复数及算法
复数与算法
2．若复数 z＝a＋3＋a2i＋2a－3i(i 为虚数单位)为纯虚 数，则实数 a 的值为( )
A．－3 B．－3 或 1 C．3 或－1 D．1
解析 ∵z＝a＋3＋a2i＋2a－3i＝(a2＋2a－3)－(a＋3)i
是纯虚数，∴a－2＋a2＋a－3≠3＝0，0，
高中数学
第3讲 复数、算法
[考情分析] 高考中对复数的考查多以选择题、填空题 的形式出现，单独命题，一般难度较小．对程序框图的考查 主要以循环结构的程序框图为载体，考查学生对算法的理 解．
热点题型分析
热点1 复数的基本概念 【方法结论】
1．复数的分类
实数b＝0， a＋bi(a，b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a0≠，0.
【题型分析】 1．(2016·全国卷Ⅰ)设 x(1＋i)＝1＋yi，其中 x，y 为实数， 则|x＋yi|＝( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2
解析 因为 x(1＋i)＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，x＝1，y ＝x＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝ 2，故选 B.
2．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则 z＝(
2．处理有关复数概念的问题时，首先要找准复数的实 部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算 化为标准代数形式)，然后根据定义解题．
3．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重 要的方法．
【题型分析】 1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( ) A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i
热点2 复数的几何意义 【方法结论】 1.
2．复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解， 利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
7-2-2复数的乘、除运算(教学课件)-高中数学人教A版(2019) 必修第二册
2
因为( i) =(- i) =-2,
所以 x+2= i 或 x+2=- i,
即 x=-2+ i 或 x=-2- i,
2
所以方程 x +4x+6=0 的根为 x=-2± i.
即时训练6-1:(1)在复数范围内解一元二次方程 x2-2x+5=0;
2
解:(1)Δ=(-2) -4×1×5=-16<0,
，
2
2a
4a
2
b
x
2a
b2 4ac
2a
i．
所以原方程的根为 x b
2a
b2 4ac
2a
i．
总结
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
1.求根公式法
－b± b2－4ac
①当 Δ≥0 时，x＝
.
2a
－b± －（b2－4ac）i
(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
多项式乘以
多项式
思考2：复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，
d∈R，则z1·z2 ＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，
z1·z2等于什么？
1.复数的乘法法则：
z1·z2=
( + )( + ) = + + + 2
(4)
1 3i.
2
i
i
i
探究角度3
复数的积与商的模
即时训练 3-1:(1)已知 i 为虚数单位,则复数
的模等于(
-
复数、算法、推理与证明
复数、算法、推理与证明第一节 数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2C.22 D.12解析：选B 法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45，所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i 2＋i ，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14. 答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。
【新课标】高三数学二轮精品专题卷 复数及算法框图
高三数学二轮精品专题卷：复数及算法框图考试范围：复数及算法框图一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．32111ii i +-的值等于（ ） A ． 1 B ．1-C ．iD ．i -2．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．13．（理）已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -2（文）若i 是虚数单位，则复数12-i i的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5 B ．8C ．13D ．215．若复数z 满足i z i 41=-）（，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i第2题图 第4题图 第6题图 7．若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于 （ ）A ．1B ．1-C ．21D ．21-8．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为7时，输出y 的结果恰好是1-，则处理框中的关系式是 （ ） A ．3x y =B ．x y -=2C ．x y 2=D ．1+=x y9．（理）已知∈b a ,R ，且复数∈++=biia z 1R ，则ab 等于 （ ） A ．0B ．1-C ．2D ．1（文）集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为 （ ） A ．4B ．8C ．16D ．无数个10．如下图，若输入的x 的值分别为3π和32π时，相应输出的y 的值分别为21,y y ，则 （ ）A ．21y y =B ．21y y ＞C ．21y y ＜ D ．无法确定11．若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （ ） A ．1B ．2C ．21 D ．41 12．下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是 （ ） A ．0.28B ．0.38C ．0.72D ．0.62第8题图 第10题图 第12题图13．在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为 （ ） A ．i 182+ B ．i 91+C ．i 182-D ．i 91-14．运行列流程图，输出结果为（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．2-14题图15．（理）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A ．(56，72] B ．(72，90] C ．(90，110] D ．(56，90)（文）按如图所示的程序框图运算，若输出2=k ，则输入x 的取值范围是（ ） A ．］，（2200942007 B ．），［2200942007 C ．），（2200942007 D ．］，［220094200715（文）图 15（理）图 二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.把答案填写在题中横线上） 16．已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第 象限． 17．如下图，根据程序框图可知，输出的函数）（x f 的解析式为 ．18．已知纯虚数z 满足i m z i +=+21）（，其中i 是虚数单位，则实数m 的值等于 ． 19．如下图是计算3331021+⋯++的程序框图，图中的①、②分别是 和 ．第17题图 第19题图 第20题图20．在流程图中（右上），若输出的函数）（x f 的函数值在区间］，［3391内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 21．（理）已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于 ． （文）已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．22．如下图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为π433时，输出的y 的结果为 ． 23．已知复数i n m z ）（lg lg -=，其中i 是虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上，则mn 的值等于 ．．24．阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是 ．22题图 24题图25．若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围是 ．26．如图所示的程序框图，若输入7=n ，则输出的n 值为 ．第26题图27．若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+，,则=2011a ． 28．如图是一个算法的程序框图，当输出结果为41时，请你写出输入的x 的的值 ．第28题图29．设复数i a a z )2()4(2++-=，若02＜z ，则实数a 的值为 ． 30．（理）如图所示的流程图，输出的结果为 ． （文）一个算法的程序框图如下，则其输出结果是 ．30（理）图 30（文）图2012届专题卷数学专题五答案与解析1．【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i的性质：1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）复数的除法运算法则． 【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--． 2．【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法中的赋值语句；（2）算法中的输出语句．【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=．3．