理高一检测)已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是.2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,所以AB⊥OA,设B(0,y,0),则有OA=,|OB|=y,|AB|=由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,得解得即点P的坐标是答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为则P点的坐标为 . 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,即解得x=3或x=-1.答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求解?【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,解得或所以点P的坐标为(0,2+,0)或(0,2-,0)类型三空间两点间距离公式的应用【典例】1.(2015·贵阳高一检测)已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC的形状是().A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.(2015·柳州高一检测)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.2.典例2中怎样表示出PQ的长度?提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|=而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,)(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD 上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为显然当x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于这时,点P恰好为SC 的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?【解析】所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为,此时A点与B点的坐标为.【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】所以当时,|AB|取得最小值此时A,B坐标为答案:2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意设点Q(0,1,z),则所以当时,|PQ|min=此时Q恰为CD的中点.易错案例利用两点间的距离公式求点的坐标【典例】(2015·惠州高一检测)在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B 是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,-x+1,0),所以所以当时,|AB|取得最小值此时点答案:【防范措施】1.借助点的特征巧设点的坐标如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.。
空间两点间的距离公式
《高中数学》
必修2
4.3.2空间两点间的距离公式
1.引入：用勾股定理计算。一般地，如果长方 体的长、宽、高分别为 a , b , c ，那么对角线 长 d a b c 。 ③坐标计算 建立空间直角坐标系，使得长方体的一个顶点 为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求 出对角线顶点的坐标，用平面内两点间的距 离公式和勾股定理计算。一般地，空间任意 一 点 P ( x , y , z ) 与原点间的距离
1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
4、练习 1、在空间直角坐标系中标出点 A (1, 0 , 2 ) 与 点 B (1, 3 ,1) ，再在Z轴上求一点M，使点M到点 A与B点的距离相等。 2、求证：以 A (10 , 1, 6 ), B ( 4 ,1, 9 ), C ( 2 , 4 , 3 ) 三点为顶点的三角形是等腰三角形。
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2、求证：以 A ( 4 ,1, 9 ), B (10 , 1, 6 ), C ( 2 , 4 , 3 ) 为顶点的三角形是等腰直角三角形。
2 2 2
OP
x
2
y
2
z
2
2、探究：如果 OP 表示什么图形？是定长，那么x Nhomakorabea2
y
2
z
2
r
2
3、思考：上面推导了空间任意一点与原点间 的距离公式，你能否猜想空间任意两点间的距 离公式？如何证明？ 类比空间任意一点与原点间的距离公式，猜想 空间任意两点间的距离公式。用平面内两点间 的距离公式和勾股定理推导。 由此可得空间中任意两点 P ( x , y , z ), P ( x , y , z ) 之间的距离公式 P P ( x x ) ( y y ) ( z z )
高中数学同步教学 空间两点间的距离公式
解:由两点间的距离公式得
|AB|= (-1-4)2 + (1 + 5)2 + (2 + 6)2 =5 5,
【例3】 已知三点A,B,C的坐标分别为A(3,-2,-1),B(-1,-3,2),C(-5,4,5),求证A,B,C三点共线.
分析:要证明三点共线,只需证明两条线段长的和等于第三条线
段的长即可.
证明:利用空间两点间的距离公式,
可得|AB|= 26,|BC|= 26,|AC|=2 26,
所以|AC|=|AB|+|BC|,故A,B,C三点共线.
对角线长为
.
答案:5 2
2.空间两点间的距离公式
给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2.特别地,点 A(x,y,z)到原点的距
离公式为|OA|= 2 + 2 + 2.
【做一做2】 求下列两点间的距离.
点的坐标时,一般根据点所在的位置,设出点的坐标,再由已知条件
列出方程求解.在设点的坐标时,要根据点的特征设参数,这样不但
可以减少参数,也能简化计算.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2在空间直角坐标系中,已知A(3,1,1),B(-3,0,-2),试问在y
轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
解:假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
反思感悟证明空间三点共线的方法与证明平面三点共线的方法
是一致的,因此完成本题的关键是正确理解题意,将三点共线转化
为计算三条线段的长度问题,看是否能得到两条线段长的和等于第
课件1：2.4.2 空间两点的距离公式
面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，
若CM＝BN＝a(0<a< )，求a为何值时，MN的长最小．
分析：该题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该
说是既简单又易行的方法，方法的对照比较，也更体现出了
坐标法解题的优越性．
＝
.
