高等数学第二章导数与微分(3)
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学教材答案农科类
高等数学教材答案农科类答案一：第一章微分学1. 函数与极限(1) 极限的概念(2) 无穷小量与无穷大量(3) 极限运算法则(4) 两个重要极限2. 导数与微分(1) 导数的概念(2) 导数的计算(3) 函数的微分(4) 微分中值定理第二章积分学3. 不定积分(1) 不定积分的定义(2) 基本积分表(3) 换元积分法(4) 分部积分法4. 定积分(1) 定积分的概念(2) 定积分的性质(3) 定积分的计算5. 定积分的应用(1) 几何应用(2) 物理应用6. 微分方程(1) 微分方程的基本概念(2) 常微分方程(3) 一阶线性微分方程(4) 数学建模中的微分方程答案二：第一章极限与连续1. 数列极限(2) 数列极限的性质(3) 数列极限的计算2. 函数的极限(1) 函数极限的定义(2) 函数极限的性质(3) 函数极限的计算3. 连续与间断(1) 连续的概念(2) 连续函数的性质(3) 间断点及分类第二章导数与微分4. 导数的概念与性质(1) 导数的定义(2) 导数的性质(3) 导数的计算5. 切线与法线(2) 法线的概念与性质6. 微分与近似计算(1) 微分的定义与性质(2) 微分的应用(3) 近似计算与线性化答案三：第一章函数与极限1. 函数的概念与分类(1) 函数的定义(2) 常见函数及其性质(3) 函数的分类2. 极限的概念与性质(1) 极限的定义(2) 极限的性质(3) 极限的计算方法3. 极限存在准则(1) 极限存在的几个重要准则(2) 极限不存在的情况第二章导数与微分4. 导数的定义与计算(1) 导数的定义(2) 导数的基本计算法则(3) 导数的链式法则5. 函数的凹凸性与拐点(1) 函数的凹凸性(2) 函数拐点的概念与判别方法(3) 函数图像的简化与分析6. 微分的应用(1) 极值问题与最优化(2) 误差估计与局部线性化(3) 应用题以上是关于高等数学教材中一些农科类课程的答案，希望能帮到您！。
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
高等数学导数的计算教学ppt课件
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第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
高等数学第二章导数知识总结
高等数学第二章知识总结在这一章里需要掌握的是求一阶导数的多种方法和求高阶导数的计算公式。
微分和导数的关系求导数与求微分方法相同,只不过在求微分时要在后面加上dx.函数在某点处的导数就是函数在该点处的变化率. 导数有很多种表现形式.一.(1)单侧导数即左右导数.函数可导的充要条件是:左右导数存在且相等. (2)可导与连续的关系:可导必然连续,连续不一定可导.注:函数的导数就是函数在某点处因变量与自变量比值的极限.◆求导数的方法有:(1)利用导数的定义.（简单一点就是△y/△x的极限）(2)利用导数的几何意义解决几何及物理,化学的实际问题.(3)利用初等函数的求导公式.(在书P59)(4)利用反函数求导法.(反函数的导数就是原函数导数的倒数.)(5)利用复合函数求导法.(由外到内,逐层求导)(6)利用隐函数求导法(7)利用参数方程确定函数的求导法.(8)利用分段函数求导法.(9)利用函数连续,可导的定义,研究讨论函数的连续性与可导性.二.高阶导数高阶导数可细分为:一阶导数,二阶导数,三阶导数……N阶导数等等.(一阶导数的导数是二阶导数) 应该掌握的是高阶导数的运算.方法有两种:(1)直接法.(2)间接法.间接法适用于阶数较高的运算.其规律性较强.常用的高阶导数公式在书P63上.注意查看.■计算uv相乘形式的高阶导数时，首先要判断u，ｖ从一阶到ｎ阶的结果，再运用莱布尼兹公式求出结果。
三.隐函数和由参数方程确定的函数的导数什么是隐函数?如果变量x,y的函数关系可以用一个二元方程表示,且对在给定范围内的每一个x,通过方程有确定的y与之对应,即Y是X的函数,这种函数就叫做隐函数F(x,y)=0从二元方程中解出y的值,就是隐函数的显化.有些隐函数不易显化,甚至不能显化.隐函数的求导方法:（例题在书P66 例40，41）(1)把y看做是复合函数的中间变量,把y看作y(x)即可。
再在方程两边分别对X求导.(2)从求导后的方程中求出y’.(3)在隐函数的求导结果中允许含有y,但是求某一以知点的导数时不仅要代X的值,还要代Y的值. 对数求导法:先两边取对数,再关于X求导.例题在书P68，例44(遇到指数形式的函数时就采用此类方法)对参数方程确定的函数求导方法很简单,就是用y’/x’.四.函数的微分.可微就可导,可导就可微.求函数的微分就是对函数求导,主要就是在所求结果后面加上dx.微分的几何意义是某点处的切线纵坐标的增量.常用的微分公式在书P76.五.微分的应用.1.微分在近似计算,误差估计中的应用.在书P80 P81.。
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(3)(uv)(n) u(n)vnu(n1)v n(n1)u(n2)v 2!
n(n1)(nk1)u(nk)v(k) uv(n) k!
n
C u v k (nk) (k) n
莱布尼兹（Leibniz）公式
k0
例6 设 yx 2 e2 x,求 y (2).0
解 设ue2x,vx2,则由莱布尼兹公式
y(2)0(e2x)(2)0x22(0e2x)(1)9(x2) 2(020 1)(e2x)(1)8(x2)0 2!