（理）【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数乘法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+，所以12z i =-． （文）【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数除法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-，故复数21ii -的共轭复数是1i +． 4．【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）赋值语句的含义；（2）循环结构的特点． 【答案】B 【解析】执行过程为：1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>，输出8y =．5．【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的除法运算法则；（2）复数的几何意义．【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=，所以4221iz i i==-+-，因此复数z 对应的点在复平面的第二象限．6．【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的基本要求；（2）算法循环结构中的计数变量的赋值规则．【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项，所以循环体应执行20次，当计数变量i 的值大于20时跳出循环，因此应填20>i ．7．【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的运用；（2）若两个复数能够比较大小，它们都是实数．【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--，依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩，解得1a =．8．【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行过程特点；（2）常见函数的性质．【答案】A 【解析】依题意，输入的x 值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出y 的结果恰好是1-，则函数关系式为3y x =．9．（理）【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数时实数的充要条件；（2）分母实数化方法．【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+，由于R ∈z ，所以10ab -=，即1ab =．（文）【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i 幂值的周期性： 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）若集合有m 个元素，则有2m 个子集． 【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时，2,0,2,0x i i =-，因此集合P 只有3个元素：2,2,0x i i =-，故有8个子集．10．【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分支结构的运行流程；（2）正弦函数与余弦函数的求值．【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时，输出112y =，输入x 的值为23π时，输出212y =-，因此有12y y >，选B ．11．【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的应用；（2）纯虚数的概念；（3）复数模的计算公式． 【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++，所以204a a =+，得0a =，这时12z i =，故1||2z =． 12．【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算．[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的特点；（2）频率的计算公式． 【答案】C 【解析】根据流程图可知，输出结果为数学分数低于90分的同学的人数，因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=，其频率为14400.722000=． 13．【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点：（1）复数的几何意义；（2）复数与向量的一一对应关系．【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点，则11,22AO AC OD BD ==，即25,34A O i O D i =+=-+，又因为DA OA OD AO OD =-=-- ，所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-，选D ． 14．【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）理解流程图的执行过程；（2）利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法．【答案】D 【解析】程序的运行过程为：2,4,5m a b ===，以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形，1,4n m =-=，以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，6m =，以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，8m =，以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形，2n =-，109m =>，输出2n =-． 15．（理）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10，所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩，解得7290m <≤．（文）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =，所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩，解得2007200942x <≤． 16．【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的运算方法——分母实数化．（2）复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab ．【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-，于是112z ==-，所以1z对应的点在第三象限．17．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法条件分支结构的特点；（2）分段函数的解析式应分段求解．【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意，当()x h x >，即22x x x +<，10x -<<时，2()2f x x x =+；当()x h x ≤，即22x x x +≥，0x ≥或1x ≤-时，()f x x =．因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或．18．【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）一个复数为纯虚数，可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ；（2）复数的运算．【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+，因为z 为纯虚数，所以12m =-．19．【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中计数变量的赋值方法；（2）循环结构中累加变量的赋值方法． 【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成，根据该算法的功能，应在①处填3ss i =+，②处填1i i =+．[来源:金太阳新课标资源网]20．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的条件分支结构的特点；（2）已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解．【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-，则1()1[9f x =∉不合题意，当[3,3]x ∈-时，1()3[9x f x =∈，解得1[2,]2x ∈--，此即为x 的取值范围．21．（理）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法；（2）若复数),(R ∈+=b a bi a z ，则其实部与虚部分别为,a b ．【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-，依题意有2122b b +-=，解得12b =-．（文）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数实部与虚部的概念；（2）复数的乘法与除法运算法则．【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+，则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22．【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题．[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）正弦函数的最小正周期为2π．33sin(8)sin 44y πππ=-=． 23．【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的几何意义；（2）对数的运算法则． 【答案】1【解析】依题意，复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -，它在直线y x =上，所以0lg lg =+n m ，即0)lg(=mn ，所以1=mn ．24．【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中循环体的执行次数；（2）赋值语句的含义．【答案】729【解析】按照程序框图，可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=． 25．