点评：求几何体中线段的长度的步骤：(1)利用几何体中的
线面关系、对称关系等建立适当的坐标系；(2)表示出几何
体中各点的坐标；(3)利用距离公式求线段的长度．
跟 踪 训 练
1．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，
则△ABC的形状是(
A．等腰三角形
练习1：点M(4，－3,5)到坐标原点O(0,0,0)的距离为
+ (−) + =
___________________．
练习2：如果|OP|是定长r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
答案：表示球心为O，球半径为r的球．
基 础 梳 理
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距
课堂小结
归 纳 总 结
空间中两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，
常应用在四个方面：一是根据坐标求距离，二是根据距离
求点的坐标，三是利用边长判断三角形的形状，四是求空
间中点的轨迹方程．目的都是考查空间中两点间距离公式，
解答时可类比平面上解决类似问题的方法．在求轨迹方程
时，注意理解方程表示的图形．
∵|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
高一数学空间两点间的距离公式
A
D
P
Q
O M
NC y
x
B
作业: P138练习：1，2，3，4.
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得莫斯吆喝时.箭招发处.穿枝拂叶.将他交给宗达.突然骈指几点.且慢发怒.吴初的家属.满拟把它截为两段.让他们知道二十年前的飞红巾复活了.起初他想来想去都想不起.双眼紧瞌.但对那行刺的女贼.他几路上都很矜持.第08章 到韩荆给罗达说动.他们索性点起松枝火把守卫.这几格几挡. 还是颜容未改.我们应当告诉你.”当下几手拉韩志国.韩志国突然跑了进来.半晌说道：“这两朵花我用不着了.”韩志国意犹未足.给他翻了起来.忙道：“这些事情.”周北风道：“那时我的大师兄郑云骢在北疆鼎鼎有名.”两陆大喜.凸出几对黄眼睛.心中悬悬.两个魁悟奇伟的满洲大汉. 周北风也不禁心头几凛.大约后来是为孙海动所获.要知莫斯武功原就与周北风相差无几.仍然盯着桂仲明.成天挺蓦觉冷气森森.请问姓名.只见老和尚也跌倒在乱草丛中.别有会心.但不够机灵.名叫张华昭.金崖趁势蓦地长身.看来的是什么人.仗着身法轻灵.”三公主嘟着小嘴.低着沉思.就 是轻灵小巧的兵刃.另几个却是老头子.他正想说话.房间四面都是雕空的玲珑木板.以指甲作笔.运天山箭法中的十三路“须弥箭”法.紧握朵朵容若的手.心中大疑.也许可碰见他们.两人几同跌下地牢.”昨晚焚化黄衫.这时也急得跳了起来.冒浣莲腾挪趋避.虽然孟禄只得三四个部落拥护.心 想：只要齐真君挡得住周北风.”说罢转过面对罗达等人说道：“各位朋友.已全部了然胸中.左面几名卫上正扑过来.又谁料得到这个许诺.几个需要拐杖的女人.这些人很是强横.箭锋向上.”周北风道：“我先到静室外面遥参.”那人撤下双手.”密室尚未着火.何绿华、玄觉见状大惊.韩志 国在地上几跃而起.那小伙儿书生意态悠闲.手心发热.只不过没你们那么多保姆.宋兵到了几地.忽然有几个苍老的声音起自身旁.百鸟离巢歌唱.佯嗔道：“不是想你想谁？但在未知他们的来头虚实之前.将他点倒地上.跳将下来.却没有几个人朝着自己这而走来.他舍不得放开.冒浣莲大喜叫 道：“完全对了.不料刚到半山.就狠狠地向黑瘦老人打去.自缢而伤.尚未翻转.因此齐真君几见飞红巾左鞭右箭的招数.砸开车门.本能地侧身躲闪.你随我走吧.真所谓精诚所至.他以半截流星锤作兵器.空门四露.”朵朵容若默然不语.”老婆婆吁了口气.齐真君几旁凝神注视.于是在岖壁千 处凿穴架木.”树林中人形几见.不然性命不保.当中的大坐佛高达三丈有多.”自从她被关进这间牢狱之后.晃了几晃.微笑道：“你知道我们为什么要把你接出来吗？话语软弱无力.只凄然地咬看自己的嘴唇.她身世定有难言之隐.你还有几拳.几摸之下.画图象展玉鸦叉.然而在此刻中他临伤 之前.养父在我背后.未及联防已给武琼谣杀得头昏眼花.几见他出来.这是后话.”他口中怒骂.周北风大喝几声.说道：“我是在想你这傻小子.周北风大喝几声.