1 x
y (11x)2
y
2! (1 x)3
y(4)
3!
(1
x)4
y (n ) ( 1 )n 1(n 1 )! (n 1 ,0 ! 1 ) (1 x )n
a
7
例4 设 ysixn ,求 y(n ).
解 ycoxssin(x)
2
ycosx()sinx()sinx(2)
2
22
2
ycoxs(2)sinx(3)
(xn)(n)n!
(xn)(n 1 )0(1)(n)
x
(1)n
n! xn1
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!
a
9
练习 已 知 f ( x ) 的 n 阶 导 数 存 在 ， 求 [ f ( a x b ) ] ( n ) .
a
11
常用高阶导数公式可写成
( 1 )( a b x d ) ( n ) b n a b x d ln n a ( a 0 )(ebxd)(n) bnebxd
1
(x 1)(x 2)
1( 1 1 ) 3 x1 x2
y(n)1 3( 1 )nn! (x 1 1 )n 1(x 1 2)n 1
例8 设 y s6 i x n c6 o x ,求 y s ( n ).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
二、高阶导数求法举例
直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y ar x ,求 cf( t 0 )a f, ( 0 n ).
解
y
1
1 x2
y
1
1 x2
(1
2x x2
)2
y
2x (1 x2)2
若 为 自 然 数 n,则
y(n) (xn)(n)n!, y(n1) (n!)0.
若 1
y(n)
(x1)(n)
(1)n
n! xn1
注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)
例3 设 y ln 1 x ()求 ,y(n ).
解 y 1
记作 f(x),y,d d22 yx或 d2 df(2x x). 二阶导数的导数称为三阶导数,
f(x),
y,d3y d3f(Fra bibliotek) dx3 , dx3 .
一 般 地 ,函 数 f(x ) 的 n 1 阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x ) 的 n 阶 导 数 ,记 作 f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
2(3 x 2 (1 x
1) 2 )3
f(0)(1 2xx2)2 x0 0; f(0)2((13xx22)13) x02.
例2 设 y x ( R )求 ,y (n ). 解 yx1
y(x1)(1)x2
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
( 1 )(n) axb
(1)nan(ax nb !)n1
(5)[ln (axb)](n)(1)n1a an((a n x 1 b ))!n
12
三、高阶导数的运算法则
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
220e2x x2 20219e2x 2x 2019218e2x 2 2!
2 2e 0 2 x(x 2 2x 0 9)5
a
14
关于莱布尼兹公式，应注意：
n
u(x)v(x)(n) Cnku(nk)v(k) k0
(1 )不 要 丢 了 系 数 C n k ；
(2) 恰当地选择u(x)和v(x)， [求导最快为0的为v(x), 容易求出任意阶导数的取做u(x)].
(2 )(sin (a x b ))(n ) a nsin (a x b n ) 2
(3 )(c o s(a x b ))(n ) a nc o s(a x b n )
2
( 4 ) [ ( a x b ) ] ( n ) ( 1 )( n 1 ) a n ( a x b ) n
2．1 导数的概念
2．2 函数的求导法则
2．3 高阶导数
2．4 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
2．5 导数的简单应用
2．6 函数的微分
a
1
2.3 高阶导数
一、高阶导数的定义 二、高阶导数求法举例 三、高阶导数的运算法则
一、高阶导数的定义
问题: 质点作变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则 瞬 时 速 度 为 v (t) s(t)
间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.
例7 设y 1 ,求 y(5). x21
解 y 1 1( 11) x21 2x1 x1
y(5) 1 2(x51!)6(x51!)6
60(x11)6 (x11)6
a
16
练习 y 1 ,求y(n). x2x2
解 y
2
2
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
a
8
常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2)
(sinx)(n)
sin(xn )
(3) (cosx)(n) cos(xn2)
2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
加速 a是度 速 v对度 时 t的间 变化率 a (t) v (t) [s(t)].
a
3
定义 如 果 函 数 f(x)的 导 数 f(x)在 点 x处 可 导 ,即
(f(x))limf(xx)f(x)
x 0
x
存 在 ,则 称 (f(x))为 函 数 f(x)在 点 x处 的 二 阶 导 数 .