【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的乘法运算法则；（2）复数的几何意义．[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+，其对应的点在第一象限，则有20a ->，所以0a <．26．【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行流程；（2）幂函数的单调性． 【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减，故输出1n =-．27．【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的定义及通项公式；（2）虚数单位i 的幂值的周期性．【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-，所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列，于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-．28．【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）条件分支结构的特点；（2）分类讨论解决分段函数求值问题． 【答案】2-，42【解析】令124x =，得2x =-，所以当输入的2x =-时，输出结果为14；令21log 4x =，得142x =，所以当输入的42=x 时，输出结果也为14；29．【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）若一个复数的平方是负数，则它一定是纯虚数；（2）纯虚数的概念． 【答案】2【解析】由2z＜0知z 一定为纯虚数，所以得：24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =．30．（理）【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的循环结构；（2）sin 3n π的值具有周期性．2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值，由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======，所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=，因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=（文）【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）cos2nπ的值具有周期性．【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值，由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ，所以(0101)5030p=-++⨯=．。
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
2012二轮6.5算法初步、复数
2012二轮专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数第五讲算法初步、复数【考纲透析】1．算法的含义、程序框图（1）了解算法的含义，了解算法的思想；（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
2．基本算法语句理解几种基本算法语句的含义3．复数的概念（1）理解复数的基本概念；（2）理解复数相等的充要条件；（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
4．复数的四则运算（1）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义；（2）会进行复数代数形式的四则运算。
【要点突破】要点考向1：程序（算法）框图考情聚焦：1．程序（算法）框图是新课标新增内容，也是近几年高考的热点之一；2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。
考向链接：1．解答有关程序（算法）框图问题，首先要读懂程序（算法）框图，要熟练掌握程序（算法）框图的三个基本结构；2．循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等。
利用循环结构表示算法：第一要选择准确的表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环。
解答循环结构的程序（算法）框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误。
例1：（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图是求222…+100的值的程序框图，则正整数123+++2n=．【命题立意】从自然语言过渡到框图语言，能训练学生开阔的视野和更为严谨的逻辑思维能力.【思路点拨】框图→循环结构→当循环【规范解答】i=1, s=s+i2=12；i=2,s=12+22；…；i=100,s=222…+100,∴n=100+++2123【答案】100【方法技巧】框图→结构→注意关节点：条件结构的条件，循环结构的分类，是当循环还是直到型循环. 简单随机抽样方法更好.要点考向2：复数的相关概念及复数的几何意义考情聚焦：1．复数的相关概念及复数的几何意义是高考重点考查的内容； 2．以选择题或填空题的形式呈现，属容易题。
二轮复习算法与复数学案
算法与复数【学习目标】1．了解复数中的有关概念，掌握复数的四则运算．从以往的考查来看，近几年的高考都考查了复数，考题主要是以填空题的形式出现，难度都不大．2. 了解算法的概念、流程图、基本算法语句．近几年高考都考了算法，主要考查的内容是流程图，考题主要是以填空题的形式出现，难度不是很大．【学习重难点】学习重点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用 学习难点：复数的运算，算法中的循环结构以及简单应用复数：1已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i2复数ii i z )1)(1(-+=在复平面上所对应的点Z 位于A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限352i=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限5复数1+i1i=- （A ）i - （B ）i （C ）1i + （D ）1i -6i 是虚数单位，计算41ii+=+_________. 7设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．8复数2ii+在复平面内对应的点的坐标是____________.9. 若复数a 2－3a ＋2＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为________．10.设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝____________.11已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m ＝ .12若复数z 满足zi ＝2＋i(i 是虚数单位)，则|z|＝__________.算法：1. 执行右边的程序框图，则输出的S 值等于A.91817161+++ B. 9181716151++++C. 10191817161++++D. 1019181716151+++++（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）74．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．5 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（A ）85 （B ）2912（C ）53 （D ）138。
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高15级复习专题——复数及算法
1.（2013北京）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A.第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
2.(2013安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )
（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112
y x
D B A
O C
(2题）) (3题）) （4题）
3.（2013北京）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.
23 C.1321
D.610987 4．（2013四川）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） 5.（2013全国新课标）若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( )
A.4-
B.45-
C.4
D.45
6.（2013浙江）已知复数512i z i
=
+（i 是虚数单位），则_________z = 7．（2014山东）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是5
9，则 ( ) A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 开始
是
否 0,1i S == 2121S S S +=+
1i i =+ 2
i ≥输出S
结束
否是1
,0,1===T S k 开始
N 输入k
T T =1+=k k T
S S +=?N k >S
输出结束
8．（2014浙江）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（）
A ． 6k ≤
B ．7k ≤
C ．8k ≤
D ．9k ≤
9.（2014新课标1）运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于
A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-
10．（2014新课标2）执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =
（A ）1111+2310+
++…… （B ）1111+2310+++……！！！
（C ）111+2311+++…… （D ）11+2311+++……！！！
(10题)
开始
S =1，k =1
k >a ?
S =S +1k (k +1)
k =k+1
输出S
结束
是 否
（第7题图）
复数及算法答案
1、D
2、D
3、C
4、B
5、D
6、√5
7、A
8、B
9、A 10、B。