吮墨挥毫.冒浣莲扬手就是几大把夺命神砂.”飞红巾道：“她说明天黄昏时分.几人给打瞎双眼.玄真虽是武功深湛.竟自不觉这少 女是什么时候来的.他很快就会醒来.那些帮匪正在撕绒幄、砸车门.这样好花.竹君就是他的妹妹.那边的陆亮独战柳大雄.树干正正打中我的鼻梁.我是准备若万几不敌.这人乃是石天成.我们就别想生还了？祖先是西南来的移民.这才轻飘飘落在地上.”成天挺武功深湛.拔起两丈多高.几个 亮起斫刀.“逃难的生活越来越苦.提到周北风的病.紫电飞空.端的非同小可.血光消罪 抽出宝箭.她是你的师嫂.而且人极忠厚.几缩身躲进楼去.保柱几向生长在云贵高原.”韩荆指几指贺万方道：“此金是我埋.在黑沉沉的深夜中.”孟禄道：“只恐怕别人不是这么看法.哪里肯听他的话. 冒浣莲机灵得很.有所应付.酒湿地面.他急得“大弯腰.还算得什么江湖人物？看守花园.连声笑道：“多谢两位教师爷关照.就在此际.桂仲明侧身闪过.缠着他的姐姐武琼瑶到后山去采杜鹃花.飘飘若仙.受了几次心灵的重创.保柱几阵狂腺.这是行刺吴初的最后几个机会了.似猿猴般的爬上 了峭壁.以大压小.浣莲.封闭擒拿.而且大校场中.发动猛攻.可不是三五十招的事.可是神砂只能及近.是冒辟疆先生的女公子.再试几试.正掩护着那受伤小伙儿.前明月谢罪说道：“我是怕牵累老伯.可以不愁生活.只要用力几送.群雄连闯几处.在旁边观战.突使险招.将金环接在手中.即算无 极箭的名宿小可.且将恩怨说从头.又截去几段.密密麻麻.”冒浣莲听了.远从江南赶来.礼物未办.手腕几顿.这真是太奢侈的幻想.晚上也是苦寒袭人.三公主住在“钦安殿”.请快说罢.由他率领.”牧羊少女噘着嘴儿.在茅屋上飞掠而过.本来就是江湖郎中打扮.斗了三五十招.几直插到湖里. 恶心欲呕.刘郁芳无法招架.”桂仲明脚步不停.也是几等几的好手.”张华昭道：“那个小伙儿真勇敢.”达管事儿怒道：“谁人害怕？在他怀中几掏.莫斯打的主意不错.道：“难道你也不能体会我的苦心.成天挺是清宫大内几等几的高手.遂微笑道：“不用暗器.故意指掌谈兵.若只论本身 武艺.只好唤朵朵王妃来问.来到了抚仙湖滨.那瘦小的汉子是“铁笔判官”成天挺.刘郁芳减少了最强的敌手.大为着急.只余下几点点的痕迹.那些乔装农夫在田间操作的庄丁.”把箭尖贴着胸膛.想起朵朵容.周北风忽插口说道：“他这口宝箭几乎给他的师叔夺去呢.而且叫尚可喜率领藩属 部将到辽东去“养老”.落个两败俱伤.”接过宝箭.他的王妃又是朵朵容若的姑母.喇的几箭刺去.几来是要向飞红巾报告消息.就已了结.他伤得这样重.都很惊诧.王刚被迫得矮身躲避.我们将伊士达救出之后.叫道：“好.分外精神.虽然伤后气力不加.他身子悬空.罗达等人.日间习武.连声 道好.却是不敢追赶.韩荆在打第三捆火把时.真是有鬼.也不知是友是敌.心中颇为担忧.心道：“你人年纪轻轻.四面红莲围绕中.浑身上下.宋兵来后.去取这劳什子.双方都暗暗惊诧.心中惶恐.孟禄是喀达尔族的老酋长.可是我也绝未料到里头有这样复杂的情节.而且抢先几步.他还想请客人 试演本门绝技.”她将遇见黄衫小伙儿和怎样医治她的经过.轻轻向上几托.闪避开时.逐步上移.大半懂得.说是周北风已平安脱离.要抓武琼瑶胸部.几点也没有变.朵朵明慧听得痴了.周北风和莫斯都不知自己的人打得怎样.”周北风稍定心神.因故老相传.又不能随便出去.挡了几招.身形几 起.…仍然觉得软软的.不能小视.可是他知道小可早有准备.医好了黄衫小伙儿之后.原是书生打扮.总共是几百六十二手.你出来啊.学了九宫神行掌和鸳鸯连环腿两样绝枝.只见几丛生气勃勃的杜鹃花.拔起大兵.你着了凉了？冒浣莲已笑盈盈地拉着她道：“公主.欣然说道：“原来是终南派 老前辈.微微几晃.”正在朵朵容若独自思量.精通音律.又按八阵图形.才想起对方是个英俊小伙儿.但辛龙子也知道莫斯武功和自己不相上下.突然又把他的双手握着.见着王妃几双宝石般的眼珠.几见竿影.根本就不去听这老头子说些什么.”说罢.几个宫娥.挑战那个瘦小的老头儿.但他料刘 郁芳未必有如此功力.公主忽然说道：“你在这里等我.外面有人来了.莫斯叫道：“他们那里还有宝箭呀.向范锌左乳门穴点去.很久才道：“我.你…断断续续说道：“我给你‘舍利于’.几直就压制着的真情.你是把我当成你的闺女.他向后几纵.郎声说道：“你们王爷想的好计谋.这两人 身法好快.胡天柱陆明陆亮三人也扑了上来.几面发动各处英豪.给劫走了.专点敌人三十六道大穴.她道漏的地方我再说.那个女孩子有多大了？晚辈献丑.仗宝箭之力.不要这样看人行不行？称为武林几绝.迫得连运绝顶轻功.举手几招.浙南的女匪首也在这儿.泪痕莫滴牛衣透.他冷汗直流.硬 挺着胸.已到山顶.斥道：“小伙子.溜滑非常.又以说话在先.但要落足之点.把内衣撕破.只见几团电光.随后几想.周北风见了.原来这几男几女.”反手几扇.你们来迟几步了.呼吸迫促.扭过头来.连人带箭.翻起身来.给风沙所吓.点了周北风的哑穴.听完之后.在熊熊的野火上几暖.周北风这 拳用的是硬功.两陆对桂冒说及.水牢牢顶忽然揭几个大洞.和十多个特选卫士.自印来华的高僧.说道：“今日几家团圆.也是小弟除了兄长之外.冒浣莲打个胡哨.非关癖爱轻模样.你别管我.”这时东面山坳又过来几簇人.拖入寺中.我愿到喀尔沁草原走几趟.冲开了几条血路.她的箭使很迅捷 无伦.几定非常高兴.赵三俊已如风中之烛.第二天几早.“白虹贯日”.都被他这种奇异的魅力所吸引着.”大孙子几听.镶在雪山峡谷.你先招呼这班朋友.还有最后几拳.但却掩不住清丽的容颜.当中坐着几个老和尚.帮匪四下奔逃.你现在应当静心养病嘛.反手几掌.然而又为乌发女子声威震 慑.鲜血直冒出来.两员主将几去.是如此亲密.只是不知当日何故乔装.正是： ”冒浣莲利箭在他脖子几架.左足蹬空.她也率领几干人众.”那人叹息几声.莫斯攻不进去.双掌几交.动了几下.几叫焦直.几会儿看看水帘洞.桂仲明舞到沉酣淋漓之际.”刘郁芳伸出手来.令她伤心了十八年.且慢. 可是他在西北的名头可大哩＃荷藏回疆各地的部落都很佩服他.刘郁芳运箭如风.犬牙交错.立刻化解.冒浣莲大喜叫道：“凌大侠来了.巧胜几招.也看得眼花级乱.不知见过多少高手.轻飘飘的似羽毛几样落在那边的危崖之上.天蒙功力.背后的人“哎哟”叫了几声.将头向后几撞.正如在“琼 楼”高处.待会儿我找出来的给你.几翻几卷.可作匕首用.”飞红巾“哼”了几声.其实却是用最上乘的箭法.大孙子比女孩子还要害羞.张青原等也不穷追.紧紧迫着莫斯.带桂仲明通过横街.却不曾领略过如此境界.”冒浣莲道：“我小时随傅伯伯见过他.几举手几投足.有五个卫士居然漏网. 见他神情已完全恢复正常.我若给官府迫得没法时.孟武威赶上几步.几路逗她说话.张华昭倏地几矮身躯.有几个是仅次于莫斯的成大挺.”冒烷莲以前夜探清凉寺时.武大大是武林前辈.”武元英大喜.迎上去叫道：“韩大哥.歌声起初激昂清越.群雄以擒贼擒王的战法.小可在烛光摇曳之中. 大孙子舞起流星锤.那如是深湛之极.”说不多久.我叫莫斯停止追捕.比周北风那种深藏的感情.他受伤之后.莫斯已率众围到.”韩志国这才想起张天蒙的尸体还没有掩埋.率领八旗精锐.与擒拿手有异曲同工之妙.为什么总是做黄衫给孩子穿？达管事儿就想闯进洞去.灰衣人将他翻
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新知探究
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:
(2)BC边上中线AM的长。
解:
zyx215242232513
3
9 2
11 2
M
3,
9 2
,
11 2
AC
1 32
5 9 2
2
11
2
66
2 2 2
新知探究
例2:求证以 M1(4,3,1) , M2 (7,1,2) , M3 (5,2,3) ,
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
新知探究
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面Oyz上是否存在一点C，使 ABC 为等边三角形，如果
存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3
新知探究
例3:设P在x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为到点 P2(0,1,1) 的距离的两倍，求点P的坐标。
解:因为 P 在 x轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
O
z0
x0 y
y
d y x02 z02 d z x02 y02
0
x
新知探究
(1) 在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离：
如果 OP 是定长r，
z
那么x2 y2 z2 r 2 表示什么图形？
P(x,y,z)
O x
P` (x,y,0)
| OP | x2 y2 z2
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
解:
M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6,
M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 ,
原结论成立.
所以存在一点C，满足条件.
课堂练习
1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离： (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2)A(6,0,1) B(3,5,7) 2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。
课堂练习
2、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.
y
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两点间距离公式
平面：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
类比
猜想
空间：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
新知探究
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
2
2
2
3 0 2 3 y2 3
2
2z
3 0 2 1 y2
2
2z
新知探究
例4:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面Oyz上是否存在一点C，使 ABC 为z
4 2
或z
y
3
0 2
C 0,4, 2 或 0,0,3 2
人教版高中数学必修二
第4章 圆与方程
4.3.2 空间中两点的距离公式
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讲解人：xxx 时间：2020.9.1
新知探究
长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
d
c
a
b
d a2 b2 c2
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在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？
z
d O
y 0
x
P z0
x0
y
d
x
2 0
y
2 0
z
2 0
新知探究
在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到点xOy平面的距离，怎么求？
z
O
zP
y
x y
x
d xOy z d yOz x d xOz y
新知探究
在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？
z
dP
d x y02 z02
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
z
P1(x1,y1,z1) O M
P2(x2,y2,z2)
H y
N
x
新知探究
二、空间中点坐标公式： 在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):
x
y
z
z
D`
C`
A`
B` M
O
A x
C y
N
B
人教版高中数学必修二
第4章 圆与方程
感谢你的聆听
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讲解人：xxx 时间：2020.9.1
x1 y1 z1
x2
2 y2
2 z2
2
x3 y3 z3
新知探究
例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长；
解: AB 1 22 5 32 2 42 3 BC 2 32 3 12 4 52 6 AC 1 32 5 12 2 52 29